13

Bab 3

Persamaan Perubahan Tekanan di Sepanjang

Pipa Alir

Bab berikut membahas tentang model matematika yang digunakan untuk

mencegah terjadinya penyumbatan aliran (bottleneck) yaitu model persamaan

perubahan tekanan pada aliran multifasa di sepanjang pipa. Persamaan tersebut

merupakan turunan dari konsep kesetimbangan energi yang berlaku di pipa alir.

Persamaan perubahan tekanan yang digunakan pada pembahasan ini adalah

korelasi Beggs-Brill yang berlaku khusus bagi aliran multifasa, selain itu akan

dikombinasikan juga persamaan perubahan tekanan dan debit alir fluida yang

dilalui choke.

3.1 Persamaan Kesetimbangan Energi Persamaan kesetimbangan energi memperlihatkan kesetimbangan energi

antara 2 titik pada sistem aliran fluida yaitu titik 1 (inlet) dan titik 2 (outlet).[1]

Persamaan tersebut merupakan hukum kekekalan energi yang menyatakan bahwa

energi fluida yang memasuki titik 1 ditambah usaha tambahan yang dilakukan

fluida antara titik 1 dan 2, dikurangi dengan energi yang hilang oleh sistem antara

titik 1 dan 2, adalah sama dengan energi dari fluida yang meninggalkan titik 2,

seperti terlihat pada gambar 3.1. Persamaan kesetimbangan energi digunakan

untuk menyelesaikan berbagai permasalahan yang menyangkut aliran multifasa

pada pipa, yaitu

2 2

1 1 2 21 1 1 2 2 22 2c c c c

mv mgz mv mgzU p V q W U p Vg g g g

+ + + + − = + + + (3.1)

Masing-masing komponen dari persamaan (3.1) didefinisikan sebagai berikut:

14

1. Energi Dalam, U .

Energi dalam merupakan energi yang termuat di fluida, dapat berupa

energi rotasi, translasi, atau vibrasi dari molekul-molekul. Energi dalam

tidak dapat diukur namun nilai mutlaknya dapat dihitung.

2. Energi Kinetik, 2

2 c

mvg

.

Energi kinetik merepresentasikan energi yang terjadi akibat adanya

kecepatan dari aliran fluida.

3. Energi Potensial, c

mgzg

.

Energi potensial merupakan energi yang dihasilkan akibat dari posisi,

dengan z adalah ketinggian pipa dari suatu titik tertentu. Pada aliran

horizontal komponen ini tidak ada, sebab 0=z , sedangkan untuk arah

aliran vertikal, komponen energi potensial sangat dominan.

Gambar 3.1: Skema Ilustrasi Persamaan Kesetimbangan Energi di Sepanjang Pipa.[1]

4. Volume Tekanan, pV .

1

1 121

1

2 c

c

Up V

mvg

mgzg

+q (panas yang diberikanke fluida)

out

out

Pq

in

in

Pq

, d l

-W (usaha yang dilakukanpompa terhadap fluida)

pompa

θ

2

2 222

2

2 c

c

Up V

mvg

mgzg

15

Komponen ini merupakan energi dari tekanan yang merepresentasikan

usaha aliran, sebagai properti gabungan dari substansi atau energi

potensial akibat tekanan.

5. Perpindahan Kalor, q .

Komponen ini merepresentasikan energi kalor yang mungkin memasuki

atau meninggalkan sistem. Jika q bernilai positif artinya kalor memasuki

sistem, namun jika q bernilai negatif artinya kalor meninggalkan sistem.

6. Usaha, W .

Jika terdapat usaha yang diberikan pada aliran fluida (pompa), maka W

bernilai negatif, sedangkan jika aliran fluida melakukan suatu usaha

terhadap permukaannya (turbin), maka W bernilai positif.

7. Entalpi, H .

Entalpi didefinisikan sebagai

H U pV= + . (3.2)

Karena nilai dari energi dalam,U , tidak dapat diukur, maka nilai entalpi

dari suatu substansi pun tidak dapat diukur. Namun pada kenyataannya,

biasanya melibatkan perhitungan perubahan entalpi dari satu titik ke titik

lainnya.

8. Entropi, S .

Entropi dari suatu sistem ditentukan oleh keadaan sistem tersebut. Maka

dari itu, perubahan entropi selama suatu proses hanya bergantung pada

keadaan awal dan akhir. Entropi didefinisikan sebagai

2 2

2 1 1 1 pdq dTS S mCT T

− = =∫ ∫ , (3.3)

dimana

dq : perpindahan kalor pada suatu proses reversible,

= pdq mC dT ,

m : lb mass,

pC : spesifik kalor,

T : temperatur.

16

Hubungan antara entropi dan energi dalam yaitu

2 2

1 1

( ) efek lainnyaΔ = + − +∫ ∫ ∫S V

S VU Tds p dV , (3.4)

dimana

2

1∫

S

STds : efek kalor dan

2

1

( )−∫V

Vp dV : efek tekanan.

Sehingga entropi dapat ditulis sebagai

2

1

S

Sq lwTds = +∫ . (3.5)

9. Usaha yang hilang, lw .

Secara umum komponen ini merupakan usaha yang hilang akibat

irreversibilitas dari fluida. Usaha yang hilang tersebut dapat berupa

gesekan dinding, kelicinan, efek gesekan antar fasa, efek viskositas, efek

tekanan permukaan, dll.

3.2 Penurunan Persamaan Kesetimbangan Energi Pada subbab ini akan dibahas tentang penurunan persamaan

kesetimbangan energi (3.1) untuk mendapatkan persamaan perubahan tekanan di

sepanjang pipa alir. Berawal dari (3.1), kemudian semua komponen di ruas kanan

dipindahkan ke ruas kiri, diperoleh

( ) ( )2 2

2 1 2 12 1 2 2 1 1 0

2 2⎛ ⎞ ⎛ ⎞

− + − + − + − + − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠c c c c

mv mv mgz mgzU U p V p V W qg g g g

,

( )2

02

⎛ ⎞ ⎛ ⎞Δ + Δ + Δ + Δ + − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠c c

mv mgzU pV W qg g

. (3.6)

Substitusi (3.4) dengan efek lainnya 0=∫ dan ( )2 2

1 1

+ = Δ∫ ∫V P

V PpdV Vdp pV ke (3.6),

diperoleh

2 2 2 2

1 1 1 1

2

( ) 02

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − + Δ + Δ + + + − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ ∫ ∫ ∫

S V V P

S V V Pc c

mv mgzTds p dV pdV Vdp W qg g

,

17

2 2

1 1

2

02

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+Δ + Δ + + − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ ∫

S P

S Pc c

mv mgzTds Vdp W qg g

. (3.7)

Kemudian substitusi persamaan (3.5) ke (3.7), diperoleh

2

1

2

02

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + Δ + Δ + + − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫

P

Pc c

mv mgzq lw Vdp W qg g

,

2

1

2

02

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ Δ + Δ + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫

P

Pc c

mv mgzVdp W lwg g

, (3.8)

dengan komponen Vdp∫ merupakan penjumlahan dari 1 1pV (usaha untuk

memasukkan fluida), 2 2p V (usaha untuk mengeluarkan fluida), dan pdV∫ .

Persamaan (3.8) merepresentasikan persamaan umum energi yang dapat

digunakan untuk menyelesaikan berbagai permasalahan arah aliran. Persamaan

tersebut dapat ditulis dalam 1 lb-mass yaitu

( )2

02

⎛ ⎞+ Δ + Δ + + =⎜ ⎟

⎝ ⎠∫

c c

v gVdp z W lwg g

, (3.9)

dimana masing-masing komponen memiliki satuan f

m

ft.lblb

.

Selanjutnya (3.9) dapat ditulis dalam bentuk differensial menjadi

144 ( ) 0+ + + + =c

c c

g g vdvVdp dz dW d lwg g g

, (3.10)

dengan 144 satuan merupakan faktor konversi untuk Δp dari lb/sq ft ke lb/sq in .

Diketahui bahwa ρ =mV

dengan 1=m , maka 1ρ =V

. Sehingga (3.10) menjadi

( ) 0ρ+ + + + =

c c

dp g vdvdz dW d lwg g

(3.11)

Dengan mengasumsikan bahwa tidak ada usaha yang dilakukan atau terjadi pada

fluida ( )0W = dan setiap ruas dari persamaan (3.11) dikalikan dzρ , maka

diperoleh

( ) 0ρ ρ ρ+ + + =

c

dp vdv g d lwdz dz g dz

,

18

( ) 0ρ ρ ρ⎛ ⎞= − + + =⎜ ⎟

⎝ ⎠c

dp vdv g d lwdz dz g dz

. (3.12)

Didefinisikan 2( )

2ρ ρ

=c

d lw f vdz g d

, kemudian substitusi ke (3.12) menjadi

2

sin2ρ ρρ θ= + +

c c

dp g f v vdvdz g g d dz

, (3.13)

dengan

sinρ θc

gg

: faktor elevasi elevasi

dpdz

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

,

2

2ρ

c

f vg d

: faktor friksi friksi

dpdz

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

, dan

ρvdvdz

: faktor akselerasi akselerasi

dpdz

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Jadi, secara umum persamaan perubahan tekanan di sepanjang pipa alir

merupakan total dari perubahan tekanan akibat faktor elevasi, friksi, dan

akselerasi yaitu[1]

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠elevasi friksi akselerasi

dp dp dp dpdz dz dz dz

(3.14)

3.3 Korelasi Beggs-Brill: Persamaan Perubahan Tekanan

Aliran Multifasa di Sepanjang Pipa Alir Persamaan perubahan tekanan pada aliran multifasa yang akan digunakan

pada tugas akhir ini adalah korelasi Beggs-Brill, yang merupakan bentuk khusus

dari (3.14) yaitu

sin

2

1

ρθ

ρ

+=

−

tp tp m m

c c

tp m sg

c

g f G vg g ddp

v vdzg p

, (3.15)

dengan

Simbol Keterangan Satuan Dimensi

19

g Gravitasi lokal 2ft/sec -2Lt

cg Konstanta konversi, 32.174=cg 2ft/sec -2Lt ρtp Densitas dua fasa lbm/cu ft -3mL

θ Sudut terhadap sumbu horizontal - -

tpf Faktor friksi dua fasa - -

mG Debit fluks massa total lbm/sec.sq ft -2 -1mL t

mv Kecepatan campuran ft/sec -1Lt

d Diameter pipa ft L

sgv Kecepatan superficial gas insitu ft/sec -1Lt p Tekanan lbf/sq ft -1 -2mL t

Tabel 3.1: Tabel Variabel-variabel pada Persamaan Perubahan Tekanan dengan Korelasi

Beggs-Brill.

Pada (3.15) komponen-komponen dpdz

dari masing-masing faktor elevasi, friksi,

dan akselerasi yaitu

elevasi

dpdz

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= sintp

c

ggρ

θ , (3.16)

friksi

dpdz

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 2tp m m

c

f G vg d

, dan (3.17)

akselerasi

dpdz

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= tp mv dvdz

ρ, (3.18)

dengan

sg

c

vdv dpdz g p dz

= . (3.19)

Sehingga apabila (3.16) sampai dengan (3.19) disubstitusi ke (3.14), akan

diperoleh korelasi Beggs-Brill seperti pada (3.15) yaitu

sin2

tp tp m m sgtp m

c c c

g f G v vdp dpvdz g g d g p dz

ρθ ρ= + + ,

20

1 sin2

sg tp tp m mtp m

c c c

v g f G vdp vdz g p g g d

ρρ θ

⎛ ⎞− = +⎜ ⎟

⎝ ⎠,

sin2

1

tp tp m m

c c

sgtp m

c

g f G vg g ddp

vdzv

g p

ρθ

ρ

+=

⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎝ ⎠

.

Prosedur perhitungan nilai perubahan tekanan di sepanjang pipa alir

dengan menggunakan korelasi Beggs-Brill, (3.15), sebagai berikut:[1]

1. Diberikan nilai tekanan masukan (inlet), p .

2. Melalui analisa PVT, dapat diperoleh , , , , , , , ,μ μ μ σ σs o w o w g o wR B B dan

gZ pada tekanan dan temperatur rata-rata, p dan T .

3. Hitung spesifik graviti dari minyak, γ o ,

141.5131.5 API

γ =o .

4. Hitung densitas liquid dan gas pada tekanan dan temperatur rata-rata,

ρL dan ρg ,

11 1

ρ ρ ρ ρ ρ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠L o w o o w w

WOR f fWOR WOR

,

dengan

350 0.07645.615

γ γρ

+= o s g

oo

RB

,

3505.615

γρ = ww

wB, dan

0.0764 (520)14.7( 460)

γρ =

+g

gg

pT Z

.

5. Hitung debit in situ gas dan liquid, gq dan Lq ,

73.27 10 ( )( 460)−× − += g o s

g

Z q R R Tq

p dan

21

56.49 10 ( )−= × +L o o w wq q B q B .

6. Hitung nilai kecepatan in situ superficial gas, liquid, dan campuran, gv , Lv ,

dan mv ,

= LsL

p

qvA

,

= gsg

p

qv

A, dan

= +m sL sgv v v .

7. Hitung debit flux massa liquid, gas, dan total, LG , gG , dan mG ,

L L sLG vρ= ,

g g sgG vρ= , dan

m L gG G G= + .

8. Hitung the input liquid content (no-slip holdup), λ ,

λ =+

L

L g

qq q

.

9. Hitung bilangan Froude, FRN , viskositas liquid, μL , viskositas campuran,

μm , dan tegangan permukaan liquid, σ L ,

2

= mFR

vNgd

,

μ μ μ= +L o o w wf f ,

( )( )46.72 10 1μ μ λ μ λ−= × + −m L g , dan

σ σ σ= +L o o w wf f .

10. Hitung bilangan Reynolds (no-slip), RensN , dan liquid velocity

number, LVN ,

Re μ= m

nsm

G dN dan

22

0.25

1.938 LLV sL

LN v ρ

σ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= .

11. Tentukan pola aliran melalui analisa parameter 1L , 2L , 3L , dan 4L , dengan

0.3021 316λ=L ,

1.45162 0.1λ−=L ,

2.46843 0.0009252λ−=L , dan

6.7284 0.5λ−=L .

Jika

< 0.01λ dan FR 1N < L atau

0.01λ ≥ dan FR 2N < L ,

maka pola aliran bersifat segregated.

Jika

0.01 < < 0.04λ dan 3 FR 1L < N L≤ atau

0.4λ ≥ dan 3 FR 4L < N L≤ ,

maka pola aliran bersifat intermittent.

Jika

0.01λ ≥ dan 2 FR 3L < N L≤ ,

maka pola aliran bersifat transition.

Jika

< 0.4λ dan FR 1N L≥ atau

0.4λ ≥ dan FR 4N > L ,

maka pola aliran bersifat distributed.

12. Hitung nilai horizontal holdup, ( )LH O ,

( )b

L cFR

aH ONλ= ,

dimana nilai a, b, dan c bergantung pada jenis pola aliran yang diberikan

pada tabel 3.2. (Untuk pola aliran transition, perhitungan nilai a, b, dan c

menggunakan interpolasi antara nilai segregated dan intermittent).

23

Pola Aliran a b c

Segregated 0.98 0.4846 0.0868

Intermittent 0.845 0.5351 0.0173

Distributed 1.065 0.5824 0.0609

Tabel 3.2: Tabel Nilai Konstanta a, b, dan c untuk Masing-Masing Pola Aliran.

13. Hitung nilai inclination correction factor coefficient, C ,

( ) ( )LV FR1 ln N Nλ λ= − e f gC d ,

dimana nilai d, e, f, dan g ditentukan berdasarkan masing-masing kondisi

aliran pada tabel 3.3.

Pola Aliran d e f g

Segregated uphill 0.011 -3.768 3.539 -1.614

Intermittent uphill 2.96 0.305 -0.4473 0.0978

Distributed uphill - - C = 0 C = 0

All Downhill 4.70 -0.3692 0.1244 -0.5056

Tabel 3.3: Tabel Nilai Konstanta d, e, f, dan g untuk Masing-Masing Kondisi Aliran.

14. Hitung nilai liquid holdup inclination correction factor, ψ ,

( ) ( )31 sin 1.8 0.333sin 1.8ψ θ θ⎡ ⎤= + −⎣ ⎦C ,

dengan θ merupakan sudut kemiringan dari pipa alir terhadap sumbu

horizontal.

15. Hitung nilai liquid holdup, ( )θLH , dan densitas dua fasa, tpρ ,

( ) ( )θ ψ=L LH H O dan

( ) ( )( )1ρ ρ ρ= + −tp L L g LH O H O .

16. Hitung nilai rasio faktor friksi,

tp S

ns

fe

f= ,

24

dimana

( )( ) ( )( ) ( )( )( )2 4

ln

0.0523 3.182ln 0.8725 ln 0.01853 ln=

− + − +

yS

y y y

dan

( )( )λθ

=L

yH

.

S terbatas pada interval 1 1.2y< < dan jika nilai y berada pada interval

tersebut, maka perhitungan untuk S menjadi

( )ln 2.2 -1.2=S y .

17. Hitung nilai faktor friksi (no-slip), nsf ,

2

Re

Re

1

2log4.5223log 3.8215

=⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠⎝ ⎠

ns

ns

ns

fNN

.

18. Hitung nilai faktor friksi dua fasa, tpf ,

= tptp ns

ns

ff f

f.

19. Hitung nilai perubahan tekanan di sepanjang pipa alir dengan

menggunakan persamaan (3.15).

Catatan:

Khusus untuk kasus aliran horizontal, langkah 14 – 16 tidak diperhitungkan.

3.4 Persamaan Debit Alir dan Perubahan Tekanan pada Aliran

yang Melalui Choke Hubungan antara tekanan, debit alir, dan ukuran choke untuk aliran kritik

dua fasa (gas dan cairan) yang melalui choke adalah

1 =c

La

bq Rpd

, (3.20)

dimana

25

1p : tekanan awal (upstream), psia,

Lq : debit alir liquid, STB/day,

R : rasio antara gas dan liquid, scf/STB,

d : diameter choke, inch, dan

, ,a b c : konstanta choke.

Nilai dari konstanta , ,a b c diberikan pada tabel 3.4 yaitu

Investigator a b c

Ros 2.00 34.25 10−× 0.50

Gilbert 1.89 33.86 10−× 0.546

Baxendell 1.93 33.12 10−× 0.54

Achong 1.88 31.54 10−× 0.65

Tabel 3.4: Tabel Nilai Konstanta Choke , ,a b c .[2]

Pada saat choke dialiri suatu fluida, maka aliran fluida tersebut bersifat

kritik. Secara empirik, penentuan nilai tekanan keluaran dari sistem (choke) dapat

menggunakan persamaan rasio kritik antara tekanan keluaran (downstream), 2p ,

terhadap tekanan masukan (upstream), 1p , yaitu:

Didefinisikan rasio tekanan kritik

1

2

1

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠−⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠=

kk

cp Nyp D

, (3.21)

dimana

( ) ( )1 1

1

1 11

g

L

X ykNk X

ρρ

− −= +

− dan (3.22)

( ) ( )1 2 1 2

1 1

1 11 2 2

g g

L L

n X Xk n nk X X

Dρ ρ

ρ ρ− −⎡ ⎤

+ + + ⎢ ⎥− ⎣ ⎦= , (3.23)

dengan

1X : fraksi masa gas pada kondisi awal (kualitas),

26

1gρ : densitas gas pada kondisi awal,

2gρ : densitas gas pada kondisi akhir (downstream),

Lρ : densitas liquid pada kondisi awal,

k : rasio dari spesifik kalor untuk gas, /p vC C ,

( )( )

1

1 111 p v

v L

X C CX C X C

n−

+ −= + , (3.24)

dimana

LC : spesifik kalor untuk liquid.

( )

( ) ( )1

0.07640.0764 5.615

g o s

g o s o o o w w w

R f RX

R f R f B f Bγ

γ ρ ρ−

=− + +

, (3.25)

dimana

gγ : spesifik graviti dari gas,

R : GLR, gas liquid rasio, scf/STBL,

of : fraksi dari aliran minyak, ( )/o o wq q q+ ,

wf : fraksi dari aliran air, ( )1 of− ,

sR : rasio larutan gas-minyak pada 1 1, p T , scf/STBO,

oρ : densitas minyak pada 1 1, p T , lbm/ft3,

wρ : densitas air pada 1 1, p T , lbm/ft3,

oB : faktor volume formasi minyak pada 1 1, p T , dan

wB : faktor volume formasi air pada 1 1, p T .

Berdasarkan fungsi utama dari choke yaitu mengontrol debit alir fluida,

maka pada saat fluida memasuki choke, debit alir fluida yang keluar akan

berubah. Debit alir fluida tersebut dapat dihitung dengan menggunakan persamaan

empirik yaitu

27

( )( ) ( )

( )

0.51/2

1121 2

2 1 1

11 10.5251

k kd

L mM L g

X k yX yC dq pC k

ρρ ρ

−⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪⎢ ⎥⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭

−− −= +

−, (3.26)

dimana

( )

1

112 1/

11

1m k

Lg

XXy

ρρρ

−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

−= + dan (3.27)

( ) ( )7 52 8.84 10 6.5 10g o s o o o w w wMC R f R f B f Bγ ρ ρ− −= × − + × + . (3.28)

dengan

d : diameter dalam choke, inch,

1p : tekanan masukan (upstream), psia,

ρL : densitas liquid, lbm/ft3,

1ρg : densitas gas pada 1 1, p T , lbm/ft3, dan

1X : kualitas pada 1 1, p T .