BAB I

METODE NUMERIK

1.1 Mengapa Menggunakan Metode Numerik

Tidak semua permasalahan matematis atau perhitungan dapat diselesaikan

dengan mudah atau dapat diselesaikan dengan menggunakan perhitungan biasa.

Contohnya dalam persoalan yang melibatkan model matematika yang sering

muncul dalam berbagai disiplin ilmu pengetahuan, bidang fisika, kimia, ekonomi,

atau pada persoalan rekayasa. Seringkali model matematika tersebut muncul

dalam bentuk yang tidak idealis atau rumit. Model matematika yang rumit ini

adakalanya tidak dapat diselesaikan dengan metode analitik yang sudah umum

untuk mendapatkan solusinya. Sebagai contoh, perhatikan sekumpulan persoalan

matematik berikut dan bagaimana cara menyelesaikannya?

a. Tentukan akar – akar persamaan polinom

b. Tentukan harga x yang memenuhi persamaan

c. Hitung integral

Contoh – contoh diatas memperlihatkan bahwa kebanyakan

persoalanmatematik tidak dapat diselesaikan dengan metode analitik. Metode

analitik disebut juga metode sejati karena memberi solusi sejati atau solusi yang

sesungguhnya, yaitu solusi yang memiliki galat ( error ) sama dengan nol.

Metode analitik seringkali hanya unggul untuk sejumlah persoalan yang

memiliki tafsiran geometri sederhana, padahal persoalan yang mincul dalam

dunia nyata sering melibatkan bentuk dan proses yang rumit. Akibatnya nilai

praktis penyelesaian metode analitik menjadi terbatas.

Bila metode analitik tidak dapat lagi diterapkan, maka solusi persoalan

sebenarnya dapat dicari dengan metode numerik. Metode numerik adalah

teknik yang digunakan untuk memformulasikan persoalan matematik sehingga

dapat dipecahkan dengan operasi perhitungan / aritmatik biasa ( tambah, kurang,

kali dan bagi ). Secara harafiah metode numerik memiliki arti sebagai cara

berhitung dengan menggunakan angka – angka. Metode numerik yang berangkat

dari pemakaian alat bantu hitung merupakan alternatif yang baik dalam

menyelesaikan persoalan – persoalan perhitungan yang rumit, saat inipun telah

banyak yang menawarkan program – program numerik sebagai alat bantu

perhitungan.

Dalam penerapan matematis untuk menyelesaikan persoalan – persoalan

perhitungan dan analisis, terdapat beberapa keadaan dan metode yang baik :

Bila persoalan merupakan persoalan yang sederhana atau terdapat theorem

analisa matematika yang dapat digunakan untuk menyelesaiakan persoalan

tersebut, maka penyelesaian matematis ( metode analitik ) yang digunakan

adalah ppenyelesaian excat yang harus digunakan. Penyelesaian ini menjadi

acuan bagi pemakaian metode pendekatan.

Bila persoalan sudah sangat sullit atau tidak mungkin diselesaiakan secara

matematis ( analitik ) karena tidak ada theorema analisa matematika yang

dapat digunakan , maka dapat digunakan metode numerik.

Bila persoalan sudah merupakan persoalan yang mempunyai kompleksitas

tinggi, sehingga metode numerikpun tidak dapat menyajikan penyelesaian

dengan baik, maka dapat digunkana metode-metode simulasi.

1.2 Prinsip – prinsip Metode numerik

Metode numerik berangkat dari pemikiran bahwa permasalahan dapat

diselesaikan menggunakan pendekatan – pendekatan yang dapat

dipertanggungjawabkan secara analitik. Metode numerik ini disajikan dalam

bentuk algoritma - algoritma yang dapat dihitung secara cepat dan mudah.

Pendekatan yang digunakan dalam metode numrik merupakan pendekatan

analisis matematis. Sehingga dasar pemikirannya tidak keluar dari dasar

pemikiran analitis, hanya saja pemakaian grafis dan teknik perhitungan yang

mudah merupakan pertimbangan dalam pemakaian metode numerik. Mengingat

algoritma yang dikembangkan dalam metode numrik merupakan algoritma

pendekatan, maka dalam algoritma tersebut akan muncul istilah iterasi yaitu

pengulangan proses perhitungan. Dengan kata lain, perhitungan dalam metode

numerik adalah perhitungan yang dilakukan berulang-ulang untuk terus –

menerus memperoleh hasil yang mendekati nilai penyelesaian exact.

Dengan menggunakan metode pendekatan semacam ini , tentukan bahwa setiap

nilai hasil perhitungan akan mempunyai nilai error ( nilai kesalahan ). Dalam

analisa metode numerik, kesalahan ini menjadi penting artinya. Karena kesalahn

dalam pemakaian algoritma pendekatan akan menyebabkan nilai kesalahan yang

besar , dimana tentunya kesalahan ini tidak diharapkan. Sehingga pendekatan

metode analitik selalu membahas tingkat kesalahan dan tingkat kecepatan proses

yang akan terjadi.

Perbedaan utama antara metode numerik dan metode analitik

Metode Numerik Metode Analitik

1. Solusi selalu berbentuk angka 1. Solusi biasanya dalam bentuk fungsi

matematik yang selanjutnya dapat

dievaluasi untuk menghasilkan nilai

dalam bentuk angka

2. Diperoleh solusi yang menghampiri

solusi sejati sehingga solusi numerik

dinamakan juga solusi hampiran/

solusi pendekatan

2. Diperoleh solusi sejati

Persoalan – persoalan yang biasa diangkat dalam metode numerik adalah:

Menyelesaiakan persamaan non linier

Menyelesaiakan persamaan simultan dan multi variabel

Menyelesaiakan diferensial dan integral

Interpolasi dan regresi

Masalah multi variabel untuk menentukan nilai optimal yang tidak

bersyarat

1.3 Tahap – tahap memecahkan persoalan secara Numerik

Ada enam tahap yang dilakukan dalam pemecahan persoalan dunia nyata dengan

metode numerik

1. Pemodelan 4. Pemrograman

2. Penyederhanaan model 5. Operasional

3. Formulasi numerik 6. Evaluasi

BAB II

MODEL MATEMATIKA

Model matematika secara luas dapat didefinisikan sebagai perumusan atau persamaan

yang mengekspresikan feature pokok dari sistem atau proses fisis dalam istilah

matematis. Dalam penalaran yang sangat umum , model matematis dapat dinyatakan

sebagai suatu hubungan fungsional yang berbentuk

Peubah tak bebas = f ( peubah bebas, parameter, fungsi

pemaksa ) ..................................( 2. 1 )

peubah tak bebas : suatu karakteristik yang biasanya mencerminkan keadaan

atau perilaku sistem

peubah bebas : dimensi, seperti waktu dan ruang, sepanjang mana perilaku

sistem sedang ditentukan

parameter : pencerminan sifat – sifat atau komposisi sistem

fungsi pemaksa : pengaruh eksternal yang bekerja padanya

Ekspresi matematis yang sebenarnya dari persamaan 2. 1 dapat berkisar dari suatu

hubungan aljabar sederhana sampai himpunan persamaan diferensial besar yang

rumit. Sebagai contohnya perhatikan model matematis dari hukum kedua Newton

dalam persamaan

F = m.a

..................................................................................................................................( 2.

2 )

Persamaan 2.2 mempunyai sejumlah ciri yang khas dari model matematis di dunia

fisik

1. persamaan tersebut menggambarkan suatu proses atau sistem biasa dalam

istilah – istilah matematis.

2. Persamaan tersebut menyatakan suatu idealisasi dan penyedderhanaan dari

keadaan yang sebenarnya. Yakni rincian yang sederhana dari proses almiah

diabaikan dan perhatian dipusatkan pada manifestasi yang penting.

3. Persamaan tersebut memberikan hasil yang dapat direproduksi, sehingga

dapat dipakai untuk tujuan peramalan.

Contoh 2.1

Pernyataan masalah : seorang penerjun payung dengan massa 68.100 gram melompat

keluar dari pesawat. Gunakan persamaan untuk menghitung

kecepatan ( velocity ) sebelum parasutnya terbuka. Koefisien hambat c kira – kira

sama dengan 12.500 gram/det

Penyelesaian : Pemasukan parameter – parameter ke dalam persamaan

Menghasilkan :

=

Menurut model tersebut, penerjun itu melaju dengan cepat. Kecepatan sebesar

4487,00 cm / det dicapai setelah 10 detik. Setelah waktu yang cukup lama, dicapai

kecepatan konstanta ( dinamakan kecepatan akhir )sebesar 5339,00 cm / det.

Persamaan disebut penyelesaian analitis atau eksak. Sayang

sekali terdapat banyak model matematika yang tidak dapat diselesaikan secara eksak.

0

2

4

6

10

0,00

1640,00

2777,00

3564,00

4487,00

5339,00

Dalam kebanyakan kasus – kasus seperti itulah alternatifnya adalah mengembangkan

suatu penyelesaian numerik yang menghampiri ( mengakprosimasi ) penyelesaian

yang eksak.

Penyelesaian Numerik

Pernyataan masalah : lakukan komputasi yang sama seperti contoh di atas namun

gunakan persamaan untuk menghitung kecepatan dengan

pertambahan waktu sama dengan 2 detik.

Penyelesaian : pada saat memulai perhitungan ( ), kecepatan penerjun payung

sama dengan nol. Dengan memakai informasi ini dan nilai – nilai parameter dari

contoh maka persamaan dapat digunakan untuk menaksir

kecepatan pada

Untuk selang (interval) berikutnya dari (t=2 sampai 4 detik ), komputasi diulang

dengan hasil

Komputasi dilanjutkan dengan cara sama untuk memperoleh nilai – nilai tambahan

0

2

4

6

10

0,00

19,60

32,00

39,85

47,97

53,39

Hasil- hasilnya dilukiskan dalam Gambar 2.1 bersamaan dengan penyelesaian eksak.

Dapat dilihat bahwa secara cermat metode numerik mencakup segi – segi utama dari

penyelesaian eksak. Tetapi karena digunakan ruas – ruas garis lururs untuk

GAMBAR 2.1

mengaproksimasi suatu fungsi melengkung yang kontinu maka terdapat

ketidakcocokan antara kedua hasil tersebut. Satu cara untuk meminimumkan

ketidakcocokan yang demikian adalah dengan menggunakan selang komputasi yang

lebih kecil. Misalnya dengan menerapkan pada masalah penerjun payung diatas

dengan selang 1 detik akan menghasilkan galat yang lebih kecil, karena lintasan ruas-

ruas garis lurus lebih dekat ke penyelesaian sebenarnya.

BAB III

APROKSIMASI DAN GALAT

3.1 Kekeliruan , Kesalahan perumusan dan Ketidakpastian Data

Walau sumber kesalahan di bawah ini secara langsung tak dihubungkan dalam

metode numerik, dampak dari kesalahan ini cukup besar.

Kekeliruan.

Kesalahan bruto/kekeliruan.

Tahun awal penggunaan komputer, komputer sering kali gagal pakai

(malfunction).

Sekarang kekeliruan ini dihubungkan dengan ketidaksempurnaan manusianya.

Kekeliruan dapat terjadi pada sembarang langkah proses

pemodelan matematika dan dapat mengambil bagian terhadap semua

komponen kesalahan lainnya. Ia hanya dapat dicegah oleh pengetahuan yang

baik tentang prinsip dasar dan berhati-hatilah dalam melakukan pendekatan dan

mendesain solusi untuk masalah anda.

Biasanya tak dianggap dalam pembahasan metode numerik. Ini terjadi, karena

kesalahan bruto sampai taraf tertentu tak dapat dihindari. Tapi tentu saja pasti

ada cara untuk memperbaiki keadaan ini.

Misalnya: kebiasaan pemrograman yang baik, seperti yang dibahas dalam

bab 2, sangat berguna untuk mengurangi kekeliruan pemrograman. Sebagai

tambahan, terdapat juga cara-

cara sederhana untuk memeriksa apakah suatu metode numerik tertentu

bekerja secara sempurna.

Kesalahan Perumusan.

Kesalahan perumusan model dihubungkan dengan penyimpangan yang dapat

dianggap berasal dari model matematika yang tak sempurna.

Contoh: fakta bahwa hukum Newton kedua tak menghitung efek relativistik. Ini

tak mengurangi

kelayakan solusi pada contoh sebelumnya, karena kesalahan-kesalahan ini adalah

minimal pada skala waktu dan ruang dari seorang penerjun payung.

Anggap bahwa tahanan udara bukan proporsi linier terhadap kecepatan

jatuh seperti dalam persamaan tetapi merupakan sebuah fungsi kuadrat

kecepatan. Kalau hal ini benar, baik

kedua solusi analitis maupun numerik yang diperoleh dalam bab 1 hasilnya

menjadi salah

karena kesalahan perumusan.

Ketidakpastian Data.

Kesalahan-kesalahan seringkali masuk ke dalam suatu analisis karena

ketidakpastian data fisika yang mendasari suatu model.

Misalnya kita ingin menguji model penerjun payung dengan loncatan-loncatan

berulang yang dibuatnya, mengukur kecepatan orang tersebut setelah interval

waktu tertentu.

Ketidakpastian yang menyertai pengukuran-pengukuran ini tak diragukan,

karena penerjun akan jatuh lebih cepat selama beberapa loncatan daripada

loncatan lainnya. Kesalahan-

kesalahan ini dapat memunculkan ketidak akuratan dan ketidak presisian.

Jika instrumen kita menaksir terlalu rendah atau terlalu tinggi terhadap

kecepatan, kita menghadapi suatu alat yang tak akurat atau menyimpang.

Pada keadaan lainnya, jika pengukuran tinggi dan rendah secara acak, kita akan

berhadapan dengan sebuah pertanyaan mengenai kepresisian.

Kesalahan-kesalahan pengukuran dapat dikuantifikasikan dengan

meringkaskan data dengan

satu atau lebih statistik yang dipilih yang membawa sebanyak mungkin

informasi mengenai sifat-sifat data tertentu.

Statistik yang deskriptif ini kebanyakan sering dipilih untuk menyatakan (1)

letak pusat distribusi data, dan (2) tingkat penyebaran data. Hal demikian

memberikan suatu ukuran penyimpangan dan ketidakpresisian.

3.2 Analisis Galat

Menganalisis galat sangat penting di dalam perhitungan yang menggunakan metode

numerik. Galat berasosiasi dengan seberapa dekat solusi hampiran terhadap solusi

sejatinya. Semakin kecil galatnya, semakin teliti solusi numerik yang didapatkan.

Nilai sejati ( true value ) = Hampiran (aproksimasi) + Galat

Misalkan adalah nilai hampiran terhadap nilai sejatinya a , maka selisih

disebut Galat. Jika tanda Galat ( positif atau negatif ) tidak dipertimbangkan , maka

Galat mutlak

Ukuran galat kurang bermakna karena tidak menceritakan seberapa besar galat itu

dibandingkan dengan nilai sejatinya. Untuk mengatasi interpretasi nilai galat

tersebut , maka galat harus dinormalkan terhadap nilai sejatinya. Gagasan ini

melahirkan apa yang dinamakan galat relatif.

Galat Relatif didefinisikan sebagai

Atau dalam persentase

Karena galat dinormalkan terhadap nilai sejati, maka galat relatif tersebut dinamakan

juga relatif sejati. Dalam praktek ketika kita tidak mengetahui nilai sejati a, karena itu

galat sering dinormalkan terhadap solusi hampirannya, sehingga galat relatifnya

dinamakan galat relatif hampiran

Salah satu tantangan metode numerik adalah menentukan taksiran galat tanpa

mengetahui nilai sejatinya. Misalnya, metode numerik tertentu memakai pendekatan

secara iterasi untuk menhitung jawaban. Dalam pendekatan yang demikian, suatu

aproksimasi sekarang dibuat berdasarkan aproksimasi sebelumnya. Proses ini

dilakukan secara berulang , atau secara iterasi dengan maksud secara beruntun

menghitung aproksimasi yang lebih dan lebih baik. Jadi, persen galat relatif :

Komputasi diulang sampai

Nilai menentukan ketelitian solusi numerik. Semakin kecil nilai semakin teliti

solusinya.

Soal

1. Misalkan nilai sejati = 10/3 dan nilai hampiran = 3.333. hitunglah galat, galat

mutlak, dan galat relatif hampiran.

2. Prosedur iterasi sebagai berikut r = 0, 1, 2, 3, ...

dan = 0.00001

Sumber Utama Galat Numerik

Secara umum terdapat dua sumber utama penyebab galat dalam perhitungan numerik

1. Galat pembulatan ( round-off error )

2. Galat Pemotongan ( truncation error )

Selain kedua galat ini, terdapat sumber galat lain :

1. Galat eksperimental , galat yang timbul dari data yang diberikan, misalnya

karena kesalahan pengukuran, ketidaktelitian alat ukur dan sebagainya.

2. Galat pemrograman. Galat yang terdapat di dalam program sering dinamakan

dengan bug. Dan proses penghilangan galat dinamakan debugging.

3.3 Algoritma

Algoritma merupakan rentetan langkag – langkah logika yang diperlukan untuk

melakukan suatu tugas tertentu seperti pemecahan masalah.

Ciri – ciri suatu algoritma yang baik

1. Aksi yang dilaksanakan harus dirinci secara jelas untuk tiap kasus. Hasil

akhir tidak boleh tergantung kepada yang mengalami algoritma

2. Proses algoritma harus selalu berakhir setelah sejumlah berhingga langkah

tidak boleh berakhir terbuka ( oppen – ended )

3. Algoritma harus cukup umum untuk menangani keperluan yang lebih

banyak.

Cara pembuatan algoritma

1. Flow chart ( diagram alir )

2. Kode psudo ( menggunakan kalimat – kalimat yang kata-katanya sudah

punya aturan – aturan tertentu )

3.4 Hitungan Langsung dan Tak Langsung

a. Hitungan langsung

Hitungan melalui serangkaian operasi hitung untuk memperoleh hasil

b. Hitungan Tak langsung ( hitungan iterasi )

Solusi diperoleh dengan melakukan pengulangan pada suatu perhitungan

langsung dimulai dengan suatu tebakan awal untuk memperoleh suatu nilai

hampiran sebagai perbaikan atas nilai tebakan awal sampai diperoleh nilai

hampiran yang diinginkan.

Soal 3.2 : Gunakan tebakan awal untuk menghitung

untuk

BAB 4

METODE PENGURUNG (BRACKETING METHOD)

Salah satu masalah yang sering terjadi pada bidang ilmiah adalah masalah untuk

mencari akar-akar persamaan berbentuk f(x) = 0 ………………….(1)

Fungsi f di sini adalah fungsi atau persamaan tak linear. Nilai x = x0 yang memenuhi

(1) disebut akar persamaan fungsi tersebut. Sehingga x0 di sini menggambarkan

fungsi tersebut memotong sumbu-x di x = x0.

Persamaan atau fungsi f dapat berbentuk sebagai berikut:

Persamaan aljabar atau polinomial

f(x) = pn(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0 ……………………………….(2)

Persamaan transenden

Yaitu persamaan yang mengandung fungsi antara lain trigonometri, logaritma, atau

eksponen

Contoh: (i) ex + cos(x) = 0 (ii) ln(x) + log(x2) = 0

Persamaan campuran

Contoh: (i) x3 sin(x) + x = 0 (ii) x2 + log(x) = 0

Untuk polinomial derajat dua, persamaan dapat diselesaikan dengan rumus

akar persamaan kuadrat. Misalkan bentuk persamaan kuadrat adalah: ax2 + bx + c =

0

dapat dicari akar-akarnya secara analitis dengan rumus berikut.

Untuk polinomial derajat tiga atau empat, rumus-rumus yang ada sangat kompleks

dan jarang digunakan. Sedangkan untuk menyelesaikan polinomial dengan derajat

yang lebih tinggi atau persamaan tak linear selain polinomial, tidak ada rumus yang

dapat digunakan untuk menyelesaikannya. Metode Numerik memberikan cara-cara

untuk menyelesaikan bentuk tersebut, yaitu metode hampiran. Penyelesaian numerik

dilakukan dengan hampiran yang berurutan (metode iterasi), sedemikian sehingga

setiap hasil adalah lebih teliti dari perkiraan sebelumnya. Dengan melakukan

sejumlah prosedur iterasi yang dianggap cukup, akhirnya didapat hasil perkiraan yang

mendekati hasil eksak (hasil yang benar) dengan toleransi kesalahan yang diijinkan.

Metode iterasi mempunyai keuntungan bahwa umumnya tidak sangat terpengaruh

oleh merambatnya error pembulatan.

4.1 LOKALISASI AKAR

Lokasi akar persamaan tak linear diselidiki untuk memperoleh tebakan awal,

yaitu:

Metode Grafik.

Untuk memperoleh taksiran akar persamaan f(x) = 0 ialah dengan membuat

grafik fungsi itu dan mengamati dimana ia memotong sumbu x. Titik ini, yang

menyatakan harga x untuk f(x) = 0, memberikan suatu pendekatan kasar dari akar

tersebut.

Contoh 4.1. Pendekatan Grafik.

Gunakan pendekatan grafik untuk memperoleh suatu akar persamaan dari f(x) =

e-x – x.

Solusinya adalah sebagai berikut:

X f(x)0,0

0,4

0,6

1,000

0,619

0,270

-0,051

Gambar 4.1

Gambar 4.1. Ilustrasi pendekatan grafik untuk memecahkan persamaan

aljabar dan transendental. Grafik f(x) = e-x – x terhadap x. Akar sesuai dengan

harga x dimana

f(x) = 0, yaitu titik dimana fungsi memotong sumbu x. Pemeriksaan secara

visual mengenai plot memberikan taksiran kasar 0,57. Harga sebenarnya

adalah 0,56714329…

Teknik grafik praktis digunakan, dan dapat memberikan taksiran akar secara

kasar, tapi tidak presisi.

Ia dapat digunakan sebagai tebakan awal dalam metode numerik.

Interpretasi grafik penting untuk memahami sifat-sifat fungsi dan dapat

memperkirakan jebakan pada metode numerik, seperti terlihat pada gambar

4.2 di bawah ini.

Gambar 4.2 memperlihatkan sejumlah cara dimana akar bisa berada

dalam interval yang dijelaskan oleh suatu batas bawah a dan batas atas b.

Gambar 4.2b memperlihatkan kasus dmana sebuah akar tunggal

dikurung oleh harga-harga positif dan negatif dari f(x).

Gambar 4.2

Gambar 4.2. Ilustrasi sejumlah cara yang umum bahwa sebuah akar bisa

terjadi dalam sebuah interval yang dijelaskan oleh batas bawah a dan batas

atas b. Bagian (a) dan (c) menunjukkan bahwa bila f(a) dan f(b) mempunyai

tanda yang sama, tidak akan ada akar-akar atau akar dalam jumlah genap

pada interval. Bagian (b) dan (d) menunjukkan bahwa bila fungsi mempunyai

tanda yang berbeda pada kedua titik ujung, akan terdapat akar dalam jumlah

ganjil pada interval. Tetapi gambar 4.2d, dimana f(a) dan f(b)

berlawanan tanda terhadap sumbu x, memperlihatkan 3 akar yang

berada di dalam interval. Umumnya jika f(a) dan f(b) mempunyai tanda yang

berbeda akan terdapat akar yang jumlahnya ganjil dalam interval.

Seperti ditunjukkan oleh gambar 4.2 a dan c, jika f(a) dan f(b) mempunyai

tanda yang sama, tidak terdapat akar-akar atau akar yang jumlahnya genap

berada diantara harga-harga itu.

Meskipun generalisasi ini biasanya benar, namun terdapat kasus-kasus

dimana hal itu tak dapat dipegang.

Misalnya akar ganda. Yakni fungsi yang menyinggung sumbu x

(gambar 4.3a) dan fungsi- fungsi diskontinu (gambar 4.3b) bisa menyalahi

prinsip ini.

Gambar 4.3. Ilustrasi beberapa perkecualian terhadap kasus-kasus umum

yang ditunjukkan dalam gambar 4.2. (a) Akar ganda yang terjadi sewaktu

fungsi menyinggung sumbu x. Dalam hal ini, walaupun titik-titik ujungnya

berlawanan tanda, terdapat akar-akar dalam jumlah genap untuk interval

tersebut. (b) Fungsi diskontinu dimana titik-titik ujung tanda yang

berlawanan juga mengurung akar-akar dalam jumlah genap.

Strategi khusus dibutuhkan untuk penentuan akar-akar dalam kasus ini.

Sebagai contoh fungsi yang mempunyai akar ganda adalah persamaan kubik

f(x) = (x – 2) (x– 2) (x – 4). Perhatikan bahwa x = 2 membuat kedua suku

polinomial itu sama dengan 0. Jadi x = 2 disebut sebuah akar ganda.

Cara Tabulasi

Nilai-nilai fungsi pada interval yang diminati dihitung dengan membagi

interval tersebut menjadi sub interval – sub interval, dan nilai-nilai tersebut

ditulis dalam bentuk tabulasi. Jika pada suatu interval nilai fungsi berubah

tanda, maka pada interval tersebut ada akar.

Lokasi Akar Untuk Persamaan Polinomial

Persamaan polinomial mempunyai bentuk umum sbb.

f(x) = pn(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0 …………………….(3)

Jika pn(x) = 0, maka persamaan tersebut mempunyai tepat n akar, antara lain

akar bilangan real dan juga termasuk akar bilangan kompleks. Akar bilangan

kompleks selalu muncul berpasangan. Yang disebut bilangan kompleks

adalah:

a + b i . dimana a, b bilangan real, i =

Untuk melokasikan akar-akar real, digunakan beberapa aturan:

(a) aturan tanda koefisien

(i) akar real positif

u = banyaknya pergantian tanda pada koefisien ai dari pn(x)

np = banyaknya akar real positif

maka berlaku: np < u (4)

u – np = 0, 2, 4, 6, …

(ii) akar real negatif

v = banyaknya pergantian tanda pada koefisien ai dari pn(-x)

ng = banyaknya akar real negative, maka berlaku:

ng < v ..........................................................................(5)

v – ng = 0, 2, 4, 6, …

(b) batas interval akar

maka semua akar real pn(x) terletak pada interval [-r, r].

Sebuah fungsi berdasarkan jenisnya akan berubah tanda di sekitar suatu

harga akar.

Teknik ini dinamakan metode akoladi (bracketing method), karena

dibutuhkan 2 tebakan awal untuk akar.

Sesuai namanya, tebakan tersebut harus “dalam kurung” atau berada

pada kedua sisi nilai akar.

4.2. Metode Bagidua (Biseksi).

Pada teknik grafik sebelumnya, terlihat bahwa f(x) berganti tanda pada

kedua sisi yang berlawanan dari kedudukan akar. Pada umumnya, kalau

f(x) nyata (real) dan kontinu dalam interval dari xl hingga xu, serta f(xl) dan

f(xu) berlainan tanda, yakni:

f(xl) f(xu) < 0

Maka terdapat sekurang-kurangnya 1 akar nyata diantara xl dan xu.

dengan penempatan sebuah interval dimana fungsi tersebut bertukar tanda.

Lalu penempatan perubahan tanda (tentunya harga akar) ditandai lebih

teliti dengan cara membagi interval tersebut menjadi sejumlah

subinterval. Setiap subinterval itu dicari untuk menempatkan perubahan

tanda. Proses tersebut diulangi dan perkiraan akar diperhalus dengan

membagi subinterval menjadi lebih halus lagi.

Metode Bagidua (biseksi), disebut juga pemotongan biner (binary

chopping), pembagian 2 (interval halving) atau metode Bolzano.

Letak akarnya kemudian ditentukan ada di tengah-tengah subinterval dimana

perubahan tanda terjadi. Proses ini diulangi untuk memperoleh taksiran yang

diperhalus.

Step 1: Pilih taksiran terendah xl dan tertinggi xu untuk akar agar

fungsi berubah tanda sepanjang interval. Ini dapat diperiksa

dengan: f(xl) f(xu) < 0.

Step 2 : Taksiran pertama akar xr ditentukan oleh:

Step 3 : Buat evaluasi yang berikut untuk menentukan subinterval, di dalam

mana akar terletak:

a. Jika f(xl) f(xr) < 0, akar terletak pada subinterval pertama, maka

xu = xr, dan lanjutkan ke step 2.

b. Jika f(xl) f(xr) > 0, akar terletak pada subinterval kedua, maka xl

= xr, dan lanjutkan ke step 2.

c. f(xl) f(xr) = 0, akar = xr, komputasi selesai.

Contoh Metode Bagidua.

Gunakan Bagidua untuk menentukan akar dari f(x) = e-x - x.

Dari grafik fungsi tersebut (gambar 4.1) terlihat bahwa harga akar terletak

diantara 0 dan 1.

Karenanya interval awal dapat dipilih dari xl = 0 hingga xu = 1. Dengan

sendirinya,

taksiran awal akar terletak di tengah interval tersebut:

Taksiran ini menunjukkan kesalahan dari (harga sebenarnya adalah

0,56714329…):

Et = 0,5 = 0,06714329

atau dalam bentuk relatif:

dimana indeks t menunjukkan bahwa kesalahan diacu terhadap harga

sebenarnya. Lalu:

f(0) f(0,5) = (1) (0,10653) = 0,10653

yang lebih besar dari nol, dengan sendirinya tak ada perubahan tanda terjadi

antara xl dan xr.

Karena itu, akar terletak pada interval antara x = 0,5 dan 1,0. Batas bawah

didefinisikan lagi

Taksiran ini menunjukkan kesalahan dari (harga sebenarnya adalah

0,56714329…):

Et = 0,5 = 0,06714329

atau dalam bentuk relatif:

f(0,5) f(0,75) = -0,030 < 0

Karenanya akar terletak diantara 0,5 dan 0,75:

xu = 0,75

Dan iterasi seterusnya

4.3. Metode Regula Falsi (False Position).

Disebut juga metode interpolasi linier.

Penjelasan grafiknya adalah sebagai berikut:

Penjelasan grafik dari metode Regula Falsi. Segitiga serupa yang digunakan

untuk menurunkan rumus buat metode tersebut adalah yang diarsir.

Contoh Metode Regula Falsi.

Gunakan Regula Falsi untuk menentukan akar dari f(x) =

e-x - x. Akar sesungguhnya 0,56714329.

xl = 0 dan xu = 1.

Iterasi pertama:

xl = 0 f(xl) = 1

xu = 1 f(xu) = -0,63212

Iiterasi ke-2

f(xl) f(xr) = -0,0708

akar pada subinterval I. xr di batas atas berikutnya

xl = 0 f(xl) = 1

xu = 0,6127 f(xu) = -0,0708

Kesalahan untuk Regula Falsi berkurang lebih cepat daripada Bagidua

26

disebabkan rancangan yang lebih efisien untuk penempatan akar dalam

Regula Falsi.

Perbandingan t pada metode Bagidua dan Regula Falsi untuk

f(x) = e-x – x

Pada Bagidua, interval antara xl dan xu muncul semakin kecil selama

komputasi. Interval, x/2 = |xu – xl| / 2, merupakan ukuran error untuk

pendekatan ini.

Pada Bagidua, hal di atas tak terjadi, karena salah satu tebakan awal

kondisinya tetap selama komputasi, sedangkan tebakan lainnya konvergen

terhadap akar.

Pada contoh metode regulasi falsi di atas, xl tetap pada 0, sedangkan xu

konvergen terhadap akar. Didapat, interval tak mengkerut, tapi agak

mendekati suatu harga konstan.

27

4.3.1. Jebakan pada Metode Regula Falsi.

Contoh 4.5. Bagidua lebih baik dari Regula Falsi.

Gunakan Bagidua dan Regula Falsi untuk menempatkan akar di antara x = 0

dan 1,3 untuk:

f(x) = x10 – 1.

Dengan Bagidua, didapat:

Iterasi xl Xu Xr | t|% | a|%1 0 1,3 0,65 352 0,65 1,3 0,975 2,5 33,33 0,975 1,3 1,1375 13,8 14,34 0,975 1,1375 1,05625 5,6 7,75 0,975 1,05625 1,015625 1,6 4,0

Setelah 5 iterasi, t < 2%.

Kemudian dengan Regula Falsi, didapat:

Iterasi xl Xu Xr | t|% | a|%1 0 1,3 0,09430 90,62 0,09430 1,3 0,18176 81,8 48,13 0,18176 1,3 0,26287 73,7 30,94 0,26287 1,3 0,33811 66,2 22,35 0,33811 1,3 0,40788 59,2 17,1Setelah 5 iterasi, t < 60%.

Juga | a| < | t|

Ternyata dengan Regula Falsi, a ternyata meleset. Lebih jelas terlihat dalam

grafik:

28

Grafik dari f(x) = x10 – 1, menunjukkan konvergensi metode Regula Falsi

yang lambat

Terlihat, kurva menyalahi perjanjian yang mendasar Regula Falsi, yakni

jika f(xl) lebih mendekati 0 dibanding f(xu), sehingga akan lebih dekat

ke xl daripada ke xu

Karena bentuk fungsi yang sekarang, kebalikannya tentu juga benar. Yang

harus dilakukan adalah memasukkan taksiran akar ke dalam persamaan

semula dan ditentukan apakah hasil itu mendekati nol. Pengecekan semacam

ini juga harus dilakukan pada program komputer untuk penempatan akar.

29

4.4. Metode Newton-Raphson.

Gmbar 5.2

Metode Newton Rapson adalah metode pendekatan yang menggunakan satu

titik awal, dan mendekatinya dengan memperhatikan kemiringan pada titik

tersebut. Secara geometri metode ini menggunakan garis lurus sebagai

hampiran fungsi pada suatu selang, dengan menggunakan suatu nilai xi

sebagai tebakan awal yang diperoleh dengan melokalisasi akar-akar dari f(x)

terlebih dahulu, metode ini paling banyak digunakan untuk menarik akar-akar

dari persamaan f(x) = 0 dengan asumsi f(x), f’(x), f’’(x) kontinu dekat satu

akar p. akar dari persamaan adalah titik potong garis singgung pada titik (xi,

f(xi))

30

Dimana i = 0,1,2,3, …

Syarat f’(xi) ≠ 0

f’(xi) = 0 maka garis singgung sejajar sumbu x

Algoritma Metode Newton Rapson

Masukan: f(x), f’(x), x0 (tebakan awal), (criteria penghentian), M

(maksimum iterasi

Keluaran : akar

Langkah-langkah

Iterasi

Jika f’(x0) = 0, proses gagal, stop

1.

2.

3. x0 = xbaru

4. Iterasi: I = i + 1

5. Jika iterasi I ≤ M kembali ke langkah 2

6. Prosesnya konvegen atau divergen

4.4.1 Iterasi N-R untuk menentukan

Ambil N = 2

andaikan bahwa A>0 suatu bil real dan misal x0 > 0

adalah tebakan awal untuk

31

barisan

didefenisikan dengan rumus rekursif sebagai berikut:

akar barisan konvergen ke

yaitu : =

Bukti : A>0

Missal x =

X2 = A

X2 – A = 0, f(x) = 0 maka f(x) = x2 - A

F(x) = x2-A

F’(x) = 2x

Defenisi fungsi iterasi Newton Rapson

32

Atau

4.5. Metode Secant.

Masalah yang didapat dalam metode Newton-Raphson adalah terkadang

sulit mendapatkan turunan pertama, yakni f’(x). Sehingga dengan jalan

pendekatan

Menjadi

Persamaan di atas memang memerlukan 2 taksiran awal x, tetapi

karena f(x) tidak membutuhkan perubahan tanda diantara taksiran maka

Secant bukan metode Alokade.

33

Gambar 5.3

Teknik ini serupa dengan teknik Newton-Raphson dalam arti bahwa suatu

taksiran akar diramalkan oleh ekstrapolasi sebuah garis singgung dari fungsi

terhadap sumbu x. Tetapi metode Secant lebih menggunakan diferensi

daripada turunan untuk memperkirakan kemiringan/slope

34

4.5.1 Perbedaan Metode Secant dan Regula Falsi.

Persamaan di metode Secant maupun Regula Falsi identik suku demi suku.

Keduanya menggunakan 2 taksiran awal untuk menghitung aproksimasi

slope fungsi yang digunakan untuk berproyek terhadap sumbu x untuk

taksiran baru akar.

Perbedaannya pada harga awal yang digantikan oleh taksiran baru.

Dalam Regula Falsi, taksiran terakhir akar menggantikan harga asli

mana saja yang mengandung suatu harga fungsi dengan tanda yang

sama seperti f(xr). Sehingga 2 taksiran senantiasa mengurung akar.

Secant mengganti harga-harga dalam deretan yang ketat, dengan

harga baru xi+1 menggantikan xi, dan xi menggantikan xi-1. Sehingga

2 harga terkadang dapat terletak pada ruas akar yang sama. Pada kasus

tertentu ini bisa divergen.

Pada gambar grafik di bawah ini disajikan penggunaan metode Regula Falsi

dan Secant untuk

menaksir akar f(x) = ln x, dimulai dari harga x1 = xi-1 = 0,5 dan

xu = xi = 5,0:

Gambar 5.3.1

Perbandingan metode Regula Falsi dan Secant. Iterasi pertama (a) dan (b)

untuk iterasi kedua metode adalah identik. Tetapi pada iterasi kedua (c) dan

(d), titik yang dipakai berbeda.

36

Gambar 5.3.2

4.6. Akar Ganda.

Satu akar ganda berhubungan dengan suatu titik dimana sebuah fungsi

menyinggung sumbu x.

Misal akar dobel dihasilkan dari:

f(x) = (x - 3)(x - 1)(x - 1)

atau dengan pengalian suku-suku:

f(x) = x3 - 5x2 + 7x - 3

Persamaan diatas memiliki akar dobel, karena 1 akar x membuat kedua suku

dalam persamaan itu sama dengan nol. Secara grafik, ini sesuai dengan kurva

yang menyentuh sumbu x secara tangensial pada akar dobel. Ini dapat dilihat

37

pada gambar 5.4a di bawah ini pada

x = 1.

Gambar 5.4

Gambar 5.4 Contoh akar ganda yang menyinggung sumbu x. Perhatikan

bahwa fungsi tak memotong sumbu pada kedua sisi akar ganda genap (a) dan

(c), sedangkan ia memotong sumbu untuk kasus ganjil (b) ([CHA1998] hal.

159).

Akar tripel untuk kasus dimana satu harga x membuat 3 suku dalam suatu

persamaan menjadi nol, misal:

f(x) = (x – 3)(x – 1)(x – 1)(x – 1)

atau dengan pengalian suku-suku:

38

f(x) = x4 – 6x3 + 12x2 – 10x + 3

Kesulitan yang ditimbulkan oleh akar ganda:

Hasil dari metode Akolade berkurang kepercayaannya dengan adanya

kenyataan bahwa fungsi tak berubah tanda pada akar ganda genap. Pada

metode Terbuka, ini bisa menyebabkan divergensi.

Tak hanya f(x) tapi juga f’(x) menuju nol pada akar.

Pada metode Newton-Raphson dan Secant, dimana keduanya mengandung

turunan (atau taksiran) di bagian penyebut pada rumusnya, terjadi

pembagian dengan nol jika solusi konvergen sangat mendekati akar.

Menurut Ralston dan Rabinowitz [RAL1978], f(x) selalu mencapai nol

sebelum f’(x). Sehingga kalau pemeriksaan nol untuk f(x) disertakan dalam

program, maka komputasi berhenti sebelum f’(x) mencapai nol.

Metode Newton-Raphson dan Secant konvergen secara linier (bukan

kuadratik), konvergen untuk akar-akar ganda (Ralston dan Rabinowitz

[RAL1978]).

Soal A.

1.Tentukan batas selang akar dari :

2.Tentukan lokasi akar

3.Tentukan akar di dalam selang (0,1) dan dengan

39

metode Bagi Dua dan Regula Falsi

4.Tahun 1225 Leonardo da Pissa mencari akar persamaa

dan menemukan x = 1.368808107 tidak

seorangpun tahu cara Leonardo menemukan niai ini. Gunakan metode

Bagidua dan metode Regula Falsi untuk menemukan akar persamaa

Leonardo dalam selang ( 1, 1.5 ) dan juga metode Newton Raphson,

dan metode Secant , . Untuk semua metode

5.Dapatkah metode Newton-Raphson digunakan memecahkan

jika

jika dan tebakan awal . Mengapa?

6. Gunakan metode Newton-Raphson untuk menghitung sampai enam

angka bena.

7. Misalkan .

Tentukan prosedur iterasi Newton Raphsonnya.

Jika kita ingin menghitung akar , dapatkah kita gunakan

tebakan awal . Mengapa ?

8. Masalah : gunakan pendekatan grafis untuk menentukan koefisien hambatan c

yang diperlukan oeh penerjun payung dengan massa m = 68.1 kg agar

mempunyai kecepatan 40 m / det setelah jatuh bebas untuk waktu t = 10

detik. Catatan : percepatan yang disebabkan gravitasi : 9,8 m / det2.

Masalah ini dapat dipecahkan dengan cara menentukan akar persamaan

dengan memakai parameter t=10, g=9.8, v=40, dan m=68.1

40

9. Gunakan metode bagi dua untuk memecahkan masalah pada no. 8

10. Tentukan akar – akar real dari

Secara grafis

Dengan memakai metode bagi dua untuk menemukan akar-akar

persamaan. Gunakan terkaan awal 0.4 dan 0.6, serta iterasikan

sampai taksiran galat berada dibawah

11. Tentukan akar – akar riil dari

secara grafis dan

dengan metode bagidua samapai dengan tebakan awal 4.5 dan 5

12. Tentukan akar – akar riil dari

secara grafis dan memakai metode regula falsi dengan nilai yang

berpadanan samapi dengan dua angka bena.

13. Tentukan akar – akar riil dari secara analitis, grafis dan

memakai tiga iterasi dari metode Regua Falsi, dengan tebakan awal 1.5 dan 2.

14. Tentukan akar – akar persamaan dengan metode Newton Raphson (

) dan metode Secant ( dan )

15. Tentukan akar – akar riil berikut dengan metode Newton raphson

( tebakan awal 3.1 )

( tebakan awal 2.0 )

41

16. Tentukan akar riil dari dengan menggunakan tiga iterasi

metode Secant dan tebakan awal dan hitung hampiran

galat setelah iterasi yang kedua dan ketiga

17. Tentukan akar riil dari

Secara grafis

Metode Bagi Dua ( tebakan awal 2.5 dan 3.5 )

Metode Posisi Palsu ( tebakan awal 2.5 dan 3.5 )

Metode Newton Raphson ( tebakan awal 3.5 )

Metode Secant ( tebakan awal dan )

18. Tentukan akar riil dari dengan metode Secant sampai

19. Gunakan baik metode Newton Rapson yang baku maupun yang dimodifikasi

untuk menghitung akar ganda dari dengan tebakan

awal 0

20. Tentukan akar dari

Secara grafis

Dengan menggunakan metode paling efisien sampai

Soal.B

1.Dari metode – metode yang telah ada , temukanlah metode mana yang lebih

cepat atau efisien dalam mendapatkan akar – akar persamaan .

2. Temukanlah persamaan dan perbedaan – perbedan dari metode – metode yang

telah dipelajari.

42

3. Temukan kasus / masalah dalam bidang ilmu tertentu yang dapat diselesaikan

dengan metode – metode dalam menentukan akar – akar persamaan diatas.

43

BAB IV

SISTEM PERSAMAAN LINIER

Bentuk Umum :

Bentuk Matriks

=

Metode – metode untuk mendapatkan Solusi SPL :

1.Eliminasi Gauss

2.Eliminasi Gauss – Jordan

3.Dekomposisi LU

4.Jacobi

5.Gauss Seidel

A. Dekomposis LU

Jika terdapat matriks A non singular maka dapat difaktorkan / diuraikan /

dikomposisikan menjadi matriks Segitiga Bawah L ( Lower ) dan matriks Segitiga

atas U ( Upper ).

A = LU

44

=

Penyelesaian SPL Ax = b dengan metode LU

Untuk mendapatkan nilai ( penyulihan maju )

=

Untuk mendapatkan nilai ( penyulihan mundur )

=

Dua Metode untuk menyatakan A dalam L dan U :

1.Metode LU Gauss

Langkah – langkah Pembentukan L dan U dari Matriks A

a.Nyatakan A = IA

45

=

b. Eliminasikan matriks A di ruas kanan menjadi matriks segitiga atas U

c.Setelah proses Eliminasi gauss selesai pada matriks A ( elemen-elemen

dibawah diagonal utama adalah nol ). Matriks I menjadi matriks l dan matriks

A menjadi matriks U

Soal .

Tentukan solusi dari :

2.Metode Reduksi Crout

Karena LU = A maka hasil perkalian LU dapat ditulis

Tinjau untuk Matriks 3x3

Dari kesamaan diatas diperoleh

Dst.......

46

B. Iterasi Jacobi dan Seidel

Iterasi Jacobi

Iterasi Seidel

Dengan k = 0, 1, 2, ....

Untuk menghitung kekonvergenan atau berhentinya iterasi digunakan galat

relative

47

i= 1, 2, 3, ....n

Syarat cukup iterasi konvergen : Dominan secara diagonal.

i= 1, 2, 3, ... n

Agar iterasi konvergen , cukup dipenuhi syarat ini. Jika dipenuhi pasti konvergen.

Kekonvergenan juga ditentukan oleh pemilihan tebakan awal.

Contoh :

Kekonvergenan iterasi Seidel lebih cepat karena langsung menggunakan nilai

baru.

Soal A.

1.Selesaikan SPL berikut dengan iterai Jacobi dan Seidel

48

a. b.

2.Faktorkan matriks A dan B dengan metode LU lalu pecahkan sistem Bx = c

3.Selesaikan sistem persamaan berikut dengan metode LU

4.Diberi sistem persamaan linier Ax=b dengan A dan b sebagai berikut

a. Tentukan solusi dengan metode iterasi Jacobi

b. Tentukan solusi dengan metode iterasi Seidel

c. Tentukan solusi dengan metode LU

5.Selesaikan sistem persamaan berikut dengan metode Reduksi Crout

Soal B

49

Dapatkah sistem persamaan inier berikut

a. b. c.

Diselesaikan dengan metode iterasi Jacobi dan iterasi seidel? Mengapa ?

BAB V

INTERPOLASI DAN EKSTRAPOLASI

5.1 Interpolasi

Interpolasi dapat digunakan untuk menghitung prakiraan nilai yang terletak

dalam rentangan titik-titik data, (Chapra, 1990). Bentuk interpolasi yang paling

banyak digunakan adalah interpolasi polinom orde n.

Bentuk umum persamaan polinom orde n adalah sebagai berikut:

50

..................................(11)

Untuk n+1 titik data hanya terdapat satu polinom orde n atau kurang yang

melalui sebuah titik. Misal polinom orde (1) terdapat 2 titik data dengan grafik

garis lurus, dan polinom orde 2 terdapat 3 titik data dengan grafik berbentuk

parabol. Di dalam operasi interpolasi ditentukan suatu persamaan polinom orde

n yang melalui n+1 titik data yang kemudian digunakan untuk menentukan

suatu nilai di antara titik-titik data tersebut.

a.Interpolasi Linier

Interpolasi linier merupakan bentuk interpolasi yang paling sederhana, yang

hanya membutuhkan dua titik data.

X0 X

X

1

Karena segitiga ABC sebangun dengan segitiga ADE maka

sehingga

A DB

C

E

f(x0)f(x)f(x1)

51

rumus umum interpolasi linier polinom orde I

yaitu gradien garis melalui 2 titik.

Semakin kecil interval atau titik data maka hasil perkiraan semakin baik.

b.Interpolasi kuadrat

Interpolasi kuadrat membutuhkan 3 titik data, dan persamaan polinomnya

ditulis sebagai berikut:

.........................................(13)

merupakan polinom orde dua sehingga fungsinya merupakan fungsi

kuadrat.

dari titik data yang diketahui

digunakan untuk mencari dan . dengan cara perhitungan sebagai

berikut:

o Hitung

Dari persamaan (13) dengan mensubtitusi maka

..................................................................................... (14)

52

o Hitung

Dengan mensubtitusi persamaan (14) ke persamaan (13) dan subtitusi

ke persamaan (13) diperoleh

o Hitung

53

Substitusi persamaan 14 ke persamaan 15 dan juga subtitusi x=x2 ke

persamaan

54

c. Interpolasi Polinomial

Untuk polinomial orde n digunakan titik data. Bentuk umum Polinom

orde n adalah

Koefisien di evaluasi dengan menggunakan:

...................................................................................18

............................................................................19

........................................................................20

.............................................................

21

55

Dengan adalah pembagian beda hingga

maka

Dengan

=

Misal pembagian beda hingga pertama

..............................................................................23

Pembagian beda hingga kedua

..............................................................24

Pembagian beda hingga ketiga

...............................................25

Pembagian beda hingga ke-n

56

...26

Bentuk pembagian beda hingga digunakan untuk menghitung koefisien b0,

b1,...,bn kemudian disubstitusikan ke dalam persamaan (17). untuk mendapatkan

interpolasi polinomial ordo n.

=

persamaan 23-25 Konstanta

artinya PBH yang lebih tinggi terdiri dari PBH yang lebih rendah

PBH

Pertama Kedua Ketiga

)( 0xf

f

)( 4xf

c. Interpolasi Polinomial Lagrange (IPL)

Hampir sama dengan polinomial Newton, tetapi tidak menggunakan bentuk

PBH.

57

IPL dapat diturunkan dari persamaan Newton

IPL orde 1

...........................................................27

Atau

................................................................28

Substitusi 27 ke 28

= .......................................................29

Dengan prosedur yang sama diperoleh IPL orde-orde sebagai berikut

.....................................................................30

58

Bentuk umum IPL orde n

.........................................................................31

2.5.1. Ekstrapolasi

Ekstrapolasi adalah penaksiran nilai f(x) untuk x yang terletak di luar selang

titik data, dan analisis kecendrungan dari masalah ekstrapolasi diarahkan

dengan menggunakan polinomial interpolasi.

4.3. Interpolasi Polinomial Newton

4.2.1.1 Manual

Interpolasi dan ekstrapolasi polinomial orde I

%3,0

1003268644

3268644-5,3272821RE

5,4177selisih5,3272821

)19801990(19802000273716638084772737166)(

?...........1990380847720002000273716619801980

%5,0

1003268644

3268644-3286684,59RE

59,18040selisih59,3286684

)19711990(19712000229527938084772295279)(

?...........1990380847720002000

229527919711971%7,0

1002737166

273716663,2756346347,2756selisih

63,2756346

)19711980(19711990229527932686442295279

)()()()(

?...........)(19803268644)(19902295279)(1971

1

1

1

0

1

1

1

0

001

0101

1

11

00

x

xf

xfxfxfx

x

xf

xfxfxfx

xRE

xxxx

xfxfxfxf

xfxxfxxfx

59

Model pertumbuhan penduduk NTT berdasarkan Teknik Ekstrapolasi

yang diarahkan dengan polinom interpolasi

60

Model pertumbuhan penduduk NTT didapatkan dengan mensubtitusikan

nilai b1 ke bentuk umum polinom Newton

Yaitu sebagai berikut:

f1(x) = 2737166 +53147,8(x-x0),

sehingga model pertumbuhan penduduk NTT berdasarkan teknik

interpolasi polinom Newton orde I, dengan menggunakan tahun 1980

sebagai x0 adalah sebagai berikut:

f1(x) = 2737166 +53147,8(x-x0),

maka jumlah penduduk NTT pada tahun 2000

Selisih = - 8355

Gallat =0,2%

61

Interpolasi dan ekstrapolasi polinomial orde 2

Ekstrapolasi kuadrat diarahkan dengan menggunakan polinomial

interpolasi orde 2

2295279?................)2000(2000

3268644)1990(1990273716619801980229527919711971

00

2

1

0

xfbfxfxfxfx

23

2323

12

1212

01

010,11

)()(,

8,531471980199027371663268644

)()(,

5,490981971198022952792737166

)()(

xxxfxfxxf

xxxfxfxxf

xxxfxfxxfb

3,539831990200032686443808477

62

Model pertumbuhan penduduk NTT berdasarkan teknik interpolasi

polinomial Newton orde ke II, didapatkan dengan mensubtitusikan nilai b0,

b1, b2 ke rumus umum polinomial Newton maka sebagai berikut:

F2(x) = 2295279 + 49098,5 (x-x0) + 213,12 (x-x0)(x-x1)

F2(x) = 2295279 + (x-x0) (49098,5 + 213,12 (x-x1))

Dengan menggunakan model di atas, maka jumlah penduduk NTT pada

Tahun 2000 adalah sebagai berikut:

Maka f2(x) = 2295279 + 49098,5 (29) + 213,12 (29) (20)

= 3842745.745,1

Selisih = 34268,1

RE = 0,8%

Interpolasi Polinomial Orde 3

Prediksi jumlah penduduk pada tahun 2004

Pertama Kedua Ketiga

1971 2295279 49098,5 213,12 -5.908

1980 2737166 53147,8 41,775f

1990 3268644 53983,3

63

2000 3808477

64

Sehingga model pertumbuhan penduduk NTT dengan menggunakan tehnik

interpolasi polinom Newtonl orde 3

F3(x) = 2295279 + 49098,5 (x-x0) + 213,12 (x-x0)(x-x1)+(-5,908)(x-x0)

(x-x1)(x-x2)

F3(x) = 2295279 + (x-x0) (49098,5 + 213,12 (x-x1)+(-5,908)(x-x1)(x-x2))

Berdasarkan model di atas, maka jumlah penduduk NTT pada tahun 2004

F3(x) = 2295279 + 49098,5 (33) + 213,12 (33)(24)+(-5,908)(33)(24)(14)

= 4018717,596

Maka prediksi terhadap jumlah penduduk NTT tahun 2004 dengan

menggunakan teknik polinomial Newton orde ke- 3 adalah 4018718

4.2.2 Interpolasi Polinomial Langrange

4.2.2.1 Manual

Model pertumbuhan penduduk NTT berdasarkan interpolasi polinom

langrange

65

Sehingga model pertumbuhan penduduk NTT berdasarkan

polinom Langrange orde ke II

.....................................................................

30

Sedangkan model pertumbuhan penduduk NTT berdasarkan

polinom Langrange orde ke III

66

Sehingga jumlah penduduk tahun 2004 berdasarkan model ini adalah

Soal A.

1. Taksirlah logaritma asli dari 2 ( ln 2) dengan memakai interpolasi linier.

Pertama , lakukan komputasi dengan menginterpolasi antara ln 1 = 0 dan ln 6

= 1.7917595. kemudian ulangi prosedurnya tetapi dengan menggunakan

selang yang lebih kecil mulai ln 1 sampai ln 4 ( 1.3862944 ). Perhatikan

bahwa nilai sejati ( true value ) dari ln 2 adalah 0.69314718

2. Cocokkan polinom orde kedua terhadap tiga titik yang dipakai dalam nomor

1.

67

3. Dengan menambahkan titik keempat ln 5 = 1.6094379. taksirlah ln 2 dengan

polinom interpolasi beda terbagi newton orde ketiga.

4. Gunakan polinom interpolasi langrange orde pertama dan kedua untuk

menghitung ln 2 berdasar data pada no 1.

5. Taksirlah logaritma bilangan pokok 10 dari 4 ( log 4 ) dengan memakai

interpolasi linear

a. Interpolasikan antara log 3 dan log 5

b. Interpolasikan antara log 3 dan log 4.5 untuk setiap interpolasi hitung

persen galat relatif berdasar nilai sejati log 4.

6. Cocokkan polinom interpolasi newton orde kedua untuk menaksir log 4

dengan memakai data no. 5. Hitung persen galat relatif

7. Cocokkan polinom interpolasi newton orde ke tiga untuk menaksir log 4

dengan data pada no 5 dengan titik tambahan log 3.5 . Hitung persen galat

relatif

8. Ulangi soal 5 - 7 dengan memakai polinom Langrange

9. Diberi data

x 1 2 3 5 6f(x) 4.75 4 5.25 19.75 36

Hitung f(3.5) dengan memakai polinom – polinom interpolasi newton

orde 1 sampai 4. Pilih urutan titik –titik untuk taksiran anda untuk mencapai

ketelitian yang bagus.

10. Ulangi soal nomor 9 dengan memakai polinom langrange.

Soal B.

68

1. Prediksikan jumlah penduduk NTT pada tahun 2012 berdasarkan data

jumlah penduduk pada tahun 1971, 1980, 1990, dan 2000

2. Buatlah program dalam bahasa pemrograman Pascal untuk interpolasi

Langrange

69

70