BAB 9

BAB 9CURVE-FITTING DAN FUNGSI APROKSIMASI

Dalam bab ini akan dibahas mengenai pembentukan curve fitting terhadap sekumpulan data yang diperoleh dari hasil eksperimen. Aproksimasi least-square banyak digunakan dalam menentukan curve-fitting dengan menggunakan persamaan polynomial.

9.1. Aproksimasi Least-Squares

Anggaplah sekumpulan data diperoleh dari hasil percobaan laboratorium fisika, yaitu :

T, oC R, Ohms

_______ _______

20.5 765

32.7 826

51.0 873

73.2 942

95.7 1032

Plot tahanan, R versus Temperature, T diperlihatkan pada gambar 9.1.1.

Gambar 9.1.1. Tahanan versus temperature

Hubungan linear antara R dan T dapat ditentukan dengan persamaan :

(9.1.1)

1dimana a dan b merupakan konstanta.

Metode Least-Squares digunakan untuk menentukan konstanta a dan b melalui minimisasi jumlah kesalahan kwadrat antara nilai percobaan dan nilai yang dihitung. Misalkan Yi adalah nilai dari percobaan dan yi adalah nilai yang diperoleh dari persamaan :

(9.1.2)

2dimana xi merupakan variabel bebas yang diukur. Misalkan kesalahan, ei = Yi - yi, jumlah kewadrat kesalahan, S, dihitung dengan persamaan :

(9.1.3)

3

(9.1.4)

4

(9.1.5)

5N adalah jumlah pasangan data x,Y. Untuk mendapatkan konstanta a dan b, turunan parsil S terhadap a dan b dijadikan sama dengan nol atau harga S diminimalkan sesuai dengan kriteria metoda Least-Squares :

(9.1.6)

6

(9.1.7)

7Persamaan ini dapat disusun menjadi

(9.1.8)

8

(9.1.9)

9Persamaan ini dapat diselesaikan secara simultan untuk mendapatkan nilai slope a dan intercept b.

Data percobaan R versus T yang diberikan diatas dapat disusun kedalam Tabel 9.1.1 :

Tabel 9.1.1. Tahanan Versus Temperatur

_______________________________________________________________

No. :

Ti:Ri:Ti2

:Ti Ri_______________________________________________________________

1. :

20.5:765:420.25:15682.5

2. :

32.7: 826: 1069.29 : 27010.2

3. : 51.0: 873: 2601.00 : 44523.0

4. : 73.2: 942: 5358.24 : 68954.4

5. : 95.7: 1032: 9158.49 : 98762.4

_______________________________________________________________

N = 5: 273.1 : 4438 : 18607.27 :254932.5

___________________________________________________________

Dengan memasukkan nilai jumlah kedalam persamaan diatas didapat

(9.1.10)

10

(9.1.11)

11Dari penyelesaian simultan diperoleh a = 3.395, dan b = 702.2, sehingga persamaan linear adalah

(9.1.12)

129.2. Fitting Kurva Nonlinear dengan Least-Squares

Jika data percobaan tidak memberikan hubungan linear, dapat digunakan fungsi lain dalam bentuk eksponensial seperti :

(9.2.1)

13atau

(9.2.2)

14Persamaan tersebut dapat dilinearisasi dengan operasi logaritma sehingga dapat digunakan metoda Least-Squares :

(9.2.3)

15atau

(9.2.4)

16 Metoda Least-Squares dapat digunakan untuk mencari konstanta-konstanta persamaan polynomial dengan derajat yang lebih tinggi, misalnya untuk hubungan :

(9.2.5)

17dengan kesalahan yang didefinisikan sebagai

(9.2.6)

18Jumlah kuadrat kesalahan didefinisikan sebagai

(9.2.7)

19Nilai S diminimalkan terhadap a0, a1, ........, an ....... sehingga diperoleh persamaan :

(9.2.8)

(9.2.9)

...........

(9.2.10)

Persamaan (9.2.8) sampai dengan (9.2.10) disusun ke dalam persamaan :

(9.2.11)

(9.2.12)

(9.2.13)

(9.2.14)

Persamaan (9.2.1) sampai (9.2.4) dapat diselesaikan secara simultan dengan menggunakan metoda eliminasi Gauss atau metoda lain.Contoh :

Carilah persamaan kuadratik menggunakan metoda least-square dari data sebagai berikut :

_______________________________________________________________

X :0.050.110.150.310.460.520.700.740.820.981.17

Y : 0.9560.8900.8320.7170.5710.5390.3780.3700.3060.2420.104

_______________________________________________________________

Dari data yang diberikan diperoleh :

System persamaan yang diberikan diperoleh :

Penyelesaian system persamaan menghasilkan a0 = 0.998, a1 = -1.018, a2 = 0.225 sehingga diperoleh persamaan : y = 0.998 1.018x + 0,225x2.

Penggunaan polynomial dengan derajat yang lebih tinggi lebih berarti jika variansi (2 mengalami penurunan. Variansi (2 dihitung dengan persamaan :

(9.2.15)

Perhitungan nilai variansi untuk berbagai polynomial ditampilkan pada table 9.2.1. untuk contoh di atas.

Tabel 9.2.1. Nilai variansi untuk berbagai polynomial

_______________________________________________________________

Tingkat

Persamaan

(2

e2_______________________________________________________________

1y = 0.952 0.76 x

0.000100.0092

2y = 0.998 1.018x + 0.225 x2

0.00020.0018

3y = 1.004 1.079x + 0.351x2

0,069 x3

_______________________________________________________________

Program dan keluaran dengan metoda least square ditampilkan pada Lampiran 14.209.3. Soal-Soal

1. Carilah persamaan dengan menggunakan metoda least-square untuk data berikut dengan asumsi nilai x bebas kesalahan :

x

y

x

y

1

2.04

4

7.18

2

4.12

5

9.20

3

5.64

6

12.04

Untuk tingkat 1, 2 dan 3 dah hitung variansi dan jumlah error kuadrat.2. Data kelarutan n-butana dalam anhydrous hydrofluoric acid pada tekanan tinggi diberikan pada table berikut :

Temperature, 0F

Kelarutan, % berat

77

2.4

100

3.4

185

7.0

239

11.1

285

19.6

_____________________________________________________________

Jika korelasi yang diharapkan adalah y = a ebx

Tentukan konstanta a dan b dengan menggunakan metoda least-square.

3. Carilah parameter a, b, dan c dalam persamaan normal :

z = ax + by + c

jika diberikan data :

x :

01.22.13.44.04.25.65.86.9

_____________________________________________________________

y :

00.56.00.55.13.21.37.410.2

z :

1.23.4-4.69.92.47.214.33.51.3

4. Laju alir dari fire hose diperkirakan sebagai fungsi tekanan berpangkat pada suatu nozzle. Carilah korelasi yang tepat dengan menggunakan metoda least-square jika diberikan data :

Aliran, gallon per menit

Tekanan, psi

94

10

118

16

147

25

180

40

230

60

5. Fungsi kuadratik diharapkan untuk data berikut :

x :

1

2

3

4

5

y :

1.9

9.3

21.5

42.0

115.7

Dapatkan fungsi kuadratik dengan metoda least-square.6. Excess Gibbs Energy function dari air + trietylamine dinyatakan sebagai berikut :

Data berikut dapat digunakan untuk memperoleh polynomial kuadratik :

x

y

0.05

10.2847

0.25

9.5148

0.45

9.3282

0.65

9.7665

0.85

11.3528

0.95

13.4083

7. Studi mengenai dekomposisi thermal dari isopropyl isocyanate dilakukan pada differential packed-bed reactor. Dari data di bawah ini, tentukan reaction-rate law parameters :

RunRate (mol/s.dm3) Concentration (mol/dm3) Temperatur (K)

1

4.9 x 10-4

0.2

700

2

1.1 x 10-4

0.02

750

3

2.4 x 10-3

0.05

800

4

2.2 x 10-3

0.08

850

5

1.18 x 10-1

0.1

900

6

1.82 x 10-2

0.06

950

8. Fitting Polymials to vapor Pressure Data

Tekanan uap benzene :

TK = TC + 273,15

NoTemperature, T (0C)TK (K)Pressure, P (mmg Hg)

1-36,7236,451

2-19,6253,555

3-11,5261,6510

4-2,6270,5520

57,6280,7540

615,4288,5560

726,1299,35100

842,2315,35200

960,6333,75400

1080,1353,25760

Polynomials :

P(cole) = ao + a1TK + a2TK2 + a3TK3 + a4TK4

N = 10 (jumlah data)

n = 4 (degree of polynomials)

Least Squares Objective Function yang diminimalkan

LS =

untuk menentukan ao, a1, a2, a3, dan a4

Program Hookes jeeres digunakan untuk fungsi objective yang diminimalkan.

Variance :

Variance digunakan untuk menentukan degree polynomials yang memberikan best fit terhadap data.

V = N - (n+1)

Procedure :1) Read TK(1),.,TK(10)

2) Read P(1),,P(10)

3) Set harga ao, a1, a2, a3, dan a44) Hitung PC(1),,PC(10)

5) Minimalkan

Referensi :

Perry, R. H., Green, D. W., and Malorey, J. D., eds. Perrys Chemical Engineers Handbook, 6th ed, New York ; McGraw Hill, 1984

_1135838965.xls

_1135840850.unknown

_1322908746.unknown

_1322909201.unknown

_1358951452.unknown

_1358951577.unknown

_1358951403.unknown

_1322909050.unknown

_1135841657.unknown

_1135843080.unknown

_1135843117.unknown

_1135845038.unknown

_1135842977.unknown

_1135841589.unknown

_1135840360.unknown

_1135840639.unknown