3

BAB II

MAKALAH

Makalah I.

Judul : Linear Goal Programming untuk Optimasi Perencanaan

Produksi

Dipresentasikan : Seminar Nasional Sains dan Pendidikan Sains VIII UKSW

2013 yang diselenggarakan oleh Fakultas Sains dan

Matematika UKSW tanggal 15 Juni 2013

Publikasi : Prosiding Seminar Nasional Matematika VIII UKSW 15 Juni

2013”. ISSN 2087-0922 Vol.4 No.1, 15 Juni 2013.

Makalah II.

Judul : Linear Goal Programming untuk Perencanaan Produksi

dengan Kendala Permintaan yang Diramalkan Menggunakan

Metode Regresi Linear Berganda.

Dipresentasikan : Ujian Skripsi yang diselenggarakan oleh Fakultas Sains dan

Matematika UKSW tanggal 9 September 2013

4

MAKALAH I

PROSIDING SEMINAR NASIONAL SAINS DAN PENDIDIKAN SAINS VIII UKSW

398

LINEAR GOAL PROGRAMMING UNTUK OPTIMASI

PERENCANAAN PRODUKSI

Natalia Esther Dwi Astuti1)

, Lilik Linawati2)

, Tundjung Mahatma2)

1) Mahasiswa Program Studi Matematika FSM UKSW 2)

Dosen Program Studi Matematika FSM UKSW

Fakultas Sains dan Matematika UKSW

Jl. Diponegoro 52-60 Salatiga 50711

1)

est_jchrist@yahoo.co.id, 2)

lina.utomo@yahoo.com,2)

t.mahatma@gmail.com

ABSTRAK

Optimasi produksi adalah suatu cara untuk merencanakan atau mengatur penggunaan sumberdaya yang

dimiliki perusahaan seperti bahan baku, tenaga kerja, modal kerja, dan fasilitas produksi supaya dapat

memenuhi permintaan konsumen, mengoptimalkan bahan baku yang ada dan agar proses produksi dapat berjalan dengan efektif dan efisien. Untuk mencapai hal ini, maka perlu dibuat suatu perencanaan

produksi yang mengacu pada metode matematis. Metode Liniear Goal Programming dapat digunakan

untuk memodelkan permasalahan optimasi produksi yang mempunyai tujuan lebih dari satu, misalkan

terpenuhinya tingkat permintaan konsumen, memaksimalkan penggunaan bahan baku yang ada dan

meminimumkan saldo produk di gudang pada setiap akhir bulan. Dalam makalah ini akan dibahas

bagaimana menerapkan dan merumuskan model Linear Goal Programming untuk optimasi produksi

pada perusahaan minuman dalam kemasan botol. Model Linear Goal Programming yang diperoleh

diselesaikan menggunakan alat bantu Solver. Berdasarkan data untuk perencanaan produksi minuman

dalam kemasan botol selama tiga bulan diperoleh solusi optimal sehingga dapat disimpulkan bahwa

semua sasaran yang ingin dicapai terpenuhi.

Kata kunci : Optimasi Produksi, Perencanaan Produksi, Linear Goal Programming (LGP)

PENDAHULUAN

Optimasi produksi merupakan suatu cara untuk merencanakan atau mengatur

penggunaan sumberdaya yang dimiliki

perusahaan seperti bahan baku, tenaga kerja, modal kerja, fasilitas produksi supaya

dapat memenuhi permintaan konsumen,

mengoptimalkan bahan baku yang ada dan agar proses produksi dapat dapat berjalan

dengan efektif dan efisien [1] . Cara

mengoptimalkan produksi bisa dengan

meningkatkan kualitas produksi, manfaat produksi, bentuk fisik produksi dan

mengatur jumlah produksi [5].

Salah satu perusahaan yang bergerak di bidang produksi minuman dalam kemasan

botol berbahan dasar teh memproduksi

lima jenis produk yaitu produk 1, produk 2,

produk 3, produk 4 dan produk 5. Mengingat bahwa hasil produksi sangat

penting bagi perusahaan maka optimasi

produksi sangat dibutuhkan dalam proses produksi untuk memenuhi permintaan

konsumen. Namun, pada kenyataannya

suatu industri tidak mengorientasikan

tujuan hanya untuk memenuhi permintaan konsumen. Di lain sisi ada beberapa tujuan

yang harus dicapai. Misalnya,

memaksimumkan pemanfaatan mesin produksi , meminimumkan biaya produksi

dan lainnya.

Agar terjadi optimasi produksi, maka

perlu dibuat suatu perencanaan produksi yang mengacu pada metode matematis.

Metode Linear Goal Programming

dikembangkan oleh A. Charnes dan W.M. Cooper yang diperkenalkan pada tahun

1955, merupakan perluasan dari

pemrograman linear, sehingga seluruh

asumsi, notasi, formulasi model matematis, prosedur perumusan model dan

penyelesaiannya tidak berbeda.

Perbedaannya terletak pada kehadiran sepasang variabel deviasi di fungsi kendala

sasaran [4]. Dalam penelitian ini, akan

dibahas bagaimana menerapkan dan merumuskan model Linear Goal

Programming untuk optimasi produksi

pada perusahaan minuman dalam kemasan

PROSIDING SEMINAR NASIONAL SAINS DAN PENDIDIKAN SAINS VIII UKSW

399

botol untuk memenuhi tingkat permintaan konsumen, memaksimumkan penggunaan

bahan baku yang ada dan meminimumkan

saldo produk di gudang. Penelitian menggunakan model Linear

Goal Programming sudah pernah dilakukan

oleh Purwanto (2011) yaitu untuk menentukan perencanaan produksi pakaian

jadi menggunakan konsep penundaan

dengan mempertimbangkan tiga kegiatan

dalam proses produksi (produksi langsung, poduksi master, dan perakitan) untuk

meminimalkan biaya operasional, biaya

persediaan, dan biaya tenaga kerja [6].

Linear Goal Programming

Linear goal programming (LGP) biasanya diterapkan pada masalah-masalah

linear dengan memasukkan berbagai tujuan

dalam formulasi modelnya. Dalam

formulasi (LGP), sasaran dalam numerik untuk setiap tujuan harus ditetapkan lebih

dahulu. Kemudian, tujuan yang ingin dicari

adalah meminimumkan besarnya simpangan capaian pada kendala terhadap

sasarannya. Untuk menyatakan simpangan

(deviasi) dalam formulasi modelnya

diperlukan suatu variabel yang disebut variabel deviasi. Ada dua variabel deviasi

dalam formulasi modelnya yaitu variabel

deviasi positif dan variabel deviasi negatif. Variabel deviasi positif berfungsi untuk

menampung kelebihan capaian pada nilai

ruas kiri terhadap sasaran yang ditentukan (RHS), sementara variabel deviasi negatif

berfungsi untuk menampung kekurangan

capaian pada nilai ruas kiri terhadap sasaran

yang ditentukan (RHS) [3][4].

Bentuk Umum Linear Goal

Programming

Berikut bentuk umum dari metode

Linear Goal Programming [2] :

Mencari nilai 𝒙 = (𝒙𝟏,𝒙𝟐,… ,𝒙𝒏)

Min 𝒂 = 𝑎1 𝜂,𝜌 ,… ,𝑎𝑙(𝜂,𝜌) dengan kendala 𝑓𝑖 𝑥 + 𝜼𝒊 − 𝝆𝒊 = 𝒃𝒊 untuk i=1,2,....,m

𝑥, 𝜂,𝜌 ≥ 0

dengan 𝑓𝑖 𝑥 = 𝑐𝑖 ,𝑗𝑥𝑗𝑛𝑗=1

𝜂𝑖 = deviasi negatif pada kendala ke-i,

𝜌𝑖 = deviasi positif pada kendala ke-i,

𝑐𝑖 ,𝑗 = konstanta dari kendala ke-i,

variabel keputusan ke-j,

𝑥𝑗 = variabel keputusan ke-j,

m = banyak kendala,

n = banyak variabel keputusan,

bi = nilai sasaran kendala ke-i,

𝒂 = fungsi pencapaian tujuan, l = banyaknya fungsi tujuan/fungsi

kendala.

Menurut Ignizio langkah-langkah dalam

proses merumuskan model Linear Goal

Programming sebagai berikut [2] :

Mengembangkan baseline model (yang

dimaksud dengan baseline model yaitu

model matematika dari sebuah

permasalahan)

Menentukan nilai sasaran untuk setiap

kendala

Menambahkan variabel deviasi negatif

dan positif untuk setiap kendala

Menentukan fungsi tujuan untuk setiap

kendala

Tabel 1. Perumusan Fungsi Tujuan

Jenis

Tujuan

Bentuk LGP

Variabel

deviasi yg

di min

𝒇𝒊 𝒙 ≤ 𝒃𝒊

𝒇𝒊 𝒙 ≥ 𝒃𝒊

𝒇𝒊 𝒙 = 𝒃𝒊

𝒇𝒊 𝒙 + 𝜼𝒊 −𝝆𝒊 = 𝒃𝒊

𝒇𝒊 𝒙 + 𝜼𝒊 −𝝆𝒊 = 𝒃𝒊

𝒇𝒊 𝒙 + 𝜼𝒊 −𝝆𝒊 = 𝒃𝒊

𝝆𝒊

𝜼𝒊

𝜼𝒊 + 𝝆𝒊

Tabel 1 digunakan untuk merumuskan

fungsi tujuan yang berhubungan dengan variabel deviasi yang akan diminimumkan,

dimana : 𝒇𝒊 𝒙 menyatakan fungsi

tujuan/kendala, dengan nilai sasaran

kendala ke-i (𝒃𝒊) , deviasi negatif pada

kendala ke-i (𝜼𝒊) dan deviasi positif pada

kendala ke-i (𝝆𝒊).

Menetapkan fungsi pencapaian

tujuan

METODE PENELITIAN

Penelitian ini diselesaikan melalui

langkah-langkah penelitian yang dijabarkan

sebagai berikut :

PROSIDING SEMINAR NASIONAL SAINS DAN PENDIDIKAN SAINS VIII UKSW

400

Pengumpulan data

Data yang dianalisis adalah data

sekunder pada proses produksi

minuman teh siap minum dalam

kemasan botol antara lain persediaan bahan baku dan jumlah permintaan,

jumlah kemasan/botol di gudang

selamakurun waktu 3 bulan (Oktober-Desember 2012)

Menyusun model LGP

Menyelesaikan model dengan Solver

Menginterpretasikan

Menarik kesimpulan

Formulasi LGP untuk Optimasi

Produksi

Untuk merumuskan model LGP terlebih

dahulu memformulasikan model dasar

linear programming (LP) seperti berikut :

Kendala tingkat permintaan konsumen

𝑋𝑖 ,𝑡 + 𝐼𝑖 ,(𝑡−1) − 𝐼𝑖 ,𝑡 = 𝑇𝑃𝑖,𝑡 (1)

Kendala saldo persediaan di gudang

𝐼𝑖 ,𝑡3𝑡=1 ≥ 𝑆𝑖 ,𝑡 (2)

Kendala penggunaan bahan baku

𝑐𝑖 .𝑋𝑖,𝑡 ≤3𝑡=1 𝐵𝐵𝑖,𝑡 (3)

Kendala persediaan kemasan/botol

𝑋𝑖 ,𝑡3𝑡=1 ≤ 𝑃𝐵𝑖,𝑡 (4)

Kendala ketersedian waktu proses

𝑑𝑖3𝑡=1 .𝑋𝑖 ,𝑡 ≤ 𝑊𝑃𝑖,𝑡 (5)

Setelah memformulasikan model dasar LP , selanjutnya memformulasikan model

LGP dengan dimisalkan variabel keputusan

𝑋𝑖,𝑡 adalah banyaknya produk i yang harus

diproduksi pada periode t (pallet) dengan

𝑖 = 1,2,… ,𝑛, dan 𝑡 = 1,2,3. Model disusun

untuk setiap produk i dan t ditentukan untuk 3 bulan.

Kendala Sasaran :

F1 : Memenuhi tingkat permintaan

konsumen

Dari persamaan (1) untuk kendala ini maka dapat diformulasikan model LGP

seperti berikut :

𝑋𝑖,𝑡 + 𝐼𝑖 ,(𝑡−1) − 𝐼𝑖 ,𝑡 + 𝜂𝑘 − 𝜌𝑘 = 𝑇𝑃𝑖 ,𝑡 (6)

𝑘 = 1,2, … , 𝑙,

𝑀𝑖𝑛 𝑎1 = (𝜂𝑘 + 𝜌𝑘)

3

𝑡=1

dengan :

𝐼𝑖 ,𝑡 = Jumlah saldo akhir produk i pada

akhir periode t (pallet)

𝐼𝑖 ,(𝑡−1) = Jumlah saldo awal produk i pada

akhir periode t (pallet)

𝑇𝑃𝑖,𝑡 = Jumlah permintaan produk i pada

periode t (pallet)

F2 : Meminimumkan saldo persediaan di

gudang

Selanjutnya untuk kendala saldo

persediaan produk di gudang berdasarkan

persamaan (2) dan diformulasikan ke model LGP dengan meminimumkan deviasi

positif 𝜌𝑘 dengan 𝑘 = 𝑙 + 1, … ,2𝑙, 𝑙 adalah banyaknya kendala seperti pada rumus (7) yaitu :

𝐼𝑖 ,𝑡 + 𝜂𝑘 − 𝜌𝑘3𝑡=1 = 𝑆𝑖 ,𝑡 (7)

𝑀𝑖𝑛 𝑎2 = 𝜌𝑘

3

𝑡=1

dengan 𝑆𝑖 ,𝑡 adalah rata-rata saldo produk i

per bulan (pallet)

F3 : Memaksimumkan penggunaan bahan

baku

Sementara itu kendala lainnya adalah

kendala penggunaan bahan baku sesuai

model dasar pada rumus (3) dapat diformulasikan ke model LGP seperti

berikut :

𝑐𝑖 .𝑋𝑖,𝑡 + 𝜂𝑘 − 𝜌𝑘3𝑡=1 = 𝐵𝐵𝑖 ,𝑡 (8)

𝑘 = 2𝑙 + 1,… , 5𝑙,

𝑀𝑖𝑛 𝑎3 = 𝜌𝑘

3

𝑡=1

PROSIDING SEMINAR NASIONAL SAINS DAN PENDIDIKAN SAINS VIII UKSW

401

dengan :

𝑐𝑖 = kebutuhan bahan baku untuk satu pallet produk i

𝐵𝐵𝑖 ,𝑡 = jumlah persediaan bahan baku i

pada periode t

F4 : Memaksimumkan persediaan kemasan/botol

Untuk kendala ini sesuai model dasar pada rumus (4) dapat diformulasikan ke

model LGP seperti berikut (9) :

𝑋𝑖 ,𝑡 + 𝜂𝑘 − 𝜌𝑘3𝑡=1 = 𝑃𝐵𝑖 ,𝑡 (9)

𝑘 = 5𝑙 + 1,… , 6𝑙 ,

𝑀𝑖𝑛 𝑎4 = 𝜌𝑘

3

𝑡=1

dengan 𝑃𝐵𝑖,𝑡 adalah jumlah persediaan

botol kosong i pada periode t (pallet)

F5 : Memaksimumkan penggunaan waktu

proses

Sesuai dengan model dasar (5) maka

kendala ini dapat diformulasikan ke model LGP seperti rumus (10) yaitu :

𝑑𝑖 .𝑋𝑖,𝑡 + 𝜂𝑘 − 𝜌𝑘3𝑡=1 = 𝑊𝑃𝑖,𝑡 (10)

𝑘 = 6𝑙 + 1,… ,7𝑙

𝑀𝑖𝑛 𝑎5 = 𝜌𝑘

3

𝑡=1

dengan :

𝑑𝑖 = kebutuhan waktu proses produk

i pada periode t

𝑊𝑃𝑖,𝑡= rata-rata waktu yang dibutuhkan

produk i per bulan

Formulasi pencapaian tujuan dari model LGP di atas adalah :

𝑀𝑖𝑛 𝒂 = (𝑎1,𝑎2,𝑎3,𝑎4,𝑎5 )

Penerapan Model Linear Goal

Programming

Data yang dianalisis adalah data sekunder pada proses produksi minuman

teh siap minum dalam kemasan botol antara

lain persediaan bahan baku, jumlah permintaan, dan jumlah kemasan/botol di

gudang selama kurun waktu 3 bulan

(Oktober-Desember 2012) seperti yang

tersaji pada Tabel 2 dan Tabel 3 serta kebutuhan bahan baku untuk setiap produk

pada Tabel 4, dimana banyak produk yang

diamati adalah 5 jenis produk dengan total jam kerja yang tersedia dalam satu bulan

adalah 448 jam yang terlampir pada hal.8.

Berdasarkan model LGP di atas disusun model untuk setiap produk dengan

memasukan parameter-parameter yang

sesuai dengan data yang dimiliki . Dengan

menggunakan fungsi kendala pada rumus (6) sampai rumus (10) maka akan dicari

solusi optimum untuk setiap produk dalam

kurun waktu 3 bulan . Berikut disajikan model LGP untuk produk 1 dan

penyelesaian optimumnya.

𝑋1,1 + 𝐼1,0 − 𝐼1,1 + 𝜂1 − 𝜌1 = 5999,3 𝑋1,2 + 𝐼1,1 − 𝐼1,2 + 𝜂2 − 𝜌2 = 7078,32 𝑋1,3 + 𝐼1,2 − 𝐼1,3 + 𝜂3 − 𝜌3 = 5266,73

𝐼1,1 + 𝜂4 − 𝜌4 = 120,09 𝐼1,2 + 𝜂5 − 𝜌5 = 120,09 𝐼1,3 + 𝜂6 − 𝜌6 = 120,09

1,887𝑋1,1 + 𝜂7 − 𝜌7 = 13228,03 155,172𝑋1,1 + 𝜂8 − 𝜌8 = 47870,67

332,051𝑋1,1 + 𝜂9 − 𝜌9 = 330000 1,887𝑋1,2 + 𝜂10 − 𝜌10 = 16663,15 155,172𝑋1,2 + 𝜂11 − 𝜌11 = 56054,73

332,051𝑋1,2 + 𝜂12 − 𝜌12 = 330000 1,887𝑋1,3 + 𝜂13 − 𝜌13 = 12235,35

155,172𝑋1,3 + 𝜂14 − 𝜌14 = 40803,29 332,051𝑋1,3 + 𝜂15 − 𝜌15 = 330000

𝑋1,1 + 𝜂16 − 𝜌16 = 6778

𝑋1,2 + 𝜂17 − 𝜌17 = 7960 𝑋1,3 + 𝜂18 − 𝜌18 = 5941

0,076𝑋1,1 + 𝜂19 − 𝜌19 = 90

0,076𝑋1,2 + 𝜂20 − 𝜌20 = 90 0,076𝑋1,3 + 𝜂21 − 𝜌21 = 90

PROSIDING SEMINAR NASIONAL SAINS DAN PENDIDIKAN SAINS VIII UKSW

402

untuk meminimumkan 𝒂 = (𝑎1 𝜂1 + 𝜌1 +𝜂2+𝜌2+𝜂3+𝜌3,𝑎2𝜌4+𝜌5+𝜌6,𝑎3𝜌7+𝜌8+..+𝜌15,𝑎4𝜌16+𝜌17+𝜌18,𝑎5(𝜌19+𝜌20+𝜌21))

𝑋1,𝑡 , 𝐼1,(𝑡−1), 𝐼1,𝑡 , 𝐼1,𝑡 ,𝜂1,𝑡 ,𝜌1,𝑡 ≥ 0

(𝑡 = 1,2,3)

Untuk keempat produk lain (i = 2,3,4,5) disusun model LGP dan diselesaikan

menggunakan cara yang sama seperti pada

produk 1. Model di atas diselesaikan

menggunakan alat bantu Solver pada MS. Excel 2007 dan diperoleh solusi optimum

seperti Tabel 5 berikut :

Tabel 5. Solusi Optimum LGP untuk

kelima produk.

Produk

1 Produk

2 Produk

3 Produk

4 Produk

5

Xi,1 304,35 210,63 388,1 339,5 106,72

Xi,2 356,39 246,64 472,29 387,52 140,96

Xi,3 259,42 179,54 308,48 286,92 0

Ii,1 120,09 100,7 87,55 85,33 88,35

Ii,2 120,09 100,7 87,55 85,33 88,35

Ii,3 120,09 100,7 87,55 85,33 88,35

𝜼𝟏 0 0 0 0 0

𝝆𝟏 0 0 0 0 0

𝜼𝟐 0 0 0 0 0

𝝆𝟐 0 0 0 0 0

𝜼𝟑 0 0 0 0 0

𝝆𝟑 0 0 0 0 0

𝜼𝟒 0 0 0 0 0

𝝆𝟒 0 0 0 0 0

𝜼𝟓 0 0 0 0 0

𝝆𝟓 0 0 0 0 0

𝜼𝟔 0 0 0 0 0

𝝆𝟔 0 0 0 0 0

𝜼𝟕 12713,72 12947,65 0 0 0

𝝆𝟕 0 0 0 0 0

𝜼𝟖 15990,65 16264,58 16,35 16,35 16,35

𝝆𝟖 0 0 0 0

𝜼𝟗 11745,84 11945,23 0 0 0

𝝆𝟗 0 0 0 0 0

𝜼𝟏𝟎 0 0 3416,04 3416,04 3416,04

𝝆𝟏𝟎 0 0 0 0 0

𝜼𝟏𝟏 0 0 0 0 0

𝝆𝟏𝟏 0 0 0 0 0

𝜼𝟏𝟐 0 0 22361,6 22361,6 22361,6

𝝆𝟏𝟐 0 0 0 0 0

𝜼𝟏𝟑 24461 24461,3 127801 127801 127801

𝝆𝟏𝟑 0 0 0 0 0

𝜼𝟏𝟒 0 0 0 0 0

𝝆𝟏𝟒 0 0 0 0 0

𝜼𝟏𝟓 0 0 0 0 0

Produk

1 Produk

2 Produk

3 Produk

4 Produk

5

𝝆𝟏𝟓 0 0 0 0 0

𝜼𝟏𝟔 6473,64 111,36 64,67 64,67 64,67

𝝆𝟏𝟔 0 0 0 0 0

𝜼𝟏𝟕 7603,61 101,35 34,23 34,23 34,23

𝝆𝟏𝟕 0 0 0 0 0

𝜼𝟏𝟖 5681,58 64,46 58,59 58,59 58,59

𝜼𝟏𝟗 20,06 21,86 75,56 75,56 75,56

𝝆𝟏𝟗 0 0 0 0 0

𝜼𝟐𝟎 0 0 0 0 0

𝝆𝟐𝟎 0 0 0 0 0

𝜼𝟐𝟏 0 0 0 0 0

𝝆𝟐𝟏 0 0 0 0 0

𝜼𝟐𝟐 - - 9,87 9,95 0

𝝆𝟐𝟐 - - 0 0 0

𝜼𝟐𝟑 - - 0 0 0

𝝆𝟐𝟑 - - 0 0 0

𝜼𝟐𝟒 - - 0 0 0

𝝆𝟐𝟒 - - 0 0 0

𝜼𝟐𝟓 - - 0 0 0

𝝆𝟐𝟓 - - 0 0 0

𝜼𝟐𝟔 - - 5,91 11,4 0

𝝆𝟐𝟔 - - 0 0 0

𝜼𝟐𝟕 - - 0 0 0

𝝆𝟐𝟕 - - 0 0 0

𝜼𝟐𝟖 - - 0 0 0

𝝆𝟐𝟖 - - 0 0 0

𝜼𝟐𝟗 - - 0 0 0

𝝆𝟐𝟗 - - 0 0 0

𝜼𝟑𝟎 - - 8,27 9,07 0

𝝆𝟑𝟎 - - 0 0 0

𝜼𝟑𝟏 - - 25,30 25,30 25,30

𝝆𝟑𝟏 - - 0 0 0

𝜼𝟑𝟐 - - 23,25 23,25 23,25

𝝆𝟑𝟐 - - 0 0 0

𝜼𝟑𝟑 - - 24,53 24,53 24,53

𝝆𝟑𝟑 - - 0 0 0

𝜼𝟑𝟒 - - 3,97 3,97 3,97

𝝆𝟑𝟒 - - 0 0 0

𝜼𝟑𝟓 - - 3,37 3,37 3,37

𝝆𝟑𝟓 - - 0 0 0

𝜼𝟑𝟔 - - 3,52 3,52 3,52

𝝆𝟑𝟔 - - 0 0 0

Solusi optimum tersebut diatas dapat di ulas sebagai berikut :

1. Tabel 5 merupakan hasil penyelesaian

model LGP untuk setiap produk dimana produk 1 pada bulan pertama (Oktober)

memproduksi sebanyak 304,35 pallet

PROSIDING SEMINAR NASIONAL SAINS DAN PENDIDIKAN SAINS VIII UKSW

403

ditambah saldo awal sebanyak 5815,04 pallet dengan jumlah permintaan 5999,3

pallet sehingga diperoleh saldo akhir

sebanyak 120,09 pallet yang nantinya ditambahkan pada bulan berikutnya

sampai pada bulan ketiga (Desember).

Sehingga pada pemenuhan tingkat permintaan dan saldo produk di gudang

dapat terpenuhi pada setiap bulannya

artinya bahwa tidak ada kelebihan dan

kekurangan produk maupun saldo di gudang karena masing-masing variabel

deviasi ((𝜂𝑘 + 𝜌𝑘 ) dan 𝜌𝑘) yang

diminimumkan bernilai nol.

2. Pemenuhan kendala penggunaan bahan

baku.

Variabel yang diminimumkan pada

kendala ini adalah 𝜌𝑘 (𝑘 = 7,8,9, … ,15)

diperoleh nilai 𝜂𝑘 = 0 dan 𝜌𝑘 = 0 yang berarti bahwa pada kendala ini

terdapat kelebihan bahan baku terutama

pada bahan baku teh kering yaitu

𝜂8 = 15990,65 . Sehingga dapat disimpulkan bahwa pada kendala ini

nilai sasaran sudah tercapai dengan tepat

pada setiap bulannya.

3. Pemenuhan Kendala Persediaan

kemasan/ botol

Variabel yang diminimumkan adalah 𝜌𝑘

(𝑘 = 16,17,18) diperoleh nilai 𝜌𝑘 = 0 yang berarti tidak ada kekurangan

kemasan, dan nilai 𝜂𝑘 > 0 artinya

terdapat kelebihan kemasan/botol. terutama pada periode November

𝜂17 = 7603,61 . Hal ini dapat dikatakan

bahwa pada kendala persediaan

kemasan/botol terpenuhi pada setiap bulannya.

4. Pemenuhan Kendala Penggunaan Waktu

Proses

Variabel yang diminimumkan adalah 𝜌𝑘

(𝑘 = 19,20,21) diperoleh nilai 𝜌𝑘 = 0

ini tidak ada kekurangan waktu proses

produksi melainkan terdapat kelebihan

waktu proses produksi pada periode

Oktober yaitu 𝜂19 = 20,06 jam. Dalam

hal ini dapat dikatakan bahwa kendala

ini dapat terpenuhi pada setiap bulannya.

Untuk keempat produk lain diselesaikan dan diulas seperti pada produk 1 dimana

solusi optimumnya tersaji pada Tabel 5.

Secara ringkas analisis pencapaian tujuan dari setiap tujuan yang ditetapkan dalam

permasalahan LGP ini seperti tersaji pada

Tabel 6.

Tabel 6. Hasil Pencapaian Setiap Tujuan

Berdasarkan Model LGP Tujuan Pencapaian Keterangan

F1 : Memenuhi

tingkat

permintaan

konsumen

Terpenuhi

(𝜂𝑘 = 0 , 𝜌𝑘 = 0)

Jumlah

permintaan tiap bulan selama 3

bulan (Oktober-

Desember) adalah

5999,3 , 7078,32 ,

dan 5266,73 pallet

F2 :

Meminimum

kan saldo

persediaan

di gudang

Terpenuhi

(𝜂𝑘 = 0 , 𝜌𝑘 = 0)

Saldo minimum di

gudang adalah

120,09 untuk

produk 1 , 100,7

untuk produk 2 ,

87,55 untuk

produk 3, 85,33

produk 4 dan 88,35 produk 5

F3 :

Memaksimu

mkan

penggunaan

bahan baku

Terpenuhi

(𝜂𝑘 ≥ 0 , 𝜌𝑘 = 0)

Kekurangan

penggunaan bahan

baku seminimum

mungkin

F4 :

Memaksimu

mkan

persediaan

kemasan/bot

ol

Terpenuhi

(𝜂𝑘 ≥ 0 , 𝜌𝑘 = 0)

Kekurangan

penggunaan

kemasan/botol tiap

bulannya

seminimum

mungkin

F5 :

Memaksimu

mkan

penggunaan

waktu proses

Terpenuhi

(𝜂𝑘 ≥ 0 , 𝜌𝑘 = 0)

Waktu proses

minimum tiap bulan adalah 90

jam untuk produk

1 dan 2,sementara

270 jam untuk

produk 3, produk

4 dan produk 5

Hasil analisis pencapaian tujuan

menggunakan model LGP untuk produk 1 tersaji pada tabel 6. Pada tujuan memenuhi

tingkat permintaan konsumen dan

meminimumkan saldo produk di gudang dapat terpenuhi, artinya bahwa tidak ada

kekurangan maupun kelebihan produk yang

diproduksi pada setiap bulannya. Sementara

itu pada tujuan memaksimumkan penggunaan bahan baku, memaksimumkan

persediaan kemasan/botol, dan

PROSIDING SEMINAR NASIONAL SAINS DAN PENDIDIKAN SAINS VIII UKSW

404

memaksimumkan penggunaan waktu proses terpenuhi dengan masing-masing kendala

memiliki sisa atau kelebihan bahan baku,

kemasan/botol dan waktu proses pada setiap bulannya, disini berarti bahwa setiap

kali proses produksi tidak pernah

kekurangan bahan baku, kemasan/botol dan juga waktu proses produksi.

Berdasarkan analisis dan pembahasan

yang diperoleh solusi optimal pada

produksi minuman dalam kemasan botol yang diselesaikan dengan memodelkan ke

dalam bentuk Linear Goal Programming

maka dapat disimpulkan bahwa semua tujuan pada setiap produk dapat terpenuhi

yang diantaranya memenuhi jumlah

permintaan konsumen, meminimumkan saldo produk di gudang, memaksimumkan

penggunaan bahan baku dan kemasan serta

memaksimumkan waktu proses produksi.

KESIMPULAN

Berdasarkan kajian di atas maka dapat disimpulkan bahwa Metode Linear Goal

Programming (LGP) dapat digunakan

sebagai alat bantu untuk membuat

perencanaan untuk menentukan jumlah produksi dari produk-produk yang

dihasilkan dalam kurun waktu tiga bulan

atau dapat dikembangkan untuk kurun waktu lebih panjang misalnya satu tahun.

DAFTAR PUSTAKA

[1] Gitosudarmo, Indriyo. 1982. Sistem

Perencanaan dan Pengendaian

produksi. Yogyakarta : BPFE-Yogyakarta.

[2] Ignizio, D. P. 1982. Operations

Research in Decision Making, Lexington book, D.C. Heath and

Company, Lexington, Massachussetts.

[3] Linawati, Lilik 2012. Penentuan Alokasi Beban Kerja Dosen

Menggunakan Pemodelan

Lexicographic Linear Goal

Programming. Seminar Nasional Sains dan Pendidikan Sains VII UKSW, 21

September 2012

[4] Siswanto. 2007. Operation Research Jilid 1. Jakarta : Erlangga.

[5] Subagyo, Pangestu . Asri, Marwan dan

Handoko, T. Hanni. 1984. Dasar-

dasar Operations Research Edisi 1. Yogyakarta : BPFE-Yogyakarta.

[6] Web 2 :

http://digilib.its.ac.id/public/ITS-Undergraduate-16339-1206100704-

Paper.pdf. Purwanto, Y. Sulistyo.

Dan Wahyuningsih. N. Model Goal Programming untuk Perencanaan

Produksi Produk Musiman (diunduh

pada tanggal 17 Februari 2013)

PROSIDING SEMINAR NASIONAL SAINS DAN PENDIDIKAN SAINS VIII UKSW

405

LAMPIRAN

Tabel 2. Persediaan Bahan Baku selama 3 bulan

Persediaan Bahan Baku (pallet)

No. Bahan Baku Bulan 1 Bulan 2 Bulan 3

1 Teh A (kg) 13228,03 16663,15 12235,35

2 Teh B (kg) 532,07 568,48 401,28

3 Teh C (kg) 1008,7 1226,28 719,84

4 Gula Pasir (kg) 239353,33 280273,68 204016,428

5 Air (liter) 1650000 1650000 1650000

6 Flavour C1 81,67 92,56 65,34

7 Flavour C2 55,44 63,36 47,52

8 Flavour C3 32,23 42,57 0

9 Asam sitrat (kg) 462 541,75 351,45

10 Sodium Sitrat (kg) 193,82 224,4 144,21

11 Asam Ascorbic (kg) 32,34 37,4 23,76

Tabel 3. Jumlah Permintaan Produk ,Kemasan/botol dan Jumlah produksi minimum selama 3 bulan

Produk Jumlah Permintaan (pallet) Jumlah kemasan/botol (pallet)

Jumlah

produksi

minimum (pallet) Bulan 1 Bulan 2 Bulan 3 Bulan 1 Bulan 2 Bulan 3

1 5999,3 7078,32 5266,73 6778 7960 5941 120,09

2 285,45 307,13 216,52 322 348 244 100,7

3 366,82 411,5 290,4

899 1035 654

87,55

4 339,5 387,52 286,92 85,33

5 87,92 115,05 0 88,35

Tabel 4. Kebutuhan Bahan Baku tiap Produk selama 3 bulan

Kebutuhan Bahan baku tiap produk

Bahan baku yang dibutuhkan Produk 1 Produk2 Produk 3 Produk 4 Produk 5

Teh Kering (kg) 54 32 32,4 32,4 32,4

Gula Pasir (kg) 4500 4500 4500 4500 4500

Air (liter) 9500 9500 9500 9500 9500

Flavour (kg) - - 4,85 3,6 8,1

Citric Acid (kg) - - 14 14 14

Sodium Sitrat (kg) - - 5,4 5,4 5,4

Ascorbic Acid (kg) - - 0,9 0,9 0,9

MAKALAH II

1

LINEAR GOAL PROGRAMMING UNTUK PERENCANAAN PRODUKSI

DENGAN KENDALA PERMINTAAN YANG DIRAMALKAN

MENGGUNAKAN REGRESI LINEAR BERGANDA

Natalia Esther Dwi Astuti

1), Lilik Linawati

2), Tundjung Mahatma

2)

1) Mahasiswa Program Studi Matematika FSM UKSW 2) Dosen Program Studi Matematika FSM UKSW

Fakultas Sains dan Matematika UKSW

Jl. Diponegoro 52-60 Salatiga 50711

1)est_jchrist@yahoo.co.id, 2) lina.utomo@yahoo.com,2) t.mahatma@gmail.com

ABSTRAK

Model Linear Goal Programming untuk perencanaan produksi yang salah satu kendalanya adalah

permintaan pelanggan , dalam hal ini didasarkan pada data yang ditetapkan oleh perusahaan.

Sasaran kendala permintaan pada setiap bulannya tidak tetap atau berfluktuasi. Oleh karena itu,

untuk menentukan permintaan yang berfluktuasi ini digunakan metode peramalan berdasarkan

data atau periode sebelumnya. Hasil peramalan permintaan akan digunakan dalam model LGP

untuk perencanaan produksi selama tiga bulan ke depan. Untuk mendapatkan hasil peramalan yang

baik dipilih metode peramalan dengan nilai kesalahan (error) terkecil, dalam hal ini metode regresi berganda memiliki error terkecil dibandingkan dengan metode lainnya. Berdasarkan hasil

peramalan permintaan yang diperoleh menggunakan metode regresi berganda ini selanjutnya

digunakan untuk perencanaan produksi yang didasarkan pada model LGP untuk periode Januari-

Maret 2013. Banyaknya produk yang diproduksi hasil model LGP dibandingkan dengan data riil

yang menunjukkan bahwa nilai error pada dua produk dari lima produk yang diamati, ternyata

berbeda cukup signifikan. Hal ini dikarenakan kedua produk tersebut tidak diproduksi oleh

perusahaan yang disebabkan adanya satu bahan baku yang tidak tersedia.

Kata kunci : Optimasi Produksi, Peramalan, Linear Goal Programming (LGP)

PENDAHULUAN

Linear Goal Programming (LGP) pada

permasalahan optimasi produksi minuman

dalam kemasan botol, dipresentasikan dengan model yang bertujuan memenuhi

tingkat permintaan konsumen,

memaksimumkan penggunaan bahan baku yang ada dan meminimumkan saldo

produk di gudang. Model LGP ini disusun

untuk perencanaan produksi bulanan

dalam kurun waktu tiga bulan [1]. Kendala permintaan dalam model

didasarkan pada data yang ditentukan oleh

perusahan. Sasaran kendala permintaan setiap bulannya dalam jumlah tertentu

namun tidak tetap/berfluktuasi. Untuk

menentukan permintaan yang berfluktuasi ini dapat digunakan metode peramalan

berdasarkan data sebelumnya.

Kajian dalam makalah ini merupakan

penelitian lanjutan dari penerapan LGP untuk perencanaan produksi [1], dimana

sasaran kendala permintaan

didasarkan pada hasil peramalan. Oleh

karena itu, akan didapatkan terlebih

dahulu model peramalan yang sesuai dengan data yang dimiliki. Selanjutnya

disusun model LGP untuk perencanaan

produksi minuman dalam kemasan botol dan dilakukan modifikasi seperlunya.

Model LGP ini bertujuan memenuhi

permintaan konsumen yang dalam hal ini adaah hasil peramalan, yaitu

memaksimalkan penggunaan bahan baku

yang ada, meminimumkan saldo produk

di gudang, memaksimumkan penggunaan persediaan kemasan/ botol dan

memaksimumkan penggunaan waktu

proses produksi.

KAJIAN TEORI

A. Peramalan Metode peramalan dapat dibedakan

berdasarkan pada kategori datanya, yaitu

data kuantitatif atau data kualitatif. Berdasarkan data kuantitatif terdapat

2

metode peramalan deret berkala (time

series) seperti moving average, metode

regresi sementara yang berdasarkan data

kualitatif terdapat metode eksploratoris dan normatif [5]. Pada penelitian ini akan

digunakan metode peramalan dengan data

kuantitatif : metode rata-rata dan metode regresi.

1. Metode rata-rata (Average) Metode rata-rata adalah suatu metode

penilaian yang di dasari atas nilai rata-rata

dalam periode yang bersangkutan.

1.1. Rata-rata sederhana

Metode rata-rata sederhana

merupakan metode yang tepat untuk deret berkala yang memiliki pola

stasioner dan tidak menunjukkan

adanya trend maupun unsur musiman [5]. Peramalan untuk periode ke (T+

1) dirumuskan sebagai berikut :

𝐹𝑇+1 = 1

𝑇 𝑋𝑖

𝑇

𝑖=1

……………………… (1)

Persamaan (1) menunjukkan bahwa

metode rata-rata sederhana menggunakan nilai rata-rata masa

lalu untuk meramalkan periode

mendatang

1.2. Rata-rata bergerak tunggal

(Single Moving Average)

Salah satu cara untuk mengubah pengaruh data masa lalu terhadap

nilai tengah sebagai ramalan adalah

terlebih dahulu memasukkan nilai

observasi masa lalu untuk menghitung nilai rata-rata. Pada rata-

rata bergerak ini dinyatakan bahwa,

apabila muncul nilai observasi baru, nilai rata-rata baru dapat dihitung

dengan membuang nilai observasi

yang lama dan memasukan nilai observasi yang baru. Rumus untuk

menghitung ramalan rata-rata

bergerak pada periode T+1 yaitu :

𝐹𝑇+1 =𝑋1 + 𝑋2 + 𝑋3 + ⋯+ 𝑋𝑇

𝑇… . . (2)

Metode ini kurang baik untuk

deret berkala dengan pola trend atau

musiman, walaupun metode ini lebih

baik dibanding rata-rata sederhana [5].

1.3 Rata-rata bergerak ganda Dari dua metode sebelumnya

telah dinyatakan bahwa apabila

digunakan sebagai ramalan untuk periode mendatang, tidak dapat

mengatasi trend yang ada. Untuk itu

dikembangkan metode rata-rata

bergerak ganda yaitu rata-rata bergerak dari rata-rata bergerak dan

disimbolkan sebagai MA(M × N)

artinya MA M-periode dari MA N-periode[2][5]. Metode rata-rata

bergerak ganda ini kemudian

dikembangkan menjadi metode rata-

rata bergerak linear yang secara umum diterangkan melalui

persamaan berikut :

𝑆𝑡′ =

𝑋𝑡 + 𝑋𝑡−1 + 𝑋𝑡−2 + ⋯+ 𝑋𝑡−𝑁+1

𝑁… . . (3)

𝑆𝑡′′ =

𝑆′𝑡 + 𝑆′𝑡−1 + 𝑆′𝑡−2 + ⋯+ 𝑆′𝑡−𝑁+1

𝑁. . (4)

𝑎𝑡 = 𝑆′𝑡 + 𝑆′𝑡 − 𝑆′′

𝑡 = 2𝑆′𝑡 − 𝑆′′𝑡 …… (5)

𝑏𝑡 =2

𝑁 − 1 𝑆′

𝑡 − 𝑆′′𝑡 ………… . . .……… 6

𝐹𝑡+𝑚 = 𝑎𝑡 + 𝑏𝑡𝑚…………… . .………… . (7)

dengan :

𝑆′𝑡 = rata-rata bergerak tunggal pada periode ke- t,

𝑆′′𝑡 = rata-rata bergerak ganda pada periode ke- t,

𝑎𝑡 = penyesuaian trend pada periode ke-t,

𝐹𝑡+𝑚 = peramalan untuk periode t + m.

2. Metode Regresi Pada metode regresi terdapat suatu

variabel dependen yakni variabel yang

akan diramalkan, dan satu atau lebih variabel independen yang mempengaruhi

variabel dependen. Jadi metode regresi

merupakan metode yang digunakan untuk mencari bentuk atau pola hubungan antara

variabel dependen dengan satu atau lebih

variabel independen.

3

2.1. Regresi Sederhana

Dalam analisis regresi linier

sederhana ini akan ditentukan

persamaan yang menghubungkan dua variabel yang dapat dinyatakan

sebagai bentuk model linier. Bentuk

umum regresi linier sederhana :

𝑌 = 𝑎 + 𝑏𝑋 + 𝑒............................(8)

𝑌 : vektor peubah tak bebas

𝑋 : vektor peubah bebas

𝑎 : intersep atau konstanta

𝑏 : koefisien regresi yang

menunjukan tingkat perubahan 𝑌

apabila 𝑋 mengambil nilai tertentu.

𝑒: variabel kesalahan (error)

Penentuan koefisien

kemiringan (slope) b untuk regresi

linear sederhana pada persamaan (8) adalah sebagai berikut :

𝑏 =𝑛 𝑥𝑖𝑦𝑖

𝑛𝑖=1 − ( 𝑥𝑖)(𝑛

𝑖=1 𝑦𝑖𝑛𝑖=1 )

𝑛 𝑥𝑖2 −𝑛

𝑖=1 ( 𝑥𝑖𝑛𝑖=1 )2

… (9)

Sedangkan rumus untuk mendapatkan koefisien intersep a ,

adalah sebagai berikut :

𝑎 = 𝑦𝑖

𝑛𝑖=1

𝑛− 𝑏

𝑥𝑖𝑛𝑖=1

𝑛……………… . (10)

2.2. Regresi Berganda Pada regresi berganda terdapat satu

variabel tidak bebas (misalnya permintaan) yang akan diramalkan, tetapi

terdapat dua atau lebih variabel bebas [5].

Bentuk umum dari regresi berganda

adalah :

𝑌 = 𝑏0 + 𝑏1𝑋1 + 𝑏2𝑋2 + ⋯+ 𝑏𝑘𝑋𝑘 + 𝑒. . (11)

Untuk menentukan koefisien regresi berganda (untuk dua variabel bebas

misalnya penjualan dan persediaan saldo

di gudang) seperti pada persamaan (12) -(14) sebagai berikut :

𝑏0𝑛 + 𝑏1 𝑋1 +𝑏2 𝑋2 = 𝑌 ……… . . . . (12)

𝑏0 𝑋1 + 𝑏1 𝑋12 +𝑏2 = 𝑋1𝑌… . . . (13)

𝑏0 𝑋2 + 𝑏1 𝑋1𝑋2 + 𝑏2 𝑋22 = 𝑋12 …… . . (14)

Berikut adalah langkah-langkah yang perlu ditempuh untuk melakukan

peramalan menggunakan metode regresi,

yaitu : 1. Menentukan variabel dependen dan

variabel independen.

2. Melakukan penaksiran terhadap

koefisien regresi . 3. Menghitung koefisien korelasi antara

kedua variabel untuk mengetahui

tingkat keeratan hubungan kedua variabel dan koefisien determinasi

untuk mengetahui berapa persen

ukuran variasi total pada peubah tak bebas yang dapat dijelaskan

hubungannya oleh peubuah bebas.

Koefisien korelasi untuk regresi

sederhana disimbolkan dengan r dan R untuk regresi berganda, sementara

koefisien determinasi untuk regresi

sederhana disimbolkan dengan d dan D untuk regresi berganda.

Berikut adalah rumus untuk menghitung koefisien korelasi regresi

sederhana:

𝑟 =𝑛 𝑥𝑖𝑦𝑖 − 𝑥𝑖 𝑦𝑖

𝑛 𝑥𝑖2 − ( 𝑥𝑖)

2 𝑛 𝑦𝑖2 − ( 𝑦𝑖)

2

. . (15)

dan koefisien determinasi (d)

diperoleh dengan 𝑑 = 𝑟2 dan untuk

regresi berganda yaitu :

𝐷 = (𝑌𝑖 − 𝑌 )2

(𝑌𝑖 − 𝑌 )2…………………… .… (16)

dan koefisien korelasi (R) diperoleh

dengan :

𝑅 = 𝐷………… . .……………… . (17)

4. Melakukan peramalan terhadap

variabel 𝑌 dengan mengambil nilai

tertentu pada variabel 𝑋

3. Ketepatan Metode Peramalan Dalam banyak situasi peramalan,

ketepatan dipandang sebagai kriteria

penolakan untuk memilih suatu metode peramalan. Dalam pemodelan deret

4

berkala, sebagian data yang diketahui

dapat digunakan untuk meramalkan sisa

data berikutnya sehingga memungkinkan

orang untuk mempelajari ramalan secara lebih langsung [5].

3.1. Ukuran Statistik Standar

Jika 𝑋𝑖 merupakan data aktual

untuk periode i dan 𝐹𝑖 merupakan data

hasil ramalan (atau nilai kecocokan) untuk periode yang sama, maka

kesalahan data ke i di definisikan

sebagai berikut :

𝑒𝑖 = 𝑋𝑖 − 𝐹𝑖 ...............................(18)

Jika terdapat nilai pengamatan dan

ramalan untuk n periode, maka akan

terdapat n buah kesalahan dan ukuran

statistik standar disajikan pada Tabel 1.

Tabel 1. Ukuran Statistik Standar

No Ukuran Statistik

Standar

Formulasi

1 Mean Error 𝑀𝐸 = 𝑒𝑖/𝑛

𝑛

𝑖=1

2 Mean Absolute

Error 𝑀𝐴𝐸 = |𝑒𝑖 |/𝑛

𝑛

𝑖=1

3 Sum of

Squared Error 𝑆𝑆𝐸 = 𝑒𝑖

𝑛

𝑖=1

2

4 Mean Squared

Error 𝑀𝑆𝐸 = 𝑒𝑖

𝑛

𝑖=1

2

/𝑛

1.1. Ukuran-ukuran Relatif

Hubungan dengan keterbatasan MSE sebagai suatu ukuran ketepatan

peramalan maka diusulkan ukuran-

ukuran alternatif, yang diantaranya

menyangkut kesalahan presentase. Tiga ukuran yang sering digunakan

disajikan pada Tabel 2.

Tabel 2. Ukuran-ukuran relatif

No Ukuran-ukuran

Relatif Formulasi

1 Precentage

Error 𝑃𝐸𝑖 =

𝑋𝑖−𝐹𝑖

𝑋𝑖 𝑥100

2 Mean

Precentage

Error

𝑀𝑃𝐸 = 𝑃𝐸𝑖/𝑛

𝑛

𝑖=1

3 Mean Absolute

Precentage

Error

𝑀𝐴𝑃𝐸 = |𝑃𝐸𝑖|/𝑛

𝑛

𝑖=1

Penelitian ini menggunakan Mean Absolute Precentage Error (MAPE)

karena sebagai presentase, ukuran ini

bersifat relatif, sehingga ukuran ini lebih disukai daripada kesalahan rata-rata

sebagai ukuran kesalahan [2][6].

B. Linear Goal Programming

Linear goal programming (LGP)

biasanya diterapkan pada masalah-

masalah dengan tujuan ganda dalam formulasi modelnya. Dalam formulasi

(LGP), terdapat dua variabel deviasi yaitu

variabel deviasi positif dan variabel deviasi negatif. Variabel deviasi positif

berfungsi untuk menampung kelebihan

capaian pada nilai ruas kiri terhadap

sasaran yang ditentukan (RHS), sementara variabel deviasi negatif berfungsi untuk

menampung kekurangan capaian pada

nilai ruas kiri terhadap sasaran yang ditentukan (RHS) [1][4][7].

Berikut bentuk umum dari model Linear Goal Programming [3] :

Mencari nilai 𝒙 = (𝒙𝟏,𝒙𝟐,… ,𝒙𝒏)

Min 𝒂 = 𝑎1 𝜂,𝜌 ,… ,𝑎𝑙(𝜂,𝜌) dengan kendala 𝑓𝑖 𝑥 + 𝜼𝒊 − 𝝆𝒊 = 𝒃𝒊

untuk i=1,2,....,m 𝑥, 𝜂,𝜌 ≥ 0

dengan 𝑓𝑖 𝑥 = 𝑐𝑖 ,𝑗𝑥𝑗𝑛𝑗=1

𝜂𝑖 = deviasi negatif pada kendala ke-i,

𝜌𝑖 = deviasi positif pada kendala ke-i,

𝑐𝑖 ,𝑗= konstanta dari kendala ke-i, variabel

keputusan ke-j,

𝑥𝑗 = variabel keputusan ke-j,

m = banyak kendala, n = banyak variabel keputusan,

bi = nilai sasaran kendala ke-i,

5

𝒂 = fungsi pencapaian tujuan,

l = banyaknya fungsi tujuan/fungsi

kendala.

LGP untuk Optimasi Perencanaan

Produksi

Untuk merumuskan model LGP

terlebih dahulu memformulasikan model

dasar linear programming (LP) seperti pada penelitian sebelumnya [1] dan

selanjutnya memformulasikan model LGP

dengan dimisalkan variabel keputusan

𝑋𝑖,𝑡 adalah banyaknya produk i yang harus

diproduksi pada periode t (pallet) dengan

𝑖 = 1,2,… ,𝑛, dan 𝑡 = 1,2,3. Model disusun untuk setiap produk i dan t

ditentukan untuk 3 bulan.

Kendala Sasaran :

F1 : Memaksimumkan permintaan

konsumen berdasarkan hasil peramalan. Untuk kendala tingkat permintaan

dapat diformulasikan model LGP seperti

berikut :

𝑋𝑖 ,𝑡 + 𝐼𝑖 ,(𝑡−1) − 𝐼𝑖 ,𝑡 + 𝜂𝑘 − 𝜌𝑘 = 𝑇𝑃𝑖 ,𝑡 (19)

𝑘 = 1,2,… , 𝑙,

𝑀𝑖𝑛 𝑎1 = (𝜌𝑘)

3

𝑡=1

dengan :

𝐼𝑖 ,𝑡 = Jumlah saldo akhir produk i pada

akhir periode t (pallet),

𝐼𝑖 ,(𝑡−1) = Jumlah saldo awal produk i pada

akhir periode t (pallet),

𝑇𝑃𝑖,𝑡 = Jumlah permintaan produk i pada

periode t (pallet).

F2 : Meminimumkan saldo persediaan di

gudang.

Selanjutnya untuk kendala saldo persediaan produk di gudang dapat

diformulasikan ke model LGP dengan

meminimumkan deviasi positif 𝜌𝑘

dengan 𝑘 = 𝑙 + 1,… ,2𝑙, 𝑙 adalah

banyaknya kendala yaitu : 𝐼𝑖 ,𝑡 + 𝜂𝑘 − 𝜌𝑘

3𝑡=1 = 𝑆𝑖 ,𝑡 (20)

𝑀𝑖𝑛 𝑎2 = 𝜌𝑘

3

𝑡=1

dengan 𝑆𝑖 ,𝑡 adalah rata-rata saldo produk i

per bulan (pallet),

F3 : Memaksimumkan penggunaan bahan

baku.

Sementara itu kendala lainnya adalah

kendala penggunaan bahan baku akan

diformulasikan ke model LGP seperti

berikut : 𝑐𝑖 . 𝑋𝑖 ,𝑡 + 𝜂𝑘 − 𝜌𝑘

3𝑡=1 = 𝐵𝐵𝑖 ,𝑡 (21)

𝑘 = 2𝑙 + 1,… , 5𝑙,

𝑀𝑖𝑛 𝑎3 = 𝜌𝑘

3

𝑡=1

dengan :

𝑐𝑖 = kebutuhan bahan baku untuk satu

pallet produk i,

𝐵𝐵𝑖 ,𝑡 = jumlah persediaan bahan baku i

pada periode t,

F4 : Memaksimumkan persediaan

kemasan/botol.

Untuk kendala ini dapat diformulasikan ke model LGP seperti

berikut: 𝑋𝑖 ,𝑡 + 𝜂𝑘 − 𝜌𝑘

3𝑡=1 = 𝑃𝐵𝑖 ,𝑡 (22)

𝑘 = 5𝑙 + 1,… , 6𝑙 ,

𝑀𝑖𝑛 𝑎4 = 𝜌𝑘

3

𝑡=1

dengan 𝑃𝐵𝑖,𝑡 adalah jumlah persediaan

botol kosong i pada periode t (pallet),

F5 : Memaksimumkan penggunaan waktu

proses.

Dan kendala penggunaan wktu proses

dapat diformulasikan ke model LGP yaitu

:

𝑑𝑖 .𝑋𝑖 ,𝑡 + 𝜂𝑘 − 𝜌𝑘

3𝑡=1 = 𝑊𝑃𝑖 ,𝑡 (23)

𝑘 = 6𝑙 + 1,… ,7𝑙 ,

𝑀𝑖𝑛 𝑎5 = 𝜌𝑘

3

𝑡=1

6

dengan :

𝑑𝑖 = kebutuhan waktu proses

produk i pada periode t,

𝑊𝑃𝑖,𝑡= rata-rata waktu yang

dibutuhkan produk i per

bulan.

Formulasi fungsi pencapaian tujuan

dari model LGP di atas adalah :

𝑀𝑖𝑛 𝒂 = (𝑎1 , 𝑎2 ,𝑎3 ,𝑎4 , 𝑎5 )

METODE PENELITIAN

Penelitian ini bertujuan menerapkan LGP untuk perencanaan produksi

minuman dalam kemasan botol dengan

tujuan memaksimumkan permintaan yang didasarkan hasil peramalan,

meminimumkan saldo persediaan produk

di gudang, memaksimumkan penggunaan bahan baku, memaksimumkan

penggunaan persediaan kemasan/botol

dan memaksimumkan penggunaan waktu

proses yang didasarkan data hasil peramalan yaitu jumlah permintaan, dan

data sekunder dari perusahaan yaitu

persediaan bahan baku dan jumlah kemasan/botol di gudang untuk produk-1,

produk-2, produk-3, produk-4 dan

produk-5 pada bulan Januari-Maret 2013.

Penelitian ini diselesaikan melalui langkah-langkah yang dijabarkan sebagai

berikut :

1. Membuat peramalan permintaan

produk bulan Januari-Maret 2013

didasarkan data Januari-Desember

2012.

1.1 Menguji normalitas data yang

akan diramalkan,

1.2 Menggunakan metode peramalan

kuantitatif : metode rata-rata dan

metode regresi,

1.3 Menentukan/memilih hasil

peramalan berdasarkan nilai error

terkecil (paling baik),

2. Menyusun model LGP,

3. Menyelesaikan model dengan Solver,

4. Menginterpretasikan hasil

penyelesaian dan membandingkan

hasil penyelesaian dengan data real,

5. Menarik kesimpulan.

PENERAPAN MODEL LGP PADA

PERENCANAAN PRODUKSI

1. Menentukan permintaan produk

berdasarkan peramalan

Peramalan dilakukan menggunakan

data permintaan tahun sebelumnya (2012) untuk mengetahui perkiraan permintaan

tahun 2013. Sebelum melakukan

peramalan terlebih dahulu dilakukan uji normalitas data yang dalam hal ini adalah

data permintaan menggunakan alat bantu

software SPSS 16.0. Berdasarkan uji

normalitas yang dilakukan diperoleh

bahwa nilai signifikansi 𝑝 ≥ 0,05 yang

berarti data berdistribusi normal.

Selanjutnya data yang akan diramalkan dihitung menggunakan metode rata-rata

bergerak ganda berdasarkan rumus (3) –

(7), metode regresi sederhana menggunakan rumus (8) – (10) dan

regresi berganda menggunakan rumus

(12) – (14). Dari kedua perhitungan ini

dipilih salah satu metode peramalan dengan nilai kesalahan (error) terkecil.

Berdasarkan perhitungan yang telah

dilakukan sehingga diperoleh bahwa pada penelitian ini digunakan metode regresi

berganda dengan menentukan data

permintaan sebagai variabel dependen,

dan data penjualan serta saldo gudang ditentukan sebagai variabel independen

untuk mengetahui perkiraan permintaan

tahun 2013. Berikut disajikan model regresi berganda untuk permintaan

produk-1 yang diperoleh.

Dari perhitungan yang dilakukan

diperoleh 𝑏0 = −157,159 , 𝑏1 = 0,83,

dan 𝑏2 = 5,009 , sehingga persamaan

regresi berganda untuk produk-1 yaitu :

𝑌 = −157,159 + 0,83𝑋1 + 5,009𝑋2.......(24)

Selanjutnya, dengan menggunakan rumus

(16-17) diperoleh hasil 0,857366 untuk

koefisien determinasi dan 0,92594 untuk koefisien korelasinya. Dengan demikian,

dapat dikatakan bahwa hubungan antara

7

variabel dependen (permintaan) dengan

kedua variabel independen (penjualan dan

saldo gudang) sangat kuat. Menggunakan

persamaan (24) selanjutnya didapat peramalan permintaan tahun 2012 dengan

mensubstitusikan data pada variabel

independen yaitu data penjualan dan saldo gudang diperoleh nilai permintaan produk

seperti Tabel 3 :

Tabel 3. Nilai permintaan hasil

peramalan regresi berganda untuk tahun

2012 bagi kelima produk

Bln Produk

1 2 3 4 5

Jan 3966,3 213,5 159,6 216,6 166,1

Feb 4214,4 373,9 244,9 219,9 100,6

Mar 5102,6 190,1 283,8 262,9 107,1

Apr 4951,4 260,7 265,6 260,9 96,3

Mei 6123,9 241,5 339,2 309,1 103,5

Jun 7103,4 181,9 313,5 312,4 77,1

Jul 6632,7 257,2 383,5 337,9 75,8

Agst 5047,2 232,5 250,3 243,8 42,1

Sep 6562,6 182,3 285,2 277,8 60,2

Okt 6335,6 219,1 423,7 334,9 68,6

Nop 6788,5 256,1 362,8 322,7 62,4

Des 5952,1 210,1 362,8 348,4 29,4 Error

(%) 5,33 20,85 17,81 13,58 31,38

Berdasarkan Tabel 3 akan dihitung

nilai kesalahan peramalan untuk setiap produk menggunakan Mean Absolute

Precentage Error (MAPE) dan keempat

produk lainnya (i=2,3,4,5) diselesaikan menggunakan cara yang sama seperti pada

produk-1.

Berdasarkan analisis model regresi berganda diperoleh hasil peramalan

permintaan Januari-Maret 2013 untuk

setiap produk yang tersaji pada Tabel 4:

Tabel 4. Hasil peramalan regresi

berganda Januari-Maret 2013 untuk

kelima produk

Bln Produk

1 2 3 4 5

Jan 3969,2 280,7 177,2 227,5 168,1

Feb 4214,4 384 258,7 221,8 211

Mar 5106,6 195,1 300,9 271,5 133,2

2. Formulasi Model LGP

Berdasarkan data dan permintaan yang

diramalkan disusun model untuk setiap produk dengan menggunakan fungsi

kendala pada rumus (19) sampai rumus

(23) selanjutnya akan dicari solusi optimum untuk setiap produk dalam

kurun waktu 3 bulan .

Berikut disajikan model LGP untuk produk-1 dan penyelesaian optimumnya.

𝑋1,1 + 𝐼1,0 − 𝐼1,1 + 𝜂1 − 𝜌1 = 3969,27 𝑋1,2 + 𝐼1,1 − 𝐼1,2 + 𝜂2 − 𝜌2 = 4214,43

𝑋1,3 + 𝐼1,2 − 𝐼1,3 + 𝜂3 − 𝜌3 = 5106,63

𝐼1,1 + 𝜂4 − 𝜌4 = 120,09 𝐼1,2 + 𝜂5 − 𝜌5 = 120,09

𝐼1,3 + 𝜂6 − 𝜌6 = 120,09

1,887𝑋1,1 + 𝜂7 − 𝜌7 = 10952,1

155,172𝑋1,1 + 𝜂8 − 𝜌8 = 39483,1 332,051𝑋1,1 + 𝜂9 − 𝜌9 = 330000 1,887𝑋1,2 + 𝜂10 − 𝜌10 = 11334,83

155,172𝑋1,2 + 𝜂11 − 𝜌11 = 44607,4 332,051𝑋1,2 + 𝜂12 − 𝜌12 = 330000

1,887𝑋1,3 + 𝜂13 − 𝜌13 = 11905,95 155,172𝑋1,3 + 𝜂14 − 𝜌14 = 36505,3 332,051𝑋1,3 + 𝜂15 − 𝜌15 = 330000

𝑋1,1 + 𝜂16 − 𝜌16 = 6412,28 𝑋1,2 + 𝜂17 − 𝜌17 = 6412,28 𝑋1,3 + 𝜂18 − 𝜌18 = 6412,28

0,076𝑋1,1 + 𝜂19 − 𝜌19 = 90 0,076𝑋1,2 + 𝜂20 − 𝜌20 = 90

0,076𝑋1,3 + 𝜂21 − 𝜌21 = 90

untuk meminimumkan 𝒂 = (𝑎1 𝜌1 +𝜌2 + 𝜌3 ,𝑎2 𝜌4 + 𝜌5 + 𝜌6 ,𝑎3 𝜌7 +𝜌8+. . +𝜌15 ,𝑎4 𝜌16 + 𝜌17 +𝜌18 ,𝑎5(𝜌19 + 𝜌20 + 𝜌21))

𝑋1,𝑡 , 𝐼1,(𝑡−1), 𝐼1,𝑡 , 𝐼1,𝑡 ,𝜂1,𝑡 ,𝜌1,𝑡 ≥ 0

(𝑡 = 1,2,3)

Untuk keempat produk lain (i = 2,3,4,5) disusun model LGP dan

diselesaikan menggunakan cara yang

sama seperti pada produk-1. Model di atas

8

diselesaikan menggunakan alat bantu

Solver pada MS. Excel 2007.

3. Pembahasan dan Interpretasi

Dari formulasi model LGP diatas

diperoleh solusi optimum untuk kelima

produk yang yang diselesaikan menggunakan Solver dan tersaji pada

Tabel 5 :

Tabel 5. Solusi Optimum LGP untuk

kelima produk.

Produk

1

Produk

2

Produk

3

Produk

4

Produk

5

Xi,1 251,03 173,73 264,76 315,1 59

Xi,2 283,61 0 323,76 236,4 25,76

Xi,3 232,09 160,62 164,16 206,9 0

Ii,1 120,09 100,7 87,55 87,55 87,55

Ii,2 120,09 100,7 85,33 85,33 85,33

Ii,3 120,09 100,7 88,35 88,35 88,35

𝜼𝟏 0 0 0 0 0

𝝆𝟏 0 0 0 0 0

𝜼𝟐 0 0 0 0 0

𝝆𝟐 0 0 0 0 0

𝜼𝟑 0 0 0 0 0

𝝆𝟑 0 0 0 0 0

𝜼𝟒 0 0 0 0 0

𝝆𝟒 0 0 0 0 0

𝜼𝟓 0 0 0 0 0

𝝆𝟓 0 0 0 0 0

𝜼𝟔 0 0 0 0 0

𝝆𝟔 0 0 0 0 0

𝜼𝟕 10478 388,06 276 276 276

𝝆𝟕 0 0 0 0 0

𝜼𝟖 0 0 11110,8 11110,8 11110,8

𝝆𝟖 0 0 0 0 0

𝜼𝟗 75408 169579 423017 423017 423017

𝝆𝟗 0 0 0 0 0

𝜼𝟏𝟎 10799 0 0 0 0

𝝆𝟏𝟎 0 0 0 0 0

𝜼𝟏𝟏 0 0 35363,8 35363,8 35363,8

𝝆𝟏𝟏 0 0 0 0 0

𝜼𝟏𝟐 0 0 0 0 0

𝝆𝟏𝟐 0 0 0 0 0

𝜼𝟏𝟑 11468 7,95 0 0 0

𝝆𝟏𝟑 0 0 0 0 0

𝜼𝟏𝟒 0 0 47169,5 47169,5 47169,5

𝝆𝟏𝟒 0 0 0 0 0

𝜼𝟏𝟓 0 0 0 0 0

𝝆𝟏𝟓 0 0 0 0 0

𝜼𝟏𝟔 6161,2 92,44 117,96 117,96 117,96

𝝆𝟏𝟔 0 0 0 0 0

𝜼𝟏𝟕 6128,9 266,17 170,81 170,81 170,81

𝝆𝟏𝟕 0 0 0 0 0

𝜼𝟏𝟖 6180,2 105,55 385,71 385,71 385,71

𝝆𝟏𝟖 0 0 0 0 0

𝜼𝟏𝟗 31,73 54,22 142,24 142,24 142,24

𝝆𝟏𝟗 0 0 0 0 0

𝜼𝟐𝟎 0 0 0 0 0

𝝆𝟐𝟎 0 0 0 0 0

𝜼𝟐𝟏 0 0 0 0 0

𝝆𝟐𝟏 0 0 0 0 0

𝜼𝟐𝟐 - - 21,8 19,93 0

𝝆𝟐𝟐 - - 0 0 0

Produk

1

Produk

2

Produk

3

Produk

4

Produk

5

𝜼𝟐𝟑 - - 0 0 27,75

𝝆𝟐𝟑 - - 0 0 0

𝜼𝟐𝟒 - - 7,74 0 0

𝝆𝟐𝟒 - - 0 0 0

𝜼𝟐𝟓 - - 96,1 96,1 96,1

𝝆𝟐𝟓 - - 0 0 0

𝜼𝟐𝟔 - - 5,99 5,99 5,99

𝝆𝟐𝟔 - - 0 0 0

𝜼𝟐𝟕 - - 8,17 8,17 8,17

𝝆𝟐𝟕 - - 0 0 0

𝜼𝟐𝟖 - - 54,42 54,42 54,42

𝝆𝟐𝟖 - - 0 0 0

𝜼𝟐𝟗 - - 18,63 18,63 18,63

𝝆𝟐𝟗 - - 0 0 0

𝜼𝟑𝟎 - - 8,58 8,58 8,58

𝝆𝟑𝟎 - - 0 0 0

𝜼𝟑𝟏 - - 8,75 8,75 8,75

𝝆𝟑𝟏 - - 0 0 0

𝜼𝟑𝟐 - - 2,85 2,85 2,85

𝝆𝟑𝟐 - - 0 0 0

𝜼𝟑𝟑 - - 1,24 1,24 1,24

𝝆𝟑𝟑 - - 0 0 0

Berdasarkan solusi optimal pada Tabel 5

secara ringkas analisis pencapaian tujuan

dari setiap tujuan yang ditetapkan dalam

permasalahan LGP ini seperti tersaji pada Tabel 6.

Tabel 6. Hasil Pencapaian Setiap Tujuan Berdasarkan Model LGP.

Tujuan Pencapaian Keterangan

F1 :

Memaksimum-

kan permintaan

konsumen

berdasarkan hasil peramalan

Terpenuhi

(𝜂𝑘 = 0 , 𝜌𝑘 = 0)

Jumlah

permintaan

tiap bulan

selama 3

bulan (Jan-

Feb 2013)

untuk kelima produk

tersaji pada

Tabel 4.

F2 :

Meminimumkan

saldo persediaan

di gudang

Terpenuhi

(𝜂𝑘 = 0 , 𝜌𝑘 = 0)

Saldo

minimum di

gudang

adalah

120,09 untuk

produk-1 ,

100,7 untuk

produk-2 ,

87,55 untuk

produk-3, 85,33

produk-4 dan

88,35

produk-5

9

F3 :

Memaksimum-

kan penggunaan

bahan baku

Terpenuhi

(𝜂𝑘 ≥ 0 , 𝜌𝑘 = 0)

Kekurangan

penggunaan

bahan baku

seminimum

mungkin

F4 :

Memaksimum-

kan persediaan

kemasan/botol

Terpenuhi

(𝜂𝑘 ≥ 0 , 𝜌𝑘 = 0)

Kekurangan

penggunaan

kemasan/bo-

tol tiap

bulannya

seminimum

mungkin

F5 :

Memaksimum-

kan penggunaan

waktu proses

Terpenuhi

(𝜂𝑘 ≥ 0 , 𝜌𝑘 = 0)

Waktu

proses minimum

tiap bulan

adalah 90

jam untuk

produk-1 dan

2,sementara

270 jam

untuk

produk-3,

produk-4 dan

produk-5

Selanjutnya akan dibandingkan antara

hasil penyelesaian menggunakan model

dengan data riil perusahaan untuk periode

Januari-Maret 2013, yang tersaji pada Tabel 7, yaitu :

Tabel 7. Perbandingan hasil penyelesaian dan data real perusahaan

Produk 1 2 3 4 5

Hasil

Model

Jan 3969,3 280,7 177,2 227,4 168,0

Feb 4214,4 384 258,7 221,8 211

Mar 5106,6 195,1 300,9 271,5 133,2

Data

Riil

Jan 4602,9 363,3 322, 4 395,4 47,55

Feb 4831,6 0 266,4 189,7 92,7

Mar 5079,3 141,7 169,7 167,8 0

Error (%) 10,38 52,25 42,84 42,17 75,92

Tabel 7 menunjukan perbandingan hasil penyelesaian/model dengan data riil

perusahaan dimana hasil model

didasarkan pada permintaan yang

diramalkan menggunakan metode regresi berganda untuk periode Januari-Maret

2013 dan nilai error pada peramalan

menggunakan metode tersebut adalah produk-1 sebesar 5,33% dan produk-3,

produk-4 masing-masing sebesar 17,81%

dan 13,58%. Sementara itu untuk dua produk lainnya yaitu produk-2 sebesar

20,85% dan 31,38% untuk produk-5.

Berdasarkan hasil model dan data riil

perusahaan yang diperoleh sehingga

didapat nilai error keduanya dimana

untuk produk-1,produk-3, dan produk-4

error yang diperoleh lebih kecil dibandingkan dengan produk-2 dan

produk-5 sesuai dengan nilai error

peramalan pada Tabel 3. Untuk produk-2 dan produk-5 terdapat perbedaan yang

signifikan dengan nilai error seperti pada

Tabel 7 yaitu 52,25% dan 75,92% , hal ini dikarenakan pada bulan Februari untuk

produk-2 dan bulan Maret untuk produk-5

terdapat salah satu bahan baku yang tidak

tersedia digudang maka pada bulan tersebut kedua produk tidak produksi

sehingga menjadikan nilai errornya besar.

PENUTUP

1. Kesimpulan Berdasarkan kajian di atas maka dapat

disimpulkan bahwa:

Kendala permintaan ditentukan

menggunakan peramalan metode

regresi berganda dengan error terkecil pada produk-1 yaitu 5,33%.

Nilai permintaan yang merupakan hasil

peramalan digunakan untuk perencanaan produksi bulanan yang

didasarkan pada model LGP untuk

periode Januari-Maret 2013, dimana

diperoleh nilai error yang berbeda signifikan terhadap data riil, yaitu pada

produk-2 dan produk-5. Hal ini

dikarenakan kedua produk tersebut tidak diproduksi yang disebabkan

adanya satu bahan baku yang tidak

tersedia. Penerapan model LGP dengan

permintaan yang diramalkan dapat

digunakan untuk perencanaan produksi

bulanan dalam kurun waktu 3 bulan sekaligus.

Saran

Untuk pengkajian lebih lanjut dapat

digunakan penggunaan metode peramalan yang berbeda untuk setiap produk yang

diteliti, agar diperoleh metode yang paling

tepat untuk setiap produknya.

10

DAFTAR PUSTAKA

[1] Astuti, Natalia. E. D., Linawati, L.,

Mahatma, T. 2013. Linear Goal

Programming untuk Optimasi Perencanaan Produksi. Prosiding

Seminar Nasional Sains dan

Pendidikan Sains VII UKSW tanggal 15 Juni 2013. ISSN: 2087-0922.

[2] Awat, Napa. J. 1990. Metode

Peramalan Kuantitatif. Yogyakarta : Liberty Yogyakarta.

[3] Ignizio, D. P. 1982. Operations

Research in Decision Making,

Lexington book, D.C. Heath and Company, Lexington,

Massachussetts.

[4] Linawati, Lilik 2012. Penentuan Alokasi Beban Kerja Dosen

Menggunakan Pemodelan

Lexicographic Linear Goal Programming. Seminar Nasional

Sains dan Pendidikan Sains VII

UKSW, 21 September 2012

[5] Makridakris, S., Steven, W., Victor, E. M. G. 1995. Metode dan Aplikasi

Peramalan. Edisi 2. Jilid 1. Jakarta :

Erlangga. [6] Makridakris, S., Steven, W. 1994.

Metode-metode Peramalan untuk

Manajemen. Edisi 5. Jakarta :

Binapura Aksara. [7] Siswanto. 2007. Operation Research

Jilid 1. Jakarta : Erlangga.