83

6.1. Teori Dasar

Secara geometris, diferensial suatu fungsi f(x) pada titik x = a dinyatakan sebagai garis singgung kurva f(x) pada titik x = a. Secara matematis ditulis sebagai :

dimana y = f(x)

Sedangkan Integral suatu fungsi f(x) dari titik x = a sampai x = b merupakan luas bidang dibawah kurva f(x) dari titik x = a sampai x = b.

Gambar 6.1.a dan 6.1.b dibawah ini menunjukkan bentuk geometri dari diferensiasi dan integrasi.

x

f(x)

y

a

dxdy

a x

Gbr. 6.1.b. Bentuk Geometri Integrasi

bb

x

f(x)y

a a x

Gbr. 6.1.a. Bentuk Geometri Diferensiasi

84

Prinsip dasar dari Integrasi numerik adalah mengestimasi nilai suatu integral dengan menghitung luas daerah dibawah kurva polinomial orde tertentu yang menghubungkan dua titik dari fungsi batas integrasi. Kurva polinomial tersebut merupakan pendekatan dari kurva sebenarnya.

Gambar 6.2.a. memperlihatkan suatu fungsi f(x) yang didekati dengan polinomial orde satu (garis linier). Integrasi fungsi f(x) diestimasi dengan menghitung luas dibawah kurva polinomial tersebut (A).

dimana A = lebar x tinggi rata-rata

Untuk meningkatkan akurasi solusi, fungsi f(x) didekati dengan sejumlah polinomial orde satu (Gbr.6.2.b). Integrasi fungsi f(x) diestimasi

Integrasi Numerik

ax

y

b

A

f(x)error

lebar

tinggirata-rata

ax

y

b

A2

f(x)error

A1

A3

a. Integrasi numerik 1 segmen

b. Integrasi numerik 3 segmen

Gbr.6.2. Bentuk Geometri Integrasi Numerik Dalam

85

dengan menghitung luas total segmen-segmen dibawah kurva polinomial tersebut (A)

dimana A = A1 + A2 + A3

Dari gambar 6.2. terlihat kesalahan (error) yang terdapat pada solusi integrasi numerik akan semakin berkurang dengan bertambahnya jumlah segmen integrasi.

Cara lain untuk meningkatkan akurasi solusi adalah dengan menggunakan polinomial orde lebih tinggi dalam mendekati fungsi f(x). Misalkan terdapat titik tengah antara f(a) dan f(b) pada gambar 6.2.a., maka 3 titik tersebut dapat dihubungkan dengan suatu garis parabola. Jika terdapat 2 titik dengan lebar yang sama antara f(a) dan f(b), maka ke-4 titik tersebut dapat dihubungkan dengan polnomial orde 3. Formula yang dihasilkan dari perhitungan integral menggunakan polinomial orde tinggi ini dikenal dengan Integrasi Simpson.

6.2. Integrasi Simpson

Ada 3 bentuk Integrasi Simpson, yaitu :1. Integrasi 1/3 Simpson.2. Integrasi 3/8 Simpson.3. Integrasi Simpson Gabungan 1/3 dan 3/8.

6.2.1. Integrasi 1/3 Simpson

Integrasi Numerik

Gbr.6.3. Model Grafis Integrasi 1/3 Simpson.Dalam

x0 = ax

f(x)

x2 = bx1

f(x)

f2(x)

86

Integrasi suatu fungsi f(x) dengan menggunakan pendekatan Integrasi 1/3 Simpson Tunggal (Single-Application Simpson’s 1/3 Rule) diestimasi dengan menggunakan polinomial interpolasi parabola (polinomial orde 2). Untuk itu dibutuhkan 3 titik nilai f(x) yang telah diketahui, katakanlah ; f(x0) , f(x1) dan f(x2). Hal ini menyebabkan terdapat 2 segmen dalam interval integrasi dari a ke b (Gbr. 6.3).

Formula Integrasi 1/3 Simpson Tunggal dinyatakan oleh :

….. (6.1)

dimana f2(x) merupakan Polinomial Interpolasi Lagrange Orde 2. Setelah dilakukan manipulasi matematis terhadap persamaan (6.1) akan dihasilkan :

….. (6.2)

Label 1/3 menunjukkan Integrasi 1/3 Simpson.

Jika lebar segmen (h) dibuat sama besar, maka :

Sehingga bentuk lain dari Formula Integrasi 1/3 Simpson Tunggal adalah :

….. (6.3)

Untuk hasil yang lebih akurat, dapat digunakan Integrasi 1/3 Simpson Gabungan (Multiple-Application Simpson’s 1/3 Rule) yang merupakan gabungan dari beberapa Integrasi 1/3 Simpson Tunggal. Formulanya dinyatakan dalam bentuk :

Integrasi Numerik

lebar tinggi rata-rata

87

….. (6.4)

dimana interval integrasi dibagi atas n segmen dengan lebar yang sama sebesar :

Catatan :Integrasi 1/3 Simpson, baik tunggal maupun gabungan, selalu menggunakan jumlah segmen yang genap dan jumlah titik evaluasi yang ganjil.

Diagram alir (Flowchart) integrasi 1/3 simpson diberikan pada lembaran berikut.

6.2.2. Integrasi 3/8 Simpson

Integrasi suatu fungsi f(x) dengan menggunakan Integrasi 3/8 Simpson Tunggal (Simpson’s 3/8 Rule) diestimasi dengan menggunakan polinomial interpolasi orde 3. Untuk itu dibutuhkan 4 titik nilai f(x) yang telah diketahui, katakanlah ; f(x0) , f(x1) , f(x2)dan f(x3). Hal ini menyebabkan terdapat 3 segmen dalam interval integrasi dari a ke b (Gbr. 6.4.).

Formula Integrasi 3/8 Simpson dinyatakan :

….. (6.5)

Flowchart Integrasi Numerik 1/3 Simpson

Integrasi Numerik

lebar tinggi rata-rata

mulai

Definisikan fungsi

Baca :a , b , n (n genap)

h = (b – a) / nSum = F(a) + 4

F(a+h)

selesai

i = 2 to n-1 step 2

Sum = Sum + 2F(a + ih) + 4 F(a + (i+1) h)

I = h/3 (sum + F(b))

Tulis Hasil

88

Integrasi Numerikx0 = a

x

f(x)

Gbr. 6.4. Integrasi 3/8 Simpson

f3(x)

x3 = bx1

f(x)

x2

89

dimana f3(x) merupakan Polinomial Interpolasi Lagrange Orde 3. Setelah dilakukan manipulasi matematis terhadap persamaan (6.5) akan dihasilkan :

….. (6.6)

Label 3/8 menunjukkan Integrasi 3/8 Simpson.

Jika lebar segmen (h) dibuat sama besar, maka :

Sehingga bentuk lain dari Formula Integrasi 3/8 Simpson adalah :

.. (6.7)

Catatan :Integrasi 3/8 Simpson selalu menggunakan jumlah segmen yang ganjil dan jumlah titik evaluasi yang genap. Hal ini menyebabkan tidak memungkinkan untuk mengestimasi nilai integrasi suatu fungsi f(x) dengan cara menggabungkan beberapa Integrasi 3/8 Simpson Tunggal.

Flowchart Integrasi Numerik 3/8 Simpson

Integrasi Numerik

lebar tinggi rata-rata

mulai

Definisikan fungsi

Baca :a , b , n (n kelipatan 3)

90

Contoh soal (Chapra 1990)

Selesaikan integrasi fungsi berikut dengan Integrasi 1/3 Simpson, Integrasi 3/8 Simpson dan Integrasi Simpson Gabungan 1/3 dan 3/8 :

Batas integrasi dari 0 sampai 0,8. Solusi eksak diketahui 1,64053334

Solusi.

Integrasi Numerik

h = (b – a) / nSum = F(a) + 3 F(a+h) + 3 F(a + 2h)

selesai

i = 3 to n-1 step 3

Sum = Sum + 2F(a + ih) + 3 F(a + (i+1) h) + 3 F(a + (i+2) h)

I = 3h/8 (sum + F(b))

Tulis Hasil

91

Integrasi 1/3 Simpson Tunggal (Single-Application Simpson’s 1/3 Rule).Integrasi ini membutuhkan 3 titik evaluasi dengan 2 segmen yang sama besar. Nilai titik tengah pada x = ½ (0,8 – 0) = 0,4

Titik awal : f(x0) = f(0) = 0,2Titik tengah : f(x1) = f(0,4) = 2,456Titik akhir : f(x2) = f(0,8) = 0,232

Substitusi nilai-nilai diatas ke persamaan (6.3) menghasilkan :

Integrasi 1/3 Simpson Gabungan (Multiple-Application Simpson’s 1/3 Rule). Integrasi ini membutuhkan jumlah titik evaluasi ganjil sehingga jumlah segmen menjadi genap. Misal digunakan 4 buah segmen yang sama besar (n = 4). Lebar segmen menjadi :

Titik-titik evaluasi (5 titik ) :f(x0) = f(0) = 0,2 f(x3) = f(0,6) = 3,464f(x1) = f(0,2) = 1,288 f(x4) = f(0,8) = 0,232f(x2) = f(0,4) = 2,456

Substitusi nilai-nilai diatas ke persamaan (6.4) menghasilkan :

Integrasi 3/8 Simpson (Simpson’s 3/8 Rule).Dibutuhkan 4 titik evaluasi sehingga terdapat 3 segmen (n = 3). Lebar segmen adalah :

Titik-titik evaluasi (4 titik ) :

Integrasi Numerik

92

f(x0) = f(0) = 0,2 f(x2) = f(0,5333) = 3,48717696f(x1) = f(0,2667) = 1,43272428 f(x3) = f(0,8) = 0,232

Substitusi nilai-nilai diatas ke persamaan (6.7) menghasilkan :

Integrasi Simpson Gabungan 1/3 dan 3/8Dibutuhkan 6 titik evaluasi sehingga terdapat 5 segmen, yang terdiri dari :

2 segmen untuk Integrasi 1/3 Simpson 3 segmen untuk Integrasi 3/5 Simpson.

Titik-titik evaluasi (6 titik ) :f(x0) = f(0) = 0,2 f(x3) = f(0,48) = 3,18601472f(x1) = f(0,16) = 1,29691904 f(x4) = f(0,64) = 3,18192896f(x2) = f(0,32) = 1,74339328 f(x5) = f(0,8) = 0,232

Integrasi Numerik

0 0,16 0,32 0,48 0,64 0,8 x

f(x)

1/3 rule 3/8 rule

Gbr.6.5. Integrasi Simpson Gabungan 1/3 dan 3/8

93

Untuk 2 segmen pertama digunakan Integrasi 1/3 Simpson Tunggal, sehingga nilai-nilai diatas disubstitusi ke persamaan (6.3), menghasilkan :

Sedangkan 3 segmen berikutnya digunakan Integrasi 3/8 Simpson, sehingga nilai-nilai diatas disubstitusi ke persamaan (6.7), menghasilkan :

Integrasi total dari x = 0 sampai x = 0,8 adalah :

6.3. Contoh Aplikasi

Letak titik berat suatu penampang sembarang pada sumbu x adalah :

Jika :

dan

Tentukan x dengan Integrasi 1/3 Simpson :

Solusi

Lebar segmen integrasi : h = ½ (b – a) = ½ (6 – 3) = 1,5Statis momen penampang terhadap sumbu y :

Integrasi Numerik

94

Sy = 75,1625

Luas penampang :

A = 25,054

Maka letak titik berat penampang tersebut adalah :

x = 3

6.4. Latihan

Hitung nilai-nilai parameter berikut dengan Integrasi Simpson 1/3 , 3/8 dan gabungan.

1.

Integrasi Numerik

95

2.

3. Luas daerah antara kurva berikut :

Integrasi Numerik

y

x

y = x2

y = -3x + 18