BAB II LANDASAN TEORI A. Deskripsi Konseptual 1. Penalaran ...repository.ump.ac.id/7630/3/RINO...

BAB II

LANDASAN TEORI

A. Deskripsi Konseptual

1. Penalaran Aljabar

Aljabar berasal dari bahasa arab yaitu “Al-jabr” yang

memliki arti “pertemuan”,”hubungan” atau “penyelesaian”.

Ontario Ministri of Education (2013) mengungkapkan bahwa

aljabar adalah proses mengenali hubungan antara kuantitas dan

operasi. Watson (2007) berpendapat bahwa pada tingkatan

sekolah aljabar dideskripsikan sebagai: 1) Menipulasi dan

transformasi pernyataan dalam bentuk simbol , 2) Generalisasi

aturan tentang bilangan dan pola-pola , 3) Kajian tentang

struktur dan sistem abstraksi dari komputasi dan relasi , 4)

Aturan dalam tranformasi dan penyelesaian persamaan, 5)

Belajar tentang variabel, fungsi dan mengekspresikan

perubahan dan hubungan-hubungannya dan 6) Pemodelan

struktur matematika dari situasi di dalam atau diluar konteks

matematika.

Watson (2007) berpendapat bahwa siswa haruslah dapat

membedakan makna dari simbol huruf sebagai sesuatu yang

belum diketahui (unknown), variabel, konstanta atau parameter

serta memahami makna persamaan. Aljabar dalam jenjang

7

Profil Penalaran Aljabar..., Rino Sulistiyanto, FKIP UMP, 2018

8

sekolah dasar belum diajarkan mengenai konsep aljabar, tetapi

baru diperkenalkan konsep operasi penjumlahan, pengurangan,

perkalian dan pembagian. Aljabar baru diperkenalkan pada

jenjang SMP/MTs pada kelas VII, dalam jenjang sekolah dasar

siswa terbiasa mengoperasian bilangan dan dalam jenjang

SMP/MTs siswa mulai di perkenalkan aljabar untuk

mengoperasikan bilangan dan simbol yang berupa huruf

alphabet.

Penalaran aljabar dalam bahasa inggris disebut Algebraic

Reasoning atau Algebraic thinking, De Walle et al. (2011)

menjelaskan bahwa berfikir aljabar atau penalaran aljabar

melibatkan pembentukan generalisasi dari pengalaman dengan

bilangan dan perhitungan, memformalkan ide tersebut dengan

menggunakan sistem simbol, dan mengeksplorasi konsep dari

pola dan fungsi.

Pendapat lain dikemukakan Lins (Watson, 2007) yang

menyebutkan penalaran aljabar merupakan suatu perubahan

yang disengaja dari konteks menuju struktur. Konteks dapat

berupa suatu masalah yang nyata atau dapat berupa

permasalahan matematika tertentu. Penalaran aljabar muncul

ketika seseorang menemukan dan menyatakan struktur, baik

dalam konteks pemecahan masalah yang berkaitan dengan

bilangan atau beberapa situsi yang dimodelkan, atau dalam


9

konteks penyelesaian masalah, atau dalam konteks kajian

tentang struktur yang lebih umum.

Pengertian penalaran aljabar dikemukakan oleh Kaput &

Blanton (Andriani, 2015) menyatakan bahwa penalaran aljabar

adalah suatu proses dimana siswa melakukan generalisasi ide

matematika dari sekumpulan fakta, menyusun generalisasinya

melalui pernyataan dan mengekspresikan pernyataan tersebut

dengan cara yang semakin formal dan menyesuaikan dengan

usia.

Dari pendapat beberapa ahli di atas dapat disimpulkan

bahwa penalaran aljabar adalah proses seseorang melakukan

generalisasi objek matematika dari suatu hal yang khusus dan

menyatakan dalam bentuk umum/formal menggunakan

simbol/variabel, serta dapat menentukan suatu nilai

berdasarkan formula tertentu ataupun menentukan formula

apabila diketahui nilai-nilainya.

2. Pelevelan Penalaran Aljabar

Pelevelan penalaran aljabar terdiri dari 2 yaitu Primary

Education dan Secondary Education. Dalam pelevelan Primary

education, Ake,dkk (2013) berpendapat bahwa pelevelan dapat

dibagi menjadi level 0, level 1, level 2, level 3. Untuk

secondary education, Godino et al. (2014) mengemukakan

pendapat bahwa pelevelan dapat dibagi menjadi Fourth level of


10

algebraization: using parameters, Fifth level of algebraization:

treatment parameters, Sixth level of algebraization.

a) Tingkat (Level) Penalaran Aljabar di Primary Education

Ake et al. (2013) mengajukan empat level penalaran

aljabar dengan menggunakan tiga kriteria berikut.

1) Adanya bentuk umum yang dihasilkan dari proses

generalisasi.

2) Langkah-langkah dalam melakukan generalisasi.

3) Operasi dan transformasi terhadap variabel dalam bentuk

umum yang dihasilkan dari proses generalisasi.

Untuk level penalaran aljabar Ake et al. (2013)

membagi empat level yaitu :

Tabel 2.1 Karakteristik Level 0-3

Level Karakteristik

Level

0 objek ekstensif (extensive object)

dinyatakan dengan bahasa apa adanya dan numerik

hasil yang diperoleh berasal dari operasi pada objek-objek khusus

Level

1 objek intensif (intensive object)

generalisasi dapat dikenali dengan jelas dengan bahasa apa adanya dan

numerik

terdapat simbol yang merujuk pada objek intensif, tetapi tidak

melakukan operasi terhadap objek tersebut

Level

2 melibatkan variabel yang dinyatakan dengan bahasa simbol yang

merujuk pada objek intensif, tetapi masih bersifat sementara

bentuk umum berupa persamaan Ax ± B = C

tidak melakukan operasi dengan variabel untuk membuat bentuk umum

Level

3

objek intensif dinyatakan dengan bahasa simbol

melakukan transformasi dengan tidak merubah persamaan (equivalen)

terdapat operasi terhadap variabel untuk membuat bentuk umum

(Sumber : Ake,dkk (2013))

Godino et al., (2007) berpendapat bahwa Hasil dari proses

generalisasi disebut objek intensif (intensive object), sedangkan


11

objek baru yang diperoleh melalui operasi terhadap objek-objek

tertentu disebut objek ekstensif (extensive object)).

Berikut adalah contoh soal dan penyelesaian level penalaran

aljabar untuk Primary education menurut Godino et al. (2014)

Tabel 2.2 contoh soal Level 0-3

Pertanyaan: Disebuah sekolah SMA, siswa berangkat ke sekolah dengan berjalan kaki dan naik

kendaraan (kendaraan pribadi dan kendaraan umum). Jika jumlah seluruh siswa di sekolah adalah

212 dan jumlah siswa yang berjalan kaki adalah 3 kali lipat siswa yang naik kendaraan. Berapa

banyak siswa yang berangkat naik dengan kendaraan?

Level 0 Contoh penyelesaian :

Untuk setiap 3 siswa berjalan kaki, ada 1 siswa naik kendaraan.

Untuk setiap 3 siswa yang berangkat berjalan kaki, ada 1 siswa yang berangkat

dengan naik kendaraan. Oleh karena itu , misal ada sebuah kelompok dengan

berjumlah 4 siswa. Pasti ada 1 siswa yang berangkat dengan naik kendaraan., dengan

demikian ada 50 siswa yang berangkat dengan naik kendaraan dari 200 siswa dan

juga ada 3 siswa dari 12 siswa berangkat dengan naik kendaraan. Karena itu, 53 siswa

berangkat dengan naik kendaraan dan tiga kali lipat jumlahnya yaitu 159, dengan

berjalan kaki.


Untuk setiap 4 siswa ada 3 siswa yang berangkat dengan berjalan kaki. Dapat ditulis

menjadi

4 (siswa) ------> 3 berjalan kaki

212 (siswa) ------> x berjalan kaki 4

3=

212

x; x=3×

212

4;x=159

Dengan begitu didapatkan jumlah siswa yang berangkat berjalan kaki yaitu 159,

jumlah siswa yang berangkat dengan kendaraan didapat dari 212 - 159 = 53.


212 = x + 3x

212 = 4x;

x = 212 / 4; x = 53

53 siswa dengan berkendaraan, 212-53 = 159 berjalan kaki


x = Siswa berangkat dengan kendaraan

y = Siswa berangkat dengan berjalan kaki

x+y = 212 ; y = 3x

x+3x = 212

4x = 212;

x = 212/4 = 53

(Sumber : Godino et al. (2014))


12

b) Tingkat (Level) Penalaran Aljabar di Secondary Education

Menurut Radford dalam (Godino et al. ,2014)

berpendapat bahwa Using parameters dan Treatment

parameters dapat menjadi kriteria untuk mendefinisikan

tingkat yang lebih tinggi dari aljabar yang terkait dengan

persamaan dan fungsi. Parameter akan dihubungkan atau

dikaitkan ke tingkat keempat dan kelima dari penalaran

aljabar, sedangkan pembelajaran mengenali sifat – sifat dari

suatu formula mengarah ke tingkat aljabar keenam.

Tingkatan dalam penalaran aljabar Godino et al. (2014) di

tingkat Secondary education membagi yaitu:

1) Level 4 : Using parameters

Menurut Drijvers (2001) berpendapat bahwa

parameter adalah variabel ekstra dalam ekspresi aljabar

atau fungsi. Selain itu, Godino et al. (2014) berpendapat

bahwa parameter adalah simbol yang terlibat dalam

sebuah ekspresi dengan variabel lain, sehingga untuk

setiap nilai tertentu yang dimasukkan ke parameter

didapat sebuah fungsi tertentu. selain itu paramater

dalam sebuah fungsi dan persamaan juga disebut sebagai

koefisien. Dapat disimpukan bahwa parameter adalah

variabel ekstra atau tambahan selain variabel utama,


13

parameter juga mencangkup koefisien dan konstanta dari

suatu fungsi dan persamaan.

Godino et al. (2014) penggunaan parameter untuk

menggantikan bilangan numerik (angka) untuk

menyusun suatu fungsi dan persamaan termasuk kedalam

level penalaran ke empat. Penggantian bilangan numerik

ke parameter dapat terlihat ketika siswa mampu

membuat model matematis dan dapat merubah model

matematis ke bentuk umumnya.

Contoh 1 : Fungsi linear

Godino et al. (2014) juga memberikan contoh :

Dalam ekspresi aljabar y = 2x, simbol y dan x ditafsirkan

sebagai variabel. x sebagai simbol yang dapat mengambil

nilai apapun dari domain yang diberikan, biasanya

bilangan real. Nilai x dan y bersesuaian satu sama

lainnya, sesuai dengan aturan yang ditetapkan dalam

ekspresi yang sesuai. koefisien x dapat digeneralisasi

untuk nilai apapun dalam satu domain tertentu, yang

ditandai dengan ekspresi dari jenis y = ax. a sebagai

parameter dapat mengambil nilai yang berbeda dalam

satu domain tertentu, sehingga untuk setiap nilai diambil

diperoleh fungsi tertentu. Sebagai contoh, untuk a = 2


14

kita memiliki y = 2x dan untuk a = 3 maka diperoleh y =

3x. F = {f (x) = ax| a,x ∈R }.

2) Level 5 : Treatment parameters

Godino et al. (2014) menjelaskan bahawa level

penalaran aljabar ke 5 dapat terlihat ketika melakukan

operasi perhitungan yang dilakukan pada satu atau lebih

parameter yang terlibat dalam sebuah persamaan atau

fungsi.

Contoh 3: Mendapatkan rumus umum persamaan kuadrat

Misalkan ada sebuah persamaan kuadrat 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 =

0, buktikan bagaimana mencari rumus akar – akar

persamaan kuadrat.

Jawab :

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 ⟺ 𝑥2 +𝑏

𝑎𝑥 +

𝑐

𝑎= 0

⟺ 𝑥2 +𝑏

𝑎𝑥 = −

𝑐

𝑎

⟺ 𝑥2 +𝑏

𝑎𝑥 +

𝑏2

4𝑎2= −

𝑐

𝑎+

𝑏2

4𝑎2

⟺ 𝑥2 +𝑏

𝑎𝑥 +

𝑏2

4𝑎2 = −4𝑎𝑐

4𝑎2 +𝑏2

4𝑎2

⟺ (𝑥 +𝑏

2𝑎)2

=𝑏2−4𝑎𝑐

4𝑎2

⟺ 𝑥 +𝑏

2𝑎= √

𝑏2−4𝑎𝑐

4𝑎2

⟺ 𝑥 = −𝑏

2𝑎±

√𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎=

−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎


15

3) Level 6

Godino et al. (2014) menjelaskan bahwa pengenalan

sifat – sifat dari suatu formula ( seperti ruang vektor )

dan pengoperasian fungsi aljabar (penambahan,

pengurangan, pembagian, perkalian, dan komposisi)

mulai di SMA. Karena itu untuk karakteristik tingkat

aljabar keenam yang seharusnya membantu kita untuk

memusatkan perhatian kita pada sifat – sifat khusus dari

suatu formula matematis. Godino et al. (2014)

memberikan contoh di buku sekolah SMA yang yang

sesuai dengan tingkat penalaran aljabar keenam ini:

“Tabel 2.3 menunjukkan sifat – sifat operasi

penjumlahan dari ruang vektor.

Tabel 2.3 Ruang vektor

PENJUMLAHAN DARI DUA ELEMEN V: jika

𝑢,⃗⃗ ⃗ �⃗⃗� ∈ 𝑉, kemudian �⃗⃗� + �⃗⃗� ∈ 𝑉` Sifat – sifat penjumlahan vektor :

komutatif: �⃗⃗� + �⃗⃗� =�⃗⃗� + �⃗⃗� Assosiatif:(�⃗⃗� + �⃗⃗� ) + �⃗⃗⃗� = +�⃗⃗� + (�⃗⃗� + �⃗⃗⃗� )

Vektor nol, jika 0⃗⃗ untuk �⃗⃗� ∈ 𝑣 menghasilkan 0⃗⃗ + �⃗⃗� =�⃗⃗� Kebalikan vektor, semua vektor 𝑣 ⃗⃗ ⃗ memiliki

kebalikan −𝑣 ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗:

𝑣 + −𝑣⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 0⃗

Sumber : Colera & Oliveira (Godino et al. ,2014)

3. Indikator Penalaran Aljabar

Indikator penalaran aljabar yang akan digunakan dalam

penelitian ini disesuaikan dengan teori Godino et al. (2014)


16

untuk secondary education. Karena penelitian ini akan

dilaksanakan pada Sekolah Menengah Kejuruan (SMK).

Tabel 2.4 Pelevelan dan indikator penalaran aljabar

Level 4 Level 5 Level 6 Indikator

Level

4(Using

parameters)

√ Menggantikan bilangan

numerik (angka) dengan

parameter dilihat ketika

siswa membuat model

matematika dan membuat

bentuk umum dari model

matematika tersebut.

Level

5(Treatments

parameters)

√ Melakukan operasi aljabar

terhadap dua parameter

Level 6 √ Mengetahui sifat-sifat

khusus dari operasi

aljabar terhadap suatu

formula matematika.

B. Penelitian Relevan

Dalam penelitiannya Nuraini,dkk (2016) menyimpulkan

bahwa terdapat dua subjek untuk penalaran aljabar level 0, terdapat

dua subjek untuk penalaran aljabar level 1, terdapat tiga subjek

untuk penalaran aljabar level 2, dan terdapat tiga subjek untuk

level yang berada diatas level 2 namun belum mencapai level 3.

Selain itu pada penelitian tersebut peneliti menggunakan pelevelan

menurut Ake dan indikator penelitian yang digunkan menggunakan

indikator pemecahan masalah yang disesuaikan dengan level

penalaran aljabar.

Dalam penelitiannya Rosita (2016) menyimpulkan bahwa

kemampuan penalaran aljabar mahasiswa pendidikan matematika


17

semester 5 STKIP Sebelah April Sumedang terdapat enam

pelevelan aljabar yaitu level unistruktural rendah, unistruktural,

multistruktural, relational, relational tinggi (lebih dari relational,

tetapi belum mencapai level exteded abstract), dan exteded

abstract. Data diperoleh dari 38 subjek yaitu 3 subjek untuk

penalaran aljabar level unistruktural rendah, 15 subjek untuk

penalaran aljabar level unistruktural, 15 subjek untuk penalaran

aljabar level multistruktural, 3 subjek untuk penalaran aljabar level

relational, 1 subjek untuk penalaran aljabar level relatonal tinggi,

dan 1 subjek untuk penalaran aljbar level extended abstract. Dalam

penelitian tersebut peneliti menggunakan pelevelan model SOLO.

Dua penelitian di atas menggunakan penalaran aljabar dan

salah satu penelitian pada tingkat pendidikan SMP dan yang satu

pada perguruan tinggi, penelitian lainnya belum ada pada jenjang

pendidikan SMA/MA/SMK. Selain itu juga pada dua penelitian

diatas belum menggunakan pelevelan aljabar menurut Godino.

Oleh karena itu peneliti akan melakukan penelitian pada jenjang

pendidikan SMA/MA/SMK dan berdasarkan pelevelan penalaran

aljabar yang berbeda dengan jenjang pendidikan SMP/MTs dan

menggunkan pelevelan penalaran aljabar menurut Godino.

C. Kerangka Pikir

Pendidikan di indonesia dilaksanakan pada lembaga

pendidikan formal dan nonformal. Dalam lembaga pendidikan


18

formal ada beberapa jenjang pendidikan yaitu SD/MI, SMP/MTs,

SMA/SMK/MA dan Perguruan Tinggi. Pada Jenjang

SMA/SMK/MA berbeda dalam kemampuan yang ingin dicapai

setiap siswa, pada jenjang SMA sekolah menitik beratkan pada

teori dan sedikit praktik. Untuk jenjang SMK berbeda lagi, sekolah

menitik beratkan pada praktik karna bertujuan untuk siswa SMK

agar siap dalam menghadapi dunia kerja dan untuk MA sekolah

lebih banyak mengajarkan tentang ilmu agama. Sehingga

menyebabkan kemampuan siswa antara SMK dan SMA berbeda

dalam menyerap informasi. Lulusan SMK disiapkan untuk

memasuki dunia kerja, tetapi ada juga yang melanjutkan kedalam

Perguruan Tinggi.

Matematika merupakan materi pelajaran yang mendapat

perhatian khusus, karena matematika adalah dasar dari aplikasi

dalam kehidupan sehari-hari dan ilmu yang mendasari ilmu

lainnya. Dalam matematika terdapat beberapa bidang, salah satu

bidang yaitu aljabar. Aljabar juga merupakan salah satu materi

yang diajarkan disekolah. penalaran aljabar yang kadang disebut

sebagai Algebraic Reasoning atau Algebraic thinking memiliki

level yang disesuaikan oleh jenjang pendidikan. Untuk tingkat

SMP/MTs masuk kedalam primary education, Ake et al. (2013)

membagi 4 level yaitu level 0, level 1, level 2, dan level 3. Pada

jenjang SD/MI belum diajar secara langsung konsep aljabar, maka


19

pada jenjang SD/MI masuk kedalam level 0. Pada tingkat

SMA/MA/SMK masuk kedalam secondary education, Godino et

al. (2014) membagi 3 level yaitu : Level 4 (Using parameter),

Level 5 (Treatments parameters) dan level 6.

Manusia adalah makhluk yang tercipta dengan memiliki

akal, sehingga menyebabkan manusia dapat berfikir dan bernalar.

Kemampuan antar manusia berbeda karna manusia memiliki

kelebihannya masing – masing, oleh karena itu penalaran aljabar

dari setiap siswa pun berbeda. Setelah preses pembelajaran

didalam kelas biasanya dilakukan evaluasi pembelajaran baik

dalam bentuk ulangan harian, Ulangan Tengah Semester, dan

Ulangan Akhir Semester guna mengetahui sejauh mana

kemampuan siswa dalam menyerap informasi yang telah diberikan

oleh guru. Dalam menyerap informasi yang diberikan oleh guru

setiap siswa tidaklah sama, sehingga menyebabkan

pengkategorian. Kategori biasanya dengan kemampuan tinggi,

kemampuan sedang dan kemampuan rendah.

D. Tinjauan Materi

Materi yang akan digunakan dalam penelitian ini adalah

materi kelas X


20

Tabel 2.5 Tinjauan Materi

Materi pokok Kelas/Semeter Indikator

Eksponen dan

logaritma

X/1 Siswa mampu

menggunakan aturan-

aturan perpangkatan

Siswa mampu

menggunakan aturan-

aturan akar

Siswa mampu

menyusun rumus

perpangkatan dari

masalah dunia nyata

SPLDV X/1 Siswa dapat

menjelaskan konsep

PLDV

Siswa dapat

menyusun model dari

masalah sehari-hari


BAB II LANDASAN TEORI A. Deskripsi Konseptual 1. Penalaran ...repository.ump.ac.id/7630/3/RINO...

Documents

Transcript of BAB II LANDASAN TEORI A. Deskripsi Konseptual 1. Penalaran ...repository.ump.ac.id/7630/3/RINO...