Bab I Masalah Dua Benda - · PDF fileBab I Masalah Dua Benda ... kedudukan r, keposisi tak...

Suryadi Siregar Mekanika Benda Langit ___________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________ KK-Astronomi, FMIPA-ITB 1-1
Bab I Masalah Dua Benda
Gerak planet mengitari Matahari. Satelit yang mengelilingi Bumi dan bintang-bintang yang mengitari pusat Galaksi, diatur oleh gaya sentral yang bekerja sepanjang garis lurus yang menghubungkan benda langit terhadap sumber gaya tersebut. Aturan untuk menerangkan gaya sentral ini lazim disebut hukum gravitasi Newton, Gaya tarik menarik antara dua titik massa adalah berbanding langsung dengan hasil kali massa mereka serta berbanding terbalik dengan jarak kuadratnya. Dinyatakan dalam pernyataan, Hukum Newton
221
rmmGF =
(1-1)
Dengan G = konstanta gravitasi mi massa ke i r jarak m1 ke m2 Satuan yang dipilih mengikuti aturan berikut; 1. Jika m dalam gram dan r dalam sentimeter maka G=6,67 10-8 cgs 2. Jika m dalam massa matahari dan r dalam satuan astronomi maka nilai G adalah 0,017202
(disebut konstanta Gauss, simbol, k) 1.1 Vektor
Didefinisikan vektor posisi, r, vector kecepatan v dan vector percepatan a, sebagai
2
2
,dt
rddtdva
dtdrv ===
(1-2)
Vektor satuan dalam arah r dan sudut dinyatakan dalam simbol Ur dan U dalam hal ini hubungan antara Ur dan U adalah;
,r rU
= = (1-3) Vektor Ur tegak lurus U ,selain itu dari gabungan persamaan vektor diatas dapat ditulis kembali;
+== UrUrdtdrv r (1-4)
2
22 ( ) (2 )r
d ra r r U r r Udt
= = + + (1-5)

Ilustrasi vektor ini diragakan dalam Gb 1-1 berikut ini
Gb. 1-1 Titik massa m bergerak dalam pengaruh
gaya sentral yang berpusat pada titik O 1.2 Momentum linier, momentum sudut, momen dan gaya Berikut didefinisikan beberapa besaran vector; Momentum linier (vektor) : massa kali kecepatan
= vmp (1-6) Momentum sudut (vektor) adalah jarak kali momentum linier
= vxmrL (1-7) Momen/Torque/torka(vektor): jarak kali gaya

= FxrN (1-8) Gaya Newton;
dtdvm
dtrdmF 2
2
== (1-9)
Turunkan momentum sudut terhadap waktu t, diperoleh;
=====
NFxr)vxr(dtdm
dt)vxmr(d
dtdLL (1-10)
Tinjau suatu titik massa m, bergerak dengan percepatan konstan a, sepanjang garis lurus. Gaya yang bekerja pada titik massa m akan menghasilkan kerja W sebesar;
==)(
)0(0
tvS
tvS
vdvmFdsW (1-11)
atau dapat ditulis kembali sebagai
)(21)()( 20
2 vvmsWsW = (1-12)
Jadi kerja yang dilakukan untuk memindahkan titik massa m dari posisi awal s0 pada kedudukan s pada saat t adalah perubahan energi kinetis titik massa tersebut dalam selang waktu (t-t0 ). Fungsi kerja W(s) dapat diganti dengan fungsi skalar yang lain ,yaitu energi potensial V(s) dimana V(s) = - W(s). Dengan perkataan lain (1-12) dapat dinyatakan sebagai
EsVmvsVmv =+=+ )(21)(
21
020
2 (1-13)
Dalam hal ini E merupakan energi total sistem. Pernyataan ini menunjukkan bila energi kinetis mengecil maka energi potensial akan membesar demikian pula sebaliknya. Untuk lebih jelas perhatikan contoh berikut. Misalkan ada dua titik massa M dan m yang berada dalam pengaruh gaya sentral berjarak s satu sama lain pada saat t lihat Gb 1-2

Gb1.2 Perpindahan titik massa m dari posisi S0 ke posisi S Gaya gravitasi yang bekerja pada m adalah;
2sMmGF = (1-14)
Kerja yang dilakukan oleh F untuk memindahkan titik massa m sejauh ds adalah;
dss
MmGsdW 2)( = (1-15)
Jika pada saat; t1=t0 s1 = r dan v1 = v0 t2=t s2 = s dan v2 = v Maka diperoleh ;
=s
s
v
v
dss
MmGmvdv00
2 (1-16)
atau ;
0
20
2
21
21
sMmGmv
sMmGmv = (1-17)

Jika partikel diletakkan pada s , ganti s0 dengan r, maka diperoleh
rMmGmvmv = 20
2
21
21 (1-18)
Energi potensial pada jarak r, didefinisikan
rMmGrV =)( (1-19)
Dalam hal ini, V(r) adalah kerja yang dilakukan untuk memindahkan titik massa m dari kedudukan r, keposisi tak terhingga, keadaan ini dikenal sebagai potensial titik massa M terhadap m, lazim dinyatakan dalam bentuk;
rMGrU =)( (1-20)
Pernyataan diatas menunjukkan bahwa gaya gravitasi pada kedua titik massa yang berjarak r satu sama lain adalah;
rUr
MmGF
= 2 (1-21)
Gabungkan (1-20) dengan (1-21) diperoleh;
rUdrdUmF
= (1-22)
Perlu diingat bahwa besaran U-fungsi skalar dan F menyatakan fungsi vektor
dalam hal ini
++= zyx FFFF terdiri dari komponen pada sumbu x,y dan z 1.3 Potensial bola padat Salah satu hal penting dalam membicarakan persamaan gerak sistim dua benda adalah potensial benda padat yang diterima oleh suatu titik massa m. Bumi kita berbentuk elipsoid, dalam telaah ini dianggap merupakan bola padat sempurna dengan distribusi massa yang homogen. Untuk itu tinjaulah suatu irisan bola padat seperti yang diperlihatkan pada gambar 1-3

Gb.1-3 Irisan seperdelapan bola padat. Potensial bola padat M terhadap titik massa m. Massa total M, se-olah olah terkonsentrasi pada pusat bola Untuk menurunkan sifat potensial suatu bola padat misalkan, a menyatakan radius bola, d elemen luas kulit bola, density dan m-massa satu satuan

Bab I Masalah Dua Benda - · PDF fileBab I Masalah Dua Benda ... kedudukan r, keposisi tak...

Documents

Transcript of Bab I Masalah Dua Benda - · PDF fileBab I Masalah Dua Benda ... kedudukan r, keposisi tak...