Page 1 of 21

BAB II KEGIATAN PEMBELAJARAN

A. TURUNAN FUNGSI ALJABAR

1. Definisi Turunan Fungsi

Contoh Soal :

1. Tentukan turunan dari f(x) = 4x – 3

Penyelesaian

f(x) = 4x – 3

f( x + h) = 4(x + h) – 3

= 4x + 4h – 3

maka ( )h

xfhxfxf

h

)()(lim'

0

−+=

→

4

4lim

33444lim

)34()344(lim

0

0

0

=

=

+−+−=

−−−+=

→

→

→

h

h

h

hxx

h

xhx

h

h

h

Fungsi f : x → y atau y = f(x) mempunyai turunan yang dinotasikan y’ = f’(x)

atau ( )

dx

xdf

dx

dy= di definisikan :

( )( )

h

xfhxfxfy

h

)(lim''

0

−+==

→ atau

( ) ( )

x

xfxxf

dx

xdf

dx

dy

x ∆

−∆+==

→∆

)(lim

0

Definisi

Page 2 of 21

2. Tentukan turunan dari f(x) = 3x2

Penyelesaian

f(x) = 3x2

f(x + h) = 3(x + h)2

= 3(x2 + 2xh + h

2)

= 3x2 + 6xh + 3h

2

maka:h

xfhxfxf

h

)()(lim)('

0

−+=

→

= h

xhxhx

h

222

0

3)363(lim

−++

→

= h

hxh

h

2

0

36lim

+

→

= 36lim0

+→

xh

h

= 6x+ 3.0

= 6x

Latihan

Dengan definisi di atas tentukan nilai turunan berikut:

1. f(x) = 6 – 2 x 2)(' −=⇒ xf

2. f(x) = 5x2 +2x 210)(' +=⇒ xxf

3. 2

1)(

xxf =

3

2)('

xxf

−=⇒

4. xxf =)(x

xf2

1)(' =⇒

Page 3 of 21

2. Teorema -Teorema Turunan Fungsi

Contoh Soal :

1. 0)('5)( =⇒= xfxf

2. 0)('2)( =⇒= xfbxf

3. ( ) 0)('3

4 2=⇒= xfyxf

Contoh soal :

1. Turunan dari ( ) 32xxf = adalah…

Penyelesaian

Diketahui : - a = 2

- n =3

maka : 13.2.3)(' −= xxf

26x=

2. Turunan dari 3 2

2

)(x

xxf = adalah …….

Penyelesaian

Turunan Fungsi Konstan

Jika f(x) = a, dimana a adalah konstanta maka:

Raxfaxf ∈=⇒= ;0)(')(

Teorema 1

Jika f(x) merupakan fungsi aljabar dan bukan fungsi konstan, a bilangan

real dan n adalah bilangan rasional maka :

1.)(')( −=⇒=

nnaxnxfaxxf

Teorema 2

Page 4 of 21

3 2

2

)(x

xxf = disederhanakan bentuk aljabarnya menjadi :

3

2

2.)(−

= xxxf

.)( 3

22−

= xxf

.)( 3

4

xxf =

.3

4)('

13

4−

= xxf

.3

4)(' 3

1

xxf =

.3

4)(' 3 xxf =

3. Turunan pertama dari 48122)( 23+−+= xxxxf adalah …

Penyelesaian

f(x) = 2x3 + 12x

2 – 8x + 4

f ’(x) = 2.3x2 + 12.2x – 8

= 6x2 + 24x - 8

4. Turunan dari ( ) ( )( )232 4 3+−= xxxf adalah ….

Penyelesaian

( ) ( )( )232 4 3+−= xxxf disederhakan bentuk aljabar sehingga menjadi :

( ) 634.2 4 34 3−−+= xxxxxf

( ) 6342 4

3

2

1

4

5

−−+= xxxxf

( ) 03.4

34.

2

1.2.

4

5'

14

31

2

11

4

5

−−+=−−−

xxxxf

( ) 4

1

2

1

4

1

4

92.

4

10'

−−

−+= xxxxf

( )4

4

4

92.

2

5'

xxxxf −+=

Page 5 of 21

Contoh Soal :

1. Turunan dari f(x) = (3x – 2)(4x + 1) adalah …

Penyelesaian

f(x) = (3x – 2)(4x + 1)

diketahui : u(x) = 3x – 2 ⇒ u’(x) = 3

v(x) = 4x + 1 ⇒ v’(x) = 4

sehingga

( ) ( ) ( )234143' −++= xxxf

( ) 812312' −++= xxxf

( ) 524' −= xxf

2. Turunan dari ( ) ( )423

2 6

3

3 22−

+= x

xxxxf adalah….

Penyelesaian

( ) ( )423

2 6

3

3 22−

+= x

xxxxf

( ) ( )423

2 62

3

3

8

−

+=

−

xxxxf

Turunan perkalian dua fungsi aljabar

Jika f(x) merupakan fungsi hasil perkalian dua fungsi, maka :

)(')()()(')(')().()( xvxuxvxuxfxvxuxf +=⇒=

Teorema 3

Page 6 of 21

maka : - 2

5

3

5

2

3

3

8

3

8)('

3

2)(

−−

−=⇒+= xxxuxxxu

- 56 12)('42)( xxvxxv =⇒−=

Sehingga :

( )

( )5

73 183 5

5

3 573 23

2

5

3

5

2

7

3

23

2

7

3

23

2

5

2

7

3

5

3

23

2

3

3

8

562

5

3

5

463252

3

1)('

4

3

326

3

52)('

43

326

3

52)('

812423

32

3

16)('

3

21242

3

8)('

xxxxxf

xxxxxf

xxxxxf

xxxxxxxf

xxxxxxxf

++−=

+−+=

+−+=

+++−−=

++−

−=

−

−

−−

Contoh Soal

1. Tentukan turunan pertama dari ( )( )( )123)( 32+−−= xxxxxf

Penyelesaian

23

2

3)('1)(

12)(')(

3)('23)(

xxwxxw

xxvxxxv

xuxxu

=⇒+=•

−=⇒−=•

=⇒−=•

Sehingga

Turunan hasil perkalian tiga fungsi aljabar

Jika f(x) merupakan fungsi hasil perkalian tiga fungsi u(x), v(x) dan w(x)

maka :

vwuwwvuvwuvuxfuvwxf '''''')(')( +++++=⇒=

Teorema 4

Page 7 of 21

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )

48385

12327366339323

33691222763333

32331122312133)('

234

222333344

342334232

222332

+−++=

−+++−−−++−+−++=

−+−+−+−++−+++−=

−+−++−+−−+++−=

xxxx

xxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxf

Contoh Soal

1. Jika 4

23)(

+

−=

x

xxf maka f’(x) = ….

Penyelesaian

Missal : - 3)('23)( =⇒−= xuxxu

- 1)('4)( =⇒+= xvxxv

Sehingga :

( )

( )

( )2

2

2

2

4

14)('

4

23123)('

4

)23()4(3)('

'')('

4

23)(

+=⇒

+

+−+=⇒

+

−−+=⇒

−=⇒

+

−=

xxf

x

xxxf

x

xxxf

v

uvvuxf

x

xxf

Turunan hasil pembagian dua fungsi aljabar

Jika f(x) merupakan fungsi hasil bagi fungsi u(x) oleh fungsi v(x) maka :

( )2)(

)()(')()(')('

)(

)()(

xv

xuxvxvxuxf

xv

xuxf

−=⇒=

Teorema 5

Page 8 of 21

2. Jika 26

)(2

3

−=

x

xxf tentukan turunan pertama

Penyelesaian

Misal : - 23 3)(')( xxuxxu ⇒=

- xxvxxv 12)('26)( 2=⇒−=

( )

( )

( )22

24

22

424

22

322

22

3

26

66)('

26

12618)('

26

)(12)26(3)('

'')('

26)(

−

−=⇒

−

−−=⇒

−

−−=⇒

−=⇒

−=

x

xxxf

x

xxxxf

x

xxxxxf

v

uvvuxf

x

xxf

Contoh Soal

1. Jika f(x) = (2x – 1)

3 maka nilai f

‘(x) adalah …

Pembahasan

3

2)('12)(

=•

=⇒−=•

n

xuxxu

Turunan fungsi berpangkat

Jika f(x) merupakan fungsi hasil dari u(x) pangkat n, dimana n adalah

bilangan rasional maka :

( ) ( ) )('.)(.)(')()(1

xuxunxfxuxfnn −

=⇒=

Teorema 6

( )

( )

( )

( )62424)('

1446)('

126)('

)2(123)('

)('.)()(')12(

2

2

2

13

13

+−=⇒

+−=⇒

−=⇒

−=⇒

=⇒−

−

−

xxxf

xxxf

xxf

xxf

xuxunxfxfn

Page 9 of 21

2. Jika f(x) = (2x3 – 4x

2 + x

)12

maka nilai f ‘(x) adalah …

Pembahasan

12

186)('42)( 223

=•

+−=⇒+−=•

n

xxxuxxxxu

( )

( )

( )( )11232

21123

11223

42129672)('

)186(4212)('

)('.)()(')42(

xxxxxxf

xxxxxxf

xuxunxfxxxfn

+−+−=⇒

+−+−=⇒

=⇒+−−

3. Jika ( )4 32 13)( +−= xxxf maka )(' xf adalah …

Pembahasan

( ) ( )

4

3

16)('13)(

13)(13)(

2

4

324 32

=•

−=⇒+−=•

+−==+−=•

n

xxuxxxu

xxxfxxxf

( ) ( )

( )

( )( )

( )

( )( )

( )

( )4 2

4 2

4 2

4

12

4

12

14 32

134

318)('

134

163)('

13

16

4

3)('

13

116

4

3)('

)16(134

3)('

)('.)()('13)(

+−

−=⇒

+−

−=⇒

+−

−=⇒

+−

−=⇒

−+−=⇒

=⇒+−=

−

−

xx

xxf

xx

xxf

xx

xxf

xx

xxf

xxxxf

xuxunxfxxxfn

Page 10 of 21

4. Jika ( )3 2 823)( +−= xxxf maka nilai )0('f adalah …

Pembahasan

( ) ( )

3

1

26)('823)(

823)(823)(

2

3

123 2

=•

−=⇒+−=•

+−==+−=•

n

xxuxxxu

xxxfxxxf

( ) ( )

( )

12

2)0('

)2)0(6(8)0(2)0(33

1)0('

)('.)()('823)(

3

22

13 2

−=⇒

−+−=⇒

=⇒+−=

−

−

f

f

xuxunxfxxxfn

Contoh Soal :

1. Jika 12)( += xxg dan 4)( 2+= xxh maka turunan dari ( )( )xgh o adalah…

Penyelesaian

( ) ( ) )()()(

2)('4)(

2)('12)(

2

xfxghxgh

xxhxxh

xgxxg

==•

=⇒+=•

=⇒+=•

o

Sehingga

Cara I

Turunan Aturan Rantai

Jika f(x) merupakan fungsi hasil komposisi antara u(x) dan g(x) dinama

u(x) dan g(x) mempunyai turunan maka :

( )( ) ( ) )('.)(')(')( xgxguxfxguxf =⇒=

Teorema 7

Page 11 of 21

( )

( )

48

124

2.122

)(')).((')('))(()(

+=

+=

+=

=⇒=

x

x

x

xgxghxfxghxf

Cara II

( )

48)('

544

412

)12())(()(

2

2

+=

++=

++=

+==

xxfmaka

xx

x

xhxghxf

2. Turunan pertama dari ( )103 12)( +−= xxxf adalah…

Penyelesaian

( )

)(')).((')('))(()(

10)(')(

16)('12)(:

12)(

910

23

103

xuxugxfxugxf

xxguxg

xxuxxxumisal

xxxf

=⇒=•

=⇒=•

−=⇒+−=•

+−=

Sehingga

( )

( ) ( )

( ) ( )106012)('

161210)('

)(')).((')('12)(

293

293

103

−+−=⇒

−+−=⇒

=⇒+−=

xxxxf

xxxxf

xuxugxfxxxf

Latihan soal.

Tentukan turunan dari:

1. 32)( −= xxf

2. 5

3)(

xxf =

3. 34)( xxf =

4. ( )23)12()( 10−+= xxxf

Page 12 of 21

5. x

xxf

2)2()(

+=

6. xxxf 5)( 2−=

Page 13 of 21

Evaluasi Kegiatan pembelajaran 1

1. Jika xxxf24)( = maka f’(x)

adalah…

a. xx10 d. xx2

b. xx8 e. 2x2

c. xx4

2. Jika xxxf +=3)( maka

f’(a) adalah…

a. a

a

2

13 + d.

a

a

2

3

b. a

a

2

12 + e.

12

2

+a

a

c. a

a

2

13 +

3. Jika 1)23( +=+ xxxf maka

)11('12 f adalah…

a. 9 d. 14

b. 11 e. 15

c. 12

4. Jika 52492)( 23+−+= xxxxf

dan 0)(' <xf maka nilai x yang

memenuhi adalah…

a. 41 <<− x

b. 41 << x

c. 14 <<− x

d. 14 >−< xataux

e. 41 >−< xataux

5. Jika 8)32( 34+− xxf maka

)2('f adalah…

a. 2

16 d.

4

332

b. 3

19 e.

2

133

c. 2

116

Page 14 of 21

KEGIATAN PEMBELAJARAN 2

B. TURUNAN FUNGSI TRIGONMETRI

Kompetensi Dasar :

6.1 Menggunakan konsep dan aturan turunan dalam perhitungan turunan fungsi

Trigonometri

6.2 Menggunakan turunan untuk menentukan

karakteristik suatu fungsi dan memecahkan masalah

Tujuan Pembelajaran :

1. Menentukan turunan fungsi trigonometri dengan menggunakan Teorema

Turunan

2. Menentukan turunan fungsi komposisi dengan aturan Rantai

Menentukan turunan fungsi trigonometri

Pada prinsipnya teorema turunan fungsi trigonometri sama dengan turunan fungsi

aljabar.

Contoh Soal:

1. Jika xy sec= tentukan 'y

Penyelesaian

( ) 11 coscoscos

1sec

−−=⇒=⇒=⇒= xyxy

xyxy

Teorema Dasar Turunan Fungsi Trigonometri

xxfxxf cos)('sin)(.1 =⇒=

xxfxxf sin)('cos)(.2 −=⇒=

xxfxxf2sec)('tan)(.2 =⇒=

Teorema 8

Page 15 of 21

{ }

( )

xxy

xx

xy

x

xy

xxy

xxyxy

xuxuny

xxuxu

n

diketahui

xy

n

sectan'

cos.cos

sin'

cos

sin'

)sin(cos'

sin.cos)1('cos

)('.)('

sin)('cos

1

:

cos

2

2

111

1

1

=⇒

=⇒

=⇒

−−=⇒

−−=⇒=

=

−=⇒=•

−=•

=

−

−−−

−

−

2. Jika )23sin( −= xy tentukan 'y

Penyelesaian

)23cos(3'

3.cos'

)(')).((''

))((sin)23sin(

cos)('sin)(

3)('23)(

:

−=

=

=

=⇒=⇒−=

=⇒=•

=⇒−=•

xy

uy

xuxugy

xugyuyxy

uxguxg

xuxxu

misalkan

3. Jika 22 3sin)( xxf = tentukan )(' xf

Penyelesaian

))(()(3sin)(

cos.sin2)('sin)(

6)('3)(

:

22

2

2

xugxfxxf

uuxguxg

xxuxxu

misal

=⇒=•

=⇒=•

=⇒=•

Page 16 of 21

2

22

6sin6)('

cossin22sin:3cos3sin12)('

cossin12)('

6.cossin2)('

)(')).((')('

xxxf

xxxsifatxxxxf

uuxxf

xuuxf

xuxugxf

=

=⇒=

=

=

=

4. Jika xxxf 2sin3cos2)( += maka ....)(' =xf

Penyelesaian

xxxf

xxxf

xxxf

2cos6sin2)('

2).2(cos3)sin(2)('

2sin3cos2)(

+−=

+−=

+=

5. Jika xxxf 2cossin4)( 2= tentukan turunan pertama f’(x)

Penyelesaian

Diketahui :

xxxxxf

xxxxxf

uvvuxfvuxfxxxf

Sehingga

xxv

xxv

xpxprxvxprxv

pxr

ppxrpxr

xpxxpmisalxxv

xxuxxu

sin4sin82coscos4)('

)sin4)(4sin2()2)(coscos4()('

'')('.)(2cossin4)(

:

4sin2)('

2).2(2sin)('

)(')).((')('))(()(

2sin)('

sincos2)('cos)(

2)('2)(:2cos)(

cos4)('sin4)(

2

2

2

2

2

−=⇒

−+=⇒

+=⇒=⇒=

−=⇒

−=⇒

=⇒=•

−=

−=⇒=•

=⇒=•⇒=•

=⇒=•

Page 17 of 21

Latihan soal : Tentukan turunan dari fungsi berikut :

1. f(x) = sin x – 3 cos x

2. f(x) = sin 3x

3. f(x) = cos (3x + π )

4. f(x) = tan ( )32

1 π+x

5. f(x) = sec x

6. f(x) = sin x. cos x

7. f(x) = cos2x

8. f(x) = x

x

2sin

Evaluasi Kegiatan Pembelajaran 2

1. Jika tw 2sin= maka w’=……

a. cos 2t

b. 2cos 2t

c. sin 2t + t cos 2t

d. 2t cos 2t + sin2 t

e. sin 2t – t cos 2t

2. Jika xxxf sin22cos)( += maka

....4

=

πf

a. 22 − d. 12 +

b. 12 − e. 22 +

c. 2

3. Jika xxy tan+−= maka ....'=y

a. sin2 x d. sec

2 x

b. cos2 x e. cosec

2 x

c. tan2 x

4. Jika xxxf cossin)( = maka nilai dari

.....6

=

πf

a. 2

1 d. 3

3

2

b. 22

1 e. 1

c. 32

1

5. Jika ( )xxxf +=24 2sin)( maka

....)( =xf

a. ( )xx +23 2sin4

b. ( ) ( )1cos2sin4 22−+ xxx

c. ( ) ( )xxxx ++223 2sin2cos4

d. ( ) ( ) ( )xxxxx +++232 2cos22sin24

e. ( ) ( ) ( )xxxxx 24sin2sin142 222+++

6. Turunan pertama dari xy4cos=

adalah....

a. x3cos

4

1

b. x3cos

4

1−

c. x3cos4−

d. xx sincos4 2−

e. xx sincos2 2−

7. Jika xxf 2cot)( = maka ....)(' =xf

a. xec 2cos2 2−

b. xec 2cos2 2

c. x2sin2 2−

d. x2sin2 2

e. x2tan2 2−

Page 18 of 21

C. APLIKASI TURUNAN

1. Garis Singgung Pada Kurva

Apabila garis AB diputar pada titik A maka titik B akan bergerak

mendekati titik A(h→0) maka tali busur AB menjadi garis singgung pada

kurva y = f(x) di titik A(a, f(a))dengan gradient :

)('

)()(lim

0

afm

h

afhafm

g

hg

=

−+=

→

Sehingga persamaan garis singgung pada kurva y = f(x) di titik A(a, f(a))

atau A(x1, y1) adalah

( )11 xxmyy −=−

Contoh Soal :

Diketahui kurva y = x2 – 3x + 4 dan titik A(3, 4)

a. Tentukan gradient garis singgung di titik A.

b. Tentukan persamaan garis singgung di titik A.

Perhatikan gambar di samping

Gradien garis AB adalah

m AB = 12

12

xx

yy

−

−

= aha

afhaf

−+

−+

)(

)()(

= h

afhaf )()( −+

y

x

• B((a + h), f(a + h))

x = a x = a + h

•A(a, f(a)) y = a

y = f(x)

Page 19 of 21

Penyelesaian

32'

432

−==

+−=

xym

xxy

a. Gradien di titik A(3, 4)

3

3)3(2' 3

=

−== =

m

ym x

b. Persamaan garis singgung di titik A(3, 4)

( )

( )

53

934

334

11

−=

−=−

−=−

−=−

xy

xy

xy

xxmyy

Latihan soal

1. Tentukan gradien garis singgung pada kurva:

a. y = x2 – 6x di titik (-1, 7)

b. y = sin 2x di titik )22

1,

2(π

2. Tentukan persamaan garis singgung pada kurva

a. y = x2

– 2x – 3 di titik (3, 1)

b. y = x - 2x2 di titik dengan absis 1

c. y = (2- x)(2x +1) di titik dengan ordinat 8

3. Suatu garis singgung pada kurva y = 3 + 2x – x2 sejajar dengan garis

4x + y = 3, tentukan :

a. Titik singgung

b. persamaan garis singgung

Page 20 of 21

2. Fungsi Naik Dan Fungsi Turun

1. Fungsi f(x) disebut fungsi naik pada interval a ≤ x ≤ b, jika untuk setiap

x1 dan x2 dalam interval a ≤ x ≤ b berlaku :

)()( 1212 xfxfxx >⇔>

2. Fungsi f(x) disebut fungsi turun pada interval a ≤ x ≤ b, jika untuk

setiap x1 dan x2 dalam interval a ≤ x ≤ b berlaku :

)()( 1212 xfxfxx <⇔<

3. Fungsi f (x) disebut fungsi naik pada titik dengan absis a, jika f’ (a) > 0

4. Fungsi f(x) disebut fungsi turun pada titik dengan absis a, jika f’(a) < 0

5. Fungsi f(x) disebut fungsi turun pada titik dengan absis a, jika f’(a) < 0

Contoh Soal

Tentukan pada interval mana fungsi f(x) = x3 + 9x

2 + 15x + 4 merupakan :

a. Fungsi naik

b. Fungsi turun

b

f(x)

y

f(x)

a

y

a b

Fungsi naik Fungsi Turun

x1 x2 x1 x2

Page 21 of 21

Penyelesaian

a. Syarat fungsi naik f’(x) > 0

f(x) = x3 + 9x

2 + 15x + 4

f’(x) = 3x2 + 18x + 15

f’(x) > 0 ⇒ 3x2 + 18x + 15 > 0

x2 + 6x + 5 > 0

(x + 1)(x + 5) > 0

x < - 5 atau x > -1

Jadi fungsi naik pada interval 15 −>−< xataux

b. Syarat fungsi turun f’(x) < 0

f(x) = x3 + 9x

2 + 15x + 4

f’(x) = 3x2 + 18x + 15

f’(x) < 0 ⇒ 3x2 + 18x + 15 < 0

x2 + 6x + 5 < 0

(x + 1)(x + 5) < 0

15 −<<− x

Jadi fungsi naik pada interval 15 −<<− x

Latiha soal

1. Tentukan pada interval mana fungsi berikut merupakan fungsi naik atau

fungsi turun.

a. f(x) = x2 – 6x

b. f(x) = 3

1x

3 + 4x

2 – 20x + 2

c. f(x) = (x2 - 1)(x+1)

2. Tunjukkan bahwa fungsi f(x) = x3 – 6x

2 + 12x + 6 tidak pernah turun.

- 5 - 1

( + )

Daerah

Positif

( - )

daerah

Positif

( + )

Daerah

Positif