BAB II

TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Metode Magnetotelurik

Metode magnetotelurik (MT) adalah salah satu metode geofisika yang bertujuan

untuk mengetahui sebaran tahanan jenis bawah permukaan dengan penetrasi kedalaman

puluhan hingga ribuan meter. Metode ini memanfaatkan gelombang elektromagnet (EM)

alamiah bumi yang berasal dari aktivitas ionosfer. Sumber alami medan EM secara garis

besar berasal dari tiga sumber yang bergantung terhadap frekuensi (0.0001-10000 Hz) yaitu,

a. sinyal frekuensi tinggi (>1 Hz) berasal dari aktivitas petir,

b. sinyal frekuensi sedang (

= +

(2)

= (3)

= (4)

Dimana : E : medan listrik (Volt/m)

B : fluks atau induksi magnetik (Weber/m2 atau Tesla)

H : medan magnet (Ampere/m)

j : rapat arus (Ampere/m2)

D : perpindahan listrik (Coloumb/m2)

q : rapat muatan listrik (Coloumb/m3)

Persamaan (1) diturunkan dari Hukum Faraday yang menyatakan bahwa perubahan

fluks magnetik menyebabkan medan listrik dengan gaya gerak listrik berlawanan dengan

variasi fluks magnetik yang menyebabkannya. Persamaan (2) merupakan generalisasi

teorema Ampere dengan memperhitungkan hukum kekekalan muatan. Persamaan tersebut

menyatakan bahwa medan magnet timbul akibat fluks total arus listrik yang disebabkan oleh

atus konduksi dan arus perpindahan. Persamaan (3) menyatakan Hukum Gauss yaitu fluks

elektrik pada suatu ruang sebanding dengan muatan total yang ada dalam ruang tersebut.

Sedangkan persamaan (4) yang identik dengan persamaan (3) berlaku untuk medan magnet,

namun dalam hal ini tidak ada monopol magnetik.

Hubungan antara intensitas medan fluks yang terjadi pada medium dinyatakan oleh

persamaan berikut:

= (5)

= (6)

= =

(7)

Dimana: : permeabilitas magnetik (Henry/m)

: permitivitas listrik (Farad/m)

: konduktivitas (Ohm-1/m atau Siemens/m)

: tahanan jenis (Ohm.m)

untuk menyederhanakan masalah, sifat fisik medium diasumsukan tidak bervariasi terhadap

waktu dan posisi (homogen isotropik). Dengan demikian akumulasi muatan seperti

dinyatakan pada persamaan (3) tidak terjadi dan persamaan Maxwell dapat dituliskan

kembali sebagai berikut:

=

(8)

= +

(9)

. = 0 (10)

. = 0 (11)

Tampak bahwa dalam persamaan Maxwell yang dinyatakan oleh persamaan (3) hanya

terdapat dua variabel yaitu medan listrik E dan medan magnet H. Dengan operasi curl

terhadap persamaan (3a) dan (3b) serta mensubtitusikan besaran-besaran yang telah diketahui

pada persamaan diatas akan kita peroleh pemisahan variabel E dan H sehingga:

=

+

2

2 (12)

=

+

2

2 (13)

dengan memperhatikan identitas vektor = . 2 dimana A adalah

E atau H, serta hubungan yang dinyatakan oleh persamaan (8) hingga (11), maka kita

dapatkan persamaan gelombang (persamaan Helmholtz) untuk medan listrik dan medan

magnet sebagai berikut:

2 =

+

2

2 (14)

2 =

+

2

2 (15)

Perlu diingat bahwa pada persamaan tersebut variabel E dan H merupakan fungsi

posisi dan waktu. Jika variasi terhadap waktu dapat direpresentasikan oleh fungsi periodik

sinusoidal maka:

(, ) = () (16)

(, ) = () (17)

dimana dan masing-masing adalah amplitudo medan listrik dan medan magnet, dan

adalah frekuensi gelombang EM.

Dengan demikian persamaan (5) menjadi:

2 = ( 2) (18)

2 = ( 2) (19)

Pada kondisi yang umum dijumpai dalam eksplorsi geofisika (frekuensi lebih rendah

dari 104 Hz, medium bumi) suku yang mengandung (perpindahan listrik) dapat diabaikan

terhadap suku yang mengandung (konduksi listrik) karena 2 untuk = 0 =

4. 107 H/m. Pendekatan tersebut adalah aproksimasi keadaan kuasi-stasioner dimana

waktu tempuh gelombang diabaikan.

Eliminasi kebergantungan medan terhadap waktu seperti dilakukan untuk memperoleh

persamaan (7) selain dimaksudkan untuk menyederhanakan persamaan juga untuk lebih

mengeksplisitkan aproksimasi keadaan kuasi-stasioner tersebut. Dengan demikian,

persamaan gelombang (18) dan (19) menjadi persamaan difusi:

2 = 2 (20)

2 = 2 (21)

dimana k = 0 adalah bilangan gelombang yang dapat dinyatakan dalam bentuk:

k = ( + ) (22)

dengan = 0

2

2.3 Skin Depth

Medan EM yang menjalar ke dalam bumi akan mengalami atenuasi (pelemahan).

Pelemahan ini bergantung pada frekuensi gelombang dan resistivitas listrik bumi. Skin depth

() didefinisikan sebagai kedalaman pada suatu medium homogen dimana amplitudo

gelombang EM terreduksi menjadi 1/e (sekitar sepertiga) dari amplitudonya di permukaan

bumi (ln e = 1 atau e = 2.718 ...). Besaran tersebut didapatkan dari penurunan rumus

persamaan Helmholtz dan dengan memasukkan 0 = 1.256 x 106 H/m, = 2 dengan

= 3.14, dan =1

didapat perumusan sebagai berikut :

= 2

0= 503

(23)

2.4 Polarisasi Medan Listrik dan Medan Magnet

Medan listrik dan medan magnet saling orthogonal yaitu suatu medan listrik yang

sejajar dengan strike akan menginduksi medan magnet yang tegak lurus strike dan di bidang

vertikal, sedangkan suatu medan magnet yang sejajar strike akan menginduksi medan listrik

yang tegak lurus strike dan di bidang vertikal. Oleh karena itu Persamaan (24) dan (25) dapat

dipasangkan ke dua mode bebas, yaitu medan listrik yang sejajar strike (polarisasi E) dan

medan magnet yang sejajar strike (polarisasi H).

=

(

) + (

) + (

) = ( + + ) (24)

=

(

) + (

) + (

) =

1

( + + ) (25)

Polarisasi E atau disebut juga dengan mode Transverse Elektrik (TE mode) menggambarkan

aliran arus yang sejajar strike dengan komponen medan elektromagnetik , dan ,

dengan menggunakan persamaan (24) dan (25) :

=

=

=

=

= }

polarisasi (26)

menghasilkan impedansi dari perbandingan antara medan listrik sumbu-x dengan medan

magnet sumbu-y,

=1

||2 (27)

Begitu pun sebaliknya pada polarisasi atau disebut juga mode Transverse Magnetik

(TM mode) menggambarkan aliran arus yang sejajar strike dengan komponen medan

elektromagnetik , dan :

=

=

= }

polarisasi (28)

menghasilkan impedansi dari perbandingan antara medan magnet sumbu-x dengan medan

listrik sumbu-y,

=1

||2 (29)

Gambar 1. Polarisasi E dan Polarisasi H dalam Magnetotellurik 2D

(Fiona Simpson, 2005, modifikasi)

2.5 Tensor Impedansi

Metode MT adalah metode pasif yang melibatkan pengukuran fluktuasi medan listrik

(E) dan medah magnet (B) alam pada arah orthogonal di permukaan bumi. Komponen

orthogonal dari medan listrik dan medan magnet horisontal dihubungkan melalui sebuah

tensor impedansi,;

(ExEy

) = (Zxx ZxyZyx Zyy

) (HxHy

) (30)

Bentuk matriks impedansi bergantung pada dimesionalitas medium (Simpson & Bahr,

2005).

Medium 1 Dimensi

Jika medium homogen atau berlapis horisontal (1-D) maka = = 0 dan

= = , dimana Z adalah impedansi yang diperoleh dari komponen

horisontal medan listrik dan medan magnet yang saling tegak lurus. Dengan kata lain,

hubungan antara komponen horisontal medan listrik dan medan magnet tidak lagi

dinyatakan oleh suatu tensor melainkan suatu bilangan skalar kompleks. Bentuk

matriks impedansi medium 1-D adalah sebagai berikut:

(0 0

)

Medium 2 Dimensi

Untuk medium 2-D dengan sumbu x atau sumbu y searah dengan jurus (strike)

maka = = 0, namun . Secara matematis, kita bisa menghitung

tensor impedansi yang seolah-oleh diperoleh dengan sistem koordinat pengukuran

lain melalui rotasi. Hal ini sangat berguna karena arah jurus struktur tidak diketahui

saat pengukuran dilakukan.

Tensor impedansi terotasi dirumuskan dengan rumus berikut:

= (31)

= (cos sin sin cos

) (32)

dimana adalah matriks rotasi searah jarum dan adalah transpose dari R.

Dengan asumsi model 2-D, arah jurus dapat diperkirakan dengan cara

merotasikan tensor hingga elemen anti diagonal dan maksimal dan elemen

diagonal dan minimal. Salah satu caranya adalah menggunakan metode swift

dengan rumusan sebagai berikut:

0 =1

4tan1 (

()(+)+(+)()

|()|2|(+)|

2 ) (33)

Dimana tanda ( ) merupakan tanda konjugasi bilangan kompleks (Grandis, 2010).

2.6 Efek Statik

Efek statik dapat dideskripsikan sebagai pergeseran kurva sounding MT secara vertikal

karena adanya efek distorsi galvanik. Terdapat beberapa kasus yang menyebabkan kurva

sounding MT mengalami efek statik yaitu inhomogenitas dekat permukaan dan topografi

2.6.1 Inhomogenitas Dekat Permukaan

Efek Statik dapat disebabkan oleh medan listrik yang dihasilkan dari muatan pada

batas inhomogenitas.( Vozoff , 1991 dicari ) Medan listrik yang dihasilkan tersebut akan

mengurangi medan listrik yang terukur ,dengan demikian menurunkan impedansi terukur

dan resistivitas semu pada bagian resistivitas rendah . Pada bagian yang resistif medan

listrik akan diperkuat, sehingga membuat resistivitas semu di wilayah ini semakin

menguat.

Gambar 2. Efek Galvanik a. Benda Konduktif b. Benda Reseistif

c. Aliran Arus d. Defleksi Arus (Modifikasi Jiracek, 1985)

2.6.2 Topografi

Efek galvanik dapat terjadi terjadi ketika medan listrik utama adalah tegak lurus

terhadap trend (atau strike) topografi. Kondisi ini adalah modus TM atau polarisasi-H

yang selalu dikaitkan dengan efek galvanis. Dengan pendekatan seperti ini, maka tidak

terdapat muatan pada puncak dan pada dasar lembahnya konsentrasi muatan maksimum

terjadi saat kemiringan permukaan terbesar. Sama halnya dengan kasus heterogenitas

permukaan, medan total didapatkan merupakan total dari seluruhnya yaitu medan primer

dan sekunder.

Gambar 3. a. Distribusi muatan listrik b. Pola medan listrik pada topografi (Jiraceck, 1985)

Dengan gambar diatas dapat disimpulkan bahwa medan listrik total pada puncak adalah

paling rendah, sedangkan pada lembah medan listriknya paling tinggi.

2.7 Koreksi Statik

Interpretasi atau pemodelan terhadap data MT yang mengalami distorsi akan

menghasilkan parameter model yang salah (Grandis, 1996). Oleh karena itu diperlukan suatu

cara untuk mengkoreksi data MT mengalami efek statik. Metode untuk mengkoreksi distorsi

data magnetotelurik seperti efek statik dapat dikatagorikan dalam beberapa katagori, yaitu:

Penggunaan Invariant Response Parameter, kurva sounding TDEM, dan peratarataan statistik.

Salah satu metoda koreksi efek statik data MT adalah melalui inversi data TDEM untuk

memperkirakan model 1-dimensi yang representatif. Perhitungan kedepan (forward

modelling) MT berdasarkan model 1-dimensi tersebut menghasilkan data MT tanpa distorsi

yang dapat digunakan sebagai referensi untuk menyesuaikan atau mengggeser data MT

yang mengandung efek statik (Pellerin dan Hohmann, 1990). Metoda ini memerlukan dua

tahapan pemodelan yaitu pemodelan inversi TEM dan pemodelan kedepan MT. Disamping

itu, hasil pemodelan inversi hampir selalu mengandung faktor ekivalensi (ambiguitas) solusi

sehingga data yang sama dapat menghasilkan model yang agak berbeda.

Teknik lain yang lebih sederhana adalah dengan mengkonversi data TDEM sehingga

langsung bisa dibandingkan dengan data MT yang terdistorsi. Cara ini didasarkan pada

ekivalensi kedalaman penetrasi gelombang elektromagnetik (kedalaman diffusi pada

TDEM dan skin depth pada MT) yang didefinisikan sebagai berikut,

TDEM : 36

MT : 503

Pada kedalaman penetrasi yang sama diasumsikan bahwa delay time (t) akan ekivalen

dengan periode (T). (Grandis,1996) Dari kedua persamaan tersebut diperoleh konversi dari

delay time ke frekuensi yaitu:

() =195

()

2.8 Pemodelan Data Magnetotelurik

2.81 Pemodelan Kedepan

Secara umum, perhitungan impedansi model 1 dimensi dapat menggunakan

rumus rekursif yang menghubungkan impedansi di permukaan dua lapisan yang

berurutan. Dari impedansi di permukaan lapisan terakhir yang berupa medium

homogen (persamaan (13)) dapat dihitung impedansi di permukaan lapisan di atasnya,

demikian seterusnya secara rekursif hingga diperoleh impedansi di permukaan bumi

(lapisan pertama).

Impedansi pada kedalaman zI dalam lapisan ke-j adalah sebagai berikut:

(1) =

0

+

+

+

= ,

+ /

/

(16)

dimana ZI , j adalah impedansi intrinsik lapisan ke j seperti telah didefinisikan pada

persamaan (13).

Untuk mengeliminasi koefesien / pada persamaan (16), kita definisikan

impedansi pada kedalaman z2 dalam lapisan ke j dengan cara yang sama seperti pada

persamaan (16). Kemudian kita peroleh harga koefesien / sebagai fungsi

impedansi pada kedalaman z2 sebagai berikut:

=

(2) ,

(2) + ,22 (17)

subtitusi persamaan (17) ke dalam persamaan (16) menghasilkan:

(1) = ,

2 + (2) ,

(2) + ,

22

2

(2) ,

(2) + ,

22

= , 1 +

(2) ,

(2) + ,2 (2 1)

1 (2) ,

(2) + ,

2 (2 1) (18)

jika z1 dan z2 masing-masing adalah kedalaman permukaan (top) dan bagian bawah

(bottom) lepisan ke j maka selisihnya adalah ketebalan lapisan tersebut (hj). Sebagai

implikasi kotinyuitas komponen tangensial medan listrik dan medan magnet pada batas

lapisan maka impedansi juga kontinyu sehingga diperoleh (2) = +1(2). Untuk

selanjutnya impedansi selalu didefinisikan di permukaan lapisan ( +1(2) = +1)

sehingga dari persamaan (18) diperoleh persamaan berikut:

= 1

2 ()

1 + 2 ()

(19)

dimana = , +1

, + +1

Persamaan (19) merupakan rumus rekursif yang menyatakan impedansi di

permukaan lapisan ke j sebagai fungsi parameter lapisan tersebut ( ) dan

impedansi di permukaan lapisan terletak di bawahnya (lapisan ke j+1). Dengan

demikian kita dapat menghitung impedansi di permukaan bumi (Z1) yang terdiri dari

sejumlah n lapisan jika parameter model diketahui (resolusi forward problem).

Impedansi bumi berlapis horisontal dapat dianggap sebagai impedansi medium

homogen dengan tahanan jenis ekivalen atau tahanan jenis semu sehingga berdasarkan

analogi dengan persamaan (14) impedansi tersebut dapat dinyatakan sebagaia tehanan

jenis dan fasa.

= 1

0|1|

2 (20a)

= 1 (Im1

Re1) (20b)

dalam praktik, kurva sounding yang menyatakan variasi tahanan jenis medium sebagai

fungsi kedalaman adalah kurva tahanan jenis semu dan fasa sebagai fungsi perioda.

2.82 Pemodelan Inversi Occam

Pada umumnya data geofisika dapat diformulasikan menjadi :

= ()()

0 (2.15)

dengan adalah respon atau data yang terukur, () adalah suatu fungsi yang

berkaitan dengan parameter fisis yang hendak dicari (contoh : resistivitas), dan adalah data

Kernel.

Bentuk integral ini relatif mudah dievaluasi secara komputasi dengan matematika

diskrit, sehingga dengan menyederhanakan menjadi dan () menjadi , maka :

= (2.16)

dengan adalah matriks Kernel.

Operasi transformasi perumusan matematika yang dibentuk seperti hubungan pada

persamaan (2.16), disebut linearisasi parameter.

Metode inversi occam merupakan metode inversi yang menggunakan roughness

(kekasaran) dari model yang dalam hal ini berupa perubahan resistivitas dan fasa terhadap

kedalaman sebagai fungsi yang diminimalisasi.

1 = (/)2 (2.17)

2 = (2/2)2 (2.18)

dengan m(z) adalah parameter yang dalam hal ini merupakan resistivitas/log

resistivitas dan 1 maupun 2 adalah roughness.

Untuk mempermudah proses komputasi, lebih efektif bila persamaan (2.17) dan

(2.18) dilakukan diskritisasi, sehingga didapatkan :

1 = ( 1)2

=2 (2.19)

2 = (+1 2 + 1)21

=2 (2.20)

Contoh grafik hasil inversi occam dapat diamati pada gambar (2.6) berikut.

Gambar 2.6 Grafik model berlapis yang dibuat oleh Jones dan Hutton (1979a) dan model terhalusnya

menggunakan inversi occam. (Steven C.Constable, dkk, 1987)

Solusi dari permasalahan inversi linier adalah memperkirakan parameter m yang

memiliki respon (data terhitung) yang cocok dengan data lapangan. Kriteria cocok diartikan

sebagai estimasi kesalahan (norm/misfit) minimum. Dalam hal ini, arti minimum dapat diatur

dalam nilai desired misfit atau misfit yang diinginkan yang disimbolkan dalam 2. Rumus

misfit adalah :

2 = ([])

2

=1 (2.21)

dengan adalah data lapangan, [] adalah sebuah fungsi forward modelling yang

mengandung data parameter model, dan merupakan error parameter pada datum ke-j.

Pada keadaan linier, formulasi data geofisika dapat dibentuk menjadi :

= (2.22)

dengan G adalah matriks M x N. Pada kasus linier, persamaan (2.21) dapat ditulis

sebagai berikut :

2 = 2 (2.23)

Persamaan (2.17) dan (2.18) juga dapat ditulis menjadi :

1 = 2 (2.24)

2 = 22 (2.25)

dengan adalah matriks identitas N x N.

Dalam proses inversi ini, perlu ditambahkan sebuah operator smoothing, yaitu pengali

Lagrange. Karena yang diinginkan adalah bentuk sebaran data yang halus, maka sebaran data

ini seolah-olah dipaksa agar halus, dengan sebuah persamaan unconstrained (U). Secara

umum, bentuk persamaan yang digunakan dalam inversi occam ini ditulis dalam persamaan :

= 2 + 1{ 2 2} (2.26)

dengan U adalah persamaan unconstrained, 2adalah roughness, 1 adalah

pengali Lagrange, 2adalah misfit, dan 2 adalah misfit yang ingin dicapai

sebagai acuan cocok atau tidaknya data hasil inversi (desired misfit).

2.9 Geologi Regional Daerah Penelitian