Bab 3

BAB III

METODE FAKTORISASI UNTUK PERSAMAAN POLINOMIAL

Metode faktorisasi adalah suatu metode yang dapat digunakan untuk

menentukan akar-akar dari suatu persamaan polinomial dengan cara mengubah

bentuk persamaan awal menjadi bentuk faktorisasi yang dipecah dalam beberapa

bentuk persamaan yaitu polinomial tingkat dua dan polinomial tingkat satu. Dari

bentuk persamaan yang telah difaktorisasikan tersebut, akar-akar dapat dengan

mudah dicari dengan bantuan rumus fungsi kwadrat yaitu :

Metode faktorisasi P3(x) mempunyai kelebihan sbb:

a. Akar-akar persamaan polinomial tingkat tiga dapat dicari sekaligus atau

secara bersamaan.

b. Dapat mencari akar-akar kompleks (imaginer)

Metode ini tetap memiliki kelemahan yaitu proses iterasinya yang kadang-

kadang lambat. Sering terjadi pada saat melakukan iterasi dihasilkan nilai (a0 = 0).

Pada kondisi seperti ini proses iterasi tidak dapat dilanjutkan, karena akan

menghasilkan (b0 = ~). Jika pada proses iterasi dihasilkan nilai (a0 = 0), maka untuk

menyelesaikan persamaan polinomial yang dihadapi, harus diubah terlebih dahulu.

Misalnya persamaan (x3 + 1 = 0), jika dilakukan iterasi akan dihasilkan (a0 = 0). Oleh

karena itu persamaannya harus diubah terlebih dahulu. Misalnya dengan

mendefinisikan (x = y – 2), maka persamaan akan menjadi (y3 – 6y2 + 12y – 7 = 0).

Kemudian lakukan iterasi.

1. Metode Faktorisasi P3(x)=(1,2).

Metode faktorisasi persamaan polinomial tingkat tiga P3(x)=0 adalah metode

yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan polinomial tingkat tiga atau

dinotasikan P3(x)=0, dengan menguraikan persamaan P3(x)=0 menjadi dua faktor

yaitu sebuah bentuk linier dan satu faktor kwadratik atau P3(x)=(1,2).

Metode Komputasi, Metode Faktorisasi Untuk Persamaan Polinomial

Bentuk Faktorisasinya adalah:

dimana nilai A0 , A1 , A2 adalah koefisien-koefisien persamaan polinomial.

sedangkan b0 , a1 , a0 dicari melalui proses iterasi berikut :

Untuk iterasi pertama ambil nilai awal (b0=0), kemudian dicari nilai a1 lalu

dicari a0 (jangan dibalik, mencari a0 kemudian mencari a1) . Prose iterasi dilakukan

terus dan dituangkan dalam tabel uji, iterasi akan berhenti setelah pada uji ke n dan

ke n+1 didapatkan nilai b0 , a0 dan a1 yang tidak berubah.

UJI b0 a1 a0

1 0 2 … … n

Setelah b0 , a0 dan a1 diperoleh, maka lakukan faktorisasi sbb:

Selanjutnya dengan mudah akar-akar persamaannya dapat diperoleh secara

langsung ataupun dengan bantuan rumus abc.

Contoh. 3.1

Tentukan akar-akar dari ( y = x3 -3x2 – 6x +8 ) dengan metode faktorisasi

P3(x)= (1.2)

Penyelesaian :

Iterasi ke 1 : bo = 0

a1 = A 2 - b 0 = -3 – 0 = -3


23

a0 = A 1 - a1 b 0 = -6 – 0 = -6

Iterasi ke 2 : b 0 = A 0 / a 0 = 8 / -6 = -1.33

a1 = A 2 - b 0 = -3 – (-1.33) = -3 + 1.33 = -1.67

a0 = A 1 - a1 b 0 = -6 – (-1.33 x -1.67) = -6 – 2.22 = -8.22

Iterasi ke 3 : b 0 = A 0 / a 0 = 8 / -8.22 = -0.97

a1 = A 2 - b 0 = -3 - (-0.97) = -3 + 0.97 = -2.03

a0 = A 1 - a1 b 0 = -6 – (-0.97 x -2.03) = -6 – 1.9 = -7.9

Iterasi ke 4 : b 0 = A 0 / a 0 = 8 / -7.9 = -1

a1 = A 2 - b 0 = -3 + 1 = -2

a0 = A 1 - a1 b 0 = -6 – (-2 x -1) = -6 – 2 = -8

Iterasi ke 5 : b 0 = A 0 / a 0 = 8 / -8 = -1

a1 = A 2 - b 0 = -3 + 1 = -2

a0 = A 1 - a1 b 0 = -6 – (-2 x -1) = -6 – 2 = -8

Hasil Uji Iterasi :

UJI b0 a1 a0

1 0 -3 -62 -1.33 -1.67 -8.223 -0.97 -2.03 -7.94 -1 -2 -85 -1 -2 -8

Pada uji ke-4 dan ke-5 terlihat bahwa nilai b 0 ,a1 dan a0 tidak berubah atau sama maka diperoleh harga sbb:

b 0 = -1a1 = -2a0 = -8

Faktorisasinya :P3 (x) = ( x + b 0 ) (x2 + a1 x + a0 ) = ( x -1) (x2 – 2x – 8 ) = ( x – 1 ) ( x – 4 ) ( x + 2 )x 1 = 1x2 = 4 Akar-akarnyax3 =-2

2. Metode Faktorisasi P4(x)=(2,2)

Metode faktorisasi persamaan polinomial tingkat empat P4(x)=0 adalah

metode yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan polinomial tingkat empat

atau dinotasikan P4(x)=0, dengan menguraikan persamaan P4(x)=0 menjadi dua

faktor kwadratik atau P4(x)=(2,2). Bentuk Faktorisasinya adalah:


24

dimana nilai A0 , A1 , A2 , A3 adalah koefisien-koefisien persamaan polinomial.

Sedangkan b0 , b1 , a1 , a0 dicari melalui proses iterasi.

Iterasinya dicari dengan ketentuan berikut :

Untuk iterasi pertama ambil nilai awal (b0=0) dan (b1=0) , kemudian dicari nilai

a1 lalu dicari a0 (jangan dibalik, mencari a0 kemudian mencari a1) . Prose iterasi

dilakukan terus dan dituangkan dalam tabel uji, iterasi akan berhenti setelah pada uji

ke n dan ke n+1 didapatkan nilai b0 , b1 , a0 dan a1 yang tidak berubah.

UJI b0 b1 a1 a0

1 0 0 2 … … n

Setelah b0 , b1 , a1 dan a0 diperoleh, maka lakukan faktorisasi sbb:



Contoh. 3.2

Tentukan akar-akar dari persamaan ( y = x4 – 8x3 + 39x2 – 62x + 50 ) dengan

metode faktorisasi P4(x)= (2.2)

Penyelesaian :


25

Iterasi Pertama : b0= 0 ; a1= – 8 – 0 = –8 ; a0 = 39 – 0 – (–8)(0)=39

Iterasi Kedua, Ketiga dst….. dicari dengan cara yang sama.

Hasil Uji iterasi nya :

UJI b0 b1 a1 a0

1 0 0 -8 392 1.28 -1.33 -6.67 28.853 1.73 -1.85 -6.15 35.94 1.93 -2.83 -5.17 22.445 2.23 -2.25 -5.75 23.836 2.1 -2.1 -5.9 24.57 2 -2 -6 258 2 -2 -6 25

Faktorisasinya :

3. Metode Faktorisasi P5(x)=(1,2,2)

Metode faktorisasi persamaan polinomial tingkat Lima P5(x)=0 adalah

metode yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan polinomial tingkat lima

atau dinotasikan P5(x)=0, dengan menguraikan persamaan P5(x)=0 menjadi tiga

faktor yaitu sebuah bentuk linier dan dua faktor kwadratik atau P5(x)=(1,2,2).

Bentuk faktorisasinya :


26

Iterasinya dicari dengan ketentuan berikut :

Untuk iterasi pertama ambil nilai awal (b0=0) , (b1=0) dan (a0=0) kemudian

dicari nilai c1 lalu dicari c0 (jangan dibalik, mencari c0 kemudian mencari c1) . Prose

iterasi dilakukan terus dan dituangkan dalam tabel uji, iterasi akan berhenti setelah

pada uji ke n dan ke n+1 didapatkan nilai b0 , b1 , a0 , c1 dan c0 yang tidak

berubah.

UJI b0 b1 a0 c1 c0

1 0 0 0 2 … … n

Setelah b0 , b1 , a0 , c1 dan c0 diperoleh, maka lakukan faktorisasi sbb:




27

Contoh. 3.3

Tentukan akar-akar dari persamaan ( y = x5 – x4 –27x3 + x2 +146x –120 )

dengan metode faktorisasi P5(x)= (1,2.2)

Penyelesaian :

Iterasi ke satu : b0= 0 ; b1= 0 ; a0= 0 ; c1 = –1– 0 – 0 = –1 ; c0 = –27

Iterasi kedua, ketiga dst….. dicari dengan cara yang sama.

Hasil Uji iterasi nya :

UJI b0 b1 a0 c1 c0

1 0 0 0 -1 -272 -5.407 0.163 0.822 -1.985 -19.771

3… -6.472 -0.461 0.938 -1.477 -19.392… … …. …. … …… … …. …. … …10 -6.002 -1 1 -1 -19.99811 -6.001 -1 1 -1 -19.999

4. Metode Bairstow

Metode ini adalah metode yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan

polinomial pangkat n dengan menggunakan bantuan faktor kwadrat (x2 – rx- s).


28

Penyelesaian persamaan polinomial pangkat tinggi ini cukup kompleks, Bentuk

persamaan polinomial pangkat n adalah :

Dengan menggunakan faktor kwadrat, persamaan polinomial pangkat n dapat

ditulis menjadi bentuk berikut :

Untuk mencari akar-akar penyelesaian persamaan polinomial pangkat n

digunakan bantuan rumus berikut.

Cara penyelesaian dengan Metode Bairstow.

a. Tentukan akar-akar persamaan polinomial dengan menentukan faktor

kwadrat tingkatan adalah (x2 – rx- s) biasanya nilai r atau s yang

dipilih adalah 1, 0 atau -1.

b. Tentukan koefisien-koefisien b1 , b3 , b4 , … ,bn-1 dengan ketentuan sbb:

c. Selanjutnya tentukan nilai koefisien-koefisien bantu c1 , c2 ,c3 , … ,cn+1

dengan ketentuan berikut :


29

d. Gunakan aturan cramer untuk mencari nilai ∆r dan ∆s.

c. Selajutnya tentukan nilai r dan s yang baru

d. Selajutnya lakukan proses iterasi dengan mengulang langkah diatas

sampai diperoleh nilai ∆r dan ∆s Nol atau mendekati Nol, atau

diperoleh nilai yang tidak berubah antara uji ke n dan ke n+1.

UJI r s r s

12

….n

e. Selajutnya tentukan akar-akar dari persamaan polinomial dengan

bantuan rumus abc.

Contoh. 3.4

Tentukan akar-akar dari persamaan berikut dengan metode Bairstow

( P4(x) = x4 – 1.1x3 +2.3x2 + 0.5x +33 )

Penyelesaian :


30

Tentukan faktor kwadrat, misalnya dipilih x2 +x + 1, maka anggap (r = -1)

dan (s = -1)

Iterasi Pertama, Menentukan koefisien b dan c, sbb :

dan

Selanjutnya dengan aturan Cramer dicari nilai ∆r dan ∆s. Pada aturan cramer

ini diperlukan data-data sbb :

Selanjutnya

Selajutnya tentukan nilai r dan s yang baru

Iterasi Kedua, Menentukan koefisien b dan c, sbb :

dan


31

Selanjutnya dengan aturan Cramer dicari nilai ∆r dan ∆s. Pada aturan cramer

ini diperlukan data-data sbb :

Tentukan nilai ∆r dan ∆s.

Selajutnya tentukan nilai r dan s yang baru

Proses iterasi diatas diulang terus hingga diperoleh nilai ∆r dan ∆s bernilai Nol.

Data Hasil Iterasi:

UJI r s r s

1 0.11 -0.063 -0.89 -1.0632 -0.01 -0.037 -0.9 -1.13 0.000 0.000 -0.9 -1.14 0.000 0.000 -0.9 -1.1

Dari Hasil terakhir data, didapatkan faktorisasi sbb :

Dengan bantuan rumus abc, diperoleh akar-akar persamaan sbb :


32

Soal-soal

1. Carilah akar-akar dari persamaan berikut dengan metode faktorisasi P3(x)



4. Carilah akar-akar dari persamaan nonlinear berikut dengan metode Bairstow.


33

Bab 3

Documents

Transcript of Bab 3