BAB 6 GEOMETRI - jejakseribupena.files.wordpress.com · sebagai berikut. - Menggunakan Tiga Buah...
Transcript of BAB 6 GEOMETRI - jejakseribupena.files.wordpress.com · sebagai berikut. - Menggunakan Tiga Buah...
182 | Jejak Seribu Pena, Geometri SD
BAB 6
GEOMETRI
1. BANGUN DATAR
A. Sudut
Sudut adalah bagian bidang yang dibatasi oleh dua garis
berpotongan.
Garis AB dan AC dinamakan kaki sudut. Titik A dinamakan titik
sudut. Titik sudut ditulis huruf kapital.
a. Nama Sudut
Sudut diberi tanda “ ” (dibaca “sudut”). Suatu sudut dapat diberi nama dengan cara
sebagai berikut.
- Menggunakan Tiga Buah Huruf Kapital
Dalam penamaan sudut menggunakan tiga buah huruf kapital, titik sudutnya harus di
tengah. Misalnya BAC atau CAB (A adalah titik sudut).
- Menggunakan Sebuah Huruf Kapital
Dalam penamaan sudut menggunakan sebuah huruf kapital, namanya diambil dari
titik sudutnya. Misalnya A (A adalah titik sudut).
- Menggunakan Nomor
Untuk menyingkat nama sudut dapat digunakan nomor.
BAC dapat ditulis 1A
CAD dapat ditulis 2A
BAD dapat ditulis 21 ,A
b. Satuan Sudut
Satuan sudut yang akan diperkenalkan adalah satuan sudut sistem sexasimaal dan radian.
1. Satuan Sudut Sistem Sexasimaal
Satuan sudut sistem sexasimaal (sistem dasar 60-an) memiliputi derajat, menit, dan
detik.
Definisi:
Besar sudut
A B
C
A B
C D
1 2
183 | Jejak Seribu Pena, Geometri SD
Satu derajat ditulis 1o adalah besarnya sudut yang dihasilkan oleh perputaran sejauh
360
1 keliling lingkaran. Jadi, putaran
360
11 atau 360putaran1 .
Untuk memperhalus pengukuran diadakan pembagian besar satuan sudut, yaitu:
1 derajat = 60 menit, ditulis 1o = 60
1 menit = 60 detik, ditulis 1 = 60
Alat pengukur sudut adalah busur derajat.
Contoh:
1. Nyatakan sudut-sudut 30o dalam putaran.
Solusi:
putaran12
1putaran
360
13030
2. Nyatakan sudut-sudut 12
5putaran dalam derajat.
Solusi:
15036012
5putaran
12
5
3. Ubahlah sudut 63,54o ke dalam ukuran derajat-menit-detik.
Solusi:
63,54o = 63
o + 0,54
o = 63
o + 0,54 × 60 = 63
o + 32,4 = 63
o + 32 + 0,4 = 63
o + 32
+ 0,4 × 60 = 63o + 32 + 24 = 63
o3224
Jadi, 63,54o = 63
o3224.
4. Ubahlah sudut 125o2035 ke dalam ukuran derajat.
Solusi:
xoyz
3600
60 zyx
125o2035
3600
356020125 3,0125 3,125
2. Satuan Sudut Radian (Radial)
Definisi:
1 radian (radial), ditulis 1 rad atau 1 adalah besarnya sudut yang dihasilkan oleh
perputaran sebesar jari-jari lingkaran. Jadi, 180radπ , dengan = 3,14.
Contoh:
1. Nyatakan sudut-sudut 315o dalam radian.
184 | Jejak Seribu Pena, Geometri SD
Solusi:
radian4
π5
180
π315315
2. Nyatakan sudut-sudut radian6
π5dalam radian.
Solusi:
150π
180
6
π5radian
6
π5
c. Penjumlahan, Pengurangan, dan Perkalian Sudut dengan Bilangan Real dengan
Satuan Sudut
Dua buah sudut atau lebih dapat dijumlahkan, dikurangkan, atau dikalikan dengan
bilangan real.
Contoh:
Hitunglah
a. 65o2035 + 26
o4854
b. 86o15 53,5
o
c. 2
1× 145
o35
Solusi:
a. 65o2035 + 26
o4854 = 65
o +
20 + 35 + 26
o + 48 + 54
= 81o +
68 + 89
= 81o +
60 + 8 + 60 + 29
= 81o +
1
o + 8 + 1 + 29
= 82o + 9 + 29
= 82o929
b. 86o15 53,5
o = 86
o15 53
o30
= 85o + 1
o + 15 (53
o + 30)
= 85o + 60 + 15 53
o 30
= 32o + 45
= 32o 45
c. 2
1× 145
o35 =
2
1× (145
o35) =
2
1× (145
o + 35) = 72,5
o + 17,5
= 72o + 0,5
o + 17 + 0,5 = 72
o + 30
+ 17 + 30
185 | Jejak Seribu Pena, Geometri SD
= 72o + 47
+ 30 = 72
o 4730
d. Jenis-jenis Sudut
Jenis sudut ditentukan oleh besarnya sudut yang bersangkutan.
1. Sudut Lancip (sudut runcing) adalah sudut yang
besarnya berkisar antara 0o dan 90
o.
900 BAC .
2. Sudut siku-siku adalah sudut yang besarnya 90o.
90BAC
3. Sudut tumpul adalah sudut yang besarnya
berkisar antara 90o dan 180
o. 18090 BAC
4. Sudut lurus adalah sudut yang besarnya 180o.
180AOB .
5. Sudut refleks adalah sudut yang besarnya
berkisar antara 180o dan 360
o.
360180 BAC
Contoh:
Tentukan jenis-jenis sudut-sudut 45o, 90
o, 120
o, 180
o, dan 300
o.
Solusi:
45o adalah sudut lancip, karena 90450 .
90o adalah sudut siku-siku.
120o adalah sudut tumpul, karena 18012090 .
180o adalah sudut lurus.
300o adalah sudut refleks, karena 360300180 .
e. Sudut pada Jarum Jam
Sudut yang dibentuk oleh jarum jam (jarum menit dan
jarum jam) saat bergerak satu putaran adalah 360o. Karena
jam dibagi menjadi 12 bagian yang sama, maka sudut tiap
bagian masing-masing besarnya adalah
3012
360.
Pada gambar di samping, jarum jam menunjukkan pukul
3.00. Jarum jam telah berputar seperempat lingkaran, maka
Sudut lancip
A B
C
Sudut siku-siku
A B
C
Sudut tumpul
A B
C
Sudut lurus
A B
O
Sudut refleks A
B
C
12 11
10
9
8
7 6 5
4
3
1
2
186 | Jejak Seribu Pena, Geometri SD
sudut terkecil yang dibentuk oleh kedua jarum itu =
90303
Contoh:
Tentukan besar sudut terkecil yang menunjukkan pukul 2.30, 9.00, dan 19.00, kemudian
tentukan jenis sudutnya.
Solusi:
Pada gambar (a):
Pada pukul 2.30, jarum panjang dan jarum pendek membentuk sudut terkecil =
135305,4 yang merupakan jenis sudut tumpul.
Pada gambar (b):
Pada pukul 9.00, jarum panjang dan jarum pendek membentuk sudut terkecil =
90303 yang merupakan jenis sudut siku-siku.
Pada gambar (c):
Pada pukul 10.00, jarum panjang dan jarum pendek membentuk sudut terkecil =
60302 yang merupakan jenis sudut lancip.
f. Sudut Berpelurus dan Sudut Berpenyiku
1. Sudut Berpelurus
Pelurus adalah sudut tambahan supaya menjadi sudut lurus
atau 180o.
Dua buah sudut saling berpelurus (bersisian) adalah jika
salah satu kaki dari kedua sudut itu berimpit dan kaki-kaki
yang lainnya bersambung membentuk garis lurus.
Sudut berpelurus (bersisian) berjumlah 180o.
Jadi, 18021 AA
A B
C
1 2
D
12 11
10
9
8
7 6 5
4
3
1
2
(c)
12 11
10
9
8
7 6 5
4
3
1
2
(b)
12 11
10
9
8
7 6 5
4
3
1
2
(a)
187 | Jejak Seribu Pena, Geometri SD
1A dinamakan pelurus 2A dan sebaliknya 2A dinamakan pelurus 1A .
1A dan 2A dikatakan pula sudut bersisian.
Dengan demikian, jika dua buah sudut berjumlah 180o, maka sudut yang satu
merupakan pelurus dari sudut yang lain.
Sudut-sudut bersisian pasti saling berpelurus, tetapi sudut-sudut yang saling berpelurus
tidak selalu bersisian.
Contoh:
Perhatikan gambar di samping.
501A , 1102B , dan 1002C .
Tentukan besar 2A , 1B , dan 1C . Kemudian
Tunjukkan bahwa 180111 CBA .
Solusi:
13050180180 12 AA
70110180180 21 BB
80100180180 21 CC
180807050111 CBA (qed)
Catatan: qed = quod erat demonstrandum (terbukti)
2. Sudut Berpenyiku
Penyiku adalah sudut tambahan supaya menjadi sudut
lurus atau 90o.
Jika dua buah sudut berjumlah 90o, maka salah satu
sudutnya dinamakan penyiku dari sudut yang lainnya.
Dua buah sudut dikatakan saling berpenyiku jika salah satu
kakinya berimpit dan kaki-kaki yang lainnya saling tegak
lurus atau membentuk sudut siku-siku atau sudut 90o.
Jadi, 9021 AA .
1A dinamakan penyiku 2A dan sebaliknya 2A dinamakan penyiku 1A .
Dengan demikian, jika dua buah sudut berjumlah 90o, maka sudut yang satu merupakan
penyiku dari sudut yang lain.
Contoh:
1 2 1
1
2
2 A B
C
A B
C
1 2
D
E
188 | Jejak Seribu Pena, Geometri SD
Perhatikan gambar di samping.
Sudut AOC adalah sudut lurus, 25BOC ,
90COE , dan 30DOE .
Carilah besar COD , AOB , dan AOE .
Solusi:
603090DOECOECOD (sudut berpenyiku)
15525180BOCAOCAOB (sudut berpelurus)
9090180COEAOCAOE
3. Hubungan Sudut Berpelurus dan Sudut Berpenyiku
1A adalah penyiku 2A .
3,2A adalah pelurus 1A .
90323,2 AAA
Jadi, selisih pelurus dan penyiku sebuah sudut adalah 90o.
g. Sudut Bertolak Belakang
Dua buah sudut adalah bertolak belakang, jika dan hanya jika
kaki-kaki sudut yang satu merupakan perpanjangan dari kaki
susut yang lainnya.
Sifat Sudut Bertolak Belakang:
Dua sudut bertolak belakang sama besar.
Jadi, 31 AA dan 42 AA .
Contoh:
Carilah sudut-sudut x, y, p, dan z.
Solusi:
6010x (sudut bertolak belakang)
501060x
35y (sudut bertolak belakang)
70)8030(180p (sudut berpelurus)
702 pz (sudut bertolak belakang)
352:70z
A
B
D
C
E
25o
30o
O
A
1 2
3 4
3
2
1
A
A
(x +10o) y
60o
2z
B
C
30o
35o
80o
p
189 | Jejak Seribu Pena, Geometri SD
h. Dua Garis Sejajar Yang Dipotong Garis Ketiga
Garis a sejajar dengan garis b dipotong oleh garis c di
titik A dan B, maka terjadilah 8 buah sudut, yaitu
1A , 2A , 3A , 4A , 1B , 2B , 3B , dan 4B .
1. Sudut Sehadap
Aksioma:
Jika dua buah garis sejajar dipotong oleh garis lain, maka sudut-sudut sehadapnya
sama besar.
Pasangan sudut sehadap adalah 11 dan BA , 22 dan BA , 33 dan BA , dan
44 dan BA .
Jadi, 11 BA , 22 BA , 33 BA , dan 44 BA .
Aksioma Kebalikannya:
Jika dua buah garis sejajar dipotong oleh garis lain, sehingga sudut sehadapnya
sama besar, maka garis-garis itu sejajar.
2. Sudut Dalam Berseberangan
Sifat Sudut Dalam Berseberangan:
Jika dua buah garis sejajar dipotong oleh garis lain, maka sudut-sudut dalam
berseberangan sama besar.
Pasangan sudut dalam berseberangan adalah 31 dan BA dan 42 dan BA .
Jadi, 31 BA dan 42 BA .
Sifat Kebalikannya:
Jika dua buah garis sejajar dipotong oleh garis lain, sehingga sudut dalam
berseberangan sama besar, maka dua garis itu sejajar.
3. Sudut Luar Berseberangan
Sifat Sudut Luar Berseberangan:
Jika dua buah garis sejajar dipotong oleh garis lain, maka sudut-sudut luar
berseberangan sama besar.
Pasangan sudut luar berseberangan adalah 13 dan BA dan 24 dan BA .
Jadi, 13 BA dan 24 BA .
Sifat Kebalikannya:
Jika dua buah garis sejajar dipotong oleh garis lain, sehingga sudut luar
berseberangan sama besar, maka dua garis itu sejajar.
4. Sudut Dalam Sepihak
A
B
1 2
3 4
2
3
1
4
a
b
c
190 | Jejak Seribu Pena, Geometri SD
Sifat Sudut Dalam Sepihak:
Jika dua buah garis sejajar dipotong oleh garis lain, maka sudut dalam sepihak
berjumlah 180o.
Pasangan sudut dalam sepihak adalah 41 dan BA dan 32 dan BA .
Jadi, 18041 BA dan 18032 BA .
Sifat Kebalikannya:
Jika dua buah garis sejajar dipotong oleh garis lain, sehingga sudut dalam sepihak
jumlahnya 180o, maka dua garis itu sejajar.
5. Sudut Luar Sepihak
Sifat Sudut Luar Sepihak:
Jika dua buah garis sejajar dipotong oleh garis lain, maka sudut luar sepihak
berjumlah 180o.
Pasangan sudut luar sepihak adalah 14 dan BA dan 23 dan BA .
Jadi, 18014 BA dan 18023 BA .
Sifat Kebalikannya:
Jika dua buah garis sejajar dipotong oleh garis lain, sehingga sudut luar sepihak
jumlahnya 180o, maka dua garis itu sejajar.
Contoh:
1. Perhatikan gambar di atas, jika 401B , hitunglah 2A , 3A , 4A , 1B ,
2B , 3B , dan 4B .
Solusi:
4011 BA (sudut sehadapap)
14040180180 12 AA (sudut berpelurus)
14022 AB (sudut sehadap)
4013 AA (sudut bertolak belakang)
4033 AB (sudut sehadap)
14024 AA (sudut bertolak belakang)
14044 AB (sudut sehadap)
2. Perhatikan gambar di samping ini. 80A dan 40B . Hitunglah BCD ,
DCE , dan ACB .
191 | Jejak Seribu Pena, Geometri SD
Solusi:
80BACDCE (sudut sehadap)
40ABCBCD (sudut dalam berseberangan)
60)8040(180)(180 DCEBCDACB (sudut berpelurus)
B. Teorema Pythagoras dan Tripel Pythagoras
a. Teorema Pythagoras
Teorema atau dalil Pythagoras berbunyi: “Dalam segitiga siku-siku berlaku bahwa
kuadrat sisi miring atau hipotenusa sama dengan jumlah kuadrat kedua sisi siku-sikunya”.
Untuk ABC siku-siku di C berlaku:
c = sisi miring atau hipotenusa
a = sisi siku-siku terpendek
b = sisi siku-siku terpanjang
1. 222 ACBCAB atau 222 bac
2. 222 ACABBC atau 222 bca
3. 222 BCABAC atau 222 acb
b. Tripel Pythagoras
Tripel Pythagoras adalah tiga bilangan asli yang mewakili satuan panjang hipotenusa dan
dua sisi siku-siku dari suatu segitiga siku-siku yang mengikuti aturan teorema
Pythagoras.
Untuk memperoleh tripel Pythagoras dapat digunakan rumus sebagai berikut.
22 nm , mn2 , 22 nm , dengan nm
Sebagai ilustrasi:
Untuk m = 2 dan n = 1, diperoleh tripel Pytagoras: 3, 4, 5.
Untuk m = 3 dan n = 2, diperoleh tripel Pytagoras: 5, 12, 13.
Untuk m = 4 dan n = 1, diperoleh tripel Pytagoras: 8, 15, 17.
A B
C D
E
A
B
C
a
b
c
192 | Jejak Seribu Pena, Geometri SD
Untuk m = 4 dan n = 3, diperoleh tripel Pytagoras: 7, 24, 25.
Untuk m = 5 dan n = 4, diperoleh tripel Pytagoras: 9, 40, 41.
Kelipatan dari tripel-tripel Pythagoras adalah juga tripel Pythagoras. Sebagai ilustrasi:
kelipatan 3, 4, 5 adalah 6, 8, 10; 9, 12, 15; 12, 16, 20; dan sebagainya adalah juga tripel
Pythagoras.
Contoh:
Diketahui segitiga ABC siku-siku di C, dengan AB = 20 cm,
AC = 16 cm, dan CD = 9,6 cm. Hitunglah panjang BC, BD,
dan AD.
Solusi:
1442564001620 22222 ACABBC
12144 BC cm
84,5116,921446,912 22222 CDBCBD
2,784,51 BD cm
8,122,720 BDABAD cm atau
84,16316,922566,916 22222 CDACAD
8,1284,163 AD cm
C. Segitiga
Definisi:
Suatu segitiga adalah bangun ilmu ukur yang dibentuk oleh tiga
titik yang tidak segaris dan tiga ruas garis yang menghubungkan
ketiga titik itu.
Jika ketiga titik itu diberi nama A, B, dan C, maka segitiga yang
terbentuk dinamakan segitiga ABC ditulis dengan lambang
ABC. Segitiga itu dapat dinamakan ACB, BAC, BCA,
CAB, atau CBA.
1) Sisi Segitiga
BC = a , AB = b, dan AB = c dinamakan sisi-sisi ABC. Sisi-sisi a, b, dan c merupakan
sisi segitiga di depan atau dihadapan A , B , dan C .
2) Alas dan Kaki Segitiga
A
B
C
D
A B
C
193 | Jejak Seribu Pena, Geometri SD
C = AB dinamakan alas (garis alas atau sisi alas) ABC. BC = a dan AB = b masing-
masing dinamakan kaki (sisi tegak) ABC.
3) Titik Sudut Segitiga
A, B, dan C (huruf kapital) masing-masing dinamakan titik sudut ABC.
4) Sudut Segitiga
A , B , dan C dinamakan sudut-sudut ABC.
5) Sudut Alas dan Sudut Puncak Segitiga
A dan B dinamakan sudut-sudut alas ABC dan C dinamakan sudut puncak ABC.
a. Jenis-jenis Segitiga
1. Jenis-jenis Segitiga Berdasarkan Panjang Sisinya
Segitiga ditinjau dari panjang sisinya ada 3 jenis, yaitu segitiga sama kaki, segitiga
sama sisi, dan segitiga sebarang.
1) Segitiga Sama Kaki
Segitiga sama kaki adalah segitiga yang mempunyai dua
sisi yang sama panjang.
Jadi, BCAC (kaki ABC)
2) Segitiga Sama Sisi
Segitiga sama sisi adalah segitiga yang sisi-sisi yang
sama panjang.
Jadi, BCACAB .
3) Segitiga Sebarang
Segitiga sebarang adalah segitiga yang mempunyai sisi-
sisi tidak sama panjang.
Jadi, BCACAB .
2. Jenis Segitiga Berdasarkan Besar Sudutnya
Segitiga ditinjau dari panjang besar sudutnya ada 3 jenis , yaitu segitiga lancip,
segitiga siku-siku, dan segitiga tumpul.
1) Segitiga Lancip
Segitiga lancip atau segitiga runcing adalah segitiga
yang mempunyai besar sudut-sudutnya berkisar antara 0o
dan 90o atau besar sudut-sudutnya lancip.
A B
C
A B
C
A B
C
A B
C
194 | Jejak Seribu Pena, Geometri SD
Jadi, 900 A , 900 B , dan
900 C atau A , B , dan C masing-masing
bersudut lancip.
2) Segitiga Siku-siku
Segitiga siku-siku adalah segitiga yang mempunyai
sudut terbesar 90o (siku-siku) dan kedua sudut lainnya
adalah sudut lancip.
Jadi, 90A ( A sudut siku-siku), 900 B
( B sudut lancip), dan 900 C ( C sudut
lancip).
3) Segitiga Tumpul
Segitiga tumpul adalah segitiga yang mempunyai sudut
berkisar antara 90o dan 180
o dan kedua sudut lainnya
adalah sudut lancip.
Jadi, 18090 A ( A sudut tumpul),
900 B ( B sudut lancip), dan 900 C
( C sudut lancip).
3. Jenis Segitiga Berdasarkan Panjang Sisi-sisinya dan Besar Sudut-sudutnya
Jenis segitiga dapat ditinjau sekaligus dari panjang sisi-sisinya dan dan besar sudut-
sudutnya.
1) Segitiga Siku-siku Sama Kaki
Segitiga siku-siku sama kaki adalah segitiga yang
mempunyai panjang sisi-sisi yang mengapit sudut
sebesar 90o (siku-siku) sama panjang.
Jadi, 90A ( A sudut siku-siku) dan ACAB .
2) Segitiga Tumpul Sama Kaki
Segitiga tumpul sama kaki adalah segitiga yang
mempunyai panjang sisi-sisi yang mengapit sudut yang
berkisar antara 90o dan 180
o (sudut tumpul) sama
panjang.
Jadi, 18090 A ( A sudut tumpul) dan ACAB .
Catatan:
A B
C
A B
C
A B
C
A B
C
195 | Jejak Seribu Pena, Geometri SD
1. Tidak ada nama segitiga tumpul sama sisi.
2. Tidak ada nama segitiga siku-siku sama sisi.
3. Tidak ada nama segitiga lancip sama sisi, tetapi lazim dinamakan segitiga sama
sisi.
4. Tidak ada segitiga lancip sama kaki, tetapi lazim dinamakan segitiga sama kaki.
b. Jumlah Sudut-sudut Segitiga
Jumlah sudut-sudut suatu segitiga adalah 180o.
Pada ABC berlaku:
180CBA
Dengan demikan,
)(180 CBA
)(180 CAB
)(180 BAC
Catatan:
A , B , dan C maksudnya adalah sudut-sudut dalam ABC .
Contoh:
1. Diketahui ABC , dengan ACBD (dibaca: BD tegak lurus
AC), 55BAC , 50CBO dan 20ACE .
Hitunglah besar BEC , ABD , BOC , dan BCE .
Solusi:
Perhatikan ACE :
105)2055(180)(180 ACEAAEC
75105180180 AECBEC
Perhatikan ADB siku-siku di D:
35)9055(180)(180 ADBAABD atau
35559090 AABD
Perhatikan CDO siku-siku di D:
70)2090(180)(180 DCODCOD atau
70209090 DCOCOD
11070180180 CODBOC (sudut berpelurus)
Perhatikan BCE :
)(180)(180 CBOABDBECBBECBCE
20)503575(180 atau
A B
C
C D
B
A
E O
196 | Jejak Seribu Pena, Geometri SD
Perhatikan BOC :
20)50110(180)(180 CBOBOCBCE
2. Diketahui ABC , dengan xA 2 , 203xB , dan 405xC . Hitunglah
besar sudut-sudut ABC .
Solusi:
180CBA
1804052032 xxx
1802010x
2018010x
20010x
2010:200x
402022xA
8020203203xB
6040205405xC
c. Sudut Luar Segitiga
Besar sudut luar pada suatu segitiga sama dengan jumlah
besar sudut dalam yang tidak bersisian dengan sudut luar
tersebut.
Pada ABC , AA 1 , BB 1 , dan CC 1
adalah sudut-sudut dalam, sedangkan 2A , 2B , dan
2C adalah sudut-sudut luar. Dengan demikian,
berlakulah hubungan:
CBCBA 112
CACAB 112
BABAC 112
Contoh:
1. Diberikan segitiga ABC, dengan 351B dan
651C . Hitunglah 1A , 2A , 2B dan 2C .
Solusi:
80)6535(180)(180 111 CBA
10080180180 12 AA (sudut berpelurus) atau
A B
C
1
1 1
2
2 2
A
B
C
1
1 1
2
2
2
197 | Jejak Seribu Pena, Geometri SD
1006535112 CBA (rumus sudut luar)
14535180180 12 BB (sudut berpelurus) atau
1456580112 CAB (rumus sudut luar)
10565180180 12 CC (sudut berpelurus) atau
1053580112 BAC (rumus sudut luar)
2. Diberikan segitiga ABC, dengan 80A ,
20BCD , xC 3 , dan AB = AD. Hitunglah
nilai x.
Solusi:
)180(2
1AACDADC
50)80180(2
1
BCDDBCADC (rumus sudut luar)
20350 x
20350 x
20503 x
303 x
103:30 x
Jadi, nilai 10x .
d. Garis-garis pada Segitiga
Garis-garis pada segitiga meliputi garis sumbu, garis tinggi, garis berat, dan garis bagi.
1. Garis Sumbu
Garis sumbu adalah garis yang tegak lurus di tengah-tengah ruas garis (segmen garis)
atau sisi.
Cara Melukis Garis Sumbu
1. Buatlah lingkaran 1 dengan pusat A.
2. Buatlah lingkaran 2 dengan pusat B.
3. Hubungkan perpotongan lingkaran 1 dan 2,
maka akan diperoleh garis 3 yang yang
memotong garis AB di titik O. Garis 3
dinamakan garis sumbu.
A B
C
D
80o
3xo
20o
A B
1 2
3
O
198 | Jejak Seribu Pena, Geometri SD
Perhatikan garis sumbu (garis 3) memotong ruas garis AB tegak lurus di titik O
dan membagi ruas garis AB menjadi dua bagian yang sama panjang (AO = BO)
Ciri-ciri Garis Sumbu
1. Garis sumbu pada suatu ruas garis tegak lurus pada ruas garis itu.
2. Garis sumbu pada suatu ruas garis membagi ruas garis itu menjadi dua bagian
yang sama panjang.
2. Garis Tinggi
Garis tinggi pada suatu segitiga adalah garis yang
dibuat dati titik sudut segitiga itu tegak lurus pada sisi
de depannya.
Pada ABC lancip, garis-garis tingginya adalah AD,
BE, dan CF. Ketiga garis tinggi ini berpotongan di titik
O. Titik O dinamakan titik tinggi.
Pada ABC tumpul, garis-garis tingginya adalah AP,
BQ, dan CR. Ketiga garis tinggi ini berpotongan di
titik O. Titik O dinamakan titik tinggi.
Pada ABC siku-siku, garis-garis tingginya adalah
AC, BC, dan CD. Ketiga garis tinggi ini berpotongan
di titik C. Titik C dinamakan titik tinggi.
3. Garis Berat
Garis berat pada suatu segitiga adalah garis yang ditarik
dari titik sudut ke pertengahan sisi didepannya.
Pada ABC garis-garis beratnya adalah AC, BC, dan CD.
Ketiga garis berat ini berpotongan di titik Z. Titik Z
dinamakan titik berat.
4. Garis Bagi
Garis bagi pada suatu segitiga adalah garis yang membagi
sudut menjadi dua bagian sama besar .
B F
C
A
E
O
D
B R
C
A
Q
O
P
A
B
C
D
B F
C
A
E
Z
D
B F
C
A
E
O
D
199 | Jejak Seribu Pena, Geometri SD
Pada ABC garis-garis baginya adalah AC, BC, dan CD.
Ketiga garis bagi ini berpotongan di titik O. Titik O
dinamakan titik bagi.
Contoh:
Diketahui ABC , dengan 80A dan 45B . Garis
bagi A adalah AD. Carilah C dan 1D .
Solusi:
40802
1
2
1ABAD
95)4540(180)(1802 BBADD
8595180180 21 DD (sudut berpelurus)
atau
8545401 BBADD
e. Segitiga-segitiga Iatimewa
Segitiga istimewa adalah segitiga yang mempunyai cirri-ciri khusus, misalnya panjang
sisinya sama, sudutnya sama besar, atau sudutnya siku-siku dan sebagainya. Segitiga
istimewa meliputi segitiga siku-siku, segitiga sama kaki, dan segitiga sama sisi.
1. Segitiga Siku-siku
1) Segitiga Siku-siku Sama Kaki atau Segitiga Siku-siku dengan Sudut-sudut
90o 45
o 45
o
Jika sisi-sisi suatu segitiga berbanding sebagai
aaa ::2 atau 1:1:2 , maka segitiga itu adalah
segitiga siku-siku samaka kaki, dengan
perbandingan sudut-sudutnya 45:45:90 .
Jika sudut-sudut suatu segitiga berbanding sebagai
45:45:90 atau 2 : 1 : 1, maka segitiga itu
adalah segitiga siku-siku sama kaki dengan
perbandingan sisi-sisinya adalah aaa ::2 atau
1:1:2 .
B
C
A
D
1
2
a
2a a
45o
45o
200 | Jejak Seribu Pena, Geometri SD
2) Segitiga dengan Sudut-sudut 90o 60
o 30
o
Jika sisi-sisi suatu segitiga berbanding sebagai
aaa :3:2 atau 1:3:2 , maka segitiga itu adalah
segitiga siku-siku, dengan perbandingan sudut-
sudutnya 30:60:90 atau 3 : 2 : 1.
Jika sudut-sudut suatu segitiga berbanding sebagai
30:60:90 atau 3 : 2 : 1, maka segitiga itu
adalah segitiga siku-siku, dengan perbandingan
sisi-sisinya adalah aaa :3:2 atau 1:3:2 .
Contoh:
Diketahui ABC , dengan CD adalah garis tinggi,
30CAD , dan AC = 12 cm. Hitunglah
a. besar ACD , BCD , dan DBC .
b. Panjang CD, AD, BD, AB, dan BC.
Solusi:
a. Perhatikan ADC siku-siku di D.
60309090 AACD
Kerena BD = CD dan 90D , maka BDC adalah segitiga siku-siku sama
kaki. Akibatnya 45DBCBCD .
b. 6122
1
2
1 ACCD cm
363122
13
2
1 ACAD cm
6CDBD cm
316636 BDADAB cm
262 CDBC cm
2. Segitiga Sama Kaki
Sifat-sifat Segitiga Sama Kaki:
1. Segitiga sama kaki mempunyai dua sisi yang sama panjang.
Pada ABC sama kaki, AC = BC.
2. Segitiga sama kaki mempunyai sudut alas yang sama besar.
a
3a 2a 30
o
60o
B
C
A D
30o
12 cm
A B
C
201 | Jejak Seribu Pena, Geometri SD
Pada ABC sama kaki, )180(2
1CBA atau AC 2180
B 2180 .
3. a. Garis tinggi dari puncak suatu segitiga sama kaki merupakan garis bagi dan
garis berat.
b. Garis bagi dari puncak suatu segitiga sama kaki merupakan garis tinggi dan
garis berat.
c. Garis berat dari puncak suatu segitiga sama kaki merupakan garis tinggi dan
garis bagi.
Kesimpulan:
Dalam segitiga sama kaki garis tinggi, garis bagi, dan garis berat dari puncak
adalah berimpit.
Contoh:
Diketahui ABC, dengan AD = CD = BD dan
70A Hitunglah besar C.
Solusi:
702 AC .
4014018070218021802 AD (sifat segitiga sama
kaki)
14040180180 21 DD
20)40(2
1)140180(
2
11CB
90702021 CCC
3. Segitiga Sama Sisi
Sifat-sifat Segitiga Sama Sisi:
a. Segitiga sama sisi mempunyai sisi-sisi yang sama
panjang.
Pada ABC sama sisi, AB = BC = AC.
b. Segitiga sama sisi mempunyai sudut-sudut yang
sama besar.
Pada ABC sama sisi, 60CBA . A B
C
60o
60o
60o
A B
C
D
1
1
2
2
202 | Jejak Seribu Pena, Geometri SD
c. Dalam segitiga sama sisi garis tinggi, garis bagi, dan garis berat dari tiap titik
sudut adalah berimpit.
Contoh:
Diketahui besar 70CAB . Hitunglah
besar CEF dan EFB
Solusi:
Perhatikan ABC adalah segitiga sama
kaki, dengan AC = BC. Akibatnya
401401807021802180 CABACB
Perhatikan ACE dan BCF masing-masing adalah segitiga sama sisi, maka
60BCFACE .
160604060BCFACBACEECF
Perhatikan ECF adalah segitiga sama kaki, maka
10)20(2
1)160180(
2
1)180(
2
1ECFCFECEF
501060CFEBFCEFB
f. Keliling dan Luas Segitiga
1. Keliling Segitiga
Keliling suatu segitiga adalah jumlah sisi-sisi segitiga itu.
Perhatikan ABC , dengan BC = a, AC = b, dan AB = c.
Keliling ABC dilambangkan dengan huruf K
dirumuskan sebagai:
cbaABACBCK
1) Keliling Segitiga Siku-siku Sama Kaki
1. Keliling segitiga siku-siku sama kaki yang diketahui panjang sisi siku-
sikunya dirumuskan sebagai:
sikusikusisipanjang22 K
2. Keliling segitiga siku-siku sama kaki yang diketahui panjang hipotenusanya
dirumuskan sebagai:
hipotenusapanjang21 K
2) Keliling Segitiga Sama Sisi
A B
C
E F
A B
C
a b
c
203 | Jejak Seribu Pena, Geometri SD
Keliling segitiga sama sisi yang diketahui panjang sisinya dirumuskan
sebagai:
sisipanjang3K
2. Luas Segitiga
Luas suatu segitiga yang dilambangkan dengan huruf L dirumuskan sebagai
tinggialas2
1L
1) Luas ABC Lancip
ADBCL 2
1ata
2
1
BEACL 2
1btb
2
1
CFABL 2
1ctc
2
1
2) Luas ABC Tumpul
APBCL 2
1ata
2
1
BQACL 2
1btb
2
1
CRABL 2
1ctc
2
1
3) Luas ABC Siku-siku
ACBCL 2
1ba
2
1
CDABL 2
1ctc
2
1
4) Luas Segitiga Siku-siku Sama Kaki
1. Luas segitiga siku-siku sama kaki yang diketahui panjang sisi siku-sikunya
dirumuskan sebagai:
2siku)sikusisi(panjang2
1L
2. Luas segitiga siku-siku sama kaki yang diketahui panjang hipotenusa
dirumuskan sebagai:
B F
C
A
E
O
D
ta tb
tc
ta
tb
tc
B R
C
A
Q
O
P
A
B
C
D
tc
204 | Jejak Seribu Pena, Geometri SD
2)hipotenusa(panjang4
1L
5) Luas Segitiga Sama Sisi
1. Tinggi segitiga sama sisi dirumuskan sebagai:
3)sisi(panjang2
1t
2. Luas segitiga sama sisi dirumuskan sebagai:
3)sisi(panjang4
1 2L
6) Luas Segitiga Jika Diketahui Sisi-sisinya
Diketahui ABC , dengan BC = a, AC = b, dan AB = c.
Setengah keliling ABC dinyatakan dengan s yang dirumuskan sebagai:
)(2
1cbas
Luas ABC dinyatakan dengan L yang dirumuskan sebagai:
))()(( csbsassL (yang dinamakan rumus Heron)
Contoh:
1. Diketahui ABC , dengan BC = 20 cm, AC = 16 cm, dan AB = (4x – 8) cm. Jika
keliling ABC adalah 48 cm. Carilah nilai x dan tunjukkan bahwa ABC adalah
segitiga siku-siku.
Solusi:
ABACBCK
84162048 x
x42848
x420
54:20 x
1285484 xAB cm
222 ABACBC
222 121620
144256400
400400 (pernyataan yang bernilai benar)
Karena bilangan-bilangan 20, 16, dan 12 merupakan tripel Pythagoras, maka
ABC merupakan segitiga siku-siku, dengan 90A .
205 | Jejak Seribu Pena, Geometri SD
2. Diketahui segi empat ABCD, dengan 90DA , AD = 12 cm, CD = 9 cm,
dan AC = 13 cm. Hitunglah keliling dan luas ABC.
Solusi:
Perhatikan ADC siku-siku di D.
Menurut Teorema Pythagoras:
15225912 2222 CDADAC cm
9CDAE cm
12 ADCE cm
Perhatikan BEC siku-siku di E.
5251213 2222 CEBCBE cm
1459 EBAEAB cm
42151314 ACBCABK cm
8412142
1
2
1 CEABL cm
2
Jadi, keliling ABC = 42 cm dan luas ABC = 84 cm2.
3. Diketahui ABC , dengan panjang sisi-sisinya adalah BC = a = 13 cm, AC = b =
14 cm, dan AB = c = 15 cm. Hitunglah luas ABC dan garis-garis tingginya.
Solusi:
21)151413(2
1)(
2
1 cbas cm
))()(( csbsassL )1521)(1421)(1321(21
)6)(7)(8(21 327273 3 422 273 84273 2 cm2
ataL 2
1
13
1212
13
8422
a
Lta cm
btbL 2
1 12
14
8422
b
Ltb cm
ctcL 2
1 2,11
15
8422
c
Ltc cm
Jadi, luas ABC = 84 cm2 dan garis-garis tinggi pada sisi a, sisi b, dan sisi c
berturut-turut adalah 13
1212 cm, 12 cm, dan 11,2 cm.
A B
C D
E
12 cm
9 cm
13 cm
206 | Jejak Seribu Pena, Geometri SD
4. Diketahui ABC siku-siku di A, dengan AB = 20
cm dan BC = 25 cm. Hitunglah luas ABC dan
garis tinggi AD.
Solusi:
Menurut Teorema Pythagoras:
22 ABBCAC 22 2025 15225 cm
15020152
1
2
1 ABACL cm
2
ADBCL 2
1
AD 252
1150
1225
2150
AD cm
Jadi, luas ABC = 150 cm2 dan garis tinggi AD = 12 cm.
D. Jajargenjang
Definisi:
Segi empat yang kedua pasang sisinya yang berhadapan sejajar
dinamakan jajargenjang.
a. Sifat-sifat Jajargenjang:
1. Pada jajargenjang sisi-sisi yang berhadapan adalah sejajar
dan sama panjang.
Pada jajargenjang ABCD, CDAB // dan AB = CD; dan
BCAD // dan AD = BC.
Kebalikannya:
Jika pada suatu segi empat ABCD, sisi AB = CD dan sisi
BC = AD, maka segi empat ABCD adalah jajargenjang.
2. Pada jajargenjang sudut-sudut yang berhadapan sama besar.
Pada jajargenjang ABCD, CA dan DB .
Kebalikannya:
C
B
A
D
A B
C D
A B
C D
E
207 | Jejak Seribu Pena, Geometri SD
Jika pada suatu segi empat ABCD, CA dan DB , maka segi empat ABCD
adalah jajargenjang.
3. Pada jajargenjang kedua diagonalnya (garis sudut menyudut) berpotongan di tengah-
tengah.
Pada jajargenjang ABCD, diagonal AC dan BD berpotongan di titik E, sehingga AE = CE
= AC2
1 dan BE = DE = BD
2
1.
Kebalikannya:
Jika pada suatu segi empat kedua diagonalnya berpotongan di tengah-tengah, maka segi
empat itu adalah jajargenjang.
4. Pada jajargenjang jumlah sudut-sudut yang berdekatan adalah 180o.
Pada jajargenjang ABCD, 180BA , 180DA , 180CB , dan
180DC .
Contoh:
1. Diketahui jajargenjang ABCD, diagonal AC dan BD
berpotongan di titik E. Jika 120B , 352A , dan
552B . Hitunglah A , C , D , 1A , 1B ,
1C , 2C , 1D , 2D , 1E , 2E , 3E , dan 4E
Solusi:
180BA
180120A
60A
60AC
120BD
25356021 AAA
655512021 BBB
2511 AC (sudut dalam berseberangan)
3522 AC (sudut dalam berseberangan) atau
35256012 CCC
6511 BD (sudut dalam berseberangan)
A B
C D
1 2
1 2 1
1
2
1 2
3 4 E
2
208 | Jejak Seribu Pena, Geometri SD
5522 BD (sudut dalam berseberangan) atau
556512012 DDD
)(180 121 BAE 80)6535(180
8013 EE (sudut bertolak belakang)
10080180180 12 EE (sudut berpelurus)
10024 EE (sudut bertolak belakang)
2. Dikeathui jajargenjang ABCD, dengan diagonal-diagonal AC dan BD berpotongan di
titik E, 60A , BD = 13 cm, dan AD = 8 cm. Carilah panjang AB dan BE.
Solusi:
482
1
2
1 ADAF cm
34382
13
2
1 ADDF cm
Menurut Pythagoras dalam BFD :
2222 3413 DFBDFB 1112148169 cm
15114 FBAFAB cm
5,6132
1
2
1 BDBE cm
b. Keliling dan Luas Jajargenjang
1. Keliling Jajargenjang
Keliling suatu jajargenjang adalah jumlah semua
sisi-sisinya atau dua kali jumlah sisi-sisi yang
berlainan.
Keliling jajargenjang ABCD yang dilambangkan
dengan huruf K adalah
ADCDBCABK
Karena AB = CD dan AD = BC, maka
)(2)(2 ADCDBCABK
2. Luas Jajargenjang
Luas suatu jajargenjang yang dilambangkan dengan huruf L adalah
tinggialas L
A B
C D
E 60
o
F
8 cm
A B
C D
E
F
209 | Jejak Seribu Pena, Geometri SD
Pada jajargenjang ABCD, alasnya adalah AB atau CD dan BC atau AD sedangkan
tingginya DE dan DF.
Luas jajargenjang ABCD adalah
DEABL
DFBCL
Contoh:
1. Dikeathui jajargenjang ABCD, dengan BD =
15 cm, AB = 14 cm, garis tinggi DF = 12 cm.
Carilah keliling jajargenjang itu.
Solusi:
Menurut Pythagoras dalam BFD :
2222 1215 DFBDFB 981144225 cm
5914 FBABAF cm
Menurut Pythagoras dalam AFD :
2222 512 AFFDAD 1316925144 cm
13 ADBC cm
54)1314(2)(2 BCABK cm
Jadi, keliling jajargenjang itu adalah 54 cm.
2. Diberikan jajargenjang ABCD (lihat gambar di atas), dengan ABDE ,
BCDF , AB = 40 cm, DE = 24 cm, dan keliling jajargenjang ABCD = 140
cm. Hitunglah panjang BC, luas jajargenjang ABCD, dan panjang garis tinggi
DF .
Solusi:
)(2 BCABK
)40(2140 BC
702:14040 BC
304070 BC cm
9602440 DEABL cm2
DFBCL
DF 30960
3230:960 DF cm
Jadi, panjang BC = 30 cm, luas jajargenjang ABCD = 960 cm2, dan panjang
garis tinggi DF = 32 cm.
A B
C D
F
15 cm
12 cm
210 | Jejak Seribu Pena, Geometri SD
E. Persegi Panjang
Definisi:
Jajargenjang yang mempunyai sebuah sudut siku-siku dinamakan
persegi panjang. atau
Persegi panjang adalah segi empat yang mempunyai dua pasang
sisi berhadapan yang setiap pasangnya sejajar dan sama panjang,
serta keempat sudutnya siku-siku.
a. Sifat-sifat Persegi Panjang:
1. Diagonal-diagonal persegi panjang sama panjang.
Pada persegi panjang ABCD, AC = BD.
Kebalikannya:
Jika pada suatu jajargenjang kedua diagonalnya sama
panjang, maka jajargenjang itu persegi panjang.
2. Diagonal-diagonal persegi panjang saling membagi dua sama panjang atau kedua
diagonal persegi panjang berpotongan di tengah-tengah.
Pada persegi panjang ABCD, diagonal AC dan BD berpotongan di titik E, sehingga AE =
CE = AC2
1 dan BE = DE = BD
2
1.
3. Sisi-sisi persegi panjang yang berhadapan sejajar dan sama panjang.
Pada persegi panjang ABCD, AB // CD dan AB = CD; dan AD // BC dan AD = BC.
4. Semua sudut persegi panjang sama besar yang masing-masing besarnya 90o.
Pada persegi panjang ABCD, 90DCBA .
Contoh:
1. Diketahui segi empat ABCD, dengan kedua diagonalnya
berpotongan di titik E dan 32CAB . Hitunglah
ACB dan ABC .
Solusi:
Karena AEB adalah segitiga sama kaki, maka
32CABEBAEAB .
1163221802180 CABAEB
Karena BEC adalah segitiga sama kaki, maka ACBEBCECB .
EBCACBAEB
ACB 2116
A B
C D
A B
C D
E
A
B
C
D
E
211 | Jejak Seribu Pena, Geometri SD
58ACB
90)5832(180)(180 ACBCABABC
2. Diketahui persegi panjang ABCD, dengan diagonal AC dan BD berpotongan di titik E,
30BAC dan AB = 12 cm. Hitunglah panjang AC, AB, dan AE.
Solusi:
241222 BCAC cm
3123 BCAB cm
12242
1
2
1 ACAE cm
b. Keliling dan Luas Persegi Panjang
1. Keliling Persegi Panjang
Keliling suatu persegi panjang adalah jumlah semua
sisi-sisinya atau dua kali jumlah sisi-sisi yang
berlainan.
Persegi panjang biasanya mempunyai ukuran
panjang p dan lebar l. Karena sepasang-sepasang
sisi persegi panjang adalah sama panjang, maka
keliling persegi panjang yang dilambangkan dengan
huruf K adalah
lebar)2(panjangK
Keliling jajargenjang ABCD dilambangkan dengan huruf K adalah
ADCDBCABK
)(2 lpK
2. Luas Persegi Panjang
Luas suatu persegi panjang yang dilambangkan dengan huruf L adalah
lebarpanjangL
Jika persegi panjang ABCD yang mempunyai panjang p dan lebar l, maka luasnya
adalah
Luas persegi panjang ABCD adalah
BCABL
pllpL
Contoh:
A B
C D
E
30o
12 cm
A B
C D
p
l
212 | Jejak Seribu Pena, Geometri SD
1. Diketahui persegi panjang ABCD, dengan panjang diagonal AC = 17 cm dan
panjang AB = 15 cm. Carilah keliling persegi panjang itu.
Solusi:
Menurut Teorema Pythagoras:
222 ACBCAB
222 1715 BC
642252892 BC
864 BC cm
46)815(2)(2 lpK cm
Jadi, keliling persegi panjang itu adalah 46 cm.
2. ABCD adalah persegi panjang, dengan AB = 72 cm,
AD = 48 cm, AP = CR = 48 cm, dan BQ = DS = 20 cm.
Carilah rasio luas segi-4 PQRS dan luas persegi
panjang ABCD.
Solusi:
72 ABp cm dan 48 ADl cm
34564872 lpLABCD cm2
PQRS adalah jajargenjang dengan, tingginya adalah t = AD = 48 cm dan alasnya
adalah 4)2048(72)( BQAPABPQ cm.
192484 tPQLPQRS cm2.
18:13456:192: ABCDPQRS LL
Jadi, rasio luas segi-4 PQRS dan luas persegi panjang ABCD adalah 1: 18.
3. Panjang dan lebar suatu persegi panjang berbanding sebagai 3 : 2. Jika
panjangnya 24 cm, hitunglah keliling dan luas persegi panjang itu.
Solusi:
2:3: lp
16243
2
3
2 pl cm
80)1624(2)(2 lpK cm
3841624 plL cm2
A B
C D
17 cm
15 cm
A B
C D
P Q
R S
213 | Jejak Seribu Pena, Geometri SD
Jadi, keliling dan luas persegi panjang berturut-turut adalah 80 cm dan 384 cm2.
4. Luas suatu persegi panjang adalah 432 cm2. Jika panjang dan lebarnya
berbanding sebagai 4 : 3, hitunglah keliling persegi panjang itu.
Solusi:
Karena 3:4: lp , maka 4
3pl
plL
4
3432
pp
5764323
42 p
24576 p cm
24p 184
243
4
3
pl cm
84)1824(2)(2 lpK cm
5. Jika keliling persegi panjang ABCD yang dibangun
dari 5 persegi panjang yang kongruen (sama
sebangun) adalah 48 cm. Carilah luas masing-
masing persegi panjang kecil.
Solusi:
Misalnya persegi panjang kecil mempunyai lebar = a
cm dan panjangnya = b cm, maka
aaaab 3 ……… (1)
48 baabaabaaa
4837 ba ……………. (2)
Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh:
48)3(37 aa
4816 a
3a
3a 9)3(33 ab
Persegi panjang mempunyai lebar 3 cm dan panjang 9 cm.
2793 abL cm2
Jadi, luas persegi kecil adalah 27 cm2.
A B
C D
A B
C D
a a
a
a
a
b
b
214 | Jejak Seribu Pena, Geometri SD
F. Persegi
Definisi:
Persegi atau bujur sangkar adalah segi empat yang semua sisinya
sama panjang dan salah satu sudutnya sudut siku-siku. atau
Persegi atau bujur sangkar adalah persegi panjang khusus yang ke
empat sisinya sama panjang.
a. Sifat-sifat Persegi
1. Sisi-sisi persegi yang berhadapan sejajar dan sama panjang.
Pada persegi ABCD, AB // CD dan AB = CD; dan AD // BC
dan AD = BC.
2. Setiap sudut persegi dibagi dua sama besar oleh diagonal-
diagonalnya.
3. Diagonal-diagonal persegi berpotongan saling tegak lurus.
Pada persegi ABCD, BDAC .
4. Diagonal-diagonal persegi sama panjang.
Pada persegi ABCD, AC = BD.
5. Diagonal-diagonal persegi saling membagi dua sama panjang atau kedua diagonal
persegi berpotongan di tengah-tengah.
Pada persegi ABCD, diagonal AC dan BD berpotongan di titik E, sehingga AE = CE
= AC2
1 dan BE = DE = BD
2
1.
6. Semua sudut persegi sama besar yang masing-masing besarnya 90o.
Pada persegi ABCD, 90DCBA .
Contoh:
Diketahui ABCD adalah persegi dan CDE adalah segitiga
sama sisi. Hitunglah 1A , 2A , 1E , 2E , dan 3E .
Solusi:
Karena ABCD adalah persegi, maka besar sudut-sudutnya
masing-masing adalah 90o.
Karena CDE adalah segitiga sama sisi, maka besar sudut-
sudutnya adalah 60o.
150609021 DDD
Karena AD = ED, maka ADE adalah segitiga sama kaki, sehingga
2
1
1
2
1
2
1 2
3
A B
C D
E
A B
C D
A B
C D
E
215 | Jejak Seribu Pena, Geometri SD
15)150180(2
1)180(
2
11 DA
75159090 11 AA
1511 AE
Karena AE = BE, maka ABE adalah segitiga sama kaki.
30)7521802180 21 AE
15)3015(60)( 213 EEEE
b. Keliling dan Luas Persegi
1. Keliling Persegi
Keliling suatu persegi adalah jumlah semua sisi-sisinya atau
empat kali sisinya.
Keliling suatu persegi dilambangkan dengan huruf K. Karena
persegi mempunyai sisi-sisi yang sama panjang, maka
kelilingnya adalah
)sisi(panjang4K
Keliling persegi ABCD yang mempunyai panjang sisi p adalah
ADCDBCABK
pK 4
Jika dari suatu persegi diketahui panjang diagonalnya adalah p, maka kelilingnya
adalah
2diagonal)(panjang2 K
22 pK
2. Luas Persegi
Luas suatu persegi yang dilambangkan dengan huruf L adalah
2sisi)(panjangL
Luas persegi ABCD yang mempunyai panjang p adalah
BCABL
2pL
Jika dari suatu persegi diketahui panjang diagonalnya adalah p, maka luasnya adalah
2agonal)(panjangdi2
1L
A B
C D
p
216 | Jejak Seribu Pena, Geometri SD
2
2
1pL
Contoh:
1. Sebuah persegi mempunyai panjang diagonal 16 cm. Hitunglah keliling dan luas
persegi itu.
Solusi:
2l)adiagon(panjang2
1sisiPanjang 282)16(
2
1 cm
Keliling persegi adalah
2322844 pK cm atau
2diagonal)(panjang2 K 2322)16(2 cm
Luas persegi adalah
2si)(panjangsiL 128282
cm2 atau
2agonal)(panjangdi2
1L 128256
2
1)16(
2
1 2 cm2
2. Keliling sebuah persegi panjang sama dengan keliling sebuah persegi. Jika luas
persegi adalah 1.600 cm2 dan panjang persegi panjang adalah 48 cm, tentukan
keliling persegi dan rasio luas persegi panjang dengan persegi.
Solusi:
2sL 401600 LS cm
Panjang sisi persegi adalah 40 cm.
)sisi(panjang4K 160)40(4 cm
Keliling persegi panjang = keliling persegi
160)48(2 l
8048 l
32l cm
536.13248 plL cm2
Jadi, keliling persegi adalah 160 cm dan rasio luas persegi panjang dengan persegi
adalah 1.560 : 1.600 = 24 : 25.
3. Panjang sisi persegi yang besar adalah 12 cm dan
keliling persegi yang kecil adalah 32 cm. Tentukan
rasio persegi yang kecil, luas persegi yang besar, dan
luas segitiga yang diarsir.
l
p = 48 cm
S
L =1600 cm2
32 cm
A B C
D
F G
E
217 | Jejak Seribu Pena, Geometri SD
Solusi:
144122 ABEGL cm2
84:324: Kp cm
6482 BCDEL cm2
Menurut Teorema Pythagoras:
2121212 2222 FGFBBG cm
2888 2222 CDBCBD cm
Perhatikan bahwa BDG adalah segitiga siku-siku, dengan 90DBG .
96212282
1
2
1 BGBDL BDG cm
2
Jadi, luas persegi yang kecil : luas persegi yang besar : luas segitiga yang diarsir =
144 : 64 : 96 = 9 : 4 : 6
G. Belah Ketupat
Definisi:
Belah ketupat adalah suatu jajargenjang yang sisi-sisinya sama
panjang. Atau
Belah ketupat adalah segi empat yang kedua pasang sisi
berhadapannya sejajar dan sama panjang, serta kedua
diagonalnya saling membagi dua sama panjang dan saling tegak
lurus.
1. Sifat-sifat Belah Ketupat
1. Semua sisi belah ketupat sama panjang dan sepasang-
sepasang sejajar.
Pada belah ketupat ABCD, AB = BC = CD = AD dan AB
// CD dan AD // BC.
2. Diagonal-diagonal belah ketupat merupakan garis bagi
sudut-sudutnya.
Pada belah ketupat ABCD, DCABCADACBAC dan
CDBADBCBDABD
3. Diagonal-diagonal belah ketupat saling membagi dua sama panjang dan saling
berpotongan tegak lurus.
A B
C D
A B
C D
E
218 | Jejak Seribu Pena, Geometri SD
Pada belah ketupat ABCD, BDAC dan ACCEAE2
1 dan BDDEBE
2
1 .
4. Sudut-sudut belah ketupat yang berhadapan sama besar.
Pada belah ketupat ABCD, CA dan DB .
5. Sudut-sudut berdekatan pada belah ketupat berjumlah 180o.
Pada belah ketupat ABCD, 180BA dan 180DC .
Contoh:
1. Diketahui belah ketupat ABCD, dengan panjang diagonal AC = 30 cm dan BD = 16
cm. Hitunglah panjang sisi belah ketupat itu.
Solusi:
15302
1
2
1 ACAE cm
8162
1
2
1 BDBE cm
Perhatikan ABE siku-siku di E.
17289815 2222 BEAEAB cm
Jadi, pajang sisi belah ketupat itu adalah 17 cm.
2. Diketahui belah ketupat ABCD, dengan 60A dan AB = 18 cm. Hitunglah
panjang diagonal AC dan BD .
Solusi:
Perhatikan ABE siku-siku di E.
30602
1
2
1ABAE
60309090 BAEABE
9182
1
2
1 ABBE cm
18922 BEBD cm
393182
13
2
1 ABAE cm
3183922 AEAC cm
Jadi, panjang diagonal 38AC cm dan 18BD cm.
A B
C D
E
15
15 8
8
A B
C D
E
18
30o
30o
219 | Jejak Seribu Pena, Geometri SD
b. Keliling dan Luas Belah Ketupat
1. Keliling Belah Ketupat
Keliling suatu belah ketupat adalah jumlah semua sisi-
sisinya atau empat kali sisinya.
Keliling suatu belah ketupat dilambangkan dengan huruf
K. Karena belah ketupat mempunyai sisi-sisi yang sama
panjang, maka kelilingnya adalah
)sisi(panjang4K
Keliling persegi ABCD yang mempunyai panjang sisi p
adalah
ADCDBCABK
pK 4
Jika dari suatu belah ketupat diketahui panjang diagonal-diagonalnya 1d dan 2d ,
maka
a. panjang sisinya adalah 22
21
2
1ddp
b. kelilingnya adalah 22
212 ddK
2. Luas Belah Ketupat
Luas suatu belah ketupat adalah setengah panjang diagonal-diagonalnya.
Luas persegi ABCD yang mempunyai panjang diagonal 1dAC dan 2dBD , maka
luas belah ketupat itu yang dilambangkan dengan huruf L adalah
BDACL 2
1
212
1ddL
Contoh:
1. Dari sebuah belah ketupat diketahui panjang diagonal-diagonalnya adalah 10 cm
dan 24 cm. Hitunglah panjang sisi, keliling, dan luas belah ketupat itu.
Solusi:
Panjang sisi belah ketupat adalah
22
21
2
1ddp 22 2410
2
1 676
2
1 1326
2
1 cm
Keliling belah ketupat adalah
A B
C D
E
p
220 | Jejak Seribu Pena, Geometri SD
521344 pK cm atau
522626762241022 2222
21 ddK cm
Luas belah ketupat adalah
12024102
1
2
121 ddL cm
2
2. Diketahui belah ketupat ABCD, dengan 120A dan AC = 12 cm. Hitunglah
keliling dan luas belah ketupat itu. Kemudian tentukan panjang AE, yaitu garis
tinggi dari titik A pada sisi BC
Solusi:
Perhatikan ABE siku-siku di E dan
60BAE , maka
12622 AEAB cm
363 AEBE cm
3123622 BEBD cm
Keliling belah ketupat adalah
481244 pK cm
Luas belah ketupat adalah
372312122
1
2
1 BDACL cm
2
12 ABBC cm
AEBCL
AE12372
3612:372 AE cm
H. Trapesium
Definisi:
Segi empat yang dua buah sisinya sejajar dinamakan
trapesium.
ABCD adalah trapesium, dengan AB // CD.
AB = alas (sisi alas)
CD = sisi atas
AD dan BC = kaki (sisi tegak)
B C
D A
E 6
60o
60o
6
A B
C D
E F
221 | Jejak Seribu Pena, Geometri SD
DE dan CF = tinggi (garis tinggi)
a. Jenis-jenis Trapesium
Ada 3 jenis trapesium, yaitu trapesium sebarang, trapesium siku-siku, dan trapesium
sama kaki.
1. Trapesium Sebarang
Trapesium sebarang dapat dibentuk dari beberapa bangun datar.
Trapesium ABCD sebarang yang dibentuk oleh persegi panjang CDEF dan dua
segitiga siku-siku, yaitu ADE dan BCF .
Trapesium PQRS sebarang yang dibentuk oleh jajargenjang PTRS dan TQR
2. Trapesium Siku-siku
Trapesium ABCD yang dibentuk dari persegi panjang AECD dan EBC siku-siku.
AB // CD dan 90DA .
Trapesium PQRS dibentuk oleh persegi panjang PTRS dan TQR siku-siku. PQ //
RS dan 90SP .
3. Trapesium Sama Kaki
Trapesium ABCD sama kaki yang dibentuk oleh persegi EFCD dan dua segitiga
kongruen, yaitu AED siku-siku, dan FBC siku-siku. Trapesium PQRS sama kaki
A B
C D
E F P Q
R S
T
P Q
R S
T
P Q
R S
U T
A B
C D
E
A B
C D
F E
222 | Jejak Seribu Pena, Geometri SD
dibentuk oleh persegi panjang TURS dan dua segitiga kongruen, yaitu PTS siku-
siku dan UQR siku-siku.
b. Sifat-sifat Trapesium
1. Sifat-sifat Trapesium Sama Kaki
a. Sudut alas sama besar.( BA )
b. Diagonal-diagoanalnya sama panjang. (AC = BD)
Sifat-sifat Kebalikanya:
a. Jika dalam suatu trapesium sudut-sudut alasnya sama besar, maka trapezium itu
adalah trapezium sama kaki.
Jika ABCD trapesium dengan BA , maka AD = BC. Akibatnya ABCD
adalah trapesium sama kaki.
b. Jika dalam suatu trapezium diagonal-diagonalnya sama panjang , maka trapesium
itu sama kaki.
Jika ABCD trapesium dengan BDAC , maka AD = BC. Akibatnya ABCD
adalah trapesium sama kaki.
2. Sifat-sifat Trapesium Siku-siku
Trapesium siku-siku mempunyai tepat dua sudut
siku-siku ( BA = 90o).
3. Garis Jajar Tengah pada Trapesium
Garis yang menghubungkan tengah-tengah sisi tegak
suatu trapesium, sejajar dengan sisi-sisinya yang
sejajar, dan panjangnya setengah jumlah sisi-sisi yang
sejajar itu.
)(2
1CDABPQ (PQ = garis jajar tengah)
Contoh:
1. Diketahui trapezium ABCD, dengan AB // CD, kedua diagonalnya berpotongan di
titik E, sehingga AE = BE, CE = DE, 80ADB , dan 40BAC . Hitunglah
besar A dan D .
Solusi:
Karena AE = BE, maka ABE adalah sama
kaki. Akibatnya 40BACABE .
A B
C D
A B
C D
A B
C D
P Q
A B
C D
40o
E 80o
223 | Jejak Seribu Pena, Geometri SD
1004021802180 BACAEB
ADEEADAEB
80100 EAD
20EAD
604020BACEADA
Karena AB // CD dan AC = BD, maka ABCD adalah trapezium sama kaki.
12060180180 AD atau
100AEBDEC
Karena CE = DE, maka DEC adalah segitiga sama kaki. Akibatnya
40)100180(2
1)180(
2
1DECECDEDC
1204080EDCADBD
2. Diketahui trapesium ABCD sama kaki, dengan AB // CD, 30BAC ,
90ACB , dan AB = 12 cm. Carilah besar C , panjang BC, panjang CD, dan
panjang garis jajar tengah PQ.
Solusi:
60309090 BABC
12060180180 BC
6122
1
2
1 ABBC cm
362
1
2
1 BCFB cm
3 FBAE cm
6)33(12)( FBAEABEF cm
6 EFCD cm
9)612(2
1)(
2
1 CDABPQ cm
Jadi, besar 120C , panjang BC = 6 cm, panjang CD = 6 cm, dan panjang garis
jajar tengah PQ = 9 cm.
c. Keliling dan Luas Trapesium
1. Keliling Trapesium
Keliling suatu trapesium adalah jumlah semua
sisi-sisinya.
A B
C D
30o
E F
P Q
A B
C D
E
P Q
224 | Jejak Seribu Pena, Geometri SD
Keliling trapesium ABCD dilambangkan
dengan huruf K dan dirumuskan sebagai:
ADCDBCABK
2. Luas Trapesium
Luas trapesium adalah setengah jumlah sisi-sisi yang sejajar dikalikan dengan
tingginya atau jajar tengah dikalikan tingginya.
Pada trapezium ABCD, AB // CD, DE = garis tinggi dan PQ = garis jajar tengah.
Luas trapesium ABCD dilambangkan dengan huruf K dan dirumuskan sebagai:
DECDABL )(2
1
DEPQL
Contoh:
1. Diketahui trapesium siku-siku ABCD, dengan diagonal-diagonalnya berpotongan
tegak lurus di titik E, 90BA , AB // CD, AC = 15 cm, BC = 26 cm,
60BAC . Hitunglah panjang garis jajar tengah, keliling dan luas trapesium
ABCD.
Solusi:
8162
1
2
1 ACAF cm
8 AFCD cm
383162
13
2
1 ACCF cm
38CFAD cm
22 CFBCFB
22484192676382622 cm
30228 FBAFAB cm
Panjang garis jajar tengah = setengah jumlah sisi-sisi yang sejajar
19)830(2
1)(
2
1 CDABPQ cm
Keliling trapezium ABCD adalah
ADCDBCABK 3883882630 cm
Luas trapesium ABCD adalah
A B
C D
26 16
60o
E
F
225 | Jejak Seribu Pena, Geometri SD
DECDABL )(2
1315238)830(
2
1 cm atau
DEPQL 31523819 cm2
2. Diketahui trapesium ABCD dengan AB // CD, dibuat garis jajar tengah PQ. AB =
12 cm, CD = 4 cm, dan tinggi trapesium itu 9 cm. Hitunglah luas trapesium
ABCD, trapesium PQCD , dan trapesium ABQP.
Solusi:
8)412(2
1)(
2
1 CDABPQ cm
DECDABLABCD )(2
1
729)412(2
1 cm
2
DECDPQLPQCD2
1)(
2
1 279
2
1)48(
2
1 cm
2
DEPQABLABQP2
1)(
2
1 459
2
1)812(
2
1 cm
2 atau
452772 PQCDABCDABQP LLL cm2
3. Layang-layang
Definisi:
Layang-layang adalah segi empat yang sisinya sepasang-
sepasang (berdekatan) sama panjang dan sepasang sudut
yang berhadapan sama besar.
a. Sifat-sifat Layang-layang
1. Sisi-sisi laying-layang sepasang-sepasang (yang
berdekatan) sama panjang.
Pada layang-layang ABCD, AB = AD dan BC = DC.
2. Sepasang sudut yang berhadapan pada layang-layang sama besar.
Pada layang-layang ABCD, DB .
3. Salah satu diagonal pada layang-layang membagi sudut yang berhadapan tidak sama
besar menjadi dua bagian yang sama besar atau salah satu diagonal layang-layang
merupakan sumbu simetri.
4
9
12 A B
C D
E
P Q
A
B
C
D
O
226 | Jejak Seribu Pena, Geometri SD
Diagonal AC merupakan sumbu simetri yang membagi dua sama besar laying-layang
ABCD atau diagonal AC membagi A dan C masing-masing menjadi dua bagian
yang sama besar.
4. Salah satu diagonal membagi dua sama panjang dan tegak lurus diagonal yang lain.
Pada layang-layang ABCD, diagonal BD terbagi dua sama panjang oleh diagonal AC
dan AC tegak lurus BD atau BDAC .
Contoh:
Diketahui layang-layang ABCD, dengan diagonal AC dan BD berpotongan di titik O,
OD = 8 cm, 45ADO , dan 60CDO . Tentukan OB, OC, OA, AB, BC,
BAD , ADC , ABC , dan BCD .
Solusi:
8ODOB cm
383 ODOC cm
8ODOA cm
282 ODAD cm
28 ADAB cm
16822 ODCD cm
16CDBC cm
Karena ADO adalah segitiga sama kaki, maka
45ADODAO
Karena ABO dan ADO adalah kongruen, maka
45DAOBAO
904545BAODAOBAD
1056045CDOADOADC
Karena ADC dan ABC adalah kongruen, maka
105ADCABC
Perhatikan CDO siku-siku di O.
30609090 CDODCO
Karena CDO dan CBO kongruen, maka
30BCODCO
603030BCODCOBCD
b. Keliling dan Luas Layang-layang
A
D
C
B O
8
45o
60o
227 | Jejak Seribu Pena, Geometri SD
1. Keliling Layang-layang
Keliling layang-layang adalah jumlah semua
sisi-sisinya atau dua kali jumlah sisi-sisi yang
berlainan.
Keliling layang-layang ABCD dilambangkan
dengan huruf K dan dirumuskan sebagai:
ADCDBCABK
Karena AB = AD dan BC = DC, maka
)(2)(2 DCADBCABK
b. Luas Layang-layang
Luas layang-layang adalah setengah perkalian diagonal-diagonalnya.
Luas laying-layang ABCD dilambangkan dengan huruf L dan dirumuskan sebagai:
BDACL 2
1
Contoh:
Diketahui layang-layang ABCD, dengan OC = 15 cm, OD = 8 cm, dan CD = 10 cm.
Hitunglah panjang sisi, diagonal-diagonal, keliling, dan luas layang-layang itu.
Solusi:
Perhatikan ADO siku-siku di O.
17289815 2222 DOAOAD cm
17 ADAB cm
Perhatikan ADO siku-siku di O.
17289815 2222 DOAOAD cm
17 ADAB cm
10 BCDC cm
Perhatikan DCO siku-siku di O.
636810 2222 DOCDOC cm
Panjang diagonal: 21615 OCAOAC cm
Panjang diagonal: 16822 ODBD cm
Keliling layang-layang ABCD adalah
54)1017(2)(2 BCABK cm
Luas layang-layang ABCD adalah
A
B
C
D
O
A
B
C
D O 8
10
15
228 | Jejak Seribu Pena, Geometri SD
8416212
1
2
1 BDACL cm
2