BAB II

DASAR TEORI

Aeroelastis merupakan ilmu yang mempelajari interaksi diantara aerodinamik dan

struktur. Parameter struktur yang berhubungan yaitu inersia dan stiffness.

Sehingga 3 aspek ini akan saling mempengaruhi. Pada bidang ini dikaji antara lain

ketidakstabilan statik dan dinamik. Sehingga dalam initial design dibutuhkan

prediksi yang tepat untuk mendapatkan karakteristik ketidakstabilan baik statik

maupun dinamik. Untuk itu didapatkan cara untuk memodifikasi baik struktur

yang mampu menahan ketidakstabilan yang timbul dan juga adanya bentuk dari

struktur yang menghasilkan aspek aerodinamika yang menguntungkan.

2.1 Persamaan aeroelastik

Persamaan gerak aeroelastik diturunkan dengan prinsip perubahan energi, yang

didekati dengan persamaan energi Lagrange

. .d T U D Qdt qq q

⎛ ⎞∂ ∂ ∂⎜ ⎟ + + =⎜ ⎟ ∂∂ ∂⎝ ⎠

(1)

dimana , ,q h α β=

T = energi kinetik pada benda

U = energi potensial pada benda

D = damping osilasi

h = osilasi heaving

α = osilasi torsi

β = osilasi torsi pada control surface

Jika dijabarkan pada salah satu osilasi heaving yaitu

2.. .. .. ..

2 h hh

g MhM h S S M h h Qα β

ωα β ωω

+ + + + = (2)

5

atau dalam bentuk umum dalam discrete coordinate

[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } { }.. .

( )M u C u K u F t+ + = (3)

dimana

[M] = mass matrik

[C] = discrete damping matric

[K]= stiffness matric

{u}= vector gerak benda

{ }( )F t = gaya luar / aerodinamik force

Dengan menggunakan asumsi vektor perpindahan tiap titik atau nodal merupakan

kombinasi linear dari beberapa nm dari modus getaran frekuensi rendah yaitu

{ } [ ]u qφ= (4)

dengan kata lain bahwa koordinat gerak struktur dapat dinyatakan terpisah

menjadi bidang spatial [ ]φ dan temporer q dimana [ ]φ modus gerak struktur ,

yang berukuran (n x m ) dengan n menyatakan jumlah titik yang ditinjau dan m

menyatakan modus yang digunakan. Dengan memsubtitusi persamaan (4) ke (3)

dan mengalikannya dengan [ ]Tφ , maka persamaan aeroelastik pada persamaan

(3) dapat ditulis menjadi

[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } { }.. .

( )s s s sM q C q K q F t+ + = (5)

dimana

[ ] [ ] [ ][ ]TsM Mφ φ= = matrik massa rampat

[ ] [ ] [ ][ ]TsK Kφ φ= = matrik kekakuan rampat

[ ] [ ] [ ][ ]TsC Cφ φ= = matrik damping (6)

6

{ } [ ] { }( ) ( )TsF t Fφ= t = gaya luar / aerodinamik rampat

q(t) = vector koordinat general

Matrik massa dan matrik kekakuan mempunyai ukuran [m x m] dengan m adalah

jumlah modus.

2.1.1 Beban Aerodinamik Tak Tunak

Persamaan flutter adalah persamaan tidak homogen, dikarenakan adanya beban

aerodinamik tak tunak. Persamaan untuk menyelesaikan load dan momen yang

terjadi pada persamaan aeroelastik ini akan diselesaikan dengan persamaan DLM

(Doublet Lattice Method). Dengan metode ini, lifting surface dibagi menjadi

beberapa segment yaitu panel trapezoidal. Panel trapezoidal memiliki sisi yang

sejajar dengan arah streamwise. Biasanya juga dipakai panel coplanar yaitu panel

yang mempunyai lebar yang sama. Metode doublet Lattice ini biasanya juga

digunakan pada finite elemen structural codes, tetapi tidak mungkin digunakan

secara identik pada grid struktur dan aerodinamik grid. Dengan demikian

diperlukan adanya splining tehnik yang digunakan untuk menghubungkan antara

dua grid tersebut.

Gambar 2.1. Panel pada Doublet Lattice Method Ref [10]

Pada metode ini, distribusi pressure yang belum diketahui diasumsikan seragam

pada panel panel yang telah dibagi. Sehingga tekanan tersebut dapat diintegralkan

pada persamaan :

( )0 0( , ) , , ,

8pj

j

Cw x y K x x y y M k dSV π

Δ= − −∑ ∫∫ (7)

7

dimana

j = sending panel

S = luas permukaan panel

W(x,y) = downwash pada panel

V = kecepatan

K = fungsi kernel

M= bilangan Mach

Pada persamaan diatas bahwa suku kiri menunjukan pengaruh kecepatan secara

eksplisit. Fungsi Kernel diintegrasikan pada arah aliran (streamwise) dengan

menempatkan efek tekanan pada garis dari tekanan doublet pada ¼ chord line

pada masing-masing panel. Sehingga persamaan diatas menjadi

( , ) cos ( , , , )8

pjj j o o

j lj

Cw x y C K x x y y M kV

βπ

Δ= − −∑ ∫ dl (8)

dimana

l = garis integral (l) dihitung pda ¼ cord panel jth panel ,

Cj = mean (tengah) chord dari jth panel

jβ = sweep angle paa ¼ cord line pada jth panel

cosdS c dlβ=

Pada persamaan integral ini, kondisi batas normalwash w(x,y) diketahui jika

tekanan pj pada tiap panel tidak diketahui. Ketika kondisi batas pada normal wash

terpenuhi pada beberapa point (collocation point) maka dihasilkan persamaan

aljabar linear pada tiap panel. Collocation point ini diletakan pada tengah span,

3/4 cord tiap panel. Kondisi batas yang lain yang harus dipenuhi yaitu kondisi

Kutta. Kondisi kutta ini dipenuhi pada titik control point.

Secara simultan, integral pada metode doublet lattice dapat diselesaikan dengan

persamaan

{ } [ ]{( , )p

w x ya DV

⎧ ⎫= =⎨ ⎬⎩ ⎭

}CΔ (9)

8

Dimana :

α = vektor normal wash non dimensional

[D] = matrik persegi dari aerodynamic influence coefficient pada panel ijth

cos8

j

j jij ij

l

cD K dl

βπ

= ∫ (10)

{ }pCΔ = vector dari complex pressure coeficient

Untuk mendapatkan gaya aerodinamik, yaitu dengan mensubstitusikan persamaan

aerodinamik pada persamaan aeroelastik, diperlukan gaya aerodinamik dalam

bentuk generalized forces yang digunakan pada persamaan Lagrange seperti

pada persamaan (1) yaitu variable Q. Prosedur umum yang biasa digunakan yaitu

menuliskan kedua bentuk energi yaitu energi kinetik dan potensial dalam bentuk

structural mode shape, w(x,y), dimana dapat diperoleh dengan menggunakan

finite elemen model. Prinsip virtual work digunakan untuk menghitung gaya Q.

Matrik gaya ini Q, dihitung untuk masing-masing mode yang saling berpengaruh

yaitu dalam bentuk aerodinamik.

Kerja yang dilakukan pada gerak struktur mode shape ( ),iw x y dikarenakan

adanya osilasi dalam modus ( ),iw x y yaitu

( ) ( ), ,i js

w x y p x y dSδ∫∫ (11)

dimana mode shape ( ),iw x y dapat ditulis sebagai

( ), (i i iw x y l f x y= , ) (12)

dimana adalah amplitude dari mode shape yang sifatnya undertemined dan il

( , )if x y adalah nondimensional shape function (bentuk geometri dari suatu mode).

adalah generalized coordinate (biasanya il iq li= ) yang digunakan pada mode.

Oleh karena itu

thi

( ), (i i iw x y l f x yδ δ= , ) (13)

9

Biasanya untuk menyatakan generalized forces , yaitu dalam hal ini iQ , digunakan

non dimensional variable. Sehingga untuk menyatakan tekanan , ditulis

dalam bentuk koefisien tekanan

( , )p x y

( ),pC x yΔ , maka

( )2( , ) ,jj pp x y V C x yρ= Δ (14)

Sehingga kerja virtual yang dilakukan oleh gaya aerodinamik yaitu

( ) ( )2 , ,ji i p

s

l V f x y C x y dSδ ρ Δ∫∫ (15)

Dengan melakukan keseimbangan pada virtual work yang dilakukan oleh

generalized force, maka diperoleh persamaan 2

i ij i ijl P l d Qδ δ= (16)

dimana :

d = refensi panjang

2

1 ( , ) ( , )jij i p

s

Q f x y C x yd

= Δ∫∫ dS

A

(17)

Dengan asumsi yang digunakan pada Doublet Lattice Method, bahwa pressure

diasumsikan konstan untuk setiap panel, maka persamaan (17) dapat ditulis

menjadi

j

nk k

ij i p kk i

Q f C=

= Δ∑ (18)

dimana : k

if = nondimensional displacement pada titik ¼ cord ditengah-tengah tiap

panel pada mode thi

j

kpCΔ = nondimesional tekanan pada panel pada thk thj mode

2kd A = area pada panel. thk

Sehingga jumah semua panel yang digunakan merupakan model permukaan

aerodinamik.

10

2.1.2 Finite Elemen Model

Pada tesis ini digunakan elemen pelat, dengan berbagai property dan sifat

material. Dengan menggunakan Metode elemen hingga, maka diperoleh

persamaan pada sisi struktur. Dibawah ini gambar model pada Software Nastran-

45 dengan pemodelan finite elemen.

gambar 2.2 finite elemen model T tail

Pada pemodelan finite elemen ini, akan diperoleh variable atau matrik yang

diperlukan untuk menyelesaikan persamaan gerak (1). Dengan adanya batasan

derajat kebebasan dan nilai kekakuan material tertentu maka akan didapat matrik

yang sesuai dengan batasan tersebut. Pada metode finite elemen ini akan diperoleh

matrik massa [M] dan matrik kekakuan [K]. Sedangkan untuk matrik damping

[C] akan tergantung dalam pemodelan, yaitu kita butuhkan atau tidak. Sehingga

dalam penyelesaian persamaan gerak akan terpengaruh dengan ada atau tidaknya

nilai damping tersebut. Penjelasan finite elemen untuk Nastran dapat dilihat pada

lampiran A.

11

2.2 Persamaan aeroelastik 2 D (Typical wing section)

Konsep 2 dimensi ini sangat penting untuk memberikan hitungan atau gambaran

awal pada aeroelastik analisis. Metode ini digunakan untuk menurunkan tingkat

komplektisitas, sehingga biasa digunakan pada awal perhitungan untuk

eksperimen dalam skala laboratory.

Tipe wing section ini (2D) mempunyai karakterisitik yang sama pada sayap

dengan aturan bahwa kondisi 2 D ini diambil pada 70-75% pada sayap 3 D.

Asumsi yang biasa digunakan yaitu : Small swept angle (wing is almost straight).

• Sayap homogen , baik kekakuan dan distribusi massa

• Sayap mempunyai aspek ratio yang besar

Ada beberapa alasan 2D ini digunakan :

• Analisis cenderung mudah

• Typical wing section tidak membutuhkan perhitungan yang komplek.

• Tipe ini akan tetap digunakan untuk mewakili kasus 3 D khusus untuk

syap dengan struktur dengan aspek rasio yang besar.

Parameter sayap seperti geometri , kekakuan dan aerodinamik pada tipe wing

section ini dapat digambarkan sebagai berikut :

Gambar 2.3 . Typical Wing Section [13]

12

Dimana

• Center of gravity (c.g, centre of mass), adalah titik acuan masa dari

sayap.

• Elastic axis (e.a), titik referensi untuk vibrasi

• Aerodynamic center (a.c), adalah titik dimana momen aerodinamik

bekerja dan tetap, tidak tergantung pada sudut serang sayap.

• h, defleksi yang disebabkan oleh bending

• α, sudut serang atau defleksi puntir cenderung pada elastik axis.

• Kh, Kekakuan bending.

• Kα, Kekakuan torsi

• m, adalah masa dari typical wing section.

• Iα, adalah momen inersia ( bxmI .. αα = ).

• Sα, Momen statik pada sumbu elastis. ( bxmS .. αα = )

• rα, radius dari giration pada sumbu elastik. ( 2.bmIr α

α = )

• U, kecepatan free stream.

• L, gaya aerodinamik.

• Mac, adalah momen aerodinamik pada aerodynamic centre.

• c (chord), adalah garis yang mengubungkan leading edge and trailing

edge dari typical wing section. Parameter b adalah didefinisikan pada

semi chord, dimana b = c/2.

• e, eccentricity factor or chord fraction yaitu yang menyatakan jarak

diantara a aerodynamic centre dan elastic axis, dimana nilai positif

untuk a.c terletak didepan e.a.

• xα, semi chord fraction yaitu menyatakan jarak diantara elastic axis dan

centre of mass, dimana nilai positif untuk e.a terletak didepan c.g.

• a, semi chord fraction yaitu menyatakan jarak diantara mid-chord

dengan elastic axis (e.a dimana nilai positif untuk e.a, a terletak

dibelakang mid-chord point.

• μ adalah rasio masa. ( 2bm πρμ = )

13

2.2.1 Steady Aerodinamik Model

Pada kasus ini diasumsikan bahwa sudut serang sama dengan inidence angle.

Aliran dianggap steady state. Dengan memperhatikan gambar (2) maka untuk

kasus binary system yaitu sistem dimana hanya bending dan torsi yang

menginduksi gaya aerodinamik. ( ) ( ) ( )M

lL t qSC tαα= (19)

( ) ( ) 0AC

MM t = (20)

dengan demikian

2 2EA AC LM Leb M qSebCα

= + = (21)

Sehingga persamaan fluter menjadi

(22) 0

2 0h L

L

mh S K h qSC

S h I K qSebCα

α

α

α α α

α α

α α α

+ + + =

+ + − =

&& &&

&& &&

atau dalam bentuk matrik

[ ]{ } [ ] [ ]( ){ } { }0 0M x K q A x+ − =&& (23)

dengan

[ ] m SM

S Iα

α α

⎡ ⎤= ⎢ ⎥

⎣ ⎦ (Inertia ) (24)

(structural stiffness) (25) [ ] ..

h

h

KK

K⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

[ ] (aerodynamic stiffness) (26) 0

.

. 2L

L

SCA

SebCα

α

−⎡ ⎤= ⎢ −⎣ ⎦

⎥

Dengan melihat ketiga matrik diatas ternyata aerodinamik matrik mempunyai

karakteristik dengan bentuk asymmetric matric.

Dengan mengasumsikan bahwa solusi dari persamaan flutter (22)

ˆ

ˆ

pt

pt

h heeα α

=

= (27)

atau dalam bentuk matrik

{ } { }ˆ ptx x e= (28)

dengan mensubstitusi persamaan (28) ke dalam (22) maka diperoleh

14

( ) ( )( )

2 2

2 2

ˆ ˆ 0

ˆ ˆ2 0

h L

L

mp K h S p qsC

S p h I p K qsebCα

α

α

α α α

α

α

+ + + =

+ + − = (29)

Sehingga solusi nontrivial dan h α dapat diperoleh dari determinan persamaan

[ ] [ ] [ ]( )20 0M p K q A+ − = (30)

Dengan mereduksi persamaan diatas maka diperoleh persamaan karakteristik

(31) 4 24 2 0 0a p a p a+ + =

dengan 2

4

2

0

( 2 )

( 2 )L h

h L

a mI Sa m K qSebC I K qSS C

a K K qSebCLα α

α

α α

α α

α

= −= − + −

= −α (32)

sehingga diperoleh akar akar dari persamaan karakteristik diatas (31)

( ) ( )21..4 2 2 4 01..4

4

1 42

P G i a a a aa

ω= + = ± − ± − (33)

tipe tipe dari solusi tersebut { } { } ( ) { }ˆ ˆj j jG i t G t i tj j jx x e x e eω ω+= = dimana 1..4j =

jG = damping

jω = frekuensi

{ }ˆ jx = mode shape

Stabiliti dari gerak dapat diindikasikan dari nilai G (damping) :

G>0 tidak stabil (amplitude naik)

G=0 netral (constant amplitude)

G<0 stable (menurunnya amplitude)

Sehingga dapat dilihat tipe instability dari typical section sebagai berikut

15

Gambar 2.4. tipe instability wing section pada steady model Ref [8]

2.2.2 Low Frequency Aerodynamic Model

Pada model ini ,model aerodinamik tidak sama dengan model steady. Persamaan

yang digunakan yaitu

( ) ( ) ( )dyn

h tt t

Uα α= +

& (34) A.

B. ( ) ( ) ( ) ( )dyn

h t x abt tU U

α α −= + −&

& tα (35)

atau bisa dilihat dari gambar berikut :

Gambar 2.5. tipe wing section pada low frekuensi aerodinamik model

16

Sehingga persamaan (19) dan (20) menjadi

( ) lhL t qSCUα

α⎛ ⎞

= ⎜⎝ ⎠

&+ ⎟ (36)

( ) 2EA LhM t qSebCUα

α⎛ ⎞

= +⎜ ⎟⎝ ⎠

& (37)

dengan mengulang prosedur pada steady aerodynamic model maka penyelesaian

persamaannya sebagai berikut :

[ ]{ } [ ]{ } [ ] [ ]( ){ } { }0M x B x K q A x+ + − =&& & (38)

[ ].

2 .

L

L

q SCUBq SebCU

α

α

⎡ ⎤⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦

(39)

Dengan solusi yang sama

{ } { }ˆ ptx x e= (40)

maka diperoleh persamaan karakteristik sebagai berikut : 4 3 2 1

4 3 2 1 0 0a p a p a p a p a+ + + + = (41)

Dimana

( )

( )

24

3

2

1

0

2

2

( 2 )

L

h L

L

h L

a mI Sqa SC ebS IU

a mK I K meb S qSC

qa SC KU

a K K qSebC

α

α

α

α

α α

α α

α α α

α

α

= −

= + +

= + − +

=

= −

(42)

17

dengan menyelesaikan persamaan diatas sesuai dengan prosedur yang dilakukan

pada steady aerodynamic model, maka diperoleh type dari ketidakstabilan sebagai

berikut :

Gambar2.6a. tipe instability model A. Ref [8] Gambar2.6b.tipe nstability model [8]

2.3 Material Komposit

Pada tesis ini akan digunakan material komposit dengan dengan beberapa model

yaitu bahwa penggunaan material komposit ini akan ditujukan untuk menambah

efek damping pada osilasi yang terjadi pada efek T tail. Untuk kasus aeroelastik

dibutuhkan hanya kekakuan ekuivalen dari bahan komposit ini. Sehingga ada

beberapa batasan yang timbul dengan pemakaian komposit ini.

Unsur pembentuk material komposit adalah fiber dan matrix yang umumnya

bersifat keras dan getas misalnya serat carbon , Kevlar dan gelas dan matrik yang

umumnya bersifat lunak (seperti plastic dan logam-logam lunak). Serat

merupakan unsur utama material yang sangat menentukan karakteristik atau sifat-

sifat material komposit, seperti kekakuan dan kekuatannya. Serat menahan

sebagian besar gaya-gaya yang bekerja pada material komposit. Sedangkan matrik

bertugas mengikat dan melindungi serat agar berfungsi dengan baik.

18

Material komposit menggabungkan kekuatan dan kekakuan serat dengan massa

jenis matriks yang rendah, sehinga dihasilkan material yang ringan tetapi kuat dan

kaku (high specific modulus and specific strength).

Material komposit diklasifikasikan berdasarkan goemetri dan jenis seratnya.

Secara garis besar, material komposit dibedakan atas material partikel( particulate

composite) yang bahan penguatnya terdiri atas partikel-partikel dan material

komposit serat (fibrous composit) yang bahan penguatnya berupa serat.

Dalam istilah komposit istilah lamina dan laminat (laminate). Lamina adalah

sekelompok serat-serat searah (unidirectional fibers) atau sekelompok anyaman

serat-serat (woven fibers) yang disusun dan diikat olah matriks. Sumbu material

utama adalah lamina sejajar arah serat (sumbu serat, arah longitudinal atau arah -

1) dan tegak lurus arah serat (arah matriks, arah ternsversal, atau arah -2).

Sedangkan laminat adalah setumpukan lamina yang disusun dengan orientasi

sumbu utama almina berbeda untuk memebentuk elemen struktur yang menyatu

sedimikian rupa sehingga didapat sifat-sifat kekuatan dan kekakuan yang

diinginkan. Laminat dibuat agar elemen struktur mampu menahan beban

multiaksial, sesuatu yang tidak dapat dicapai dengan lamina tunggal yang cocok

untuk menahan beban uniaksial.

Lapisan-lapisan laminat yang bervariasi itu diikat menjadi satu oleh material

matrik yang sama dengan yang digunakan pada lamina. Proses peletakan serat-

serat dalam lamina seperti juga proses peletakan lamian-lamina dalam laminat

dikenal sebagai proses lay-up. Proses curing dilakukan dengan mengeringkan

serat-serat dalam lamina atau lamina-lamina dalam laminat untuk membuat ikatan

antar serat atau lamina.

2.3.1 Hubungan Tegangan-Regangan Material Komposit

Material komposit termasik dalam kelompok material anisotrop yaitu material

yang sifat-sifatnya berubah terhadap perubahan arah. Karena itu material

komposit mempunyai sifat yang berbeda dengan material konvensional lain,

sehingga material komposit mempunyai hubungan tegangan-regangan khusus.

Bentuk hubungan tegangan-regangan material anisotropic yang paling umum :

ij ijkl klCσ ε= I,j= 1,2,3 (43)

19

dimana :

ijσ = tensor tegangan linier

klε = tensor regangan linier

ijklC = tensor modulus elastic berderajat empat

Umumnya ijσ , memiliki 9 komponen, klε memiliki 9 komponen, dan

memiliki 81 komponen. Hubungan simetri padaijklC ijσ dan klε menjadikan

ijσ memiliki 8 komponen, klε memiliki 6 komponen dan memiliki 36

komponen. Adanya fungsi energi regangan atau simetrisitas menjadikan

memiliki 21 komponen. Dengan menuliskan

ijklC

ijklC

ijklC

1 11 2 22 3 33 4 29 5 31, , , ,σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ= = = = = dan 6 12σ σ= , demikian juga untuk

regangan serta menggunakan notasi untuk , maka diperoleh hubungan

tegangan regangan sebagai berikut

ijC ijklC

i ijC jσ ε= i,j = 1,2 …..,6 (44)

Persamaan (2) menunjukan adanya kopel antara tegangan normal

1 2 3( , , )σ σ σ dengan regangan geser 4 5 6( , , )ε ε ε dan antara tegangan geser

3 4 6( , , )σ σ σ dengan regangn normal 1 2 3( , , )ε ε ε , yang secara fisik berarti bila

material ditarik uniaksial akan terjadi regangan geser disamping regangan tarik

Untuk material ortotropik yang menjadi dua bidang simetri sifat yang orthogonal

relative terhadap bidang orthogonal ketiga tegangan-regangan menjadi

:

1 11 12 13

2 21 22 23

3 31 32 33

4 44

5 5

6 6

0 0 00 0 00 0 0

0 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0

C C CC C CC C C

CC

C

1

2

3

4

5 5

6 6

σ εσ εσ εσ εσ εσ ε

⎧ ⎫ ⎡ ⎤ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎢ ⎥⎨ ⎬ ⎨ ⎬

⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎣ ⎦ ⎩ ⎭

(45)

Ada 9 konstanta bebas dalam hubungan tegangan-regangan diatas.

Untuk benda-benda tipsi seperti pelat (material ortotropik 2-D), dapat dianalisis

dengan kondisi plane stress (tegangan bidang), :

20

3 4 50, 0, 0danσ σ σ= = =

dengan menuliskan 6 12 6dan 12σ σ ε ε= =

1

2

, maka hubungan tegangan regangan

dalam arah sumbu utama material pada pers (3) menjadi :

1 11 12 1

2 12 22 2

12 66 12

00

0 0

C CC C

C

σ εσ εσ ε

⎧ ⎫ ⎡ ⎤ ⎧⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥=⎨ ⎬ ⎨⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎩ ⎭ ⎣ ⎦ ⎩

⎫⎪⎬⎪⎭

(46)

dimana 2112

111 1 υυ−

=E

C , 2112

222 1 υυ−

=E

C

2112

12112 1 υυ

υ−

=EC , (47) 1266 GC =

1

21221 E

Eυυ =

Dengan demikian ada 4 konstanta bebas dalam hubungan di atas.

Bila sumbu-sumbu utama material membentuk sudut θ terhadap sumbu x,

matriks elastisitas harus ditransformasikan pada sumbu (x,y,z) tersebut. Gambar

2.2 menunujukan sumbu (1,2,3) yang membentuk sudut θ terhadapa sumbu

(x,y,z). Sumbu z berhimpit dengan sumbu 3, yang merupakan poros perputaran

sudut. Sudut θ positif jika berarah melawan arah jarum jam (counter clockwise).

Dapat ditunujukan bahwa persamaan transformasi tegangan untuk

mentransformasikan tegangan-tegangan dari system koordiant 1-2 ke system

koordinat X-Y dinyatakan sebagai:

[ ]1

2

12

x

y

xy

Uσ σσ σσ σ

⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪=⎨ ⎬ ⎨⎪ ⎪ ⎪

⎩ ⎭⎩ ⎭

⎪⎬⎪

(48)

dimana U 2 2

2 2

2 2

cos sin 2sin cossin cos 2sin cos

sin cos sin cos cos sin

θ θ θ θθ θ θ θ

θ θ θ θ θ

⎡ ⎤−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦θ

21

gambar 2.7 sumbu (x-y membentuk sudut θ terhadap sumbu utama (1,2).

Dapat pula ditunjukan bahwa hubungan tegangan-regangan dalam system

koordinat X-Y yang berubah-ubah dinyatakan sebagai

_x x

y y

xy x

C

y

σ εσ εσ ε

⎧ ⎫ ⎧⎪ ⎪ ⎪⎡ ⎤=⎨ ⎬ ⎨⎢ ⎥⎣ ⎦⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩

⎫⎪⎬⎪⎭

(49)

dimana [ ] [ ][ ]TC U C U−⎡ ⎤ =⎢ ⎥⎣ ⎦

[ ]11 12

12 22

66

00

0 0

C CC C C

C

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(50)

2.3.2 Teori Laminat Klasik

Pelat berlapis atau laminat merupakan material komposit yang terbentuk dari

penyusunan beberapa buah lamina dengan orientasi sudut tertentu. Pelat berlapis

dibuat agar suatu struktur mampu menahan beban multiaksial. Susunan laminat

yang terdiri dari beberapa buah lamina dengan tebal dan orientasi struktur yang

berbeda-beda diperlihatkan pada gambar di bawah ini.

22

Gambar 2.8 Susunan lamina komposit.

Laminat komposit dapat dianalisis dengan menggunakan teori pelat berlapis klasik

(classical lamination theory). Teori pelat berlapis klasik, dibangun dengan

beberapa buah asumsi penting, yaitu :

1. Setiap lapisan dalam pelat berlapis terekat satu sama lain dan bahan

perekat sangat tipis, sehingga tidak mempengaruhi kekuatan pelat berlapis

secara keseluruhan, serta tidak teregang geser (non-shear deformable).

Dengan anggapan seperti ini, berarti tidak ada slip antar lapisan dan

deformasi pelat dianggap kontinyu.

2. Benda yang dikaji tipis, sehingga garis yang semula tegak lurus dan rata

bidang tengah pelat dianggap tetap rata dan tegak lurus, bila pelat tersebut

teregang atau terlentur (perhatikan gambar di bawah ini). Dengan

demikian asumsi plane stress tetap berlaku.

Gambar 2.9 Deformasi pelat komposit

23

Berdasarkan asumsi yang telah ditentukan dan pengamatan terhadap deformasi

laminat yang diberi beban, diketahui bahwa tegangan lamina pada lapisan ke k

dari laminat merupakan fungsi dari regangan dan kelengkungan bidang tengah.

Hubungan tersebut dirumuskan dalam persamaan sebagai berikut :

(51)

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

χχχ

γεε

τσσ

xy

y

x

xy

y

x

Kkxy

y

x

zo

o

o

CCC

CCC

CCC

'

'

'

'

'

'

'

'

'

66

26

16

26

22

12

16

12

11

Matriks C’ij pada persamaan di atas berbeda antara lapisan satu dengan lainnya,

sehingga terjadi variasi tegangan, regangan dan modulus elastisitas. Variasi

regangan yang terjadi pada laminat umumnya linear, tetapi variasi tegangan pada

laminat tersebut tidak harus linear.

Resultan gaya dan momen yang bekerja pada pelat berlapis diperoleh melalui

integrasi tegangan yang terjadi pada setiap lapisan, sepanjang arah ketebalan pelat

berlapis. Resultan gaya dan momen diberikan sebagai berikut :

dzdzNNN

n

k

z

zxy

y

x

xy

y

x

xy

y

x k

k

∑ ∫∫= −− ⎪

⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

1 1

2/1

2/1 τσσ

τσσ

dan (52) zdzdzzMMM

n

k

z

zxy

y

x

xy

y

x

xy

y

x k

k

∑ ∫∫= −− ⎪

⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

1 1

2/1

2/1 τσσ

τσσ

atau dalam bentuk lain,

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

xy

y

x

xy

y

x

xy

y

x

xy

y

x

DDDBBBDDDBBBDDDBBBBBBAAABBBAAABBBAAA

MMMNNN

χχχγεε

0

0

0

662616662616

262212262212

161211161211

662616662616

262212262212

161211161211

(53)

dengan:

Nx, Ny dan Nxy = gaya – gaya bidang persatuan panjang.

24

Mx, My dan Mxy = momen bidang persatuan panjang

)( 11

'−

=

−= ∑ kk

n

kijij zzCA

k

)(21 2

12

1

'−

=

−= ∑ kk

n

kijij zzCB

k (54)(a, b dan c)

)(31 3

13

1

'−

=

−= ∑ kk

n

kijij zzCD

k

Gambar 2.10 Pembebanan pada pelat komposit.

Matriks disebut sebagai matriks kekakuan panjang (extensional stiffness

matrix). Matriks adalah matriks kekakuan kopel (couple stiffness matrix),

sedangkan matriks adalah matriks kekakuan lentur (bending stiffness matrix).

Suku-suku dan menunjukkan adanya kopel antara tegangan normal dan

regangan geser, atau tegangan geser dan regangan normal. Hal ini berarti apabila

pelat seperti ini diberi beban tarik uniaksial maka akan timbul juga regangan

geser, demikian juga sebaliknya. Suku-suku ini akan hilang bila susunan lapisan

dibuat balans, dimana bila terdapat lapisan dengan arah serat bersudut

ijA

ijB

ijD

16A 26A

θ , harus

ada lapisan dengan sudut sebesar θ− dengan ketebalan dan jenis bahan yang

sama.

25

Matriks menggambarkan adanya kopel atara gaya-gaya bidang

( ) dengan lenturan atau puntiran (

ijB

xyyx danNNN ,, xyyx danχχχ ,, ). Bila pelat

tersebut diberi gaya-gaya bidang, bidang tengah pelat tersebut juga akan

melengkung atau memuntir. Suku-suku pada matriks ini akan menjadi nol,

bila susunan lapisan simetri. Sedangkan suku-suku dan pada matriks

kekakuan lentur menunjukkan adanya kopel antara lenturan dan puntiran.

ijB

16D 26D

ijD

2.3.3 Modulus Elastisitas Ekuivalen

Pada bidang tertentu, seperti aeroelastisitas diperlukan data modulus elastisitas

ekuivalen pelat berlapis. Ini berarti pelat berlapis dianggap sebagai bahan

homogen dengan harga modulus elastisitas tertentu.

Untuk susuan yang simetri seimbang, harga modulus elastisitas ekivalen ini dapat

dicari dengan mudah, yaitu dengan persamaan-persamaan :

2

11 22 12

22x

A A AEA h

⎛ ⎞−= ⎜

⎝ ⎠⎟ (55)

211 22 12

11y

A A AEA h

⎛ ⎞−= ⎜

⎝ ⎠⎟ (56)

12

22xy

AA

υ = 12

11yx

AA

υ = 66xy

AGh

= (57)

dimana xE = modulus elastisitas ekivalen dalam arah longitudinal

yE = modulus elastisitas ekivalen dalam arah transversal

xyυ = nisbah poison rasio dalam arah longitudinal

yxυ = nisbah poison rasio dalam arah transversal

xyG = modulus geser

h = tebal pelat berlapis total

Sedangkan pada pelat berlapis tidak seimbang, maka penentuan modulus elastis

ekivalen menjadi lebih rumit, yaitu dengan menginverskan lebih dulu persamaan

(53) sehingga diperoleh matrik

26

011 12 13 14 15 16

012 22 23 24 25 26

013 23 33 34 35 36

14 24 34 44 45 46

15 25 35 45 55 56

16 26 36 46 56 66

xx

yy

xyxy

xx

yy

xyxy

NH H H H H HNH H H H H HNH H H H H HMH H H H H HMH H H H H HMH H H H H H

εεγχχχ

⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎨⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪

⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎭⎩⎩ ⎭

⎬⎪

⎪⎪⎪⎪⎭

(58)

dimana

( ) 111xE hH −= (59)

( ) 122yE hH −= (60)

12

22xy

HH

υ = − (61)

12

11yx

HH

υ = − (62)

( ) 133xyG hH −= (63)

2.4 Pemodelan pada NASTRAN

Pemodelan pada Nastran, digunakan beberapa kartu yang berhubungan dengan

parameter yang digunakan. Pada tesis ini digunakan solusi 145 yaitu solusi untuk

flutter. Pada Tesis ini ada 3 pembagian kartu-kartu yang digunakan :

1. Kartu Struktur

Kartu yang digunakan pada bagian sturktur meliputi

• Kartu GRID

• Kartu CQUAD4

• Kartu CBEAM

• Kartu PBEAM

• Kartu CONM

• Kartu MAT

2. Kartu Aerodinamik

• Kartu AERO

• KArtu PAERO

• Kartu MKAERO

27

3. Kartu penghubung aerodinamik dan struktur

• Kartu SPLINE

• Kartu SET

4. Kartu penyelesaian flutter

• Kartu EIGR

• Kartu EIGC

• Kartu FLFACT

• Kartu PARAM

Semua penjelasan kartu diatas dapat dilihat pada Lampiran A.

2.4.1 Analisis Material Komposit dalam Nastran

Sejak versi 81, MSC NASTRAN menyediakan analisis material komposit laminat,

yang mentransformasikan elemen pelat dan elemen SHELL menjadi elemen

berlapis-lapis . Komposit laminat dapat dimodelkan langsung dengan

menggunakan kartu PCOMP dan MAT8 pada bulk data.

Kartu PCOMP mendefinisikan bentuk secara fisik laminat, yaitu orientasi lamina

dan tebalnya. Setiap lapisan didefiniskan mulai dari permukaan bawah sampai

permukaan atas. Untuk setiap lapisan, material ID (nomor identifikasi material)

pada kartu MAT8, ketebalan, orientasi lamina dan output tegangan harus

didefinisikan. Kartu PCOMP juga membutuhkan input Z0, jarak dari bidang grid

ke permukaan bawah laminat(Z0 selalu negative). Melalui kartu PCOMP,

MSC/NASTRAN menyediakan output kekakuan ekuivalen, regangan-

kelengkungan tegangan normal dan tegangan geser, tegangan inter laminar dan

kriteria kegagalan untuk setiap lapisan, pada setiap elemen, setiap sub

kasus.Dengan PCOMP pemakai dapat meminta penggunaan kriteria kegagalan

untuk menguji apakah elemen sudah gagal atau belum. NASTRAN akan

menampilkan indeks kegagalan untuk setiap lamina jika output tegangan

diminta.Indeks kegagalan baik untuk tegangan bidang/ inplane (FP) maupun

tegangan interlaminar (FB) akan ditampilkan untuk setiap lamina. Juga indeks

kegagalan maksimum setiap elemen. Teori kegagalan yang disediakan

MSC?NASTRAN adalah teori Hill, Hoffman, Tsai-Wu dan regangan maksimum.

28

Sedangkan kartu MAT8 mendefinisikan property material ortotropik lamina (data

kekakuan ortotropik) dan tegangan material yang diijinkan. Kartu MAT8

mengacu pada kartu PCOMP dan sebaliknya.

Material komposit laminat secara konseptual dapat dipandang sebagai tumpukan

lamina dengan orientasi arah material yang berbeda. Gambar (2.11) menunjukan 3

pelat laminat jenis cross-ply.

Gambar2.11 laminate model

Lamina ke-n (n=1,2,3,4) dari setiap konfigurasi adalah tegak lurus terhadap

sumbu-z system koordinat. Sumbu-1 dan sumbu-2 pada tiap lamina menunjukan

arah sumbu material. Bidang xy didefinisikan sebagai bidang tengah lamina.

Sejumlah tumpukan lamina dapat dimodelkan dengan sebuah pelat tungal atau

elemen shell kaena property material ‘tumpukan’ tercermin secara lengkap pada

matriks kekakuan elemen. MSC/NASTRAN menyediakan elemen shell dan

elemen pelat seperti QUAD4, QUAD8, TRIA3, dan TRIA6 untuk menyatakan

komposit laminat dalam model elemen hingga. MAtriks kekakuan elemen secara

otomatis dihitung dalam MSC/NASTTRAN dari definisi ketebalan, property

material dan orientasi setiap lamina yang dimasukan pemakai dalam Bulk data.

Kemampuan penggambaran komposit laminat otomatis ini tersedia dengan analisa

aeroelastis maupun optimasi struktur.

29

2.4.1.1 Perbedaan Cara Analisis NASTRAN dengan teori Laminat

Classic

Ada perbedaan antara cara analisis NASTRAN dengan Teori CLT sehingga untuk

elemen pelat ada 2 hal utama yang harus diperhatikan. Pertama, definisi gaya

aksial dan gaya geser adalah adalah sama, baik pada NASTRAN maupun CLT,

sedangkan momen didefinisikan secara berlawanan. Pada NASTRAN, kompresi

adalah pada permukaan Z positif. Kedua, pada NASTRAN matriks kekakuan

kopel didefiniskan berbeda pada CLT. CLT mendefinisikan matriks kekakuan

kopel sebagai

1

N

ij ij k kk k

B C t Z− −

=

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ (64)

Sedangkan NASTRAN mendefinisikan sebagai :

[ ] ( )[ ]4 2

1eG Z G

t= −∫ dz (65)

dapat dibuktikan bahwa [ ]e kk

G C−⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦

(66)

dan integrasi dari –t/2 sampai t/2 pada persamaan diatas menjadi

24

1ij

N

ij k kk k

t G C t z− −

=

⎛ ⎞= − ⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ (67)

Ini menunjukkan bahwa matrik kekakuan kopel didefinisikan tepat berlawanan

tanda satu dengan yang lain. Tetapi laminat didefinisikan sama, sehingga

penomeran layer tetap dimulai dari dasar laminat ke atas seperti ditunjukan pada

gambar dibawah ini

Gambar 2.12 Susunan laminate

30

Karena itu, pada MSC/NASTRAN hubungan gaya-regangan untuk elemen

QUAD4 maupun TRIAD3 didefinisikan sebagai : 2

1 42

4 1

3

00

0 0 s

F tG t GM t G IG XQ T G

ε

γ

⎡ ⎤⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥

⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎣ ⎦

(68)

dimana :

x

y

z

FF F

F

⎧ ⎫⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

, gaya pada membrane perunit panjang

x

y

z

MM M

M

⎧ ⎫⎪= ⎨⎪ ⎪⎩ ⎭

⎪⎬ , momen lentur per unit panjang

x

y

QQ

Q⎧ ⎫

= ⎨ ⎬⎩ ⎭

, gaya geser transversal per unit panjang

x

y

zy

εε ε

ε

⎧ ⎫⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

, regangan membran

x

y

zy

χχ χ

χ

⎧ ⎫⎪= ⎨⎪ ⎪⎩ ⎭

⎪⎬ , kelengkungan (curvature)

x

y

γγ

γ⎧ ⎫

= ⎨ ⎬⎩ ⎭

, regangan geser transversal

t= tebal membrane (elemen QUAD4, TRIA3)

I = factor inersia (T3/12), NASTRAN Computed Homogeneous inertia, yang

dimasukan pada SHELL

Ts= [TS/T}(T), factor geser transversal, dimasukan pada PSHELL

[G1]= matrik membran 3x 3

[G2]= matrik lentur 3x3

[G4]=matrik kopel silang aksial/lentur 3x3

31

[G3]=matrik geser transversal 3 x 3

dan F dalam lb/in , M dalam in.-lb/in , dan Q dalam lb./in.

Persamaan tersebut serupa dengan persamaan gaya-regangan pada CLT, dimana

tG1=A

t2G4=B

IG2=D

MSC NASTRAN tidak hanya mengimplementasikan teori laminat klasik.

MSC/NASTRAN mampu memperhitungkan tegangan inter laminer yzτ

dan xzτ yang pada CLT tidak dapat ditentukan karena adanya asumsi tegangan

bidang. Untuk itu MSC/NASTRAN menggunakan teknik pendekatan dengan

dasar asumsi antara komponen x dan y dari tegangan tidak terjadi kopel satu sama

lain.

2.4.2 Penyelesaian persamaan flutter Nastran

Untuk penyelesaian kasus flutter pada T tail ini dipilih dengan menggunakan

metode P-K yaitu dipilih pada kartu FLUTTER. Persamaan solusi flutter pada

nastran yaitu

{ }2 21 1/ 04 2

I Rhh hh hh hh hh hM p B cVQ k p K V Q uρ ρ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − + − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

(69)

Dimana IhhQ = Modal aerodynamic damping matrik yaitu fungsi dari M (mach number )

dan k (reduced frekuensi)

= Modal aerodynamic stiffness matrik yaitu fungsi dari M (mach number )

dan k (reduced frekuensi)

RhhQ

=eigenvalue =p ( )iω γ ±

γ = koefisien rata-rata transient ( 2g γ= )

Bentuk matrik dalam persamaan (69) adalah real. dan adalah bagian real

dan imaginer dari . Untuk circular frekuensi dan reduced frekuensi

adalah tidak tergantung pada

IhhQ R

hhQ

( ,hhQ m k )/ 2k c Vω= tetapi tergantung

32

Im2ckV

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

p (70)

Pada metode P-K persamaan (69) ditulis dalam bentuk state space

[ ]{ } 0hA pI u− = (71)

dimana A adalah real matrik

[ ] 1 2 1 21 1 /2 2

R Ihh hh hh hh hh hh

o IA

M K V Q M B V Q kρ ρ− −

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎡ ⎤ ⎡⎢ ⎥− − − −⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣⎣ ⎦

⎤⎥⎦

(72)

dimana { }hu adalah vector modal displacement dan velocities. Hasil eigenvalue

dari matrik A mempunyai real dan pasangan komplek conjugate. Akar-akar real

mengindikasi kekonvergenan atau kedivergenen yaitu ketika kasus rigid body atau

(torsi ) divergensi mode.Untuk akar real, damping menunjukan sebagai koefisien

rata penundaaan yaitu jarak pergerakan (dihitung dari panjang cord) sampai

setengah (double) amplitude.

2g γ= =( )

2ln 2

cV

ρ (73)

Bagaimanapun, akar dari eigen value akan menghasilkan pasangan komplek

conjugate. Solusi osilasi yang terjadi sebagai solusi persamaan (69) membutuhkan

solusi iterative yang persamaan (70) selalu terpenuhi pada persamaan (69). Pada

kasus static atau divergence akar-akar tidak membutuhkan iterasi yaitu dengan

menyeting k = 0.Untuk kasus akar-akar osilasi rigid body dicapai dengan

algoritma diatas. Algoritma ini didasarkan pada kemampuan untuk menentukan

kestabilan dengan diberikannya kecepatan yang tidak tergantung pada kecepatan

rendah maupun tinggi. Persamaan (69) adalah persamaan yang bervariasi terhadap

reduced frekuensi.

Interasi dimulai pada k=0 ( dan diekstrapolasi terhadap k=0 dari nilai

dan akar real memenuhi persamaan (70) tetapi untuk akar komplek

tidak. Untuk iterasi akar omplek mengikuti proses sebagai berikut : secara umun

akar pasangan komplek dapat ditulis sebagai berikut

IhhQ R

hhQ

( ,hhQ m k )

33

( )( ) ( ) ( )j j jrs rs rsp iω γ= ± (74)

dimana r menunjukan angka urutan modes tertentu dengan frekuensi

1 2( ......)s sω ω< < dan s menunjukan angka dari mode osilasi yang dicari dan j

menunjukan iterasi sehingga untuk nonzero reduced frekuensi yaitu

( ) ( )

2j j

s ssckV

ω ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

(75)

Untuk menemukan akar akar pertama osilasi nonzero reduced frekuensi yaitu

diambil dari (0)1 11 2

ckV

ω ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

(76)

Dan konvergen untuk akar yang pertama yaitu dengan syarat ( 1)

( ) ( 1) 11 1 ( 1) ( 1)

1 1

_ _ 1.0_ _ 1.

jj j

j j

for kk k

k for kε

ε

−−

− −

<−

≥ 0 (77)

dimana ε adalah input dengan default angka 0.001.Sehingga eigenvalue komplek

konvergen dengan syarat

( )( ) ( ) ( )c c crs rs rsp ω γ= i± (78)

dimana hanya ( )cssp harus memenuhi syarat pada persamaan (69) dan (72).

Kemudian untuk mencari modus osilasi berikutnya mulai dengan menaikan nilai s

dengan angka 1 , dan estimasi pertama dari next reduce frekuensi adalah

( ) ( ), 1 2

c cs s s

ckV

ω −⎛= ⎜⎝ ⎠

⎞⎟ (79)

dan iterasi akan dilanjutkan sampai ( ) ( 1) ( 1)_ _j j js s sk k for kε− −− < atau terpenuhi. (80) ( 1) ( 1)_ _ 1.j j

s sk for kε − −< 0≥

Persamaan (78) dan (79) digunakan lagi untuk modus gerak yang lebih tinggi

lagi.

2.5 Dasar Struktur Beam

Pada tesis ini material beam digunakan untuk momodelkan fuselage. Karena pada

tesis ini ditujukan untuk mengetahui ketidakstabilan dinamik khususnya flutter,

maka pada kasus ini sangat dekat dengan efek getaran.

34

2.5.1 Persamaan defleksi dan torsi pada beam

Pada kasus bending pada beam diperoleh bahwa hubungan antara load, shear dan

momen sebagai berikut :

2.13 Gambar bending Beam

MIησ = (81)

radius curvature R terjadi dalam hubungan 1 MR EI

= (82)

dimana E adalah young modulus, sehingga dapat diperoleh 2

2

d y Mdx EI

= (83)

( ) ( )

( ) ( )

dp x S xdxdS x M xdx

= ⎡ ⎤⎣ ⎦

= ⎡⎣ ⎦⎤ (84)

( ) ( )2

2

dp x Mdx

= x⎡ ⎤⎣ ⎦ (85)

Sehingga dapat diperoleh hubungan untuk distribusi gaya dan defleksi beam

( )2 2

2

d dp x EIdx dx

⎡ ⎤= ⎢

⎣ ⎦2

y⎥ (86)

Untuk kasus torsi juga diperoleh

TdxdGJ

θ = (87)

35

2.5.2 Getaran Lateral pada Beam Homogen

Persamaan (86) adalah persamaan differential yang menghubungkan antara gaya

dengan defleksi untuk beam dengan kekakuan EI. Jika beam bergetar pada getar

bebas, beam dapat diperhatikan terkena gaya yang bervariasi terhadap panjang

beam.Sehingga persamaan tersebut menjadi

2 2

2 2

y yEI m2

2x x t⎡ ⎤∂ ∂ ∂

= −⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎣ ⎦ (88)

dimana

m= masa perunit panjang

y= lateral defleksi

E= modulus young

I= momen inersia dari struktur

Dengan beam homogen maka persamaan (88) menjadi 4 2

4 2

y yEI mx t

∂= −

∂ ∂∂ (89)

dengan mengasumsikan bahwa normal mode dari vibrasi beam pada setiap posisi

x sepanjang beam , defleksinya diasumsikan berosilasi harmonik , maka dengan

frekuensi harmonik ω , maka

( , ) ( ) siny x t y x tω= (90)

dengan mensubstitusi (87) ke (88) diperoleh 4 2

24

d y m y k ydx EI

ω= = (91)

dimana 2 / EIkm

ω=

Dengan prosedur yang sama untuk torsi diperoleh bahwa 2 2

2 2GJ mx tθ θ∂ ∂

= −∂ ∂

(92)

36