5

BAB II

TEORI DASAR

2.1 Gelombang Seismik

Energi yang tersimpan di dalam bumi berbentuk tegangan pada batuan yang secara

tiba-tiba terlepas sehingga ini disebut sebagai proses terjadinya gempabumi. Energi

tersebut diteruskan ke bagian muka bumi melalui gelombang seismik. Gelombang

seismik merupakan suatu energi berupa gelombang yang menjalar di dalam permukaan

bumi disebabkan oleh adanya gangguan di dalam kerak bumi, misalnya terdapat

ledakan atau deformasi struktur berupa tekanan ataupun tarikan karena sifat kerak bumi

yang elastis[31]. Berdasarkan jenis gelombang yang merambat di dalam bumi,

gelombang seismik dibagi menjadi dua, yaitu gelombang P (primer) dan gelombang S

(sekunder).

Gelombang seismik pada keadaan tidak teredam dapat dinyatakan dengan persamaan:

∇²𝜓 = 1

𝑣² 𝜕²𝜓

𝜕𝑡² (2.1)

dengan

∇ = 𝑖̂ 𝜕

𝜕𝑥+ 𝑗̂

𝜕

𝜕𝑦+ �̂�

𝜕

𝜕𝑧 (2.2)

dimana 𝜓 adalah fungsi gelombang yang menjalar, 𝑣 adalah kecepatan gelombang

(m/s), t adalah waktu (s). Dapat dilihat pada Gambar 2. 1 bahwa komponen tegangan

yang bekerja pada volume yang sangat kecil mengelilingi suatu titik di dalam suatu

padatan yang elastis.

Gambar 2. 1 Komponen tegangan yang bekerja pada volume[26]

6

Gambar 2. 2 Perpindahan komponen regangan yang mengalami pergeseran

(Shearing)[26]

Gambar 2. 3 Komponen regangan pada benda yang mengalami perpindahan secara

rotasional[26]

7

Gambar 2. 4 Kombinasi komponen regangan yang mengalami pergeseran dan

rotasional[26]

Untuk mempertahankan volume padat seperti yang digambarkan pada Gambar 2. 1

maka dibutuhkan sembilan komponen tegangan yang membentuk tensor tegangan

(Stress) yaitu pada persamaan (2.3) dan tensor regangan (Strain) pada persamaan (2.4).

{𝑃ᵢⱼ} = (

𝑃𝑥𝑥 𝑃𝑥𝑦 𝑃𝑥𝑧

𝑃𝑦𝑥 𝑃𝑦𝑦 𝑃𝑦𝑧

𝑃𝑧𝑥 𝑃𝑧𝑦 𝑃𝑧𝑧

) (2.3)

{𝑒ᵢⱼ} = (

𝑒𝑥𝑥 𝑒𝑥𝑦 𝑒𝑥𝑧

𝑒𝑦𝑥 𝑒𝑦𝑦 𝑒𝑦𝑧

𝑒𝑧𝑥 𝑒𝑧𝑦 𝑒𝑧𝑧

) (2.4)

Dalam bentuk tiga dimensi, perpindahan komponen regangan (x, y, dan z) dituliskan

dengan (u, v, dan w). Sehingga untuk regangan normal dapat dituliskan dengan

persamaan:

𝑒𝑥𝑥 = 𝜕𝑢

𝜕𝑥 ; 𝑒𝑦𝑦 =

𝜕𝑣

𝜕𝑦 ; 𝑒𝑧𝑧 =

𝜕𝑤

𝜕𝑧 (2.5)

Regangan yang mengalami pergeseran (Shearing) ditunjukan pada Gambar 2. 2 dan

untuk persamaannya dapat dituliskan:

𝑒𝑥𝑦 =1

2 (

𝜕𝑣

𝜕𝑥+

𝜕𝑣

𝜕𝑦) ; 𝑒𝑦𝑧 =

1

2 (

𝜕𝑤

𝜕𝑦+

𝜕𝑣

𝜕𝑧) ; 𝑒𝑧𝑥 =

1

2 (

𝜕𝑢

𝜕𝑧+

𝜕𝑤

𝜕𝑥) (2.6)

Sedangkan untuk komponen regangan yang mengalami perpindahan secara rotasional

ditunjukkan pada Gambar 2. 3 dan dapat dituliskan dalam persamaan:

𝜃𝑥𝑧 = − 1

2(𝜕𝑤

𝜕𝑥−

𝜕𝑢

𝜕𝑧) ; 𝜃𝑥𝑦 = −

1

2(

𝜕𝑣

𝜕𝑥−

𝜕𝑢

𝜕𝑦) ; 𝜃𝑦𝑧 = −

1

2(𝜕𝑤

𝜕𝑦−

𝜕𝑣

𝜕𝑧) (2.7)

8

Perubahan dimensi yang disebabkan oleh regangan normal akan mengakibatkan

perubahan volume. Perubahan volume per satuan volume disebut dilatasi (∆)[26]

∆ = 𝑒𝑥𝑥 + 𝑒𝑦𝑦 + 𝑒𝑧𝑧 = 𝜕𝑢

𝜕𝑥+

𝜕𝑣

𝜕𝑦+

𝜕𝑤

𝜕𝑧 (2.8)

Hubungan antara tegangan dan regangan menimbulkan suatu perubahan geser yang

disebut dengan modulus rigiditas dinyatakan dalam persamaan:

𝜇 = 𝑇𝑒𝑔𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑔𝑒𝑠𝑒𝑟

𝑟𝑒𝑔𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 =

𝑃𝑥𝑥

𝑒𝑥𝑥=

𝑃𝑦𝑦

𝑒𝑦𝑦=

𝑃𝑧𝑧

𝑒𝑧𝑧 (2.9)

Hubungan antara konstanta elastik pada medium homogen isotropik membentuk

persamaan:

𝜎 = 𝜆

2(𝜆 + 𝜇) (2.10)

dimana 𝜆 dan 𝜇 merupakan konstanta Lame, dan 𝜇 merupakan hambatan regangan

geser. Persamaan untuk penjalaran gelombang P dan S dapat diturunkan dari Hukum

Hooke yang menyatakan hubungan tegangan (gaya per satuan luas) dan regangan

(perubahan dimensi) yaitu:

𝜎𝑖𝑖 = 𝜆∆ + 2𝜇 𝑒𝑖𝑖 ; 𝑖 = 𝑥, 𝑦, 𝑧 (2.11)

𝜎𝑖𝑗 = 𝜇 𝑒𝑖𝑗 ; 𝑗 = 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑎𝑛 𝑖 ≠ 𝑗 (2.12)

Berdasarkan Hukum II Newton, jika terjadi ketidaksetimbangan pada gaya-gaya yang

bekerja maka akan terdapat perubahan momentum. Gaya adalah perkalian antara massa

(m) dan percepatan (a).

∑𝐹𝑥 = 𝑚 . 𝑎 = 𝜌. 𝑑𝑥. 𝑑𝑦. 𝑑𝑧 .𝜕²𝑢

𝜕𝑡² (2.13)

dimana 𝜌 adalah densitas. Persamaan (2.14), (2.15) dan (2.16) adalah stress yang

terjadi pada sumbu x dengan pergeseran u, sumbu y dengan pergeseran v, dan sumbu z

dengan pergeseran w.

𝜌 𝜕²𝑢

𝜕𝑡²= ( 𝜆 + 𝜇)

𝜕∆

𝜕𝑥+ 𝜇∇²𝑢 (2.14)

𝜌 𝜕²𝑣

𝜕𝑡²= ( 𝜆 + 𝜇)

𝜕∆

𝜕𝑦+ 𝜇∇²𝑣 (2.15)

𝜌 𝜕²𝑤

𝜕𝑡²= ( 𝜆 + 𝜇)

𝜕∆

𝜕𝑧+ 𝜇∇²𝑤 (2.16)

Dimana ∇² merupakan Laplacian.

∇² = (𝜕²

𝜕𝑥²+

𝜕²

𝜕𝑦²+

𝜕²

𝜕𝑧²) (2.17)

9

Untuk menentukan persamaan gelombang, persamaan (2.14), (2.15), dan (2.16)

masing-masing dideferensialkan terhadap x, y, dan z sehingga diperoleh beberapa

persamaan:

𝜌 𝜕

𝜕𝑥(𝜕²𝑢

𝜕𝑡²) = ( 𝜆 + 𝜇)

𝜕²∆

𝜕𝑥²+ 𝜇

𝜕

𝜕𝑥(𝜕²𝑢

𝜕𝑥²+

𝜕²𝑢

𝜕𝑦²+

𝜕²𝑢

𝜕𝑧²) (2.18)

𝜌 𝜕

𝜕𝑦(𝜕²𝑣

𝜕𝑡²) = ( 𝜆 + 𝜇)

𝜕²∆

𝜕𝑦²+ 𝜇

𝜕

𝜕𝑦(𝜕²𝑣

𝜕𝑥²+

𝜕²𝑣

𝜕𝑦²+

𝜕²𝑣

𝜕𝑧²) (2.19)

𝜌 𝜕

𝜕𝑧(𝜕²𝑤

𝜕𝑡²) = ( 𝜆 + 𝜇)

𝜕²∆

𝜕𝑧²+ 𝜇

𝜕

𝜕𝑧(𝜕²𝑤

𝜕𝑥²+

𝜕²𝑤

𝜕𝑦²+

𝜕²𝑤

𝜕𝑧²) (2.20)

Dari persamaan (2.18), (2.19), dan (2.20) dilakukan penjumlahan, menjadi:

𝜌 𝜕2

𝜕𝑡2(𝜕𝑢

𝜕𝑥+

𝜕𝑣

𝜕𝑦+

𝜕𝑤

𝜕𝑧) = ( 𝜆 + 𝜇) (

𝜕2∆

𝜕𝑥2+

𝜕2∆

𝜕𝑦2+

𝜕2∆

𝜕𝑧2) + 𝜇∇² (𝜕𝑢

𝜕𝑥+

𝜕𝑣

𝜕𝑦+

𝜕𝑤

𝜕𝑧) (2.21)

𝜕2∆

𝜕𝑡2= (

( 𝜆 + 𝜇)

𝜌) + ∇²∆ (2.22)

Sehingga didapatkan persamaan gelombang P yaitu:

𝑉𝑝 = √(𝜆 + 𝜇)

𝜌 (2.23)

Untuk mendapatkan persamaan gelombang S pada sumbu x, maka persamaan (2.15)

diturunkan terhadap z.

𝜌𝜕²

𝜕𝑡²(𝜕𝑣

𝜕𝑧) = (𝜆 + 𝜇)

𝜕²∆

𝜕𝑦𝜕𝑧+ 𝜇∇² (

𝜕𝑣

𝜕𝑧) (2.24)

dan persamaan (2.16) diturunkan terhadap y.

𝜌𝜕²

𝜕𝑡²(𝜕𝑤

𝜕𝑦) = (𝜆 + 𝜇)

𝜕²∆

𝜕𝑧𝜕𝑦+ 𝜇∇² (

𝜕𝑤

𝜕𝑦) (2.25)

Dari persamaan (2.24) dan (2.25) dilakukan pengurangan menjadi:

2 𝜕² (𝜕𝑤𝜕𝑦

−𝜕𝑣𝜕𝑧

)

𝜕𝑡²= 2

𝜇

𝜌∇² (

𝜕𝑤

𝜕𝑦−

𝜕𝑣

𝜕𝑧) (2.26)

𝜕² ∆𝑥

𝜕𝑡²=

𝜇

𝜌∇² ∆𝑥 (2.27)

Sehingga didapatkan persamaan gelombang S yaitu:

𝑉𝑠 = √𝜇

𝜌 (2.28)

10

Berdasarkan tempat penjalaran gelombangnya, gelombang seismik dibagi menjadi dua

yaitu gelombang tubuh (Body Wave) dan gelombang permukaan (Surface Wave).

Gambar 2. 5 Pembagian gelombang seismik pada media padat menurut arah

perambatannya: gelombang tubuh P, gelombang tubuh S, gelombang permukaan love

dan gelombang permukaan Rayleigh[5]

2.1.1 Gelombang Badan

Gelombang badan merupakan gelombang yang merambat melalui bagian dalam bumi

yang terdiri dari gelombang kompresional (longitudinal atau Primer wave dan

transversal atau Sekunder Wave). Gelombang ini juga merupakan gelombang yang tiba

sebelum gelombang permukaan dipancarkan oleh gempa bumi dan memiliki frekuensi

yang besar. Ciri pada gelombang primer yaitu arah gerak partikel dalam medium

bergerak searah dengan arah perambatan gelombangnya dapat dilihat pada Gambar 2.5.

Kecepatan pada gelombang primer dapat mencapai 4-6 km per detik, tergantung dari

sifat medium yang dilewatinya. Gelombang ini adalah gelombang yang pertama kali

tiba di stasiun seismik. Kecepatan penjalaran gelombang P dinyatakan dalam

persamaan (2.23).

Sedangkan gelombang sekunder yaitu arah pergerakan partikel akan tegak lurus dengan

arah rambat gelombang. Kecepatan gelombang sekunder mencapai 3-4 per detik dan

hanya mampu bergerak melalui batuan padat (tidak dapat melewati media cair).

Kecepatan penjalaran gelombang S dinyatakan dalam persamaan (2.28).

11

Gelombang S terdiri dari dua komponen yaitu gelombang SV dan gelombang SH.

Gelombang SV adalah gelombang S yang gerakan partikelnya terpolarisasi pada bidang

vertikal, sedangkan gelombang SH adalah gelombang S yang gerakan partikelnya

horizontal.

2.1.2 Gelombang Permukaan

Gelombang permukaan merupakan gelombang yang rambatannya hanya melalui

permukaan bumi. Gelombang permukaan berdasarkan dari sifat gerakan partikel media

elastik merupakan gelombang kompleks dengan amplitudo besar dan frekuensi rendah

yang menjalar karena adanya efek free surface dan perbedaan sifat elastik. Gelombang

permukaan dibagi menjadi dua jenis yaitu gelombang Rayleigh dan gelombang

Love[39].

Gelombang Love terjadi karena adanya refleksi total gelombang SH dalam lapisan

antara permukaan bebas dan lapisan internal dan refleksi tersebut secara berulang dan

berinterferensi membentuk gelombang baru.

Gambar 2. 6 Penjalaran Gelombang Permukaan (Love Wave)[39]

Sedangkan gelombang Rayleigh yaitu pergerakan partikelnya ke belakang (bawah maju

atas mundur) dan gelombang ini menjalar melalui permukaan medium yang homogen.

Gelombang Rayleigh terjadi karena adanya interaksi gelombang datang P dan SV

dengan permukaan bebas dan berinterferensi membentuk gelombang baru yang

menjalar sepanjang permukaan.

12

Gambar 2. 7 Penjalaran Gelombang Permukaan (Rayleigh Wave)[39]

Perubahan nilai densitas terhadap kedalaman biasanya kecil apabila dibandingkan

dengan perubahan modulus geser[6]. Persamaan yang menggambarkan perambatan

gelombang Rayleigh dalam bentuk homogen, isotropik, elastis media diperoleh dengan

memecahkan persamaan gerak dengan tepat kondisi batas[20].

Gelombang Rayleigh diasumsikan selaras dengan frekuensi dominan 𝜔 dan bilangan

gelombang k. Potensi perpindahan, 𝛷 dan 𝜓 dapat diasumsikan mempunyai

persamaan[16]:

𝛷(𝑥, 𝑧, 𝑡) = 𝑓(𝑧)𝑒𝑖(𝑘𝑥−𝜔𝑡) (2.29)

𝜓(𝑥, 𝑧, 𝑡) = 𝑔(𝑧)𝑒𝑖(𝑘𝑥−𝜔𝑡) (2.30)

di mana f (z) dan g (z) menggambarkan variasi antara amplitudo gelombang dengan

kedalaman dan i = √−1. Dengan mengkorelasikan Persamaan (2.29) dan (2.30) ke

dalam Persamaan (2.23) dan (2.28), maka diterapkan batas kondisi yang sesuai

(misalnya tegangannya nol pada permukaan bebas) dan solusi yang memungkinkan

untuk amplitudo gelombang menjadi tak terbatas dengan kedalaman, berikut ini

persamaan karakteristik yang diperoleh:

𝜁6 − 8𝜁4 + (24 − 16𝜂2) 𝜁2 + 1(𝜂2 − 1) = 0 (2.31)

dimana

𝜁 =𝑐

𝛽 dan 𝜂 =

𝛽

𝛼= (

𝐺

𝜆+2𝐺)0.5

= (1−2𝑣

2(1−𝑣))0.5

(2.32)

Kecepatan rambat Gelombang Rayleigh dilambangkan dengan c. Solusi Persamaan

(2.31) tidak bergantung pada frekuensi, yang menunjukkan bahwa gelombang Rayleigh

tidak menyebar pada medium homogen. Solusi perkiraan Persamaan (2.31), yaitu[27]:

13

𝑐 ≈ 0.87 + 1.12𝑣

1 + 𝑣 𝛽 (2.33)

2.2 Multichannel Analysis of Surface Waves (MASW)

Metode seismik adalah salah satu metode eksplorasi yang didasarkan pada pengukuran

respon gelombang seismik (suara) yang dimasukkan ke dalam tanah dan kemudian

direfleksikan atau direfraksikan sepanjang perbedaan lapisan tanah atau batas-batas

batuan. Multichannel Analysis of Surface Waves (MASW) adalah metode seismik

konvensional yang memanfaatkan gelombang permukaan sebagai sinyal utamanya.

Gelombang permukaan mempunyai amplitudo yang sangat besar dibandingkan dengan

gelombang badan. Hal ini menyebabkan gelombang permukaan adalah gelombang

yang paling kuat diantara gelombang lainnya. Selain itu, gelombang permukaan

merambat sangat lambat dengan waktu rambat yang panjang di dalam tanah. Hal inilah

yang menyebabkan MASW mempunyai S/N ratio lebih tinggi dibandingkan metode

seismik lainnya [25].

Metode MASW dapat menghitung nilai kecepatan dari gelombang geser (Vs)

berdasarkan kecepatan gelombang permukaan Rayleigh. Gelombang permukaan

Rayleigh akan lebih mudah diamati menggunakan peralatan seismik dengan geophone

vertikal, karena sifat ground roll pada gelombang Rayleigh memberikan energi seismik

sebanyak 2/3 untuk membentuknya sehingga gelombang seismik akan menampung

sebagian besar energi seismik[19]. Kecepatan gelombang Rayleigh yang terukur dalam

pengukuran MASW akan sangat merepresentasi kecepatan gelombang geser, karena

kecepatan fase pada gelombang Rayleigh sekitar 92% dari kecepatan gelombang

geser[21].

Metode gelombang permukaan merupakan metode karakterisasi seismik yang

berdasarkan analisis dispersi geometrik dari gelombang permukaan, di mana distribusi

vertikal modulus geser dinamik suatu lapisan bawah permukaan dapat diperoleh dengan

metode ini. Prosedurnya terdiri dari estimasi sifat dispersi suatu daerah, dan kemudian

memodelkan data-data tersebut untuk mengestimasi sifat bawah permukaan. Hasil yang

didapatkan merupakan profil vertikal dari kecepatan gelombang geser.

14

Gambar 2. 8 Profil vertikal dari gelombang geser[35]

Gelombang permukaan merupakan gelombang seismik yang merambat secara paralel

ke permukaan bumi tanpa adanya penyebaran energi ke dalam interior bumi.

Amplitudonya akan berkurang secara eksponensial terhadap kedalaman, dan

kebanyakan energi merambat pada daerah dangkal yang setara dengan satu panjang

gelombang. Gelombang permukaan Rayleigh sering menjadi hal yang dominan pada

rekaman data seismik yang menyebarkan energi ke semua arah. Hal ini disebabkan

energinya lebih banyak dan penyebaran secara geometri lebih rendah dari gelombang

badan[2].

2.3 Dispersi Gelombang Rayleigh

Dalam menentukan kecepatan gelombang geser sebagai fungsi kedalaman maka

digunakan gelombang permukaan. Sejak tahun 1980-an, gelombang permukaan

dimanfaatkan untuk memodelkan struktur bawah permukaan dikarenakan mudah dan

dapat diaplikasikan pada bidang geoteknik yaitu memanfaatkan gelombang Rayleigh

untuk karakterisasinya. Digunakannya gelombang Rayleigh karena gelombang ini

mempunyai sifat yang unik, dimana gelombang akan mengalami dispersi pada setiap

perambatan gelombangnya yang melewati batas lapisan material bumi. Sifat dispersi ini

yaitu variasi panjang dan kecepatan gelombang yang memiliki velocity phase dan

kecepatan grup yang berbeda sehingga kecepatan fase pada gelombang Rayleigh

bergantung pada frekuensi.

15

Gelombang dengan berbagai frekuensi tersebut dapat saling interferensi dalam satu

paket gelombang (wave packet) atau deret gelombang (wave train) yang merambat

dalam kecepatan yang berkelompok yang dikenali sebagai kecepatan kelompok (group

velocity). Kecepatan gelombang fase sendiri merupakan kecepatan dari setiap

gelombang harmonik. Hubungan antara kecepatan kelompok (U) dan kecepatan fase

(V) dapat dituliskan dalam ekspresi matematik[28]:

𝑈 = 𝑑𝜔

𝑑𝑘(𝜔)= 𝑉 + 𝑓

𝑑𝑉

𝑑𝑓= 𝑉 − 𝜆

𝑑𝑉

𝑑𝜆 (2.34)

Dari persamaan (2.34) dapat dijelaskan bahwa pada sifat dispersi gelombang

permukaan yang normal dimana kecepatan fase merupakan fungsi berkurangan

terhadap frekuensi, kecepatan fase merambat lebih cepat berbanding kecepatan

kelompok. Pada kurva kecepatan fase yang tidak berdispersi (media homogen),

kecepatan fase dan kelompok adalah bernilai sama dan bersifat konstan.

Gambar 2. 9 Kurva hubungan antara kecepatan fasa dan kecepatan grup dengan

periode pada Gelombang Love dan Gelombang Rayleigh[9]

Gelombang seismik merambat secara mekanik ke dalam medium lapisan bumi yang

merupakan gelombang elastis atau mekanis yang ditimbulkan akibat regangan medium

elastis. Energi gelombang seismik 67% berupa energi gelombang permukaan[3].

Gelombang permukaan ini, digunakan untuk estimasi kecepatan gelombang geser

sebagai fungsi kedalaman. Selanjutnya, nilai gelombang geser ini, dapat digunakan

untuk mengetahui sifat (porositas, densitas, saturasi air dan jenis batuan) struktur bawah

permukaan. Sejak tahun 1980-an, gelombang permukaan dapat mencitrakan struktur

bawah permukaan dengan mudah yang diaplikasikan pada karakterisasi geoteknik,

16

yakni gelombang Rayleigh. Sebab, gelombang Rayleigh mempunyai sifat yang unik,

dimana setiap perambatan gelombang ini yang melewati batas lapisan material bumi

mengalami dispersi.

Pembuatan kurva dispersi gelombang Rayleigh dapat dilakukan dengan cara

mengkorelasikan gelombang Rayleigh pada fungsi frekuensi yang terdeteksi geophone

dengan jarak sebesar D meter.

𝐺𝑦1𝑦2 = 𝑌1(𝑓) ∗ 𝑌2 (2.35)

Dimana * menandakan kompleks konjugat. Estimasi selanjutnya berupa perbedaan

sudut (f) dan t(f) waktu yang dibentuk oleh penjalaran kedua gelombang Rayleigh

dengan pendekatan persamaan:

𝜃𝑦1𝑦2 = 𝑡𝑎𝑛−1𝑙𝑚(𝐺𝑦1𝑦2)

𝑅𝑒(𝐺𝑦1𝑦2) (2.36)

𝑡(𝑓) =𝜃𝑦1𝑦2(𝑓)

2𝜋𝑓 (2.37)

dimana 𝜃𝑦1𝑦2(𝑓) adalah perbedaan sudut dan t(f) waktu penjalaran gelombang.

Selanjutnya dilakukan estimasi kecepatan sudut gelombang Rayleigh dengan

menggunakan persamaan berikut:

𝑐(𝑓) =𝐷

𝑡(𝑓) (2.38)

Dimana 𝑐(𝑓) adalah kecepatan sudut gelombang Rayleigh, D adalah jarak geophone

dan t(f) waktu rambat gelombang. Kecepatan sudut gelombang Rayleigh jika dibuat

grafik sebagai fungsi dari frekuensi, nampak seperti pada Gambar 14. Grafik yang

demikian, sering kali disebut sebagai dispersi gelombang Rayleigh atau kurva dispersi.

Gambar 2. 10 Grafik kecepatan sudut gelombang Rayleigh sebagai fungsi frekuensi[3]

17

2.4 Transformasi Fourier

Sebelum dilakukannya Transformasi Fourier, data seismik yang diperoleh dari

lapangan perlu ditransformasikan terlebih dahulu untuk menghasilkan citra spektrum

dispersi kecepatan fase. Salah satu metode yang dapat digunakan dalam tahapan ini

adalah metode transformasi geser fase (phase shift transformation) yang

direkomendasikan oleh Park tahun 1998. Metode ini memiliki beberapa keunggulan

untuk mengidentifikasi dan memisahkan jenis gelombang seismik dan sinyal derau.

Setelah itu dilakukan Transformasi Fourier yang digunakan untuk mengubah data dari

domain waktu menjadi domain frekuensi. Transformasi Fourier membagi sebuah sinyal

menjadi frekuensi yang berbeda-beda dalam fungsi eksponensial yang kompleks.

Fungsi-fungsi ini terkait dengan persamaan:

𝑒𝑖𝜃 = 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖 sin 𝜃 (2.39)

cos 𝜃 = 1

2 (𝑒𝑖𝜃 + 𝑒−𝑖𝜃) dan 𝑖 sin 𝜃 =

1

2𝑖 (𝑒𝑖𝜃 − 𝑒−𝑖𝜃)

Misalnya 𝑓(𝜃)adalah sebuah fungsi yang bernilai kompleks

𝑓(𝜃) = 𝑓(𝜃 + 2𝜋) (2.40)

Dimana 𝑓 periodik dengan periode 2𝜋, 𝑓(𝜃) dapat diuraikan dalam bentuk deret

fourier sebagai[14]:

𝑓(𝜃) = 1

2 𝑎0 + ∑ (𝑎𝑛 cos 𝑛𝜃 + 𝑏𝑛 sin 𝑛𝜃)∞

𝑛=1 (2.41)

Dimana 1

2 𝑎0 adalah koefisien, untuk n = 0 maka cos 0 = 1 dan sin 0 = 0, sehingga 𝑏0 =

0. Dengan menggunakan fungsi eksponensial, persamaan menjadi:

𝑓(𝜃) = 𝐶𝑛 ∑ (∞𝑛=−∞ 𝑒𝑖𝑛𝜃) (2.42)

Persamaan (2.42) digunakan untuk menentukan koefisien Fourier dengan mengalihkan

kedua sisi dengan 𝑒−𝑖𝑘𝜃

𝑓(𝜃)𝑒−𝑖𝑘𝜃 = 𝐶𝑛 ∑ (∞𝑛=−∞ 𝑒𝑖𝑛𝜃 𝑒−𝑖𝑘𝜃) (2.43)

Sehingga koefisien Fourier dari sinyal periodik dengan interval 𝜋 sampai – 𝜋 diperoleh

dengan mengintergralkan kedua sisi dengan batas 𝜋 sampai – 𝜋.

∫ 𝑓(𝜃)𝑒−𝑖𝑘𝜃𝜋

−𝜋

𝑑𝜃 = ∫ ∑ 𝐶𝑛

∞

𝑛=−∞

𝑒𝑖(𝑛−𝑘)𝜃 𝑑𝜃)𝜋

−𝜋

(2.44)

Dengan

∫ 𝑒𝑖(𝑛−𝑘)𝜃 𝑑𝜃) = {2𝜋, 𝑛 = 𝑘0, 𝑛 ≠ 𝑘

}𝜋

−𝜋 (2.45)

18

Sehingga persamaan (2.44) hanya mempunyai nilai saat n = k, dengan 2 𝜋 = 𝑇0, dan

diperoleh persamaan:

∫ 𝑓(𝜃)𝑒−𝑖𝑘𝜃𝜋

−𝜋

𝑑𝜃 = 𝐶𝑘 𝑇0 (2.46)

Dengan 𝜃 = 𝜔0𝑡 maka koefisien Fourier 𝐶𝑘 dari sinyalperiodik dengan interval −𝑇0

2<

𝑡 < 𝑇0

2 didefinisikan sebagai:

𝐶𝑘 = 1

𝑇0∫ 𝑓(𝜃)𝑒−𝑖𝑘𝜔0𝑡

𝑇02⁄

−𝑇02⁄

𝑑𝜃 (2.47)

Saat 𝑇0 bertambah besar, maka 𝜔0 akan bertambah kecil sehingga jarak antar koefisien

Fourier akan semakin kecil. Saat 𝑇0 mendekati tak hinga, maka koefisien Fourier dapat

dinyatakan menjadi:

𝐶𝑘𝑇0 = ∫ 𝑓(𝜃)𝑒−𝑗𝑘𝜔0𝑡∞

−∞

𝑑𝜃 ; −∞ < 𝑘 < ∞ (2.48)

Dengan k adalah indeks domain frekuensi, 𝜔0 = 2𝜋

𝑇0 adalah frekuensi dalam radian per

sekon, 1

𝑇0= 𝑓0 adalah frekuensi. Persamaan transformasi Fourier diperoleh dengan

mengubah 𝐶𝑘𝑇0 = 𝑋(𝑓) dan 𝜔 = 𝜔0𝑘 menjadi:

𝑋(𝑓) = ∫ 𝑥(𝑡)𝑒−𝑗2𝜋𝑓𝑡 𝑑𝑡∞

−∞

(2.49)

Dengan x(t) adalah sinyal dalam domain waktu, 𝑒−𝑗2𝜋𝑓𝑡 adalah fungsi kernel, X(f)

adalah fungsi dalam domain frekuensi, serta f adalah frekuensi. Persamaan ini

digunakan untuk mentransformasikan sinyal dari domain waktu ke dalam domain

frekuensi.

Pada pertengahan hingga akhir tahun 1990-an, Park, Miller, Zia dan lainnya di Kansas

Geological Survey mulai mengembangkan perangkat lunak SurfSeis yang sekarang

populer untuk pemrosesan data gelombang permukaan multi-saluran dari aplikasi

geoteknik. Selama perkembangan itu, ditemukan bahwa dua metode transformasi

konvensional, f-k dan p-f, tidak memberikan resolusi yang memadai medan gelombang

dalam kasus dimana ada sejumlah kecil saluran rekaman[7]. Karena itu aplikasi

geoteknik diharapkan menggunakan array kecil.

19

Metode ini terdiri dari 4 langkah:

a. Menerapkan 1D Fourier Transform (FFT) ke bidang gelombang di sepanjang

sumbu waktu, ini untuk memisahkan medan gelombang menjadi komponen dengan

frekuensi yang berbeda. Data yang direkam diubah dari domain (x-t) ke domain (x-

f): U(x,t)→U(x,f)

b. Normalisasi U(x,f) ke satuan amplitudo:

U(x,f)→𝑈(𝑥,𝑓)

|𝑈(𝑥,𝑓)| (2.50)

c. Ubah satuan amplitudo dalam domain (x-f) menjadi domain (k-f) sebagai berikut:

untuk yang ditentukan frekuensi (f) dan bilangan gelombang (k), amplitudo

dinormalisasi pada x dikalikan dengan 𝑒𝑖𝑘𝑥 dan kemudian dijumlahkan di seluruh

sumbu offset. Ini diulangi pada kisaran bilangan gelombang untuk masing-masing

frekuensi, dan kemudian semua frekuensi untuk menghasilkan spektrum 2D dari

amplitudo yang dinormalisasi dalam domain f-k. ini dapat disajikan oleh:

𝑉(𝑘, 𝑓) = ∑ 𝑒𝑖𝑘𝑥

𝑥

.𝑈(𝑥, 𝑓)

|𝑈(𝑥, 𝑓)| (2.51)

d. Ubah V(k,f) ke fase domain kecepatan-domain frekuensi: V(k,f)→V(v,f) dengan

mengubah variabel sedemikian rupa sehingga:

𝑐(𝑓) =2𝜋𝑓

𝑘 (2.52)

2.5 Modulus Geser

Dalam masalah deformasi, modulus yang berlaku hanya Modulus Young (modulus

elastisitas), Modulus Bulk dan Modulus Shear (modulus rigiditas). Modulus Young

merupakan kemampuan suatu besar regangan yang ditunjukkan oleh perubahan

panjang, sedangkan Modulus Bulk merupakan kemampuan suatu regangan yang

dialami suatu benda yang ditunjukkan oleh perubahan volume dan Modulus Shear

merupakan kemampuan antara regangan dan tegangan yang menimbulkan pergeseran

sehingga mengalami perubahan bentuk.

Pada metode MASW, modulus yang sering digunakan adalah Modulus Shear

dikarenakan Modulus Shear merupakan salah satu parameter penting yang diperlukan

dalam analisis respon dinamik tanah. Parameter lainnya seperti kecepatan gelombang

geser (Vs) dan rasio redaman (D). Sifat kekakuan dari lapisan tanah dapat ditentukan

20

dari kecepatan gelombang geser karena keduanya menunjukkan hubungan elastik yang

linier. Jika nilai kecepatan gelombang geser yang semakin besar akan menyebabkan

nilai kekakuan tanahnya semakin besar pula yang mengidentifikasikan semakin keras

dan padat lapisan tanahnya. Kecepatan gelombang geser (Vs) hanya berkaitan dengan

kekakuan dari struktur tanah, sedangkan untuk pengaruh tingkat kejenuhan tanahnya

lebih berkaitan dengan kepadatan tanah. Semakin rendah tingkat kejenuhan tanah,

maka akan semakin tinggi nilai Vs dan G[9].

Terdapat kurva yang menunjukkan modulus geser pada tanah bergantung pada tingkat

regangan. Jika deformasi geser yang dihasilkan kecil maka perilaku tanah hampir

mendekati elastis yaitu modulus geser dapat diasumsikan menjadi konstan pada nilai

maksimumnya (Gmaks). Sedangkan jika deformasi mengalami peningkatan maka

kekakuan tanah akan menjadi berkurang seperti ditunjukkan oleh kurva tegangan-

regangan pada Gambar 2.11 yaitu:

Gambar 2. 11 Kurva tegangan-regangan dengan variasi modulus geser (G)[22]

Modulus geser tanah adalah salah satu parameter tanah yang harus diketahui untuk

mengetahui penjalaran getaran akibat gempabumi. Parameter dinamis tanah modulus

geser dapat ditentukan dengan persamaan berikut:

𝐺ₘₐₓ = 𝜌𝑉ₛ² (2.53)

dimana Gmax adalah modulus geser, ρ adalah kerapatan massa dan Vs adalah kecepatan

gelombang geser.

21

2.6 Kecepatan Gelombang Geser (Vs₃₀)

Vs₃₀ adalah kecepatan gelombang geser hingga pada kedalaman 30 meter dari

permukaan tanah. Nilai Vs₃₀ dipergunakan dalam menentukan standar bangunan tahan

gempa dan juga digunakan untuk penentuan klasifikasi batuan berdasarkan kekuatan

getaran dari gempabumi akibat efek lokal[18]. Hal tersebut karena lapisan-lapisan

batuan sampai kedalaman 30 meter saja yang menentukan pembesaran gelombang

gempa[41]. Untuk menentukan nilai kecepatan gelombang geser hingga kedalaman 30

m (Vs₃₀) dihitung menggunakan persamaan:

𝑉𝑠₃₀ = 30

∑ (ℎ𝑖𝑣𝑖)

𝑁𝑖=1

(2.54)

Dimana hᵢ adalah ketebalan (dalam meter) dan Vᵢ adalah kecepatan gelombang geser

(dalam m/s) pada lapisan ke-i dari total N lapisan di atas 30 meter.

Tabel 1. 1 Klasifikasi Tanah menurut (NEHRP, 1998)

Site

Class Soil Profile Name

Average Properties in Top 100 feet

(as per 2000 IBC section 1615.1.5)

Soil Shear Wave Velocity, Vs

Feet/second Meters/second

A Hard rock Vs > 5000 Vs > 1524

B Rock 2000 < Vs ≤ 5000 762 < Vs ≤ 1524

C Very dense soil and soft rock 1200 < Vs ≤ 2500 366 < Vs ≤ 762

D Stiff soil profile 600 < Vs ≤ 1200 183 < Vs ≤ 366

E Soft soil profile Vs < 600 Vs < 183

Tabel 1. 2 Stratigrafi berdasarkan tipe tanah (Eurocode, 2005)

Tipe

Tanah Uraian Gambaran Stratigrafi

A Batuan atau formasi batuan lainnya

B

Endapan sand atau clay yang sangat padat, gravel pada ketebalan

beberapa puluh meter, ditandai dengan peningkatan sifat mekanik

terhadap kedalaman

C Endapan sand padat atau setengah padat yang sangat tebal, gravel

atau clay padat hingga ketebalan beberapa puluh meter hingga

22

ratusan meter

D Endapan tanah kohesi rendah sampai sedang, atau terutama pada

tanah kohesi rendah

E

Lapisan tanah terdiri atas alluvium pada permukaan tanah dengan

nilai Vs pada tipe c dan d ketebalan bervariasi antara 5 m dan 20

m, di bawah tanah ini berupa material keras dengan Vs > 800 m/s

2.7 Forward Modelling

Pemodelan kedepan atau Forward Modelling adalah suatu proses perhitungan data

secara teoritis yang akan teramati di permukaan bumi. Apabila diketahui parameter

model bawah permukaan tertentu maka melalui proses pemodelan ke depan dapat

dihitung data yang secara teoritis akan teramati di permukaan bumi. Jika respon suatu

model sesuai dengan data, maka model yang digunakan untuk memperoleh respon

tersebut dapat dianggap mewakili kondisi bawah permukaan di lokasi pengukuran.

Untuk perhitungan kurva dispersi teoritis, solusi dari persamaan Rayleigh yaitu:

𝐹𝑅(λ(𝑧), 𝐺(𝑧), 𝜌(𝑧), 𝑘, 𝜔) = 0 (2.55)

Dimana,

𝐹𝑅 ( ) : Fungsi Dispersi

λ(𝑧) : Parameter Konstanta Lame (dari media elastis heterogen secara vertikal)

𝐺(𝑧) : Modulus Geser

𝜌(𝑧) : Kepadatan Massa (densitas)

𝑘 : Bilangan Gelombang

𝜔 : Frekuensi Sudut

Untuk model bumi berlapis yang digunakan dalam analisis pemodelan, persamaan

Rayleigh dapat ditulis sebagai[9]:

𝐹𝑅,𝑞(𝑘𝑞 , 𝐶𝑞 , 𝛽, 𝛼, 𝜌, ℎ) = 0 𝑞 = 1,… , 𝑄 (2.56)

Dimana,

Q = Jumlah titik di mana kurva dispersi teoritis dihitung

n = Jumlah lapisan ketebalan hingga dalam model. (Lapisan n +1 adalah setengah

spasi)

𝜔𝑞 = Frekuensi sudut titik q

23

𝑓𝑞 = Frekuensi titik q

𝑐𝑞 = Kecepatan fase gelombang Rayleigh pada frekuensi 𝑓𝑞

𝑘𝑞 = Panjang gelombang pada frekuensi 𝑓𝑞

𝑘𝑞 =2𝜋𝑓𝑞

𝑐𝑞=

𝜔𝑞

𝑐𝑞 (2.57)

𝛽 = [𝛽1, 𝛽2, … , 𝛽𝑛, 𝛽𝑛+1]𝑇 Vektor kecepatan gelombang geser (gelombang S)

𝛼 = [𝛼1. 𝛼2, … , 𝛼𝑛, 𝛼𝑛+1]

𝑇 Gelombang vektor kecepatan gelombang (gelombang

P)

𝜌 = [𝜌1. 𝜌2, … , 𝜌𝑛, 𝜌𝑛+1]𝑇 Vektor kepadatan massa

ℎ = [ℎ1. ℎ2, … , ℎ𝑛]𝑇 Vektor ketebalan lapisan

Secara umum, matriks lapisan diperoleh untuk masing-masing dari lapisan n +1 dalam

model, termasuk setengah ruang. Matriks lapisan kemudian dirakit untuk membangun

sistem matriks (global) yang mengatur masalah. Metode yang bervariasi berdasarkan

bagaimana matriks lapisan diformulasikan dan bagaimana dirakit untuk membentuk

suatu sistem matriks. Perhitungan misfit untuk menyelesaikan permasalahan geofisika

yaitu berdasarkan persamaan di bawah ini:

𝑚𝑖𝑠𝑓𝑖𝑡 = √1

𝑁 ∑ (

𝐷ᵢ − 𝑀ᵢ

𝜎ᵢ)2

𝑁

𝑖=1 (2.58)

Dimana N adalah jumlah titik data, Dᵢ adalah data hasil inversi, Mᵢ adalah model

struktur tanah dan σᵢ adalah standar deviasi dari data hasil proses modelling dengan 1≤ i

≤ N.

Jika nilai misfit belum sampai ke nilai terkecil maka dilakukan proses data dari model

awal kembali. Hal ini dikarenakan masalah utama pada pendekatan modelling adalah

teknik optimisasi untuk mencari model awal yang paling mungkin diantara banyak

model lain dengan seefisien mungkin.

24

Gambar 2. 12 Diagram Alir Proses Forward Modelling

Untuk teknis Forward Modelling pada MASWaves terbagi menjadi 3 tahap yaitu:

A. Estimasi awal parameter model

1. Estimasi β dan h berdasarkan kurva dispersi eksperimental rata-rata (𝑐𝑒,𝑞,λ𝑒,𝑞)

(q = 1,...,Q).

2. Estimasi ρ dan α (atau v) berdasarkan pengetahuan dari test site.

B. Perhitungan kurva dispersi teoritis

Mendapatkan rentang bilangan gelombang Q yang mana kurva dispersi teoritis

dihitung:

𝑘𝑡,𝑞 =2𝜋

𝜆𝑒,𝑞 (q = 1,…,Q). Ulangi nomor3 sampai 6 untuk q=1,…,Q.

3. 𝐶𝑡𝑒𝑠𝑡 = menguji kecepatan fase (𝐶𝑡𝑒𝑠𝑡,𝑚𝑖𝑛 ≤ 𝐶𝑡𝑒𝑠𝑡 ≤ 𝐶𝑡𝑒𝑠𝑡,𝑚𝑎𝑥).

4. Menghitung matriks kekakuan di lapisan 𝑘𝑒,𝑖 untuk lapisan i=1,…,n+1 lalu

gabungkan ke dalam matriks sistem kekakuan K.

5. Variasikan 𝐶𝑡𝑒𝑠𝑡 dan ulangi langkah nomor 2 untuk 𝐹𝑅(𝐶𝑡𝑒𝑠𝑡, 𝑘𝑡,𝑞)=det(K)=0.

6. Sehingga 𝑐𝑡,𝑞= 𝐶𝑡𝑒𝑠𝑡

25

C. Estimasi error dan minimalisasi misfit (ketidakcocokan)

7. Hitung RMS error

ϵ = √1

𝑄∑ (𝑐𝑡,𝑞 − 𝑐𝑒,𝑞)

𝑄

𝑞=1

2

(2.59)

8. ϵ𝑚𝑎𝑥= RMS error maksimum. Periksa jika ϵ < ϵ𝑚𝑎𝑥

9. Periksa apakah jumlah iterasi maksimum telah tercapai.

10. Jika langkah nomor 8 dan 9 benar maka berhenti, jika langkah nomor 8 dan 9

salah maka update β dan ulangi dari proses nomor 3 sampai 10.

2.8.1 Metode Thomson – Haskell (Metode matriks transfer)

Thomson dan Haskell pertama kali merumuskan dan mempresentasikan masalah

propagasi dan dispersi gelombang permukaan dalam media berlapis vertikal. Metode

Thomson-Haskell yaitu untuk menentukan kurva dispersi gelombang permukaan

berdasarkan penggunaan matriks transfer dalam domain frekuensi-gelombang nomor

(𝜔-k) dan dengan demikian juga sering disebut sebagai metode matriks transfer. Di

sini, aspek utama dari notasi Buchen dan Ben-Hador akan dipraktekan. Untuk lapisan i,

bidang perpindahan 𝑢𝑖 = [𝑢𝑖 , 𝑣𝑖 , 𝑤𝑖]𝑇 dapat diperoleh sebagai:

𝑢𝑖 = 𝑢𝑖(𝑥, 𝑧, 𝑡) =𝜕𝛷𝑖

𝜕𝑥+

𝜕𝜓𝑖

𝜕𝑧 (2.60)

𝑣𝑖 = 𝑣𝑖(𝑥, 𝑧, 𝑡) = 0 (2.61)

𝑤𝑖 = 𝑤𝑖(𝑥, 𝑧, 𝑡) =𝜕𝛷𝑖

𝜕𝑧−

𝜕𝜓𝑖

𝜕𝑥 (2.62)

di mana potensi 𝛷𝑖 = 𝛷𝑖(𝑥, 𝑧, 𝑡) dan 𝜓𝑖 = 𝜓𝑖 (x,z,t) adalah solusi dari persamaan

gelombang dua dimensi untuk lapisan ke-i

∇2𝛷𝑖 =1

𝛼𝑖2

𝛼2𝛷𝑖

𝜕𝑡2 ∇2𝜓𝑖 =1

𝛽𝑖2

𝛼2𝜓𝑖

𝜕𝑡2 (2.63)

Bidang tegangan vertikal terkait 𝜎𝑖 = [𝜎𝑥𝑧,𝑖, 𝜎𝑦𝑧,𝑖, 𝜎𝑧𝑧,𝑖, 𝑖]𝑇selanjutnya diperoleh

sebagai berikut:

𝜎𝑥𝑧,𝑖(𝑥, 𝑧, 𝑡) = 𝜏𝑖 = 𝐺𝑖 (2𝜕2𝛷𝑖

𝜕𝑥𝜕𝑧+

𝜕2𝜓𝑖

𝜕2𝑧−

𝜕2𝜓𝑖

𝜕2𝑥) (2.64)

𝜎𝑦𝑧,𝑖(𝑥, 𝑧, 𝑡) = 0 (2.65)

𝜎𝑧𝑧,𝑖(𝑥, 𝑧, 𝑡) = 𝜎𝑖 = 𝐺𝑖 (𝛼𝑖

2

𝛽𝑖2

𝜕2𝛷𝑖

𝜕2𝑧+ (

𝛼𝑖2

𝛽𝑖2 − 2)

𝜕2𝛷𝑖

𝜕2𝑥− 2

𝜕2𝜓𝑖

𝜕𝑥𝜕𝑧) (2.66)

Potensi 𝛷𝑖 dan 𝜓𝑖 untuk lapisan ke-i dapat ditulis sebagai:

𝛷𝑖(𝑥, 𝑧, 𝑡) = (𝐴𝑖𝑒−𝑘𝑟𝑖𝑧 + 𝐴𝑖

′𝑒𝑘𝑟𝑖𝑧 cos(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡)) (2.67)

26

𝜓𝑖(𝑥, 𝑧, 𝑡) = (𝐵𝑖𝑒−𝑘𝑠𝑖𝑧 + 𝐵𝑖

′𝑒𝑘𝑠𝑖𝑧 sin(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡)) (2.68)

dimana 𝐴𝑖 dan 𝐴𝑖′ adalah amplitudo gelombang P naik dan turun, 𝐵𝑖 dan 𝐵𝑖

′ adalah

amplitudo gelombang Sv naik dan turun, k adalah panjang gelombang, 𝜔 adalah

frekuensi sudut, c = 𝜔/𝑘 adalah kecepatan fase gelombang Rayleigh

𝑟𝑖 = √1 −𝑐2

𝛼𝑖2 𝑠𝑖 = √1 −

𝑐2

𝛽𝑖2 untuk 𝑐 < 𝛼𝑖 dan 𝑐 < 𝛽𝑖 (2.69)

𝑦1(𝑇)

= 𝑇𝑖𝑦𝑖+1(𝑇)

𝑖 = 1,… . , 𝑛 (2.70)

Untuk semua lapisan dalam model bumi yang menghubungkan perpindahan dan

tekanan di permukaan ke perpindahan dan tekanan di bagian atas setengah ruang

meskipun matriks dari semua matriks transfer lapisan T = 𝑇1, 𝑇2, … , 𝑇𝑛−1𝑇𝑛

𝑦1(𝑇)

= (𝑇1, 𝑇2, … , 𝑇𝑛−1𝑇𝑛)𝑇𝑦𝑛+1(𝑇)

(2.71)

𝐹𝑅(𝑐, 𝑘) = det(𝑈𝑇𝑉) = 0 (2.72)

di mana U dan V adalah matriks kondisi batas yang didefinisikan sebagai:

𝑼 = [0 0 1 00 0 0 1

] 𝑽 =

[

1 𝑆𝑛+1

𝑟𝑛+1 12𝐺𝑛+1𝑟𝑛+1

𝐺𝑛+1 (2 −𝑐2

𝛽𝑛+12 )

𝐺𝑛+1 (2 −𝑐2

𝛽𝑛+12 )

2𝐺𝑛+1𝑠𝑛+1 ]

(2.73)

2.8.2 Metode matriks kekakuan

Metode ini menyajikan formulasi alternatif dari matriks transfer metode disebut matriks

kekakuan, hamper sama dengan yang digunakan dalam konvensional analisis struktural

(metode elemen hingga)[15]. Elemen matriks kekakuan diperoleh untuk setiap lapisan

dalam model bumi. Elemen matriks kekakuan elemen di setiap lapisan yang berbeda

menghubungkan tegangan pada antarmuka lapisan atas dan bawah ke perpindahan yang

sesuai. Untuk model multi-layered, kekakuan sistem matriks dirakit menggunakan

lapisan umum antarmuka (derajat kebebasan). Matriks kekakuan sistem kemudian

dapat digunakan, bersama dengan tekanan eksternal yang ditentukan pada antarmuka

lapisan, untuk menyelesaikan perpindahan dengan teknik yang dianalogikan dengan

yang digunakan dalam metode elemen hingga.

Rumus rekursif Thomson-Haskell, menghubungkan vektor yang diberikan lapisan

antarmuka 𝑦𝑖+1(𝑇)

ke vektor keadaan pada antarmuka sebelumnya 𝑦𝑖(𝑇)

melalui matriks

transfer 𝑇𝑖 = 𝑇𝑖(ℎ𝑖) yang merupakan fungsi dari sifat material dari Lapisan ke-i.

27

Kebalikan dari matriks transfer untuk lapisan ke-i, dilambangkan dengan 𝐻𝑖, diperoleh

sebagai berikut :

𝐻𝑖 = (𝑇𝑖(ℎ𝑖))−1

= 𝑇𝑖(−ℎ𝑖) (2.74)

Oleh karena itu, rumus Thomson-Haskell dapat ditulis ulang sebagai:

𝑦𝑖+1(𝑇)

= 𝐻𝑖𝑦𝑖(𝑇) 𝑖 = 1, … , 𝑛 (2.75)

Kausel dan Roësset (1981) mempartisi matriks 𝐻𝑖 menjadi empat submatriks berukuran

sama yang dilambangkan dengan 𝐻11,𝑖, 𝐻12,𝑖, 𝐻21,𝑖, dan 𝐻22,𝑖.

𝐻𝑖 = [𝐻11,𝑖 𝐻12,𝑖

𝐻21,𝑖 𝐻22,𝑖] (2.76)

Vektor pada lapisan antarmuka atas dari lapisan ke-i dipartisi sebagai:

𝑦𝑖(𝑇)

= [𝑥𝑖

𝑧𝑖] (2.77)

di mana 𝑥𝑖 dan 𝑧𝑖 adalah vektor perpindahan dan tegangan pada lapisan antarmuka atas

lapisan ke-i. Untuk penyederhanaan dalam notasi, (𝑇) dan (B) dihilangkan dari vektor

𝑥𝑖 dan 𝑧𝑖. Vektor 𝑥𝑖+1 dan 𝑧𝑖+1 sebagai vektor perpindahan dan tegangan pada

antarmuka lapisan atas 𝑖 +1 dan vektor perpindahan dan tegangan pada antarmuka

bawah lapisan ke- 𝑖-th.

Rumus rekursif Thomson-Haskell, dengan demikian menjadi:

[𝑥𝑖+1

𝑧𝑖+1] = [

𝐻11,𝑖 𝐻12,𝑖

𝐻21,𝑖 𝐻22,𝑖] [

𝑥𝑖

𝑧𝑖] (2.78)

Muatan eksternal diterapkan pada batas atas dan bawah dari lapisan ke-i diwakili oleh

elemen eksternal vektor beban 𝑃𝑒,𝑖 = [𝑃𝑖 , 𝑃𝑖+1]𝑇. Kesetimbangan kondisi untuk lapisan

ke- 𝑖–th menjadi:

[𝑃𝑖

𝑃𝑖+1] = [

𝑧𝑖

−𝑧𝑖+1] (2.79)

Pemecahan untuk elemen vektor beban eksternal 𝑃𝑒,𝑖 menghasilkan:

[𝑃𝑖

𝑃𝑖+1] = [

−𝐻12,𝑖−1 𝐻11,𝑖 𝐻12,𝑖

−1

𝐻22,𝑖𝐻12,𝑖−1 𝐻11,𝑖 − 𝐻21,𝑖 −𝐻22,𝑖𝐻12,𝑖

−1 ] [𝑥𝑖

𝑥𝑖+1] (2.80)

𝑃𝑒,𝑖 = 𝐾𝑒,𝑖𝑢𝑒,𝑖 (2.81)

di mana matriks 𝐾𝑒,𝑖 disebut sebagai matriks kekakuan elemen dari lapisan ke- 𝑖-th dan

𝑢𝑒,𝑖 = [𝑥𝑖𝑥𝑖+1]𝑇 adalah vektor perpindahan elemen dari lapisan ke- 𝑖-th. Persamaan

tersebut disebut sebagai persamaan matriks elemen dari lapisan ke- 𝑖-th. Persamaan

elemen matriks diperoleh untuk setiap lapisan model bumi kemudian dirakit di

antarmuka lapisan umum untuk membentuk sistem persamaan. Matriks K disebut

28

sebagai matriks kekakuan sistem dari lapisan model bumi. Vektor p dan u adalah vektor

gaya sistem dan sistem vektor perpindahan.

𝑃 = 𝐾𝑢 (2.82)

Mode alami perambatan gelombang Rayleigh diperoleh dengan mempertimbangkan

suatu sistem tanpa pemuatan eksternal, yaitu di mana p = 0. Dengan demikian menjadi

𝐾𝑢=0.

Untuk solusi nontrivial, penentu matriks kekakuan sistem K harus hilang. Oleh karena

itu, bilangan gelombang yang mewakili solusi modal di berbagai frekuensi diperoleh

sebagai solusi dari:

𝐹𝑅(𝑐, 𝑘) = det(𝐾) = 0 (2.83)