BAB 7DIFERENSIALDiferensial membahas tentang tingkatan perubahan suatu fungsi sehubungan dengan perubahan kecil dalam variable bebas fungsi yang bersangkutan. Dengan diferensial dapat pula disidik kedudukan-kedudukan khusus dari fungsi yang sedang dipelajari seperti titik maksimum, titik belok dan titik minimunya jika ada. Berdasarkan manfaatnya konsep diferensial menjadi salah satu alat analisis yang sangat penting dalam bisnis dan ekonomi. Sebagaimana diketahui, analisis dalam bisnis dan ekonomi sangat akrab dengan masalah perubahan, penentuan tingkat minimum.A.Kaidah diferensiasiTerdapat beberapa kaidah yang paling sering digunakan dalam pendiferensiasian, di antaranya :1. Diferensiasi konstanta (k = konstanta)Jika :y = kMaka :y=0contoh :y= 4turunan :y=0

2. Diferensiasi pangkat ( n = konstanta)Jika : y = xnmaka :y=nxn-1contoh :y= x5turunan :y=n. Xn-1y=5 . x5-1y =5x43. Diferensiasi perkalianJika : y = kvdi mana: v = h(x) , k = konstantamaka :y=k. vcontoh :y = 2x5k = 2v = x5maka :v = 5x5-1=5x4turunan :y=k. vy=2(5x4)y=10x44. Diferensiasi pembagian konstanta dengan fungsi

Jika y = dimana v = h (x) y =

y = y = = = 5. Diferensiasi fungsi komposit (fungsi di dalam fungsi)

y = f(U) y = f {g(x)} = .

y = ( 4 x 3 + 5 ) 2y = 2 ( 4 x 3 + 5 ) .12 x 2 = (8 x 3 + 10).12 x 2 = 96 x 5 + 120 x 26. Diferensiasi fungsi pangkat

y = u n dimana u = g (x) = n u n 1 .

y = ( 4 x 3 + 5 ) 2 y = 2 ( 4 x 3 + 5 ).12 x 2 = ( 8 x 3 + 10 ).12 x 2 = 96 x 3 + 120 x 27. Fungsi Log

y = a log x y =

y = 5 log 2 y=

8.

Fungsi y = a log u y = .

y = ( a log u) n y = .

9. Diferensiasi penjumlahan & pengurangan fungsi Penjumlahan fungsiJika :y = u + vdi mana :u = g(x) , v = h(x)maka :y=u+vcontoh :y = 2x5+ x2u = 2 x5maka :u = 2.5x5-1=10x4v = x2 maka :v = 2x2-1=2xturunan :y=u+vy=10x4+ 2x Pengurangan fungsiJika :y = u - vdi mana :u = g(x) , v = h(x)maka :y=u-vcontoh :y = 2x5- x2u = 2 x5maka :u = 2.5x5-1=10x4v = x2maka :v = 2x2-1=2xturunan :y=u-vy=10x4- 2x

B.Turunan dari turunan

Contoh :y = f(x) = 4x3- 6x2+ 3x 8y = f(x) = 12x2- 6x + 3y = f(x) = 24x 6y = f(x) = 24yIV= fIV(x) = 0C.Hubungan Antara Fungsi dan Turunannya

1.Titik Ekstrim Fungsi ParabolikYang digunakan adalah turunan pertama (y = f(x)) dan turunan kedua (y = f(x)). Turunan pertama digunakan untuk menentukan letak titik ekstrim. Jika f(x) = 0 maka y = f(x) berada pada titik ekstrimnya.Turunan kedua digunakan untuk menentukan jenis titik ekstrimnya. Jika f(x) < 0 maka titik ekstrimnya maksimum dan kurvanya berbentuk parabola terbuka ke bawah. Jika f(x) > 0 maka titik ekstrimnya minimum dan kurvanya berbentuk parabola terbuka ke atas.

Contoh :Tentukan titik ekstrim dan koordinatnya dari fungsi y = 6x2- 8x + 1!

Penyelesaian :Y=6x2-8x+1f(x)=12x8f(x) = 12 > 0(minimum-terbuka ke atas)koordinat :y = 012x 8 = 0x=8/12= 0,67x = 0,67y =6(0,67)2- 8(0,67) + 1= -1,66jadi, titik minimum kurva tersebut terdapat pada koordinat (0,67; -1,66)

2.Titik Ekstrim dan Titik Belok Fungsi KubikYang digunakan adalah turunan pertama (y = f(x)) dan turunan kedua (y = f(x)). Turunan pertama digunakan untuk menentukan letak titik ekstrim. Jika f(x) = 0 maka y = f(x) berada pada titik ekstrimnya.Turunan kedua digunakan untuk menentukan jenis titik ekstrim dan letak titik beloknya. Jika f(x) < 0 pada y = 0, maka titik ekstrimnya maksimum. Jika f(x) > 0 pada y = 0, maka titik ekstrimnya minimum. Jikay = 0 maka y = f(x) berada pada titik beloknya.

Contoh :Tentukan titik ekstrim dan titik belok dari fungsi y = x3- 5x2+ 3x - 5!

Penyelesaian :y = x3- 5x2+ 3x 5f(x) = 3x2 10x + 3f(x) = 6x 10

syarat titik ekstrim : y = 00= 3x2 10x + 3x1= 3x2= 0,3

untuk x = x1= 3y = x3- 5x2+ 3x 5y = (3)3 5(3)2+ 3(3) 5= -14y = 6x 10y = 6(3) 10= 8(8>0...minimum)

untuk x = x2= 0,3y = x3- 5x2+ 3x 5y = (0,3)3 5(0,3)2+ 3(0,3) 5= -4,5y = 6x 10 y = 6(0,3) 10= -8,2(-8,2

syarat titik belok : y= 00 = 6x 10x = 1,67y = x3- 5x2+ 3x 5y = (1,67)3 5(1,67)2+ 3(1,67) 5= -9,27y =3x2 10x + 3y =3(1,67)2 10(1,67) + 3= -5,33

jadi, fungsi kubik tersebut berada pada titik minimum di koordinat ( 3,-14) dan titik maksimum pada koordinat (0,3;-4,5) serta titik belok pada koordinat (1,67;-9,27).D.Turunan Fungsi Multivariabel

Prinsip dan kaidah turunannya sama dengan fungsi bervariabel bebas tunggal, hanya saja pada turunan fungsi multivariable ini akan ditemui turunan parsial (turunan bagian demi bagian) dan turunan total. Pada fungsi multivariable, karena variable bebasnya lebih dari satu macam maka turunan yang akan dihasilkan juga lebih dari satu macam. Bentuk umumnya:Jika y = f ( x,y )maka turunannya :

1.Turunan y terhadap x y / x2.Turunan y terhadap z y / z

Sehingga:1.y = f(x,z)a.fx(x,z)=yx= xb.fz(x,z)= yz= z

y=x+z2.p = f(q, r, s)a.fq(q, r, s)=pq= qb.fr(q, r, s)=pr= rc.fs(q, r, s)=ps= s

p=q+r+s3.y = f(x,z)fx(x,z)=yx= xfz(x,z)= yz= z y = f(x)=y= xz=yx+yz(x)

Notes:vyx,yz, pq, pr, danpsdisebut turunan parsial.vydisebut turunan fungsi variabel tunggalvzdisebut turunan total

Contoh :Carilah turunan parsial dan turunan total dari fungsi Z = f(X,Y) = 2X5 4Y + 10danY = 2X + 3

Diketahui:Z = f(X,Y) = 2X5 4Y + 10Y = 2X + 3Ditanya:ZX.?ZY.?z .?Penyelesaian:

vTurunan ParsialZX=Zx=10X4ZY= Zy= -4y= 2

vTurunan Totalz=Zx+Zy(y)=10X4+-4(2) =10X4- 8

BAB 8 PENERAPAN DIFERENSIALPenerapan Konsep Turunan Parsial (1 Variabel) Dalam ekonomi

1.ElastisitasBentuk umum :=Ey=lim=y.x/yExx0

Macam-macam elastisitas :

a)Elastisitas PermintaanAdalah suatu koefisien yang menjelaskan tentang besarnya perubahan jumlah barang yang diminta akibat adanya perubahan harga (rasio antara persentase perubahan jumlah barang yang diminta terhadap persentase perubahan harga).Jika Qd = f(P) maka elastisitas permintaannya adalah :

d=% Qd=EQd= lim=Qd.P% P EPP0Qd

jika |d| > 1 maka elastik, jika |d| < 1 maka inelastik dan jika |d| = 1 maka elastik-uniter.

Contoh :Fungsi permintaan ditunjukkan dengan persamaan Qd= 75 5P2. tentukan elastisitas permintaan pada harga p = 20

Penyelesaian :Qd= 75 5P2Qd=- 10P P = 20d=% Qd=EQd= lim=Qd.P% P EPP0Qd

d= - 10P . P/ Qdd= - 10(20) . 20/ (75 5(20)2)d= - 200 . 20/ - 1925= 2(2 > 1 ...... elastik)

jadi, dari kedudukan P = 20, harga akan naik (turun) sebesar 1% sehingga jumlah barang yang diminta akan berkurang (bertambah) sebanyak 2%.

Catatan :dalam elastisitas permintaan, untuk menentukan jenis elastisitas yang dibandingkan adalah angka hasil perhitungan sehingga tanda yang dihasilkan (+/-) dapat diabaikan karena tanda tersebut hanya mencerminkan hukum permintaan bahwa jumlah yang diminta bergerak berlawanan arah dengan harga.Fungsi permintaan juga sering dinotasikan dengan persamaan D = f(P).b)Elastisitas PenawaranAdalah suatu koefisien yang menjelaskan tentang besarnya perubahan jumlah barang yang ditawarkan akibat adanya perubahan harga (rasio antara persentase perubahan jumlah barang yang ditawarkan terhadap persentase perubahan harga).Jika Qs = f(P) maka elastisitas penawarannya adalah :s=% Qs=EQs= lim=Qs.P% P EPP0Qs

jika |s| > 1 maka elastik, jika |s| < 1 maka inelastik dan jika |s| = 1 maka elastik-uniter.

Contoh :Fungsi penawaran ditunjukkan dengan persamaan Qs= -75 + 5P2. tentukan elastisitas penawaran pada harga p = 20

Penyelesaian :Qs= -75 + 5P2Qs=10P P = 20s=% Qs=EQs= lim=Qs.P% P EPP0Qs

s= 10P . P/ Qss= 10(20) . 20/ (-75 + 5(20)2)s= 200 . 20/ 1925= 2(2 > 1 ...... elastik)

jadi, dari kedudukan P = 20, harga akan naik sebesar 1% sehingga jumlah barang yang ditawarkan akan bertambah sebanyak 2%.

c)Elastisitas ProduksiAdalah suatu koefisien yang menjelaskan tentang besarnya perubahan jumlah keluaran (output) yang dihasilkan akibat adanya perubahan jumlah masukan (input) yang digunakan (rasio antara persentase perubahan jumlah keluaran terhadap persentase perubahan jumlah masukan).Jika P = jumlah produk yang dihasilkan & X = jumlah faktor produksi yang digunakan, dan fungsi produksi P = f(X) maka elastisitas produksinya adalah :

p=% P= EP = lim=P.X% X EX X0P

jika |s| > 1 maka elastik, jika |s| < 1 maka inelastik dan jika |s| = 1 maka elastik-uniter.

Contoh :Hitunglah elastisitas produksi dari fungsi produksi P = 5X2 5X3pada tingkat faktor produksi sebanyak 2 unit!

Penyelesaian :

P = 5X2 5X3P=10X - 15X2 P = 2p=% P= EP = lim=P.X% X EX X0Pp= (10X - 15X2) . (X/ (5X2 5X3))p= (10(2) 15(2)2) . (2/ (5(2)2 5(2)3)p= -40 . -0,1=4

jadi, dari kedudukan X = 2, faktor produksi yang digunakannaik sebesar 1% sehingga produk yang dihasilkan bertambah sebanyak 4%.

2.Biaya marginal, Penerimaan marginal, Utilitas marginal, & Produk marginala)Biaya marginalAdalah biaya tambahan yang dikeluarkan untuk menghasilkan satu unit tambahan produk. Fungsi biaya marginal adalah turunan pertama dari fungsi biaya total. Jika fungsi biaya total adalah C = f(Q) maka biaya marginalnya adalahMC=C

Notes:Pada umumnya fungsi biaya total berbentuk fungsi kubik sehingga fungsi biaya marginal akan berbentuk fungsi kuadrat. Dalam kurvanya, kurva biaya marginal akan mencapai titik minimum tepat pada saat kurva biaya total berada pada titik beloknya.Contoh :Fungsi biaya total dinyatakan dalam persamaan C = 2Q3 6Q2+ 8Q + 8. tentukanlah persamaan biaya marginal serta berapa titik minimumnya?Penyelesaian :C = 2Q3 6Q2+ 8Q + 8MC = C=6Q2- 12Q + 8MC = C =12Q 12

MC minimum jika MC = 00=12Q 12Q = 1

Untuk Q = 1MC = 6Q2- 12Q + 8MC = 6(1)2 12(1) + 8=2

C = 2Q3 6Q2+ 8Q + 8C = 2(1)3 6(1)2+ 8(1) + 8=12

Jadi, persamaan biaya marginalnya adalah MC = 6Q2- 12Q + 8. Fungsi biaya marginal mencapai titik minimum pada koordinat (1,2) pada saat fungsi biaya total berada pada titik belok di koordinat (1,12).

b)Penerimaan marginalAdalah penerimaan tambahan yang diperoleh akibat bertambahnya satu unit keluaran yang diproduksi (terjual). Fungsi penerimaan marginal adalah turunan pertama dari fungsi penerimaan total. Jika fungsi penerimaan total adalah R = f(Q) maka penerimaan marginalnya adalah :

MR=R

Notes:Pada umumnya fungsi penerimaan total berbentuk fungsi kuadrat sehingga fungsi penerimaan marginal akan berbentuk fungsi linear. Dalam kurvanya, kurva penerimaan marginal akan mencapai 0 tepat pada saat kurva penerimaan total berada pada titik ekstrimnya.Contoh :Fungsi permintaan dinyatakan dalam persamaan P = 20 5Q. tentukanlah persamaan penerimaan total & marginal serta berapa titik ekstrim dari fungsi penerimaan totalnya?

Penyelesaian :P = 20 5QR=Q . PR=Q (20 5Q)R=20Q 5Q2

Jika R=20Q 5Q2MR= R=20 10Q

R maksimum jika MR = 00=20 10QQ = 2

Untuk Q = 2P = 20 5QP = 20 5(2)= 10

R=20Q 5Q2R=20(2) 5(2)2= 20

Jadi, titik ekstrim fungsi penerimaan total berada pada koordinat (2,20)

c)Utilitas marginalAdalah utilitas tambahan yang diperoleh konsumen akibat bertambahnya satu unit barang yang dikonsumsi. Fungsi utilitas marginal adalah turunan pertama dari fungsi utilitas total. Jika fungsi utilitas total adalah U = f(Q) maka utilitas marginalnya adalah :

MU=UNotes:Pada umumnya fungsi utilitas total yang non-linear berbentuk fungsi kuadrat sehingga fungsi utilitas marginal akan berbentuk fungsi linear. Dalam kurvanya, kurva utilitas marginal akan mencapai 0 tepat pada saat kurva utilitas total berada pada titik ekstrimnya.

Contoh :Fungsi utilitas dinyatakan dalam persamaan U = 15Q 5Q2. tentukanlah persamaan utilitas marginal serta berapa titik ekstrim dari fungsi utilitas totalnya!. Berapa utilitas marginal jika barang yang diproduksi ditambah dari 2 unit menjadi 3 unit?

Penyelesaian :U = 15Q 5Q2MU= U=15 10Q

U maksimum jika MU = 00=15 10Q= 1,5

Untuk Q = 1,5U = 15Q 5Q2U = 15(1,5) 5(1,5)2= 11,25

Jika Q = 2MU =15 10(2)= -5Jika Q = 3MU =15 10(3)= -15Jadi, titik ekstrim fungsiutilitastotal berada pada koordinat (1,5;11,25). Pada saat konsumen mengkonsumsi 2 unit barang utilitas tambahan sudah menurun dan akan semakin menurun jika ditambah 1 unit lagi, sehingga konsumen harus mengurangi konsumsi terhadap produk tersebut untuk meningkatkan kembali utilitas tambahannya.

d)Produk marginalAdalah produk tambahan yang dihasilkan akibat bertambahnya satu unit faktor produksi yang digunakan. Fungsi produk marginal adalah turunan pertama dari fungsi produk total. Jika fungsi produk total adalah P = f(X) maka produk marginalnya adalah :MP=P

Notes:Pada umumnya fungsi produk total yang non-linear berbentuk fungsi kubik sehingga fungsi produk marginal akan berbentuk fungsi kuadrat. Dalam kurvanya, kurva produk marginal akan mencapai 0 tepat pada saat kurva produk total berada pada titik ekstrimnya dan mencapai titik ektrim tepat saat produk total berada pada titik beloknya.

Contoh :Fungsi produk dinyatakan dalam persamaan P = 9X2 3X3. tentukanlah persamaan produk marginal serta berapa titik ekstrim dan titik belok dari fungsi produk totalnya!. berapa titik ekstrim dari fungsi produk marginalnya serta berapa besar produk marginalnya?Penyelesaian :

P = 9X2 3X3MP= P=18X 9X2MP= P=18 18X

P maksimum jika MP = 00=18X 9X2X = 2(dicari dengan rumus abc)

Untuk X = 2P = 9X2 3X3P = 9(2)2 3(2)3= 12

P belok jikaMP = 00=18 18XX = 1

JikaX= 1P = 9X2 3X3P = 9(1)2 3(1)3= 6JikaX= 1MP= 18X 9X2MP= 18(1) 9(1)2= 9Jadi, titik ekstrim fungsiproduktotal berada pada koordinat (2,12), titik beloknya pada titik (1,6). Fungsi produk marginal ada pada titik ekstrim di koordinat (1,9).

F.Aplikasi Fungsi Multivariabel dalam Ekonomi

Elastisitas Harga-Permintaan, Elastisitas Silang-Permintaan dan Elastisitas Penghasilan dari PermintaanElastisitas harga-permintaan adalah elastisitas yang mengukur kepekaan perubahan permintaan suatu barang akibat perubahan harga barang itu sendiri. Bentuk umumnya:

d=Qd.PdQ

Elastisitas silang-permintaan adalah elastisitas yang mengukur kepekaan perubahan permintaan suatu barang akibat perubahan harga barang lain. Bentuk umumnya:

C=Qs.PsQ

Elastisitas penghasilan dari permintaan adalah elastisitas yang mengukur kepekaan perubahan permintaan suatu barang akibat perubahan penghasilan nasional. Bentuk umumnya:

Y=Y.PyQ

Notes:untuk elastistitas silang-permintaan berlaku:jika ecnegative (ec< 1) berarti hubungan antara barang A dan barang B adalah komplementer (saling melengkapi), di mana penurunan harga salah satu barang akan diikuti oleh kenaikan permintaan atas keduanya.jika ecpositif (ec> 1) berarti hubungan antara barang A dan barang B adalah kompetitif/substitutif (saling menggantikan), di mana penurunan harga salah satu barang akan diikuti oleh kenaikan permintaan atas barang tersebut dan penurunan permintaan atas barang lainnya.

Contoh :Fungsi permintaan barang A terhadap barang komplementer ditunjukkan dengan persamaan QA= 2300 10PA+ 5Ps + 0,4Y.Carilah elastisitas harga-permintaan, elastisitas silang-permintaan dan elastisitas penghasilan dari permintaan pada saat PA= 30, Ps= 10 dan Y = 5.000!

Diketahui:Q = 2300 10PA+ 5Ps + 0,4YPA= 30Ps= 10Y = 5.000Ditanya :d.?C.?Y.?Penyelesaian:

Q = 2300 10PA+ 5Ps + 0,4YQ = 2300 10(30) + 5(10) + 0,4(5000)= 2300 300 + 50 + 2000= 4.050

Q=230010PA+5Ps+0,4YPA=10d=Qd.PA= -10 . 30 / 4.050= -10 (0,007)= -0,07(in-elastis)Q

Q = 2300 10PA+ 5Ps + 0,4YPs=5C=Qs.Ps= 5 . 10 / 4050= 5 (0,002)= 0,01(in-elastis)QQ = 2300 10PA+ 5Ps + 0,4YPy=0,4Y=Y.Py= 0,4 . 5000 / 4050= 0,4 (1,23)= 0,49 (in-elastis) Q

analisis :ey = 0,49 < 1 (in-elastis); berarti setiap kenaikan (%) penghasilan nasional, maka permintaan barang A akan naik kurang proporsional.Ec = 0,01 < 1 (in-elastis); berarti permintaan barang A akan barang komplementer mendapat pengaruh negative, sehingga berdampak pada kecenderungan menambah jumlah permintaan barang A.Hal sebaliknya akan terjadi jika terdapat permintaan barang A akan barang substitutive. Ec terhadap barang substitutive dapat memberikan nilai ec > 0 sehingga membawa pengaruh positif terhadap barang A, di mana jumlah permintaan barang A dapat berkurang.