7/26/2019 BAB 1 ANUM

1/24

BAB 1

PERSAMAAN NON LINEAR

Persamaan non linear diaplikasikan untuk menentukan akar persamaan suatu

fungsi non linear sehingga f(x ! ". Volume gas riil dapat ditentukan dari persamaan

seperti BWR menggunakan metoda seperti meto#a Bise$tion% Regula &alsi % Ne'ton #an

Se$ant.

11 ME)O*A BISE+)ION

Metoda bisection dikenal juta sebagai metoda interval halving. Metoda ini

dipergunakan untuk mendapatkan akar dari suatu persamaan non linear, misalnya f!" # e !$

% ! # &. 'ilai akar yang baru dihitung sebagai nilai rata$rata dari dua nilai akar yang

diberikan. Metoda ini dapat digunakan apabila nilai dua fungsi yang dihitung pertama kali

memiliki tanda yang berla(anan dengan demikian akar yang dicari berada diantara nilai$

nilai akar yang ditetapkan pertama kali. Metoda bisection dimulai dengan menghitung f! )"

dan f!*" dengan harga a(al !) dan !* yang diberikan. +pabila harga f!)" dan f!*"

berla(anan tanda, maka akar persamaan tersebut akan terletak diantara !)dan !*, ini dapat

dilihat pada ambar ).). -elanjutnya perhitungan dilanjutkan untuk menentukan f!%"

dimana x, ! (x1-x./.. +pabila f!%" dan f!)" berla(anan tanda maka harga !% diset

menjadi !*, tetapi apabila f!%" dan f!*" berla(anan tanda maka harga !%menjadi !). terasi

perhitungan diulangi sampai harga 0x1 x.0/. 2 3 harga toleransi yang diberikan" atau harga

f(x, 2 4harga toleransi yang diberikan" dan akar persamaan r" didapat apabila salah satu

kriteria ini terpenuhi. /ari tabel ).) terlihat bah(a pada !%# ).0%&*1 f!%" # $&.&&&&&.

2arga !%ini merupakan akar persamaan yang dibutuhkan.

7/26/2019 BAB 1 ANUM

2/24

ambar ).). Metoda Bisection

+lgoritma metoda Bisection digunakan sebagai langkah komputasi sebagai berikut3

/4 5+ 6 5B 7 &,1 8 8 #stopping criteria"

59 # 5+ : 5B"7*

; f59" berla(anan tanda dengan f 5+"

7/26/2019 BAB 1 ANUM

3/24

9ontoh penentuan akar persamaan f(x ! x,- x. ,x , ! "dengan metoda bisection

ditunjukkan pada

7/26/2019 BAB 1 ANUM

4/24

9

7/26/2019 BAB 1 ANUM

5/24

9 P=RD-+ +P+D+2 ;5)" /+' ;5*" B=RB=/+

7/26/2019 BAB 1 ANUM

6/24

WR

7/26/2019 BAB 1 ANUM

7/24

dipergunakan untuk menentukan akar dari suatu fungsi dengan mengasumsi bah(a fungsi

tersebut linear pada interval !),!*" dimana f!)" dan f!*" berla(anan tanda seperti yang

diperlihatkan pada gambar ).*. 2arga !%dapat ditentukan dengan persamaan 3

( ))*)*

**% xx

)f(x)f(x

)f(xxx

= ).*.)"

-elanjutnya ditentukan harga f!%", dan bila f!%" berla(anan tanda terhadap f!)", maka

harga !%diset menjadi !*, dan apabila f!%" berla(anan tanda terhadap f!*", maka harga !%

diset menjadi !). terasi perhitungan diteruskan sampai harga J!)$ !*J 7 * K harga toleransi

atau Jf!%"J K harga toleransi yang ditetapkan.

f!"

f!*"

f!*" 6 f!)" !) !% !* !

!*6 !%

!*6 !)

7/26/2019 BAB 1 ANUM

8/24

ambar ).* Metoda Regula ;alsi

+lgoritma Metoda Regula ;alsi

/4 W2>= !* 6 !) tolerance value ), and

f!%" tolerance value *,

-et !% # !* 6 f!*" !* 6 !)"7 f!*" 6 f!)"

; f!%" of opposite sign to f !)"3

-et !* # !%.

=>-= -et !) # !%.

='/;.

='/4.

7/26/2019 BAB 1 ANUM

9/24

metoda bisection dijumpai setelah 5 iterasi. Decepatan konvergen pada metoda regula falsi

tergantung pada selisih fungsi terhadap garis lurus pada suatu interval.

Program Penentuan Akar Persamaan #engan Meto#a Regula &alsi

9 PR4R+M ?+ ;+>-99 94'

7/26/2019 BAB 1 ANUM

10/24

9 ; # 2+R+ =R+'- ?'

7/26/2019 BAB 1 ANUM

11/24

='/;

9 -=< 5 /+' ;5" B=RD?-= 5* # 5R ;* # ;R ='/; *& 94'

7/26/2019 BAB 1 ANUM

12/24

Metoda 'e(ton banyak digunakan dalam penyelesaian persamaan nonlinear.

ambaran secara grafik dari metoda ini diperlihatkan pada gambar ).%. =stimasi akar !

dimulai dengan suatu harga !) yang mendekati akar sebenarnya. +kar berikutnya !*

ditentukan dari titik yang berpotongan dengan sumbu ! yang diperoleh dengan ekstrapolasi

tangent kurva dari !). +kar !*dapat dihitung dengan persamaan

"F

"

)

))*

xf

xfxx = ).%.)"

-ecara umum dapat ditulis 3

"F

")

n

n

nn xf

xf

xx =

+ , n # ),*,%, ).%.*"

+lgoritma Metoda 'e(ton

/4 W2>= !* 6 !) tolerance value ), or

f!*" tolerance value *, or

fN!)" &,

-et !* # !) 6 f!)"7fN!)"

-et !) # !*.

='/4.

-ebagai contoh ingin ditentukan akar dari persamaan f!" # %! : sin ! $ e! # &.

7/26/2019 BAB 1 ANUM

13/24

f!"

f!)"

!* !) !

!)6 !*

ambar ).% Metoda 'e(ton

%C&)0.&1B@%B.*

&CAB)A.&%%%%%.&

"F

"

*

*

*% =

==

xf

xfxx

%C&B*)0.&1&*CC.*

)&!*0@.C%C&)0.&

"F

" $B

%

%%B =

==

xf

xfxx

%C&B*)0&%.&1&)A)B.*

)&!B).0%C&B*)0.&

"F

" $@

B

BB1 =

==

xf

xfxx

Desalahan yang dijumpai pada iterasi ke empat adalah *.@!)&$@, jadi akar persamaan

tersebut adalah &.%C&*)0. /engan metoda 'e(ton, konvergensi lebih cepat tercapai

dibandingkan dengan metoda bisection dan metoda regula falsi, hal ini dapat dilihat pada

7/26/2019 BAB 1 ANUM

14/24

7/26/2019 BAB 1 ANUM

15/24

9 B?D+ ;>= ?'

7/26/2019 BAB 1 ANUM

16/24

R=+> ;5,/=>5

;5 # ;9'5" /4 *& E#),'>M /=>5 # ;57;/=R5"

5 # 5$/=>5 ;5#;9'5" ; .=I.&" 5".>=.5"

7/26/2019 BAB 1 ANUM

17/24

Output :asil Penentuan Akar f(x ! , x - sin x ex! " #engan Meto#a Regula &alsi

P+/+

7/26/2019 BAB 1 ANUM

18/24

ambar )..). Metoda -ecant

aris yang menghubungkan titik !), f!)"" dan !*,f!*"" memotong sumbu ! untuk

mendapatkan !%untuk aproksimasi nilai ! berikutnya. Proses iterasi dilanjutkan sampai

tercapai kriteria konvergensi f! i:)" .

Proses Iterasi #engan meto#a Se$ant3

a. /engan harga !)dan !*yang diberikan, tentukan f!)" dan f!*". -et i # *. 'ilai

diberikan.

b.

7/26/2019 BAB 1 ANUM

19/24

9arilah akar persamaan3

&")

C1,&"

)tanC1,&

")

1,)"

*

)

** =

++

+=

x

x

xx

xxf

unakan !)# &,& dan !*# &,1 sebagai apkroksimasi a(al dengan # )& $1.

Penyelesaian3

f!)" # f&,&" # $),&*)&

f!*" # f&,1" # &,&*&.

'ilai f! )" Q dan f! *" Q sehingga kriteria belum terpenuhi.

""

)*

)*"**%

xfxf

xxxfxx

= # &,@&* dan f!%" # f&,@&*" # &,&)&*.

Darena f! %" Q , dilanjutkan dengan perhitungan harga aproksimasi untuk ! .

7/26/2019 BAB 1 ANUM

20/24

i titik ix ( )ixf ( ) RJJ ixf )+ix

) &.& $).&*)&)0&0 tidak $

* &.1 &.&*&%1%) tidak &.@&**0C

% &.@&**0C &.&)&)1&)% tidak &.A1&**@

&.A1&**@ &.&&@C1&0 tidak &.A%&1%%@

1 &.A%&1%%@ &.&&*&C&& tidak &.A)@)00

C &.A)@)00 &.&&))C&AC tidak &.A)%0&C%

0 &.A)%0&C% &.&&11A&*& tidak &.A))&000

A &.A))&000 &.&&&*CA0C tidak &.A&@A)))

@ &.A&@A))) &.&&&)*A%% tidak &.A&@*&@

)& &.A&@*&@ &.&&&&C*0C tidak &.A&A@&A0

)) &.A&A@&A0 &.&&&&*AC) tidak &.A&A00&

)* &.A&A00& &.&&&&)C& tidak &.A&*0&A*

)% &.A&A0&0* &.&&&&&0*) ya $

17 Soalsoal

). Persamaan e!$ %!memiliki akar pada r # &.C)@&C)*@. unakan C iterasi untuk mencari

7/26/2019 BAB 1 ANUM

21/24

akar persamaan ini, mulai dengan interval S&,)T menggunakan metoda bisection.

*. 9arilah akar persamaan f!" # !*: ! 6 )* dengan metoda Bisection dengan ketelitian

&.&&1. unakan !)# *.1 dan !*# %.1.

%. unakan metoda bisection untuk mencari akar positif terkecil dari persamaan$

persamaan ini. unakan interval yang tepat untuk setiap persamaan, kemudian hitung

akar dengan ketelitian &.&&1.

a" e!$ ! $ * # & b" !%$ !*$ * ! : ) # &

c" *e$!$ sin ! # & d" % !%: !*$ A ! $ ) # &

.

7/26/2019 BAB 1 ANUM

22/24

( )%%*

)

)

y

yyyz

++

=

dimana 3vbyB

= , b # van der (aals correction, v adalah volume molar. Eika U #

&.A@*, berapakah harga y

)). /alam studi koleksi energi matahari dengan memfokuskan bidang kaca datar pada pusat

kolektor, >.>. Vant$2ull -olar =nergy, )A,%% )@0C" menurunkan persmaan untuk

faktor konsentrasi geometri, 9 3

( )AAD

FA

h

Ccos1.&sin)1.&

cos*

*

+

=

dimana + adalah sudut tepi dari bidang, ; adalah fraksi tertutup dari bidang oleh cermin,

/ adalah diameter kolektor, dan h adalah tinggi kolektor. 9arilah + jika h # %&&, 9 #

)*&&, ; # &.A, dan / # ).

)*. >ee dan /uffy +..9h.=. Eournal, Euly, )@0C" menghubungkan faktor friksi untuk aliran

suspensi partikel berserat terhadap bilangan Reynold melalui persamaan empiris 3

( )

+

=

f!"

f

C.1)Bln

))

dimana f adalah faktor friksi, R= bilangan Reynold, k adalah konstanta yang ditentukan

oleh konsentrasi dari suspensi. ?ntuk konsentrasi &.&A , k # &.*A. Berapa harga f jika

R= # %01&

)%. Persamaan Redlich$D(ong diberikan oleh

"

"

bvv

#A

bv

!#$

+

=

7/26/2019 BAB 1 ANUM

23/24

Eika P # A0.%, < # AC.@, v # *.&&1, +7g$mol

< # temperature, D

R # konstanta gas R # &,&A*&C atm. > 7 g$mol.D"

7/26/2019 BAB 1 ANUM

24/24

;aktor kompressibilitas3

!#

$%&=

a". 2itunglah V dan untuk gas ammonia pada P # 1C atm, < # 1& D menggunakan

persamaan van der Waals

b". ?langi perhitungan untuk Pr # ), *, , )& dan *&

c". Bagaimana variasi sebagai fungsi Pr.