1

BAB 1

HIMPUNAN DAN SISTEM BILANGAN

A. HIMPUNAN

1. Penulisan Himpunan

Himpunan (set) adalah kumpulan atau kelompok daripada

obyek yang dapat dibedakan secara tegas. Obyek-obyek yang

dimiliki oleh suatu himpunan dapat berupa bilangan, nama kota,

nama orang huruf, nama komoditas dan sebagainya. Obyek-

obyek yang terdapat dalam suatu himpunan disebut sebagai

unsur, elemen, atau anggota. Untuk selanjutnya dalam buku ini

akan dipakai istilah anggota untuk menyebut obyek-obyek yang

ada dalam suatu himpunan.

Notasi himpunan biasanya ditulis dengan huruf besar

seperti A, B, C, D, E, dan seterusnya. Sedangkan obyek-obyek

yang menjadi anggota suatu himpunan biasanya ditulis dengan

huruf kecil seperti a, b, c, d, e, dan seterusnya.

Untuk menuliskan suatu himpunan dapat dilakukan dengan

2 (dua) cara yaitu dengan cara daftar (disebut satu persatu ) dan

dengan cara kaidah atau gambaran, yang masing masing ditulis

di antara tanda kurung kurawal.

Contoh 1: Suatu himpunan a terdiri dari 4 anggota bilangan 1, 2,

3, dan 4. Maka kita dapat menulis himpunan yaitu

A={1,2,3,4 }−−¿ bila ditulis satu persatu atau bila

ditulis secara kaidah: A={x∨1≤x≤ 4 }

Suatu himpunan B terdiri dari himpunan bilangan ganjil

positif, maka dapat ditulis B={1, 3,5,…. } bila ditulis satu per

satu. Sedangkan bila ditulis secara kaidah:

B={x∨x bilanganganjil positif }

Untuk himpunan C = {2, 4, 6, 8}, maka dapat ditulis

C={x∨2≤x ≤8 }

2

Untuk menuliskan anggota dalam suatu himpunan dinyatakan

dengan simbol ϵ (epsilon) yang dibaca “suatu anggota ”, sedangkan

simbol ϶ dibaca “bukan anggota”.

Misalnya untuk contoh diatas:

1 ϵ A,dibaca 1 adalah anggota himpunan A

2 ϵ A,dibaca 2 adalah anggota himpunan A

5 ϶ A,dibaca 5 bukan anggota himpunan A

1 ϵ B,dibaca 1 adalah anggota himpunan B

2 ϶ B,dibaca 2 bukan anggota himpunan B

2. Hubungan Antar Himpunan

Jika setiap anggota dari suatu himpunan juga menjadi anggota himpunan

lain, maka dapat dikatakan bahwa hubungan antara himpunan yang

pertama dan yang kedua adalah himpunan yang pertama dan yang kedua

adalah himpunan yang pertama merupakan himpunan bagian (sub set)

dari himpunan yang kedua. Himpunan bagian diberi simbol ʗ, dibaca

“himpunan bagian”

Contoh : lihat contoh diatas

Misalkan :himpunan D={1,3, }

maka D ʗ A dan juga D ʗ B,dibaca D adalah himpunan bagian

dari A dan juga D himpunan bagian dari B.

Tetapi D₵C ,dibaca D bukan himpunan dari C.

Apabila ada himpunan G={3,2,1,4 } , maka dapat dikatakan

bahwa himpunan A=himpunanG ,artinya setiap anggota yang

dimiliki himpunan A juga merupakan anggota himpunan

G .

Tetapi A ≠C ,artinya himpunan A ,tidak sama dengan

himpunan C

Suatu himpunan sama sekali tidak mempunyai satupun anggota

disebut sebagai himpunan kosong atau himpunan nol dan diberi notasi

{ }.Himpunan kosong ini merupakan suatu himpunan bagian dari setiap

himpunan yang lain

3

3. Operasi Himpunan

Gabungan (union) dari dua himpunan A dan C adalah himpunan

yang mengandung anggota-anggota himpunan A dan anggota-anggota

himpunan C.Gaungan himpuna A dan C dinyatakan dengan A U C,yang

berarti A UC={x∨xϵ A dan/atau x ϵ ʗ }

Contoh : Untuk contoh sebelumnya ,maka A UC={1,2,3,4,6,8}

Irisan (interception) dari dua himpunan A dan C adalah himpunan

yang mengandung anggota-anggota yang ada di dalam himpunan A dan

C.Irisan himpunan A dan C ditulis dengan A ∩ C ,yang berarti A ∩ C

¿{x∨x ϵ A dan xϵ ʗ }

Contoh : untuk contoh sebelumnya,maka

A ∩C={}; A∩B={1,3 }

Apabila antara himpunan A dan C tidak memiliki salah satupun anggota

yang dimiliki bersama, maka antara himpunan a dan C disebut disjoin

(mempunyai hubungan yang terputus).

Selisih (difference) dari dua himpunan A dan C adalah himpunan yang

mengandung anggota himpunan A dan bukan anggota pada himpunan

C.selisih himpunan A dan C diberi .Selisih himpunan A dan C diberi notasi

A – C ,yang berarti A –C={x∨xϵ A danx Cɇ } .

Contoh : Untuk contoh sebelumnya ,maka :

A –C={1,3 }; A−B={2,4 }

Komplemen (complement) dari suatu himpunan A adalah himpunan yang

beranggotakan obyek-obyek yang tidak dimiliki oleh himpunan A.

Komplemen A diberi notasi Ȧ.Untuk menjelaskan komplemen ini kita lihat

dulu tentang konsep himpunan universal (himpunan semesta) yaitu

himpunan yang berisi semua anggota yang dimaksud untuk

dibahas.Himpunan universal diberi notasi U.,sebagai contoh, kita memiliki

himpunan universal U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} . Maka denga himpunan A =

{1,2,3,4}, kita dapat menentukan anggota Ȧ (himpunan A),yaitu

himpunan yang berisi seluruh bilangan dalam himpunan Universal yang

4

tidak ada dalam himpunan A,sehingga himpunan A ={5,6,7,,8,9} yang

dapat diartikan Ȧ={x∨x Uϵ dan x Aɇ }={5,6,7,8,9 }.

Himpunan – himpunan yang dibentuk dengan gabungan irisan selisih dan

komplemen akan lebih mudah dijelaskan dengan bantuan diagran venn

(venn diagram) sebagai berikut.

(peryataan adalah bagian yang diarsir).

a. Gabungan (union)

b. Irisan (intersection)

c. Selisih (difference)

d. Komplemen (complement)

5

4. HUKUM – HUKUM OPERASI HIMPUNAN

a. Hukum Komutatif

Hukum komutatif berlaku untuk operasi gabungan dan irisan sehingga

untuk

A U B = B U A ; A ∩ B = B ∩ A

Contoh : a = {1,2,3,4} ; b = {1,3,5,7,9} maka

A U B = B U A = {1,2,3,4,5,7,9}

A ∩ B = B ∩ A = {1,3}

B. Hukum asosiatif

Untuk memperoleh gabungan dari 3 himpunan A,B,C terlebih

dahulu diperoleh gabungan dari 2 himpunan kemudian hasil

gabungan tersebut digabungkan lagi dengan operasi irian . dari

penggabungan tersebut dapat berlaku hukum asosiatif. Berikut ini

akan diberikan contoh sehingga akan memberikan gambaran yang

lebih jelas sebagai berikut .

A U ( B U C ) = (A U B) U C

A ∩ ( B ∩ C ) = ( A ∩ B) ∩ B

6

Disini himpunan urutan himpunan yang dipilih dalam

operasinya tidaklah penting sehingga urutan himpunan A dapat

diganti kedudukan himpunan B atau C

Apabila dilihan dalam diagram venn adalah sebagai berikut.

Contoh 2 : a = {1,2,3,4} ; b = {1,3,5,7,9}

C = {2,4,6,8}

A. A U (B U C) = ( A U B) U C

A U (B U C) = {1,2,3,4} U {1,2,3,4,5,6,7,8,9}

= {1,2,3,4,5,6,7,8,9}

(A U B ) U C = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} U {2,4,6,8}

= {1,2,3,4,5,6,7,8,9}

B. A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C

A ∩ (B ∩ C) = {1,2,3,4} ∩ { } = { }

(A ∩ B) ∩ C = {1,3} ∩ {2,4,6,8} = { }

C. Hukum distributif

Hukum distribusi digunakan apabila kita akan membuat kombinasi

operasi gabungan dan irisan misalnya :

A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ (A U B)

A ∩ (B U C) = (A ∩ B) U (A ∩ C)

Contoh : A {1,2,3,4} : B= {,3,5,7,9} ; C = {2,4,6,8}

a. A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ (A ∩ C)

A U (B ∩ C) = {1,2,3,4,} U { }

= {1,2,3,4}

(A U B) ∩ (A U C) = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} ∩ {1,2,3,4,5,6,8}

= {1,2,3,4}

b. A ∩ ( B U C ) = ( A ∩ B ) U ( A ∩ C )

A ∩ ( B U C ) = { 1,2,3,4 } ∩ { 1,2,3,4,5,6,7,8,9, }

7

= { 1,2,3,4 }

( A ∩ B ) U ( A ∩ C ) = { 1,3 } U { 2,4 }

= { 1,2,3,4 }

5. Hasilkali cartesius

Himpunan yang urutannya tertentu yaitu yang mempunyai nomer

urut 1,2,3,4, . . . dan seterusnya . daftar anggota himpunan urut tidak

ditempatkan di antara tanda kurung karawal tetapi diantara kurung biasa .

dengan demikian maka { a,b,c } ialah himpunan tiga angota yang urutan

angotanya bolehditulis sembarang misalnya di tulis { a,b,c } atau {c,b,a}.

Himpunan tersebut disebut sebagai “ pasangan tidak urut “, sedangkan

{ a,b ,c } adalah merupakan himpunan urutan angota tiga yang

urutannya seperti tertulis. Tidak boleh dirubah dan ini disebut sebagai

“himpunan urut” . apabila himpunan urut tersebut anggitanya dua seperti

{ a,b } maka disebut pasangan urut .

Contoh 3 : untuk menunjukan umur dan tinggi badan setiap mahasiswa

yang mengambil mata kuliah matematika kita dapat

membentuk pasangan urut { u,t } dimana angota pertama

menunjukan umur ( dalam tahun ) dan anggota kedua

menunjukan tinggi dala ( dalam cm ) , maka suatu pasangan

urut ( 20,155 ) menunjukan bahwa mahasiswa yang

bersangkutan memiliki umur 20 tahun dan tinggi badan nya 155

cm . pasanganurut ini tidak daat diubah ( 155,20 ) karena akan

mempunyai arti yang berbeda.

Pasangan urut dapat merupakan anggota – anggota dari suatu

himpunan. Misalkan himpunan A = { 1,2 } dan himpuan B = { 3,4 } , kita

akan membentuk seluruh pasangan urut yang mumkn dengan anggota

pertama diambil dari himpuan A dan elemen kedua diambil dari himpuan

B. Maka hasilnya merupakan himpunan empat pasangan berurutan , yaitu

( 1,2, ( 1,4 ) , ( 2,3 ) , ( 2,4 ). Himpunan – himpunan ini disebut hasil kali

Cartesius dari himpunan A dan B dan ditunjukan oleh A x B yang

dibaca A kali B .

8

B. SISTEM BILANGAN

Bilangan yang kita kenal dan kita gunakan sehari – hari merupakan

sistem bilangan dengan basis 10 ( sepuluh ) angka yang digunakan ada

sepuluh yaitu 0,1,2,3,4,5,6,7,8 dan 9 . Pada penulisan bilangan dimaksud

di atas digunakan harga tempat maksutnya tempat dicacah dari tanda

koma desimalke kiri dan tempat pertama menpunyai harga satuan 100

= 1 tempat kedua 101 = 10 tempat ketiga 102 = 100 dan tempat ke –

n harga satuanya adalah 10n−1 dan seterusnya. Disamping itu tempat

juga dicacah dari tanda koma desimal kekanan, maka tempat pertama

mempunyai harga satuan 10−1=1/10 tempat kedua 10−2 = 1/100

tempat ketiga 10−3 = 1/1000 dan tempat ke-n harga satuanya adalah

10−n dan seterusnya .

Contoh 4 : angka 4.586,35 berarti

= 4 x 103 + 5 x 102 + 8 x 101 + 6 x 100

3 x 10−1 + 5 x 10−2

= 4.000 + 500 +80 + 6 +3/10 +5/100

Selain sistem bilangan dengan basis 10, kita masih dikenal banyak

sistem bilangan dengan basis yang dapat digunakan. Misalnya sistem

bilangan yang digunakan sistem bilangan dengan basis dua (sistem

bilangan biner). Dalam sistem bilangan biner hanya digunakan 2 angka

yaitu angka 0 dan 1 penulisan dalam sistem bilangan biner juga berlaku

harga tempat

Contoh 5 : bilangan 1011010 mempunyi harga:

= 1x 26 + 0x 25 + 1x 24 + 1x 23 + 0x 22 + 1x 21 + 0

20

= 64 + 0 +16 + 8 + 0 + 2 + 0 = 90

Sistem bilangan yang kita kenal sehari- hari sebagaimana

diterangkan dimuka dapat digolongkan seperti terlihat pada gambar

berikut ini :

9

Keterangan :

1. Bilangan bulat : pada mulanya manusia hanya mengenal bilangan

alam atau bilangan bulat positif yaitu 1,2,3,....yang

digunakan untuk mencegah dan menghitung yakni

menambah , mengurangi , mengalikan dan membagi

.sedangkan bilangan nol dan bilangan negatif baru

diciptakan kemudian agar dalam menghitung persamaan

a + x = b dapat dilakukan . bilangan bulat positif,

bilangan nol dan bilangan bulat negatif baru membentuk

himpunan bilangan bulat.

2. Bilangan pecahan : bilangan pecahan diciptakan agar dalam

menghitung x dalam menghitung x dalam dalam

persamaan ax – b = 0 untuk a ≠ 0 dan a serta b

merupakan sembarang bilangan bulat. Misalnya

persamaan 4x – 8 = 0 maka x = 2

3. Bilangan rasional : bilangan rasional adalah hasil bagi antara dua

bilangan yang berupa bilangan pecahan dengan

desimal terbatas atau desimal berulang

10

Contoh 6 : 1/8 = 0,125 ( merupakan bilangan pecahan dengan desimal

terbatas )

2/3 = 0,666 ( merupakan bilangan dengan desimal tidak

terbatas atau angka berulang)

40/7 = 5,714285714...(merupakan bilangan dengan

desimal tidak terbatas enam angka berulang )

4. Bilangan irasional : bilanga n irasional adalah hasil bagi antara dua

bilangan yang berupa pecahan dengan desimal tak

terbatas dan tak berulang

Contoh bilangan irasional adalah π (phi) = 3,1415926536...dan

bilangan c ( bilangan pokok logaritma alam) yaitu e = 2,

718281828459 kedua bilangan tersebut merupaka bilangan pecahan

dengan desimal tak terbatas dan tak berulang.

Bilangan irasional diciptakan agar kita selalu dapat menyelesaikan

selalu dapat menyelesaikan suatu persamaan kuadrat yakni

persamaan a x2 + bx + c = 0 dimana a ≠ 0 untukdiskriman d =

b2 = 4ac ≥ 0.

Persamaan kuadrat tersebut dapat dipenuhkan dengan rumus abc

yaitu x1.2 = −b±√b2−4ac

2a.

Namun apabila diskrimian persamaan diatas d = b2 4ac kurang dari

no ( d = d2 – 4 ac < 0 ) maka agar persamaan dapat diselesaikan ,

kemudian diciptakanbilangan imajiner.

Bilangan imajiner : bilangan imajiner adalah bilangan yang berupa

akar pangat genap dari suatu bilangan negatif . bersifat positif

sekaligus bersifat negatif.

Bilangan imajiner diberi lambang i yang dinamakan sebagai satuan

imajiner.

Contoh bilangan imajiner : √−1 , √−4.

Misalnya persamaan x2 – 8x + 17= 0 akar akar persamaan

11

Adalah : x1.2 = −b±√b2−4ac

2a

x1.2 = −8±√82−4.1.17

2.1

1.2=¿

−8±√64−682

x¿

x1.2 = 4 ±√−1

Bilangan rasional dan irasional membentuk humpunan bilangan rill

serta bilangan imajiner membentuk himpunan bilangan komplek .

Berdasarkan keterangan keterangan sebelumnya maka yang

menbedakan suatu bilangan termasuk bilangan rasional ataukah bilangan

irasional ialah faktor keterbatasan dan keberulang desimalnya .

sedangkan perbedaan antara bilangan bulat dan bilangan pecahan adalah

sudah jelas yakni bilangan pecahan adalah hasil bagi dua antara dua

bilangan bulat yang hasilnya pecahan dengan desimal terbatas atau

desimal berulang. Maka bilangan bulat dan bilanganpecahan membentuk

himpunan bilangan rasional . apabila digunakan pendekatan teori

himpunan maka ada beberapa hubungan antara sistem bilangan tersebut

diatas yaitu.

- Bahwa semua bilangan bulat adalah bilangan rasional tetapi tidak

semua bilangan rasional adalah bilangan bulat karena disamping

bilangan bulat . bilangan rasional juga mengandung bilangan

pecahan

- Bahwa semua bilangan irasional adalah bilangan berdesimal tetapi

tidak semua bilangan berdesimal adalah bilangan irasional karena

bilangan berdesimal terbatas dan bilangan berdesimal berulang

merupakan bilangan rasional.

Didalam bilangan bulat positif masih dikelompokan menjadi

beberapa istilah bilangan , antara lain adalah bilangan asli ,bilangan

cacah, dan bilangan prima . bilangan asli merupakan semua

bilangan bulat positif kecuali nol, maka bilangan A = (1,2,3,4,5......)

12

bilangan cacah C merupakan bilangan bulat positif maka C =

{0,1,2,3,4,5....} . Bilangan prima (P) merupakan bilangan asli (A)

yang besarnya hanya habis dibagi oleh bilangan itu sendiri kecuali

1(satu) maka P = {2,3,5,7,11...}

C. CONTOH SOAL DAN PENYELESAIANYA

1. Apabila A, B, dan D adalah himpunan – himpunan yang

manyatakn bahwa A C B B D ,bagaimana hubungan antara D –

B dan D.. A ?

Jawab : misalkan A = {1,2,3} ; B = {1,2,3,4}M

D = {1,2,3,4,5}

D – B = {5} : D – A = {4,5}

Maka : D – D C D - A

2. Apabila diketahui himpunan universal U = { 1,2,3,4,5,6,7,8,9,0 } A = {

1,3,7,9 } dan

B = { 2,6,8 } serta M = { 0,4,8}, maka carilah :

a. A, B , MB. A n B, A U B , A n M, B n M, B U Mc. A – B, B – A, A – A – M ; B – M; A – ( B – M ) A n B ; A n Md. A U ( B n M ) , ( A U B ) n (A U M ) , ( A n B ) U ( A n M )e. ( A U B ) , ( A n B ) , ( A n B ) , A U B , ( B U M ), B U MJawab

a. A = { 0,2,4,6,8 } B + { 0,1,3,4,5,7,9 }

M = { 1,2,3,5,6,7,9 }

b. A n B = { } = ∅ ; A U B = { 1,2,3,5,6,7,8,9 }

A n M = { } = ∅ ; B n M = { 8 }B U M = { 0,2,4,6,7 }

c. A – B = { 1,3,5,7,9 } – { 2, 6, 8 } = { 1,3,5,7,9 }

B – A = { 2,6,8 } – { 1,3,5,7,9 } = { 2,6,8 }A – M = { 1,3,5,7,9 } – { 0,4,8 } = { 1,3,5,7,9 }

13

B – M = { 2,6,8 } – { 0,4,8 } = { 2,6 } A – ( B – M ) = { 1,3,5,7,9 } A n B = { 0,2,4,6,8 } n { 0,1,3,4,5,7,9 } = { 0,4 }A n M = { 0,2,4,6,8 } n { 1,2,3,5,6,7,9 } = { 2,6 }

d. A U ( B n M ) = { 1,3,5,7,9 } n { 8 } = { }

( A U B ) n ( A U M ) = { 1,2,3,5,6,7,8,9 } n { 0,1,3,4,7,8,9 } = { 1,3,5,7,9 } ( A n B ) U (A n M ) = { } U { }

e. ( A U B ) = { 0,4 }

( A n B ) = { 0,2,4,6,7,8,9 ) n { 0,1,3,4,5,7,9 } = { 0,4 }( A n B ) = { 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 }A n B = { 0,2,4,6,8 } U { 0,1,3,4,5,7,9 }

= {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}

( B U M) = {1,3,5,7,9}

B U M = {0,1,2,3,4,5,7,9} U {1,2,3,5,6,7,9}

= {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}

3. Seandainya U adalah himpunan universal , tentukanlah apakah

pertanyaan berikut ini benar atau salah.

a. B U P = B g. B n B = O

b. C n U = C h. C U C = C

c. A U A = U i. (A – C) U C = A – C

d. B U U = U j. B n (B –D ) =B U D

e. D n O = O k. Apabila A = B , maka B = A

f. A n A = A l. (C – D) = C - D

Jawab :

a. Benar c.benar e.benar g.salah i.salah

k.benar

b.benar d.benar f.salah h.benar j.salah

l.salah

4. Soal untuk latihan

Apabila diketahui himpunan universal U yang beranggotakan

14

{u,v,w,x,y,z} dan R = {w,x,y} S={u,v,w} serta T = { u,v,w,x},

maka tentukanlah :

a. R n T n S e.( S U T) – T

b. ( R – S) n T f. (R – T) – (S – R)

c. ( R – T) U S g. (S – R ) – { (T – R) U ( T – S ) }

d.(R U S) h. ( T – R) U S

5. Dari 200 mahasiswa ,sebanyak 80 orang mengambil mata kuliah

matematika , 90 orang mengambil mata kuliah pengantar ekonomi

dan sebanyak 50 orang tidak mengambil kedua mata kuliah

tersebut. Tentukanlah banyaknya mahasiswa yang mengambil

kedua mata kuliah tersebut !

6. Suatu perusahaan susu “segar ‘’ telah memproduksi susu dalam

beberapa kemasan yaitu kemasan kaleng, kotak dan kemasan

plastik tahun 1990 perusahaan akan memperkirakan jumlah

produksi masing-masing kemasan. Untuk itu dilakukanlah penelitian

pasar dengan mengambil 500 sampelDari sampel tersebut diketahui bahwa sebanyak 200 orang membeli

kemasan kaleng dan sebanyak 150 orang membeli kemasan kotak

dan sebanyak 260 orang membeli kemasan plastik. Sedangkan yang

membeli kemasan kaleng dan kotak sebanyak 40 orang, membeli

kemasan kaleng dan plastik 30 orang, membeli ketiga kemasan 20

orang dan yang hanya membeli kemasan kotak saja 100 orang.

Dari data diatas, hitunglah konsumen yang membeli susu dalam

kemasan kotak dan plastik serta berapa konsumen yang hanya

membeli kemasan plastik saja ?

15

BAB ll

PERMUTASI DAN KOMBINASI

A. PERMUTASIPermutasi (permutation = perubahan urutan) sejumlah obyek adalah

penyusunan obyek tersebut dalam suatu urutan tertentu. Permutasi –

permutasi yang dapat dibuat dari tiga buah buku A, B,C yang

diletakkan secara berjejer di rak buku dapat kita tuliskan sebagai

berikut : ABC, ACB, BCA, BAC ,CAB DAN CBA, yang jumlahnya ada 6 cara dan

dapat dijelaskan sebagai berikut. Misalkan dalam rak buku tersebut diatas terdiri dari 3 ruang yang

masing-masing akan diisi oleh buku A, B, dan C. Ruang pertama dapat

diisi dengan 3 cara yaitu dapat diisi dengan buku A atau B atau C

.setelah ruang pertama terisi dengan salah satu dari ketiga cara

diatas, maka kita hanya dapat mengisi ruang kedua dengan cara 2

cara saja karena hanya tinggal 2 buah buku saja yang dapat

digunakan untuk mengisi ruang kedua. Sesudah 2 ruang secara

berturut-turut diisi dan 2 buah buku saja yang dapat, maka hanya

tinggal satu buah baka saja yang tersisa untuk diisikan pada ruang

ketiga, sehingga hanya ada 1(satu) cara saja yang dapat digunakan

untuk mengisi ruang ketiga. Dari penjelasan tersebut maka cara untuk

mengisi ketiga ruang rak buku diatas adalah:

3 x 2 x 1 = 6 cara atau dalam permutasi dilambangkan dengan 3P3

(permutasi dari 3 benda yang diambil dari 3 benda) adalah : 3P3 = 3 X

2 X1 = 6 Cara.

Apabila pada rak diatas hanya terdapat 2 ruang kosong yang hanya

cukup untuk menampung 2 buah buku,maka ruang pertama dapat diisi

dalam 3cara yang berbeda yaitu dapat diisi dengan buku A atau B

atau C. Setelah ruang pertama terisi dengan salah satu buku,maka

ruang kedua hanya dapat diisi dengan 2 macam cara saja karena buku

yang tersisa tinggal 2 buah buku ,sehingga secara keseluruhan jumlah

cara untuk mengisi 2 ruang rak buku dari 3 buah buku menjadi 3 X 2 =

16

6 cara, yaitu AB, AC, BA, BC, CA dan CB. Atau dilambangkan dengan

3P2 (permutasi dari 2 benda yang diambil dari 3 benda) adalah 3P2 = 3

x 2 = 6 cara1. Kaidah - kaidah Permutasi

a. Kaidah penggandaan (perkalian)Apabila suatu pemilihan dapat dilaksanakan dalam n1 macam

cara dan sesudah dilaksanakan dengan salah satu macam cara

tersebut pemilihan kedua dapat dilaksanakan dengan n2 macam

cara dan pemilihan ke-k dengan nk macam cara maka pemilihan

secara keseluruhan dapat dilaksanakan dengan n1xn2x...x nk

macam cara yang berbeda.Contoh 1 : dalam suatu turnamen sepak bola terdapat 5 group

kesebelasan yang menjadi juara pool . Apabila akan

dicari juara 1, 2 dan juara 3, berapa macam cara

pemilihan yang dapat dilakukan ?jawab : Pemilihan juara pertama akan menghasilkan 5 macam

cara (n1=5), sedangkan pemilihan juara kedua

akan menghasilkan 4 macam cara (n2 = 4)serta

pemilihan juara ketiga akan menghasilkan 4 macam

cara (n2 = 4)serta pemilihan juara ketiga akan

menghasilkan 3 macam cara (n =3). Sehingga jumlah

cara secara keseluruhan adalah sebanyak = 5 x 4 x 3

= 60 macam cara yang berbedaContoh 2 : misalkan kantor polisi saat ini akan membuat plat

nomer kendaraan roda dua yang susunannya

menggunakan 4 bilangan angka dan diikuti dengan 1

huruf abjad (kecuali huruf i dan o). Berapa jumlah plat

nomer kendaraan tersebut dapat dibuat ?Jawab : pemilihan cara pembuatan plat nomer kendaraan

dimaksud dapat diterangkan sebagai berikut sehingga

memberikan gambaran yang jelas dalam persoalan ini

berarti ada 5 kolom (ruang) yang harus diisi, yaitu 4

kolom pertama diisi dengan angka dan kolom ke 5 diisi

dengan salah satu huruf abjad dari A sampai z kecuali i

dan o kolom pertama dapat diisi dengan angka 1 s/d

17

9 (angka nol tidak dapat untuk mengisi kolom

pertama, karena tidak bermakna), sehingga ada 9 cara

untuk mengisi kolom pertama (n1 =9). Kolom kedua

dapat diisi dengan angka 0 s/d 9 (angka nol dapat

digunakan untuk mengisi kolom kedua, ketiga dan

keempat), sehingga ada 10 cara untuk mengisi kolom

kedua kolom ketiga dengan keterangan yang sama

dengan pengisian kolom kedua, sehingga kolom

ketiga dapat diisi dengan 10 cara (n3 =10) kolom

keempat sama dengan cara untuk mengisi kolom

kedua, sehingga kolom keempat dapat diisi dengan 10

cara ( n4 = 10).Kolom kelima dapat diisi dengan huruf A s/d Z (kecuali

I dan O), sehingga ada 24 cara untuk mengisi kolom

kelima (n5 = 24).dari penjelasan tersebut di atas maka

plat nomer kendaraan yang dapat dibuat adalah

sebanyak 9 X 10 X 10 X 10 X 24 = 216 .000 macam

cara atau sebanyak 216.000 buah plat nomer.

Contoh 3 : Apabila kita memiliki 4 buah kartu masing-masing As

(A), king(K), Quenn(Q), dan joker(K). Berapa macam

cara pemilihan yang dapat dilakukan .apabila kita

memilih secara random dan berturut-turut 2 kartu dari

4 buah kartu tersebut diatas ?a. Kartu pertama yang terpilih tidak dikembalikan

sebelum kartu kedua dipilihb. Kartu pertama yang terpilih dikembalikan lagi

sebelum kartu kedua dipilihJawab : Penyelesaian masalah diatas dapat dijelaskan

sebagai berikut :a. kartu pertama yang terpilih tidak dikembalikan

sebelum kartu kedua dipilih.Pemilihan kartu pertama dapat dilakukan dengan 4

macam cara yang berbeda(n1=4), yaitu terpilih A,

K, Q, A atau J. Setelah kartu pertama dipilih, maka

18

kartu kedua dapat dipilih dengan 3macam cara

yang berbeda (n2 =3), sehingga jumlah

keseluruhan adalah = 4 x 3 = 12 macam cara.

Pemilihan yang terjadi adalah : AK ,AQ, AJ, KA,

KQ, KJ, QA,QK,QJ, JA,JK dan JK.b. kartu pertama yang terpilih dikembalikan

sebelum kartu kedua dipilih kartu pertama dapat

dipilih dengan 4 macam cara yang berbeda

(n1=4). Setelah dipilih dan dikembalikan lagi,

maka kartu dapat dipilih dengan 4 macam cara lagi

sehingga jumlah keseluruhannya adalah 4 macam

cara ,yaitu selain hasil pemilihan jadi dengan cara

(a) diatas (12 macam cara) ditambah dengan

pilihan : AA KK QQ dan JJ

B. Kaidah penjumlahan

Apabila suatu pemilihan dari sejumlah obyek dilaksanakan

dalam n1 macam cara dan sesudah di dengan salah satu macam

cara tersebut pemilihan kedua dilaksanakan dengan n2 macam cara

dan pemilihan kedua nk macam cara,maka pemiihan pertama atau

pemilihsn atau pemilihan ke-k dan bukan semuanya secara bersama

dapat dilaksanakan dengan n1+n2+... nk macam cara yang

berbeda .

Contoh 4 : Sebuah restoran ‘’mirasa’’ dapat menghitung

macam makanan dan 5 macam minuman dan kue

pesta ulang tahun. Berapa macam cara makanan dan

minuman yang dapat disajikan?

Jawab : jumlah hidangan makanan dan minuman yang dapat

disajikan sesuai kaidah 5 x 5 = 25 cara hidangan yang

dapat disajikan

19

Apabila hidangan yang di sajikan terseut hanya semacam

makanan atau minuman saja untuk setiap orang, maka jumlah

hidangan atau minuman yang dapat di sajikan adalah sesuai

dengan kaidah penjumlahan yaitu 5 + 5 = 10 macam hidangan

yang berbeda .

Contoh 5 : Sebuah perusahaan yang menghasilkan produk makanan bayi

akan memasarkan

hasil produknya ke suatu daerah melalui promosi . kegiatan

promosi yang dapat

di lakukan adalah melalui personal salling , periklanan dan

promosi penjualan

dalam berapa carakah perusahaan tersebut dapat

melaksanakan kegiatan

promosi dengan menggunakan paling sedikit 2 macam kegiatan

promosi

tersebut ? (dengan menganggap bahwa urutan kegiatan promosi

tsb sangat

penting )

Jawab : Pemilihan 2 macam kegiatan promosi dari 3 macam kegiatan

promosi akan

menghasilkan 3 x 2 = 6 macam cara promosi . sedangkan

pemilihan 3 macam

kegiatan promosi dari 3 macam kegiatan promosi akan

menghasilkan 3 x 2 x 1 =

6 macam cara promosi yang berbeda . oleh karena itu

secara keseluruhan

perusahaan tersebut di atas dapat memilih kegiatan promosi

sebanyak 6 + 6 = 12

macam cara yang berbeda dari 3 macam kegiatan promosi

seandainya paling

sedikit di pilih 2 macam kegiatan promosi .

2. Permutasi dari n obyek yang berbeda tanpa pemulihan obyek yang

telah terpilih

20

a. Permutasi dari seluruh obyek (permutasi dari n obyek

seluruhnya)

Jumlah permutasi dari suatu kelompok yang terdiri dari n

obyek yang berbeda ,secara keseluruhan adalah menjadi n!

(baca :n faktorial ) dan dinyatakan sebagai nPn = n!---> dibaca

:permutasi dari n onyek yang diambil sejumlah n obyek. Untuk lebih

jelasnya dapat diberikan gambaran sebagai berikut apabila kita

mempunyai sejumlah n kolom (ruang) untuk diisi dengan sejumlah

n obyek. Seperti keterangan terdahulu maka ruang pertama dapat

diisi dengan salah satu anggota n obyek di atas, sehingga ruang

pertama dapat diisi dalam n macam cara yang berbeda. Setelah

ruang pertama diisi dengan salah satu dari n macam cara di atas,

maka kolom kedua dapat diisi dengan (n-1) macam cara yang

berbeda. Untuk ruang ketiga dapat diisi dengan (n-2) macam cara

yang berbeda. Demikian seterusnya untuk ruang keempat dan

berikutnya. Dari penjelasan tersebut dan berdasarkan kaidah

penggandaan, maka jumlah cara untuk mengisi n ruang di atas

adalah

n ! =n (n-1) (n2) (n-3) . . . 2.1

=n (n-1) !

Contoh 6 : Jika kita akan memasang 5 tiang bendera yang berbeda

warnanya berjejer di tempat yang telah disediakan, maka

berapa macam cara yang mungkin terjadi dari urutan

pemasangan kelima tiang bendera tersebut di atas ?

Jawab : Permutasi di atas merupakan permutasi dari seluruh obyek

yang ada, sehingga dengan demikian dapat diperoleh

permutasinya yaitu :

5P5 = 5 ! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 =120

Jadi terdapat 120 macam cara yang berbeda untuk

memasang 5 macam tiang bendera di atas .

21

b. Permutasi sebagian dari seluruh obyek (permutasi sebanyak r

dari n obyek )

Jumlah permutasi dari suatu kelopmpok sebanyak n obyek

yang berbeda yang diambil sekaligus sebanyak r adalah sebanyak

permutasi dari seluruh obyek (yaitu = n-r factorial ),dan

dinyatakan

sebagai : nPr = n !

(n−r )→ nPr dibaca permutasi dari r obyek yang

diambil dari n obyek

Contoh 7 : pada suatu lomba cerdas cermat anggota koperasi

terdapat 6 group yang berhasil lulus seleksi. Lomba

tersebut akan memilih 3 juara masing-masing juara I, juara

II dan Juara III.

Berapa cara ata alternatipkah dari keenam group tersebut

yang dapat menjadi juara yang diperebutkan?

Jawab : dari contoh di atas kita akan mengetahui permutasi atas

sebagian obyek yaitu sebanyak 3 group dari seluruh obyek

sebanyak 6 group. Oleh karena itu permutasi untuk

mengetahui susunan juara-juara yang dapat dipilih adalah

sebanyak

nPr = 6P3 = 6 !

(6−3 )!=

6 !3 !

=6 x5 x 4 x 3x 2x 1

3 x2 x1

= 7206

=120 macam cara

Contoh 8 : dalam suatu keluarga terdapat 5 orang anggota yaitu

bapak,ibu dan 3 orang anak. Apabila meja makan keluarga

terseburt hanya memiliki 3 buah kursi yang berbeda untuk

3 orang saja, maka berapa macam cara atau alternatipkah

yang dapat diperoleh apabila keluarga tersebut

menginginkan yang makan sekaligus sebanyak 3 orang

dengan tempat duduk yang berbeda?

Jawab : untuk contoh 8 ini kita akan mencari permutasi yang

terjadi di atas 3 orang dengan menempati tempat duduk

22

yang berbeda dari 5 orang yang ada, sehingga

permutasinya adalah sebanyak :

nPr = 5P3 = 5 !

(5−3 ) !=

5 !3 !

=5x 4 x 3 x2 x1

2 x1

= 1206

=60 macam cara

3. Permutasi dari n obyek yang berbeda dengan pemulihan obyek

yang terpilih

Pada bagian (2) di atas, permutasi yang dilakukan adalah dari

obyek dengan tidak dilakukan adalah dari obyek dengan tidak

dilakukan pemulihan obyek yang telah terpilih. Sedangkan di bagian

ini akan dijelaskan untuk permutasi dari sejumlah obyek yang

dilakukan dengan pemulihan (pengembalian)l lagi obyek yang telah

terpilih .

Jumlah permutasi dari suatu kelompok yang terdiri dari n

obyek dan yang diambil sekaligus sebanyak r obyek dengan

pemulihan obyek yang telah terpilih adalah : nR r = nr , dimana r

<n dan merupakan bilangan bulat positip.

nR r dibaca : permutasi r obyek yang di ambil dari n obyek dengan

pemulihan obyek yang telah terpilih.

Contoh 9 : Berapa macam cara atau alternatipkah urutan mata

dadu apabila sebuah dadu dilempar 3 kali ?

Jawab : untuk menjawab pertanyaan diatas dapat diterangkan

sebagai berikut sehingga memberikan gambaran yang

jelas :

Apabila sebuah dadu dilempar 3 kali ,maka lemparan

yang pertama akan muncul salah satu mata dadu di atas

dapat terjadi 6 macam cara yaitu salah satu dari 6 mata

dadu yang ada. Untuk lemparan yang kedua juga

mempunyai alternatip sebanyak 6 macam cara, demikian

pula untuk lemparan yang ketiga juga menghasilkan

sebanyak 6 cara, sehingga jumlah permutasi dari sebuah

dadu yang dilempar sebanyak 3 kali adalah:

23

nR r = 6R3 = 63 = 6 X 6 X 6= 216 macam cara yang

berbeda .

Contoh 10 : apabila kita ingin membuat tulisan untuk 3 buah papan

reklame dengan menggunakan 4 macam warna yang

menarik yaitu hitam, biru, hijau, dan merah berapakah

permutasi yang terjadi apabila warna yang telah dipilih

untuk menulis salah satu papan dapat dipilih untuk

menulis papan yang lain?

Jawab : untuk memberikan gambaran yang jelas, dapat

dijelaskan sebagai berikut

untuk masing-masing papan dapat di tulis dengan warna

hitam, biru, hijau, atau merah, sehingga papan yang

pertama dapat ditulis dengan 4 macam cara yaitu dengan

warna, hitam, biru, hijau atau merah. Demikian juga

dengan papan kedua dan ketiga masing-masing dapat

ditulis dengan 4 macam cara

maka jumlah permutasinya adalah :

Jawab : Kata manajemen terdiri dari 9 huruf yaitu huruf m = 2

; a = 2 ; n = 2 ; j = 1 dan e = 2 sehingga n1 = 2 , n2 = 2

, n3 = 2 ; n4 = 1 dan n5 = 2 . maka permutasi

kesembilan huruf di atas adalah

¿9 ¿2, 2,2,

2,

(¿ )

= 9!

2 ! .2 ! .2! .1 ! .2! =

362 .88016

= 22.680 macam cara

Contoh 12 : Dalam sebuah kaleng terdapat 7 buah kelereng yang

terdiri dari 3 buah kelereng berwana merah, 2 buah kelereng

bewarna biru dan 2 buah kelereng berwarna kuning . Berapakah

permutasi dari kumpulan kelereng tersebut ?

24

Jawab :

¿7 ¿3 ! 2 !

!

(¿ )

= 7 !

3 ! .2 ! .2! =

5 .04024

= 210 cara.

B . KOMBINASI

Kombinasi dari sejumlah obyek merupakan cara pemilihan

obyek yang bersangkutan tanpa memperhatikan susunan atau

urutan dari obyek – obyek tersebut. Jadi dalam kombinasi yang

di pentingkan adalah unsure dari obyek yang ada. Sehingga

perbedaan antara permutasi dengan kombinasi terletak pada

soal susunan atau urutan memilih dari serangkaian obyek yang

ada. Permutasi menekankan pada susunan atau urutan memilih,

sedangkan kombinasi tidak memperhatikan urutan memilih.

Sehingga apabila kita memiliki 3 buah buku A, B, C seperti

contoh sebelumnya, maka dapat di permutasikan dalam cara

yang berbeda yaitu ABC, ACB, BCA, BAC, CAB dan CBA

. Tetapi susunan 3 buah buku di atas hanya memiliki 1 ( satu)

kombinasi saja yaitu ABC. Dalam kombinasi, urutan ABC tidak di

bedakan dengan urutan ACB , BAC , BCA, CAB , maupun

dengan CBA karena unsur – unsurnya sama yaitu terdiri dari

ABC. Menurut kombinasi, susunan urutan keenam permutasi di

atas di anggap sama oleh karena itu kombinsi dari seluruh obyek

yang ada dalam suatu kelompok ( himpunan ) di nyatakan

sebagai :

n¿Cn

¿ = (nn) = 1

Namun apabila dari seluruh obyek yang ada di kombinasikan

sebagian ( sebanyak 1 ) sekaligus , maka jumlah kombinasi di

nyatakan sebagi berikut :

n¿Cr

¿ = (nr ) =

n1r1 (n−r )1

, di mana 0 < r < n

25

n¿Cr

¿ , di baca kombinasi dari n obyek yang di kombinasikan

sebanyak r obyek .

Contoh13 : Apabila kita ingin mengecet tembok rumah dengan

4 macam pilihan warna yaitu merah , biru , hijau, kuning ,

Berapakah kombinasi warna yang di pilih jika kita akan

menggunakan 2 macam warna untuk mengecet tembok

tersebut ?

Jawab : Kombinasi yang dapat di lakukan adalah :

4¿C2

¿ = (42) =

4 !2 ! ( 4−2 )!

= 4 x3 x 2x 12 x1 x2 x1

= 244

¿6 macam cara ( kombinasi )

Yaitu : merah- biru , merah- hijau , merah- kuning

Biru-hijau , biru-kuning dan hijau-kuning .

Contoh14 : Suatu perusahaan akan mengadakan wawancara

terhadap 4 calon karyawan yang melamar pekerjaan sebagai

kepala bagian produksi di perusahaan tersebut. Keempat calon

tersebut adalah Abu (A) , Badu (B) , Carli (C) dan dodi (D).

Apabila manajer perusahaan memilih 3 calon secara random

untuk di wawancarai secara bersama-sama ,maka dalam

berapa carakah pemilihan terhadap calon karyawan yang akan

di wawancarai dapat di lakukan ?

4¿C3

¿ = (43 ) =

4 131 (4−3 )1

= 4 x3 x 2x 13 x2 x1

= 246

= 4

macam cara

Yaitu : ABC , ABD , ACD , dan BCD .

26

Dari rumus di atas yaitu apabila kita memilih r obyek dari n

obyek ,berarti bahwa obyek yang belum di ambil adalah (n-r )

obyek karena n-r+r= n . sehingga jumlah kombinasi dari n obyek

yang diambil sekaligus sebanyak (n-r) obyek adalah sama seperti

apabila diambil sekaligus sebanyak (n-r) obyek adalah sama seperti

di ambil sekaligus sebanyak r obyek . jadi

( nn−r )=¿

n1r1 (n−r )1

= (nr )

Contoh15: jika n = 5 dan r = 3 , maka

(nr ) = n1

r1 (n−r )1 =

5131 (5−3 )1

= 5 x 4 x 3x 2x 13 x2 x1 x2 x1

= 12012

= 10 macam cara , atau

( nn−r ) =

n1r1 (n−r )1

=51

31 (5−3 )1 = 10 cara ..

Contoh 16: Dalam suatu pemilihan pengurus kelompok belajar

matematika ekonomi terdapat 6 calon pria dan 4 calon

wanita yang dapat di pilih. Apabila dari pengurus yang

paling sedikit beranggotakan 3 orang pria , berapa

carakah anggota pengurus tersebut dapat di pilih ?

Jawab : Untuk menyelesaikan persoalan di atas dapat di jelaskan

sebagai berikut sehingga akan memberikan gambaran

yang jelas :

Karena anggota pengurus yang di pilih paling sedikit

terdiri dari 3 orang pria, maka kemungkinan yang terjadi

anggota pengurus tersebut adalah 3 pria dan 2 wanita 4

pria dan 2 wanita , 4 pria dan 1 wanita atau 5 orang pria

semuanya .

a. Apabila pengurus terdiri dari 3 pria dan 2 wanita

- Pemilihan 3 orang pria dari 6 calon pria adalah :

27

(63) = 6 !

3 ! (6−3 ) ! =

6 !3 ! .3 !

= 72036

= 20

macam cara

- Pemilihan 2 orang wanita dari 4 calon wanita .

(42) = 4 !

2 ! ( 4−2 )!=

4 !2 ! .2!

= 244

= 6

macam cara .

Secara keseluruhan maka pembentukan pengurus

sebanyak 5 orang dengan anggota pria Sebanyak ( dari

6 orang ) dan 2 orang wanita (dari 4 orang ) dapat di

lakukan dalam :

(63) (42) = 20 x 6 = 120 macam cara .

b. Apabila pengurus terdiri dari 4 pria dan 1 wanita

- Pemilihan 4 pria dari 6 calon pria adalah :

(64 ) = 6!

4 ! (6−4 ) ! =

6 !4 ! .2!

= 72048

= 15 macam

cara .

- Pemilihan 1 wanita dari 4 calon wanita adalah :

(41 ) = 4 !

1 ! (4−1 )! =

4 !1 ! .3 !

= 246

= 4 macam

cara

Sehingga secara keseluruhan maka pembentukan

pengurus sebanyak 5 orang yang terdiri dari 4 orang

pria dan 1 orang wanita bisa di lakukan dalam

(64 ) (41 ) = 15 x 4 = 60 macam cara .

c. Apabila pengurus terdiri dari 5 pria semuanya maka pemilihan 5 pria

dari 6 calon pria adalah :

(65) = 6 !

5 ! (6−5 ) ! =

6!5 ! .1!

= 720120

= 6 macam cara dari

perhitungan tersebut diatas maka pemilihan pengurusan kelompok belajar

matematika yang berjumlah 5 orang dengan anggota paling sedikit terdiri

dari 3 orang pria yang dipilih dari 6 calon pria

28

Dan empat calon Wanita sebanyak :

(63) (42) + (64)(41) + (65)=120+160+6

¿186macamcara

Contoh 17 :Dalam suatu keranjang terdapat sekumpuulan kubus yang

berukuran sama,yang terdiri dari 5 buah kubus berwarna biru

dan 5 buah kubus berwarna kuning.Ada berapa carakah untuk

memilih:

a. 5 kubus dari 10 kubus yang ada .

b. 3 kubus berwarna biru .

c. 2 kubus berwarna kuning .

d. 3 kubus berwarna biru dan 2 kubus berwarna kuning.

e. 3 kubus berwarna biru dan 3 kubus berwarna kuning.

Jawab : Penyelesaian soal diatas dapat dijelaskan sebagai

berikut :

a. Untuk memilih 5 kubus dari 10 kubus adalah :

(105 ) =10!

5 ! (10−5 ) !=

10 !5! .5 !

=3.628 .80014.400

¿252macamcara

b. Untuk memilih 3 kubus berwarna biru adalah :

(53) =5!

3 ! (5−3 ) !=

5 !3! .2 !

=12012

=10macamcara

c. Untuk Memilih 2 kubus berwarna kuning adalah :

(52) =5 !

2 ! (5−2 )!=

5 !2 ! .3 !

=12010

=10macamcara

d. Untuk memilih 3 kubus berwarna biru dan 2 kubus

berwarna kuning adalah:

(53)(52)=10 x10=100macamcara

e. Untuk memilih 3 kubus berwarna biru dan 3 kubus

berwarna kuning adalah:

(53)(53)=10+10=20macamcara

29

BAB III

BANJAR DAN DERET

A. BANJAR

Banjar adalah suatu fungsi yang wilayahnya merupakan himpunan

bilangan alam.Secara sederhana banjar didifinisikan sebagai suatu

himpunan bilangan bernomor satu, dua, tiga dan seterusnya. Setiap

bilangan yang merupakan anggota suatu banjar dinamakan

suku.Banjar juga sering disebut sebagai barisan. Suku-suku dalam

suatu banjar dapat disusun sebagai berikut : a1, a2 , a3, . . .

an

an dinamakan suku umum banjar yang diberi lambang an ,

sehingga jika ditulis lengkap, maka banjar adalah :

(an )=a1, a2 , a3, . . . an

Suku-suku didalam banjar ada yang mempuyai batas suku tertentu

yang disebut sebagai banjar berhingga, disamping ada banjar yang

suku-sukunya tidak mempuyai batas akhir atau banyaknya tidak

terbatas yang disebut sebagai banjar tidak berhingga.

Bilangan alam yang terdapat dalam suatu banjar pada umumnya

tersusun secara teratur dengan suatu pola tertentu. Dari pola-pola

yang ada, banjar dapat dibedakan menjadi banjar hitung, banjar

ukur dan banjar harmoni.

Banjar hitung adalah banjar yang selisih antara dua suku yang

berurutan besarnya sama.

Contoh : (an )=a1, a2 , a3 , . . . an

(n )=1,2,3,4,…,n−→ merupakan banjar hitung

(selisih antara dua suku yang berurutan sana yaitu1 )

30

Banjar ukur adalah banjar yang besarnya hasil bagi antara dua suku

yang berurutan sama.

Contoh : 5,10,20,40,80,….. 5.2n−1

Banjar diatas disebut sebagai banjar ukur karena hasil bagi antara

dua suku yang berurutan sama yaitu ¿105

=2010

=4020

=8040

dan

seterusnya…

Banjar harmoni adalah banjar yang suku-sukunya merupakan

kebalikan dari suku banjar hitung.

Contoh : 1n

, 12

, 13

, 14

, 15

, . . . . 16

(banjar inimerupakan kebalikandari banjar hitung ,lihat lagi contohbanjar hitungdiatas )

B. DERET

Deret merupakan jumlah suku suatu banjar. Sesuai dengan

pembedaan banjar, maka deret juga dibedakan menjadi deret

hitung, deret ukur dan deret harmoni. Namun dalam pembahasan

buku ini hanya membahas deret hitung dan deret ukur saja, karena

deret harmoni sampai sekarang belum ditemukan rumusnya dan

masih jarang digunakan dalam penerapan ilmu ekonomi.

Deret hitung merupakan jumlah suku-suku dari banjar hitung,

sedangkan deret ukur merupakan julah suku-suku dari banjar ukur.

Dari contoh banjar dimuka, maka contoh deret berikut bersesuaian

dengan banjar yang dimaksud diatas :

−deret hitung=1+2+3+4+…+n

−deret ukur=5+10+20+40+80+…+5 (2n−1 )

31

Namun dalam pembahasan buku ini, selanjutnya susunan suku-suku

dalam banjar langsung disebut sebagai deret.

Seperti halnya dalam banjar, suatu deret yang berakhir yaitu deret

yang mempunyai batas suku tertentu disebut sebagai deret

berhingga, sedangkan deret yang tidak mempunyai batas akhir atau

banyaknya suku tidak terbatas dinamakan sebagai deret tak

berhingga. Untuk menghitung nilai-nilai deret tersebut berikut ini

akan dijelaskan satu per satu dari deret dimaksud.

1. DERET HITUNG

Misalkan suatu deret :1,2, 3,….n

Suku-sukunya :S1=a s2 s3 sn

Apabila contoh deret diatas dianalisa, ternyata selisih antara dua

suku yang berurutan (disebut b ) besarnya adalah 1 (satu ) . Suku

pertama atau disebut s1 sama dengan a adalah 1, selanjutnya

suku-suku berikut ( s2 , s3, danseterusnya ) dapat dihitung sebagai

berikut :

s1=a=1

s2=a+b=1+1=2

s3=a+2b=1+2.1=3

s4=a+3b=1+3.1=4

sn=a+(n−1)b besarnya suku ke-n dari suatu deret hitung

Sedangkan jumlah nilai suatu deret hitung sampai dengan suku ke-n

(diberi simbolDn ) adalah :

Dn=a+(a+b )+(a+2b )+(a+3b )+.. ... . .+a+ (n−1 )b

Dn=n2

{a+a+ (n−1 )b }

Dn=n2

{2a+(n−1 )b }

Atau Dn=n2

{a+Sn }

Dimana :

32

a=S1=besarnya suku pertama

b=selisih antara dua suku yangberurutan

n=banyaknyasuku sampai sukuke−n

Sn=besarnya atau nilai suku ke−n

Dn= jumlahnilai sampaidengansuku ke−n

Contoh 1 : Suatu deret hitung : 5,10,15,20,25, . .. . .

Berapa besarnya suku ke 10 dan berapa nilai deretnya sampai

suku ke 10 ??

Jawab : a=5 ;b=5 ;n=10

Maka besarnya suku ke 10 ¿S10=a+ (n−1 )b

¿S10=5+(10−1 )5

¿S10=5+45=50

Nilai deret sampai suku ke 10 (D10 ) adalah :

¿D10=n2

{2a+ (n−1 )b }

¿D10=102

{2.5+(10+1 ) 5 }

¿D10=5 (10+45 )=275

Contoh 2 : Apabila suatu deret hitung besarnya suku ke-3

(S3 )=50dansukuke−7 (S7 )=70 . Berapakah besarnya suku ke 2,

suku ke 15 dan jumlah nilai deret tersebut sampai suku ke 11 ??

Jawab :

Sn=a+(n−1 )b

S3=50

S7=70−−−−−→b=70−507−3

=204

=5

S3=a+(3−1 ) 5

50=a+10−−−−→a=40

Maka : Besarnya suku ke 2

(S2 )=40+ (2−1 )5

¿40+5=45

33

Besarnya suku ke 15

S15=40+ (15−1 ) 5

¿40+70=110

Nilai deret sampai suku ke 11 (D11) :

D11=112

{2.40+(11−1 ) }5

D11=5,5 (80+50 )=715

Contoh 3 : Diketahui dari suatu deret hitung bahwa suku pertama adalah

4, suku ke n=200 dan D(n−1 )=4.900 . Hitunglah berapa

besarnya n, b dan S25 !!

Jawab :

Dn=D(n−1)+Sn

Dn=4.900+200

Dn=5.100

Dn=n2

(S1+Sn )

5.100=n2

(4+200 )−−→5.100=102−−→n=50

Sn=a+(n−1 )b

S50=a+49b=200−−→4+49b=200

49b=200−4=196−−→196=49b−−→b=4

Maka :

S25=4+(25−1 ) 4

S25=4+96−−−−−−→S25=100.

Contoh 4 : Apabila dari suatu deret dihitung diketahui bahwa

a=10,S( n−1)=70 ; D ( n−1 )=200dan Dn=285 Bagaimana deret hitung

tersebut ??

Jawab :

Sn=Dn−D(n−1 )

Sn=285−200−−−→Sn=85

b=Sn−S(n−1)

34

b=85−70−−−−→b=15

Sn=a+(n−1 )b

85=10+ (n−1 )15

85=10+15n−15

90=15n−−−−−−→n=6

Maka deret dimaksud adalah : 10,25, 40,55,70,85

Contoh 5 : Ada 5 bilangan yang membentuk deret hitung. Jumlah nilai

kelima bilangan tersebut adaah 60, sedangkan besarnya suku

ke 4 adalah 18. Carilah deret bilangan tersebut !!

Jawab : Deret bilangan tersebut adalah :

Dn=a+(a+b )+(a+2b )+(a+3b )+(a+4b )=60

atau Dn=n2

{2.a+(n−1 )b }

D5=52

(2a+4b )

5a+10b=60

a+2b=12−→a=12−2b

S4=a+(n−1 )b

18=12−2b+(4−1 )b

a=12−2b+3b

18=12+2b−−→b=6

a=12−2b

a=12−2 (6 )−−→a=0

Sehingga deret hitungnya : 0, 6, 12, 18, 24

2. Deret ukur

Sudah dijelaskan dimuka bahwa deret ukur merupakan jumlah dari

suku-suku banjar ukur.

Contoh : 1,2, 4, 8, 16, .. . .. . n

S1=a S2S3S4S5Sn

Apabila contoh diatas diperhatikan, terlihat bahwa besarnya hasil bagi

antara 2 suku yang berurutan (disebut P ) adalah sama yaitu 2 (dua ) :

35

21

42

84

168

. Suku pertama deret tersebut adalah S1 atau sama dengan

a=1. Sedangkan besarnya suku-suku kedua, ketiga, keempat dan

seterusnya dapat dihitung sebagai berikut :

S1=a=1

S1=a . p=1.2=2

S4=a+3b=1+3.1=4

Sn=a+(n−1 )b−−→besarnya suku ke−ndari suatu deret hitung

Sedangkan besarnya jumlah nilai suatu deret ukur sampai dengan suku ke

–n ( di sebut Dn ) adalah :

Dn = a + a.p + a.p2 + a.p3 + . . . . . + a.p(n-1)

pDn = a.p + a.p3 + a.p3 + . . . . . . + a.p (n-1) + a.pn

Dn - pDn = a – a.pn

Dn ( 1 – p ) = a ( 1- pn )

Dn = a(1−Pn)

1−P

Di mana :

a = besarnya suku pertama

p = hasil bagi antara dua suku yang berurutan

n = banyaknya suku

Sn = besarnya suku ke –n

Dn = jumlah nilai deret ukur sampai suku ke –n

Contoh 6 : Apabila di ketahui suatu deret ukur 3, 6, 12, . . . . . . .

S8 . Hitunglah besarnya suku ke 8 dan jumlah nilai

deret ukur tersebut sampai dengan suku ke 8 ?

Jawab : a = 3 , p = Sn

S (n−1) =

63

= 2

Maka : Sn = a.p(n – 1 )

S8 = 3. 28 – 1 ------- S8 = 3 . 27 ------ S8 = 384

Jumlah nilai deret ukur di atas sampai suku ke 8 :

D8 = 3 (1−Pn)

1−p = 3 (1−2❑

8)

1−2

36

D8 = 3 (1−256)

−1 =

−765−1

= 765

Contoh 7 : dari sebuah deret ukur yang suku- sukunya 10,30, 90,

270, . . . . . . . ..

Hitunglah

a) S6 dan D6

b) S10 dan D10

Jawab : A ) a) = 10 , p = Sn

S (n−1) =

3010

= 3

S6 = 10 . 36 – 1 = 10 . 35 = 10 . 243 = 2. 430

D6 = 10 (1−3❑6)

dx =

10 (1−729)

−2

D6 = 10 (1−728 )

−2 = 3.640

B) a ) 10 ; p = 3.640

S10 = 10 . 310 – 1 = 10 . 39 = 196.830

D10 = 1−3❑

10

¿10¿¿

= 10 (1−59.049)

−2 = 295.240.

Contoh 8 : suku ketiga suatu deret ukur adalah 204.800 . carilah :

A ) Besarnya a dan p

B ) Besarnya S5 dan D5

Jawab : a) S3 = 800 ; S7 = 204 . 800

S3 = a . p3 – 1 = 800 ---- ap2 = 800

a = 800/p2

S7 = a . p7 – 1 = 204 . 800 --- ap6 = 204 . 800

a = 204 .800

p6

======= 800p2

= 204.800

p6

800 p6 = 204.800 p2

37

P6/ p2 = 256 p2

P6 – 2 = 256 --- p4 = 256 --- p4 = 44 == p = 4

Ap2 = 800

a.42 = 800 -- a = 80016

== a = 50

b) Sn = a.pn – 1

S5 = 50 . 45 – 1 = 50 . 44 = 12. 800

D5 = a (1−p❑n )1−p

=

51−4❑

¿

¿50¿¿

D5 = 50 (1−1.024)

−3 = 17.050

Contoh 9 : Suatu deret ukur x mempunyai nilai a = 2.048 dan p = 2 ,

sedangkan deret ukur Y mempunyai nilai a = 4 dan p = 16 .

pada suku keberapa kedua deret ukur tersebut mempunyai

nilai yang sama dan bagaimana susunan kedua deret

tersebut ?

Jawab : Deret ukur x --- Sn = a.pn-1 = 2.048 . 2n – 1

Deret ukur Y ---- Sn = a.pn -1 = 4. 16n- 1

Kedua deret x dan Y akan mempunyai nilai suku yang sama

pada saat Sn X = Sn Y

2.048 . 2n -1 = 4. 16n - 1

2.048

4 =

16 n−12n−1

512 = 8n – 1

83 = 8n – 1

3 = n – 1 ----------------------------------------- n = 4

Jadi deret ukur X dan Y akan bernilai sama pada suku ke 4 , yaitu :

Untuk deret ukur X --- S4 = 2.048 . 24 – 1

= 2.048 . 23

= 16. 384

Untuk deret ukur Y --- S4 = 4 . 164 – 1

= 4 . 16 3

38

= 4. 4.096

= 16. 384

Sehingga deret ukur tersebut sampai suku keempat adalah :

Deret ukur X = 2.048 , 4.098 , 8.192 , 16.384

Deret ukur Y = 4, 64 , 1.024 , 16.384

C. PENERAPAN DERET DALAM EKONOMI

Dalam kehidupan sehari-hari , kita sering mengetahui adanya

kasus-kasus yang terjadi di masyarakat berubah sealur dengan teori deret

. misalnya yang menyangkut masalah produksi, usaha, nilai uang dan

sebagainya . perkembangan-perkembangan tersebut akan dapat di

perkirakan nilainya di masa yang akan datang Pada suatu saat tertentu dengan menggunakan teori deret

hitung maupun deret ukur . Penerapan teori deret hitung akan di

berikan contohnya berikut ini sehingga memberikan gambaran yang

jelas

Contoh 10 : apabila anda mempunyai hutang Rp 1.000.000 pada bank

BNI . untuk pelunassanya di sepakati bahwa setiap 3 bulan

sekali “ anda” harus mengangsur sebesar Rp 100.000, di

tambah dengan bunga 3 % dari sisa hutang . berapakah

bunga yang harus di bayarkan sampai hutangnya lunas ?

Jawab : frekuensi ansuran = RP 1.000.000 :Rp 100.000=10x

Ansuran pertama = Rp 100.000+ (3%x Rp1.000.000)

= Rp100.000+Rp30.000

=Rp130.000,-

Ansuran kedua = Rp 100.000+(3%xRp900.000)

= Rp100.000+Rp 27.000

= Rp127.000,-

Angsuran ketiga = Rp100.000+(3%xRp 800.000)

= Rp 100.000+Rp24.000

= Rp 124.000,-

Angsuran keempat = Rp 100.000 + ( 3 % x Rp 700.000 )

= Rp 100.000 + Rp 21.000

39

= Rp 121.000,-

Dan seterusnya , sampai hutangnya lunas . sehingga total bunga yang

dibanyarkan selama 10 tahun

a = Rp 30.000 + Rp 27.000 + Rp 24.000 + . . . + Rp 3.000

Dn = n/2 { 2.a + ( n – 1 ) b }

D10 = 10/2 { 2.30.000 + ( 10 – 1 ) } ( - 3.000 )

D10 = 5 ( 60.000 – 27.000 )

D10 = Rp 165.000,-

Contoh 11 : sebuah perusahaan mainan anak – anak dapat memproduksi

1.200 buah mainan pada tahun pertama dan menaikan

produksinya tiap tahun dengan 800 buah . berapakah produksi

perusahaan tersebut pada akhir tahun ke 10 dan total

produksi selama 10 tahun ?

Jawab : sn = a + ( n – 1 ) b

a = 1.200 buah ; b = 800 buah

s10 = 1.200 + ( 10 – 1 ) 800

s10 = 1.200 + 7.200

s10 = 8.400 buah

dn = n/2 ( a + sn )

d10 = 10/2 (1.200 + 8.400 )

d10 = 5.9600

d10 = 48.000 buah

Jadi produksi tahun ke 10 adalah 8.400 buah , sedang kan

total produksi sampai tahun ke 10 sebesar 48.000 buah

Contoh 12 : Sebuah penerbitan majalah berita pada tahun ke lima

mempruduksi 30.000 eksemplar. Namun produksinya terus

menurun sebagai akibat persaingan yang ketat diantara

penerbit majalh . penuruanan berlangsung secara konstan ,

sehingga pada tahun ke 15 penerbitan majalah “ berita “ hanya

berproduksi 10.000 aksempler.

40

a. Berapakah penurunan produksi majalah tersebur pertahun

b. Apabila keadaan tetap menurun , pada tahun keberapakah

perusahaan tersebut tutup ( tidak beerproduksi )

c. Berapa eksempler majalah yang dapat diterbitkan selama

oprasinya ?

Jawab : menggunakan deret hitung .

a. Produksi tahun ke 5 ( s5 ) = a + 4b = 30.000

Produksi tahun ke 15( s15 ) = a + 14b = 10.000

- 10b = 20.000

B = - 2.000

Maka penurunan produksi per tahun = 2.000 eksemplar.

b. A + 4b = 30.000

A + 4(-2.000) = 30.000 ---> a = 30.000 + 8.000

a = 38.000

sn = a + ( n – 1 ) b

0 = 38.000 + ( n – 1 ) ( -2.000 )

0 = 38.000 + 2.000 – 2.000 n

2.000 n = 40.000 ========== > n = 20

Jadi perusahaan menerbitkan majalah “berita” akan tutup ( tak

berproduksi ) pada tutup ( tak berproduksi ) pada tahun ke 20 atau

setelah berproduksi selama 19 tahun.

c. Jumlah majalah yang bias diterbitkan selama oprasinya ( 19 tahun )

adalah :

dn = n/2 { 2a + (n -1) b }

d19 = 19/2 { 2 38.000 + (19 – 1) – 2.000 }

d19 = 9,5 ( 76.000 – 36.000 )

d19 = 9,5 x 40.000 ==> d19 = 380.000 eksempler

Selain deret hitung , teori deret ukur juga sering diterapkan dalam

ekonomi seperti dalam kasus pinjam meminjan yakni dalam menghitung

besarnya kredit yang harus dilunasi berdasarkan tingkat bunganya , atau

menghitung tingkat bunga dari suatu pinjaman berjangka waktu tertentu .

disampuing kita kenal system pembayaran bunga sebagaimana

41

dicontohkan pada penerapan deret hitung dimuka , dikenal pula istilah

bunga majemuk. Dengan bunga majemuk ini, bunga selain dikenakan

pada pokok pinjaman juga dikenakan pada bunga yang dihasilkan pada

periode yang bersangkutan.

Jadi misalnya seseorang memiliki modal sebesar RpP , dibungakan

sebesar i per tahun, maka setelah satu tahun ia mendapatkan bunga

¿P .i=Rp Pi , dan modalnya menjadi (F1)=p+ pi=P (1+i ) .

Setelah 2 tahun, bunganya ¿ P (1+i ) ( i )

Sedangkan modalnya menjadi (F2)=P (1+i )+P (1+i )

¿P (1+i ) (1+ i )

¿P (1+i ) 2

Setelah 3 tahun, bunganya ¿P (1+i ) 2 (i )

Sedangkan modalnya menjadi (F3)=P (1+ i) 2+P (1+ i) 2 (i)

F3=P (1+i ) 2 (1+i )

F3=P (1+i ) 3

Dengan cara yang sama, maka tahun keempat modalnya akan menjadi

F3=P (1+i ) 4 , dan dalam n tahun, maka seluruh modalnya akan

menjadi Fn=P (1+i )n , dimana :

Fn=nilaiuangdimasa yang akandatang padatahun ke−n

P=nilai uang sekarang

i=tingkat bunga per tahun

n= jumlahtahun yang diperhitungkan

(1+i )=faktorbungamajemuk

Apabila bunga dibayarkan lebih dari satu kali dalam setahun

(misalnyamkali ) , maka tingkat bunga setiap periode adalah im

.

Seandainya bunga yang diperoleh dibungakan lagi selama n tahun

(bungamajemuk ) , maka seluruh uang tersebut diatas selama n tahun

tersebut menjadi

42

Fn=P(1+im )mn , dimana m adalah frekuensi pembayaran bunga dalam

setahun dan (1+im ) merupakan faktor bunga majemuk.

Contoh 13 : Apabila uang saudara sebanyak Rp1.000 .000,−¿ sebesasr

10 per tahun. Berapa uang saudara setelah 5 tahun apabila

bunga dibayarkan setahun sekali dan berapa uang saudara

setelah 5 tahun apabila bunga dibayarkan setiap semester

(6bulan ) .

Jawab : a. Apabila bunga dibayarkan 1kali setahun.

P=Rp1.000.000,−; i=10 ;n=5 tahun;m=1 x

Fn=P (1+i )n

F5=1.000.000 (1+0,1 ) 5

F5=1.000.000 (1,61051 )=¿=¿F5=1.610 .510

Jadi setelah 5 tahun uang saudara menjadi Rp1.610 .510,−¿

b. Apabila bunga dibayarkan 2 kali setahun (m=2 )

m=12 :6=2

Fn=P(1+im )mn

F5=1.000.000 (1+0,12 )5.2

F5=1.000.000 (1,05 ) 10

F5=1.000.000 (1,628895 )

F5=1.628.895

Jadi setelah 5 tahun dengan pembayaran bunga 2 kali

setahun, uang saudara menjadi Rp1.628 .895,−¿

Contoh 14 : Tuan Joni membeli sebuah TV berwarna mark National

seharga Rp800.000 , secara kredit selama 36 bulan. Bunga

yang harus dibayarkan sebesar 12 per tahun. Apabila ada 2

43

alternatif pembayaran bunga yaitu dilakukan setiap 4 bulan

sekali atau 6 bulan sekali. Mana yang lebih menguntungkan

bagi Tuan Joni antara pembayaran setiap 4 bulan sekali atau

setiap 6 bulan sekali?

Jawab : a. Apabilla bunga dibayar 4 bulan sekali.

P=Rp800.000,−¿

n=3tahun (36bulan)

i=12 danm=3kali (12bulan : 4 )

Fn=P(1+im )m .n

F3=800.000(1+0,123 )3.3

F3=800.000 (1,04 ) 9

F3=800.000 (1,423312)

F3=Rp1.138 .649,6,−¿

b. Apabila bunga dibayarkan setiap 6 bulan sekali, maka

m=2 kali (12bulan :6 ) .

F3=800.000(1+0,122 )3.2

F3=800.000 (1,06 )6

F3=800.000 (1,418519 )

F3=Rp1.134 .815,2,−¿

Dari perhitungan tersebut diatas, maka yang lebih baik bagi Tuan Joni

adalah pembayaran bunga setiap 6 bulan sekali, karena akan

menghasilkan pembayaran secara total yang lebih kecil

(Rp1.134 .815,2<Rp1.138.649,6 )

Contoh 15 : Apabila anda menginginkan uang anda menjadi

Rp2.415 .765,−¿ pada 5 tahun yang akan datang. Berapa anda

harus menabung saat ini seandainya tingkat bunga yang

berlaku sebesar 10 setahun.

Jawab :

Fn=P (1+i )n

P=Fn

(1+i )n

44

P=2.415 .7651,61051

=¿=¿ P=Rp1.500 .000,−¿

Jadi saat ini anda harus menabung sebesar Rp1.500 .000,−¿ agar 5 tahun

yang akan datang menjadi Rp2.415 .765,−¿

Deret ukur juga dapat diterapkan untuk menghitung pertumbuhan

penduduk sebagaimana dinyatakan oleh Malthus, bahwa pertumbuhan

penduduk dunia mengikuti pola deret ukur.

Contoh 16 : Misalkan penduduk koya YG tahun 1998 berjumlah

2.000.000 jiwa, dengan tingkat pertumbuhannya 2,5% per

tahun.

a. Berapakah jumlah penduduk kota YG pada tahun 2.000

nanti?

b. Seandainya pada tahun 2.000 nanti jumlah penduduk kota

YG mencapai 3.000.000 jiwa, berapakah tingkat

pertumbuhannya (r ) ?

Jawab : a. Penduduk kota YG tahun 2.000.

P0=2.000 .000, r=2,5 ,n=12 tahun

P12=P0 (1+r )n

P12=2.000 .000 (1+0,025 )12

P12=2.000 .000 (1,344889 )

P12=2.689 .778 Jiwa

Atau dengan menggunakan pendekatan logaritma

(teori tentang logaritmaakandibahas di Bab IV dalambuku ini ) yaitu :

P12=2.000 .000 (1,025 )12

log P12=log 2.000 .000 (1,025 )12

log P12=2.000 .000+log (1,025 )12

log P12=log 2.000 .000+12log1,025

log P12=6,301029+12.0,010724

log P12=6,429717=¿=¿ P12=2.689 .778

45

Jadi penduduk kota YG tahun 2000 nanti adalah sebanyak

2.689.778 jiwa.

b. Tingkat pertumbuhan penduduk apabila tahun 2000 nanti

penduduk kota YG mencapai 3.000.000 jiwa adalah :

1+r ¿n

Pn=P0 ¿

3.000 .000=2.000 .000(1+r )12

(1+r )12=3.000 .0002.000 .000

(1+r )12=1,5−−−−−¿ (1+r )=12√1,5

1+r=1,03437

r=0,03437

r=3,437

Sehingga apabila penduduk kota “YG” pada tahun 2.000

nanti sebanyak 3.000.000 jiwa,maka tingkat pertumbuhan

penduduknya adalah 3,437%

BAB IV

PANGKAT, AKAR DAN LOGARITMA

A. PANGKAT

Suatu bilangan Xn (dibaca x pangkat n),dimana x disebut sebagai

pokok atau basis dan n disebut pangkat atau eksponen .apabila n

merupakan bilangan bulat positif,maka Xn = X . X . X. . .X, yang

46

menghasilkan suatu perkalian dari x sebanyak n kali .bilangan Xn di mana

x adalah bilangan riil dan n sebagai eksponen yang berupa bilangan bulat

positif sering disebut sebagai bilangan berpangkat yang sebenaranya

,sedangkan apabila pangkatnya (n) berupa bilangan bulat tidak positif

,maka bilangan itu disebut sebagai blangan berpangkat tidak

sebenarnya . dari keterangan diatas ,jika n =U dan x = O , maka Xn =XO

=1 .sedangkan apabila n merupakan bilangan bulat negatif dan x ≠ O

,maka x-n = 1

xn

Contoh : 33 = 3 X 3 X 3 = 27

( 1/4 )3 =1/4 x 1/4 x 1/4 x 1/4 = 1/64

( -2)3 = -2 x -2 x -2 = -8

(2)-3 = 1

23=

18

Kaidah-kaidah perpangkatan

1. XO =1

contoh : 5O = 1 ; 80 = 1

2.X1 = X

contoh : 51 =5 ; 81 =8

3. Xm . xn = xm + n

Contoh : 53 . 52 = 53 + 2 = 55 = 3. 125

1/23 . ( 1/2 )2 = ( 1/2 ) 3 + 2 = ( /12 )5 = 1/32

4. ( x . y )m = xm . ym

Contoh : ( 5 . 8 )2 = 52 . 82

( 40 )2 = 25 . 64

1.600 = 1,600

5. ( xm )n = x m.n

Contoh : ( 53 )2 = 53.2

( 125 )2 = 56

15. 625 = 15. 625

47

6. xm

yn= xm-n

Contoh : 55

52 = 55 – 2

3.12525

= 53

125 = 125

7. ( xy ) m = xm

ym

Contoh : ( xy ) 3 = 63

33

23 = 21627

8 = 8

8. 1

xm= x - m

Contoh : 1

23=2−3

18=

18

Perbedaan antara pangkat dengan ekspone dapat dilihat apabila kita

membahas masalah fungsi . fungsi pangkat adalah suatu fungsi

dengan variabel yang berpangkat suatu konstanta . misalnya Y = x2,

(merupakan fungsi pangkat dua) .sedangkan fungsi eksponen adalah

suatu fungsi dengan berpangkat suatu variabel , misalnya Y = 2 x

adalah merupakan fungsi ekponesial.

B. AKAR

Pada bagian berpangkatan terdahulu telah di jelaskan tentang

bentuk pangkat xn di mana dinyatakan untuk x ≠ 0 dan pangkat n

merupakan bilangan bulat positif atau negatif . di samping itu ,

sebenarnya bentuk pangkat xn, nilai n dapat terdiri dari setiap

bilangan rasional (ingat bilangan rasional merupakan hasil bagi

antara dua bilangan bulat atau bilangan pecah dengan dimensi

48

terbatas atau dimensi berulang ). Oleh karena itu kaidah kaidah

perpangkatan untuk pangkat suatu bilangan rasional ( dengan

bilanga pecah ) menghendaki agar bentuk xm/n difinisikan sesuai

dengan kaidah –kaidah perpangkatan yang berlaku seperti telah di

jelaskan di muka . untuk lebih jelasnya , berikut ini akan di berikan

contoh sebagai berikut :

Contoh 1 : x ½ = merupakan akar pangkat dua ( akar kuadrat ) dari x

dan di tulis 2 √x atau cukup di tulis √x saja atau di baca x

pangkat ½

Contoh 2 : x2/3 = merupakan akar pangkat tiga dari bentuk x dan di

tulis 3√ x2 ( di baca : x pangkat 2/3

Dari contoh di atas maka bentuk umum dari bentuk x berpangkat

bilangan rasional ( dalam hal ini berpangkat bilangan pecahan ) adalah

Xm /n = n√ xm dan di baca pangkat m/n sama dengan akar pangkat n

dari x pangkat m .

Kaidah – kaidah Pengakaran

1. Xm/n = n√ xm atau n√ xm = Xm/n

Contoh : 32/3 = 3√3❑2 = 3√9

2. m√x . y = m m√x . m√ y

Contoh : 3√8 .27 = 3√8 . 3√27

3√216 = 2 . 3

6 = 6

3. m√x = X1/m

Contoh 3√25 = 1251/3 = 53. 1/3 = 51 = 5

4. m√n√x = m . n√x

Contoh : 2√3√729 = 2 . 3√729 = 6√729

= 7291/6 = 36 . 1/6 = 3

5.m√❑

xy

= m√x

m√ y

Contoh : 3√❑

1256

= 3√125 = 5

3√6 3√6

49

C. LOGARITMA

Logaritma suatu bilangan merupakan pangkat yang harus dikenakan

pada bilangan pokok (basis) logaritma untuk memperoleh bilangan

tersebut . oleh karena itu logaritma juga merupakan bentuk perpangkatan

. untuk lebih jelasnya kita mulai dari contoh bentuk perpangkatan ab =

c , dimana a disebut basis atau pkok (bilangan pokok), b disebut sebagai

pangkat atau eksponen dan c merupakan hasil perpangkatan .

Misalnya : 25 = 32 ; (-2)6 = 64 ; 42/3 = 8 ; 52 /3 = 3√5 2

Bilangan pokok adalah : 2; (-2) ; 4 dan 5

Pangkatnya adalah 5 ; 6 ; 3/2 dan 2/3

Hasil pangkatanya : 32 ; 64 ; 8 ; 3√5 2

Untuk contoh di atas bilangan pangkatnya mudah di temukan karena

memang sudah jelas tertulis . tetapi apabila di nyatakan 32 sama dengan

2 berpangkat berapa ? , 8 sama dengan 4 berpangkat berapa ?, 8 sama

dengan 4 berpangkat berapa? Maka jawabanya adalah :

32 adalah sama dengan 2 berpangkat 5

8 adalah sama dengan 4 berpangkat 3/2

Di dalam bentuk logaritma kita dapat menulis 2 log 32 = 5 ,yang

artinya logaritma dari 32 dengan bilangan pokok 2 sama dengan 5 . Dan 4

Log 8 = 3/2 dapat logaritma dari 8 dengan bilangan pokok 4 sama dengan

3/2 atau 1.5 .

Dari contoh di atas jelaslah bahwa logaritma adalah pangkat dari

bilangan pokok (misal 2) yang harus di pangkatkan dengan suatu bilangan

tertentu untuk menghasilkan suatu bilangan tertentu (misal 32 ).

Secara umum, logaritma dapat di nyatakan bahwa :a log b = c , berarti ac = b

50

dalam hal a log b = c , maka a harus positif dan tidak sama dengan 1 , serta

b lebih besar dari 0

( b > 0 ). Hal ini di sebabkan karena seperti pada perpangkatan yang

telah di jelaskan terlebih dahulu bahwa kita mungkin akan mendapatkan

keragu-raguan atau ketidak pastian apabila tidak ada batasan , sehingga

ada hasil yang khayal.

Misalnya

Misalnya : 2log 64 = 6 ; 2log 1

1.024 = -10

2 log 2 -100 = -100 ; 2log (-64) = tidak ada

-2log (-64) = tidak ada

-2 log 64 = tidak ada

1. Logaritma Biasa dan Logaritma asli

Bilangan pokok logaritma yaitu a > 0 dan a ≠ 1 berarti tidak harus

terbatas untuk suatu bilangan tertentu . tetapi dalam penggunaan

logaritma yang sebenarnya biasanya yang di gunakan dalam logaritma

adalah bilangan 10 dan bilangan e ( e = 2,718287 ). Apabila di gunakan

10 sebagai bilangan pokok , maka logaritma tersebut di sebut sebagai

logaritma persepuluhan atau atau logaritma brigg yang di tulis dengan 10

log b atau hanya di tulis dengan log b tanpa mencatantumkan bilangan

pokoknya . sebaliknya jika (e = 2, 718287 ) di gunakan sebagai bilangan

pokok , maka logaritma tersebut dinamakan logaritma asli atau sering

disebut sebagai logaritma alam atau logaritma mapier yang di nyatakan

dengan simbol elog b atau dengan 1n b ( logaritma natural dari b ).

2. Kaidah – kaidah Perhitungan logaritma adalah

1. a log ab = b

Contoh : a) 10 log 100.000 = 10 log 105 = 5

b) 2 log 64 = 2 log 26 = 8

2. aa log b = b

Contoh : a ) 10 10 log 1.000 = 10 10 log 10 3 = 103 = 1.000

b) 55 log 625 = 5 5 l0g 54 = 54 = 625

51

3. a log x . y = a log x + a log y

Contoh : a) 10 log 100.000 x 1.000

=10 log 100.000 + 10 log 1.000

= 10 log 105 + 10 log 10 3

= 5 + 3 = 8

b) 2 log 32 . 16 = 2 log 32 + 2 log 24

= 5 + 4 = 9

4. a log xy

= a log x – a log y

Contoh : a ) 10 log 1.000 .00010.000

= 10 log 1.000.000 – 10 log 10 . 000

= 10 log 10 6 - 10 log 10 4

= 6 – 4 = 2

b) 3 log 243

2.187 = 3 log 243 – 3 log 2.187

= 3 log 35 – 3 log 37 = 5 – 7 = 2

5. a log x n = n a log x

Contoh : a ) 5 log 1253 = 3 5 log 125

= 3 5 log 53 = 3 . 3 = 9

b ) 10 log 1.0002 = 2 10 log 1.000

= 2 10 log 103 = 2 . 36

6. a log a = 1

Contoh : a) 10 log 10 = 1 , sebab 101 = 10

b) 5 log 5 = 1 , sebab 51 = 5

7. a log 1 = 0

Contoh : a) 10 log 1 = 0 , sebab 100 = 1

b) 2 log 1 = 0 , sebab 20 = 1

8. a log b = log blog a

atau a log b = 1

b log a

Atau a log b . b log a = 1

Contoh : a) 10 log 100 = log100log10

52

= log102

log101 = 2 : 1 = 2

b) 10 log 1.000 = 3 , karena 103 = 1.000

1.000log 10 = 1 / 3 , karena 1.000 1/3 = 10

Sehingga :

10 log 1.000 = 1

1000 log10

3 = 1

1 /3

3 = 3 , atau :

10 log 1.000 x 1.000 log 10 = 3 . 1/3 = 1

c) 5 log 25 = 2 , karena 52 = 25

25 log 5 = ½ , karena 25 1/2 = √25 = 5

Sehingga :

5 log 25 = 1

25 log5

2 = 1

1 /2

2 = 2 , atau

Kaidah logaritma seperti di atas ( kaidah ) sering di sebut sebagai

kaidah inversi

9 . a log b . b log c . c log a = 1

Contoh : a) 2 log 8 . 8 log 512 . 512 log 2 = 1

2 log 8 = 3 , karena 23 = 8

8 log 512 = 3 , karena 83 = 512

512 log 2 = 1/9 , karena 512 1/9 = 9√512 = 2

Sehingga : 2 log 8 . 8 log 512 . 512 log 2 =

3 . 3 . 1/9 = 1

b) 3 log 9 . 9 log 729 . 729 log 3 = 1

3 log 9 = 2 , karena 32 = 9

9 log 729 = 3 , karena 93 = 729

729 log 3 = 1/6 , karena 729 1/6 = 6 √729=¿ 3

Maka : 3 log 9 . 9 log 729 . 729 log 3 = 1

2 . 3 . 1/6 = 1

53

Kaidah logaritma seperti contoh di atas (kaidah 9 ) sering di sebut

sebagai kaidah rantai.

D. PENERAPAN AKAR , PANGKAT DAN LOGARITMA DALAM

EKONOMI

Dalam suatu kehidupan sehari hari teori logaritmasering di gunakan

bersama sama dengan teori pangkat dan deret ukur . teori logaritma ini

di gunakan untuk menyederhanakan pemecahan suatu kasus yang

memiliki pangkat terlalu besar , misalnya nengenai masalah pertumbuhan

penduduk , perhitungan nilai uang ,perhitungan bunga dan sebagainya .

pemecahan masalah tersebut dapat di selesaikan dengan teori deret atau

teori logaritma.

Contoh 3 : misalnya penduduk Indonesia pada tahun 1988 sejumlah

170.000.000 jiwa dengan tingkat pertumbuhan 3 % per tahun .

setiap penduduk rata rata memerlukan 120 kg beras pertahun .

jumlah produksi beras tahun 1988 sebanyak 25 juta ton dengan

pertambahan sebanyak 1 juta ton beras pertahun. berapa ton

beras yang di produksi tahun 2000 nanti dan berapa ton beras

yang dapat di ekspor?

Jawab : jumlah penduduk tahun 1988 ( n = 0 ) = 170 juta jiwa tingkat

pertumbuhan penduduk (r) = 3% per tahun . jumlah penduduk

tahun 2.000 (n = 12) adalah :

pn = p0 ( 1 + r )n

P12 = 170.000.000 ( 1 + 0,3 )12

P12= 170.000.000 (1 , 42576)

P12= = 242.379 .350 jiwa

Atau di selesaikan dengan logaritma adalah :

P12 = 170.000.000 ( 1,030)12

Log p12 = log 170.000.000 ( 1,03)12

Log p12 = log 170.000.000 + log (1.03)12

Log p12 = log 170.000.000 + 12 log (1 ,03)

Log p12 = 8, 230448921 + 0, 154046696

54

Log p12 = 8, 3844495617

P12 = 242.378.350 jiwa ( di cari dengan antilog dari 8, 384495619

= 242.379.350)

Produksi beras tahun 1988, (a) = 25 juta ton ,

Tingkat pertumbuhan pertahun (b) = 1.000.000 ton

Produksi beras tahun 2.000 ( n = 12) adalah :

Sn = a + (n-1) b

S12 = 25.000.000 + ( 12 -1 ) 1.000.000

S12 = 25.000.000 + 11.000.000

S12 = 36.000.000 ton beras

Jadi produksi beras tahun 2.000 nanti adalah sebesar

36.000.000 ton beras . sedangkan kebutuhan beras tahun

2.000 adalah :

Kebutuhan total pertahun :

= 242.379. 350 x 120 kg = 29.085.522.000 kg

= 29 .085 . 522 ton beras

Sehingga beras yang dapat di ekspor adalah

sejumlah = 36.000.000 ton – 29.085.522 ton

=6.914.478 ton

Contoh 4 : apabila anda memiliki modal sebesar Rp . 10 Juta , di bungakan

majemuk dengan suku bunga 3 % pertahun . berapakah modal

anda setelah 40 tahun seandainya :

a . bunga di bayar / di tambahkan setiap tahun

b . bunga di bayar / di tambahkan tiap 4 bulan

jawab : p = Rp .10.000.000 , - I = 3% , n = 40

a . bunga di bayarkan setiap tahun

Fn =10.000.000 (1 + 0, 03)n

F40 = 10.000.000 (1 + 0,03)n

F40 = 10.000.000 ( 3, 2620378 )

F40 = Rp . 32.620.378

Atau di selesaikan dengan logaritma adalah :

F40 = 10.000.000 ( 1.03)40

55

Log F40 = log 10.000.000 (1,03)40

Log F40 = log 10.000.000 + log (1,03)40

Log F40 = log 10.000.000 + 40 log (1,03)

Log F40 = 7 + 40 (0,012837224 )

Log F 40 = 7 + 0, 513488988

Log F40 = 7, 513488988

F 40 = 32.620.378.

Sehingga setelah 40 tahun uang anda akan

Menjadi Rp. 32.620.378 ,-

b . bunga di bayarkan setiap 4 bulan sekali (n = 3)

Fn = p ( 1 = i /m)nm

F40 = 10.000.000 ( 1 + 0,03 /3 ) 40.3

F40 = 10.000.000 (1,01) 40.3

F 40 = 10.000.000 (1,01)120

Log F40 = log 10.000.000 (1.01)120

Log F40 = log 10.000.000 + log (1,01)120

Log F 40 = log 10.000.000 + 120 log (1,01)

Log F40 = 7 + 120 ( 0, 00432137 )

Log F 40 = 7, 54856485

F40 = 33.003.868,94

Sehingga setelah 40 tahun dengan bunga 3% pertahun di

bayarkan

Setiap 4 bulan sekali , uang anda menjadi Rp . 33.003.868,94

DISTRIBUSI PENGHASILAN PARETO

Untuk mendistribusikan penghasilan sekelompok orang maka

seorang ekonom vilfredo pareto mengemukakan teri tentang distribusi

penghasilan fareto . hukum distribusi tersebut mengatakan bahwa

sejumlah orang (N) dari sejumlah penduduk tertentu (a) yang

penghasilanya lebih besar dari jumlah tertentu (x) adalah : N = a

xb ,

dimana b

56

Merupakan parameter penduduk yang besarnya ( biasanya 3/2 = 1,5)

serta hanya dapat di terapkan dengan range 0<N ≤ a dan 0 < x <

penghasilan maksimum penduduk .)

Contoh 5 : distribusi penghasilan pareto dari sekelomok penduduk

dinyatakan : N = 216 x 108

x3/2

a. Berapakah jumlah penduduk yang berpenghasilan di atas Rp.

10.000

b. Berapakah jumlah penduduk yang berpenghasilan antara Rp

3.600 dan Rp 10.000,-

c. Berapakah penghasilan terendah dari 100 orang dari

kelompok penduduk terkaya?

Jawab : a . penduduk yang berpenghasilan di ata Rp 10.000 adalah :

N = a

xb ; 216 x 108 ; x = 10.000

Dan b = 3/2 = 1,5

N = 216 x 108

(10.000)3/2 = N =

216 x 108

(10)3/2

N = 216 X108

106 = 21.600 orang ( penduduk)

Atau di selesaikan dengan teori logaritma

Log N =

104

log (¿)3/2log216 x 108

¿

Log N = log 216 x 108 – log 106

Log N = log 216 + log 10 8 –log 106

Log N = log 216 + log 108 + log 10 6

Log N = 2,33445 + 8 – 6

Log N = 4 , 33445

N = 21.600 orang ( penduduk )

Jadi penduduk yang berpenghasilan di atas Rp. 10.000

sebanyak 21.600 orang .

57

b. jumlah penduduk yng berpenghasilan anatara Rp . 3.600 ,-

dan Rp . 10.000 ,- adalah .

- jumlah penduduk yang berpenghasilan di atas Rp . 3600 ,-

adalah :

a = 216 x 103 ; x 3.600 ; b 3/2 ( 1,5)

N = 216 x108

(3.600 )3 /2 = 216 x 108

216.000

N = 216 x 108

216 x 103 = 105

-jumlah penduduk yang berpenghasilan di atas Rp.

10.000 adalah :

N = 216 x108

(10.000 )3 /2 = 21.600 = 216 x 102

Sehingga jumlah penduduk yang berpenghasilan anatara Rp.

3.600,- dan Rp.10. adalah = jumlah penduduk yang

berpenghasilan di atas Rp. 3.600 di kurangi dengan

Jumlah penduduk yang berpenghasilan di atas Rp. 10.000,-

= 105 - (216 x 102) = ( 103 – 216 ) 102

= (1.000 – 216 ) 102 = 784 x 102

= 78.400 orang

c . Penghasilan terendah dari 100 orang dari

Kelompok penduduk terkaya adalah :

N =100 ; a 216 x 108 ; b = 3 /2 ( 1,5)

100 = 216 x 108

x3/ 2

X3/2 = 216 x 108

102

X =(216 x 106 ) 2/3

X = ( 63 x 10 8 ) 2/3 = 62 x 104

X = 36 x 104 = 360.000

Atau dapat di hitung dengan dengan kaidah logaritma :

100 = 216 x 108

x3/ 2

58

X2/3 = 216 x 108

102 = 216 x 106

X = ( 216 x 106) 2/3

Log x = log ( 216 x 106) 2/3

Log x = 2/3 log ( 216 x 106)

Log x = 2/3 log ( 216 x 6 log 10 )

Log x = 2/3 (2,33445 + 6 )

Log x = 2/3 (8,33445) = 5 , 5563

X = 359.997,9 = 360.000 (di bulatkan )

Dari perhitungan tersebut di muka , maka besarnya

penghasilan terendah dari 100 orang dari kelompok

penduduk terkaya adalah sebesar Rp. 360.000,-

Contoh 6 : distribusi penghasilan pareto dari sekelompok penduduk di

formulasikan dengan hukum pareto yaitu N = 64 x1012

x2 , maka

hitunglah :

a. Berapa orang yang berpenghasilan di bawah Rp. 16.000,-

b. Berapa orang yang berpenghasilan antara Rp. 400.000 sampai

dengan Rp. 1.000.000

c. Berapa penghasilan terendah dari 400 orang yang

berpenghasilan tertinggi ?

Jawab : a . jumlah orang yang berpenghasilan di bawah Rp. 16.000,-

a=64 x1012 ; x=16.000 ;b=2

N=64 x1012

(16.000)2=

64 x 1012

256 x 106

N=0,25 x 106

Sehingga orang yang berpengasilan di atas Rp .16 .000,−¿

sebanyak 0,25 x106 .Oleh karena itu penduduk yang berpengasilan

di bawah Rp.16.000 adalah :

¿(64 x1012) – (0,25 x106

)

¿(64 x106−0,25)106

59

¿63,99999976 x1012

b. Jumlah orang yang berpengasilan antara Rp .400 .000 sampai

dengan Rp .1 .000 .000

- Jumlah orang yang berpegasilan diatas Rp .400 .000,−¿

4¿

¿2x 10¿¿¿

N=64 x 1012

(400.000)2=

64 x 1012

¿

N=64 x1012

42 x1010 =64 x1012

16

N=4 x102=400orang

- Jumlah orang yang berpegasilan diatas Rp .400 .000,−¿

1.000 .000 ¿2

¿

N=64 x1012

x2 =64 x1012

¿

N=64 x1012

(106 )2 =

64 x1012

1012

N=64 orang

Dari perhitungan tersebut diatas, maka penduduk yang berpenghasilan

antara Rp. 400.000 sampai dengan Rp. 1.000.000,- adalah sebanyak 400

orang – 64 orang ¿336 orang.

Penghasilan terendah dari 400 orang yang berpenghasilan tertinggi

adalah

N=64 x1012

x2

400=64 x1012

x2

x2=

64 x1012

400=

64 x 1012

4 x102

x2=16 x1010

60

x=(16 x1010) 12

x=(42 x1010 ) 12

x=4 x105=400.000

Jadi penghasilan terendah dari kelompok 400 orang yang berpenghasilan

tertinggi adalah sebesar Rp. 400.000,-

61

BAB V

FUNGSI

Pemecahan persoalan ekonomi yang dijumpai sehari-hari sering

sekali harus digunakan matematika ekonomi yang berintikan pada

masalah fungsi, baik yang dipecahkan dengan fungsi aljabar maupun

dengan fungsi non aljabar.

Namun sebelum dijelaskan lebih jauh tentang fungsi aljabar dan non

aljabar, baiklah terlebih dahulu dijelaskan mengenai fungsi itu sendiri.

A. PENGERTIAN FUNGSI, PEUBAH, KONSTANTA DAN KOEFISIEN

Yang dimaksudkan dengan fungsi adalah hubungan antara satu

peubah (variable ) dengan peubah lain yang masing-masing peubah

tersebut saling pengaruh mempengaruhi. Hubungan antara peubah

dalam suatu fungsi merupakan himpunan pasangan urut dengan

anggota kedua disebut range ( jangkauan ) . Apabila suatu hubungan

yang menyatakan bahwa setiap anggota (unsur ) domain

berhubungan dengan satu dan hanya satu anggota range, maka

hubungan tersebut disebut fungsi.

Suatu fungsi biasanya terdiri dari peubah, konstanta dan koefisien.

Peubah (variable ) merupakan suatu besaran jumlah yang didalam

suatu permasalahan nilainya dapat berubah-ubah. Peubah ini

merupakan unsure pembentuk suatu fungsi yang melambangkan

faktor tertentu. Peubah dapat dibedakan menjadi peubah bebas

(independent variable ) . Peubah bebas adalah peubah yang nilainya tidak

tergantung pada peubah lain dan nilai peubah ini akan menentukan

nilai fungsi. Dalam pasangan urut, peubah bebas merupakan anggota

yang pertama atau yang berperan sebagai domain. Sedangkan peubah

gayut atau peubah tergantung merupakan peubah yang nilainya

tergantung pada peubah lain. Nilai peubah gayut ini sama dengan nilai

fungsi setelah nilai peubah bebas diketahui. Dalam pasangan urut,

62

peubah gayut merupakan anggota yang kedua dan dalam fungsi

berperan sebagai range.

Dalam suatu himpunan pasangan urut {x , y } , maka x dan y

dinamakan peubah, dimana nlai x merupakan peubah bebas yang

berperan sebagai domain, sedangkan nilai y merupakanpeubah gayut

yang berperan sebagai range.

Untuk memberikan gambaran yang jelas, berikut ini diberikan contoh

mengenai fungsi, sebagai berikut :

Contoh : Y=a+b X −→ (sebagai persamaanlinier atau garislurus )

Y=a+b X adalah sebuah fungsi yang menyatakan bahwa Y

merupakan fungsi dari X, artinya bahwa besar kecilnya nilai X akan

mempengaruhi besar kecilnya nilai Y. Huruf X dan Y masing-masing

dinamakan sebagai peubah. Huruf X dinamakan peubah bebas

(independent variable )

dan huruf Y dinamakan peubah gayut atau peubah tergantung

(dependent variable ) karena nilainya tergantung pada besar kecilnya

nilai X. Sedangkan huruf a disebut sebagai konstanta dan huruf b

dinamakan koefisien. Konstanta merupakan bilangan atau angka yang

turut membentuk suatu fungsi dan tidak terkait pada suatu peubah,

sedangkan koefisien merupakan bilangan atau yang turut membentuk

sebuah fungsi dan terkait pada suatu peubah dalanm fungsi yang

bersangkutan.

Apabila antara nilai X diketahui dan kemudian disubstitusikan dalam

rumusan fungsi maka hasilnya dikatakan sebagai nilai fungsi dari X

tersebut (sebagai nilaiY )

Contoh 1 : Suatu persamaan garis lurus Y=10+2 X , apabila nilai X

diketahui (misalnya=5 ) kemudian disubstitusikan kefungsi tersebut,

maka nilai fungsi tersebut (Y ) dapat dicari yaitu :

63

Y=10+2 (5 )=20 −→ yang artinya nilai fungsinya adalah ¿20 .

B. PENYAJIAN FUNGSI DENGAN KURVA (GRAFIK )

Dalam penyajian fungsi dengan grafik, digunakan analisa system

koordinat yang berguna untuk menempatkan titik-titik dalam suatu

bidang atau ruang. Sistem koordinat yang akan digunakan disini

adalah sistem koordinat bujur sangkar.

Dalam system koordinat bujur sangkar ini digunakan dua macam garis

lurus yang berpotongan tegak lurus antara satu dengan lainnya yang

akan digunakan untuk menempatkan titik-titik dalam suatu bidang

yang dibentul oleh dua garis tersebut. Jarak antara titik-titik dengan

kedua garis diatas disebut koordinat, sedangkan garis darimana titik

tersebut diukur disebut sumbu koordinat.

Sumbu koordinat yang tegak (vertikal ) disebut sumbu Y, sedangkan

yang horisontal (datar ) disebut sumbu X. Titik potong antara kedua

sumbu tersebut disebut sebagai titik pusat (origin ) .

Kedua sumbu yang berpotongan tegak lurus tersebut membagi suatu

bidang datar menjadi empat bagian yang disebut sebagai kuadran.

Masing-masing kuadran diberi nomer secara berurutan menurut arah

yang berlawanan dengan arah jarum jam, mulai dari bidang kanan atas

disebut kuadran pertama, kemudian berturut-turut kuadran kedua,

ketiga dan keempat, seperti terlihat pada gambar berikut :

Y

(−3,3 )(1,3 )−,+¿

¿+,+¿

¿¿ kuadran II ¿¿ ¿

64

X

−,−¿¿

+ ,−¿¿

¿ (−2,−2 )¿

kuadran III ¿

Titik yang terletak pada bidang yang dibentuk oleh sumbu koordinat X

dan Y merupakan pasangan urut ( x , y ) , yaitu anggota pertama disebut

koordinat X atau absis dan anggota kedua disebut koordinat Y atau

ordinat. Koordinat X atau absis dari suatau titik menyatakan korrdinat

yang menyatakan.

Arah dan jarak antara titik tersebut kekana atau kekiri dengan sumbu y

.sedangkan koordinat y atau ordinat suatu titik y . sedangkan koordinat

yang menyatakan arah dan jarak titik tersebut ke atas atau ke bawah

sumbu x.

Setelah kita mengetahui letak-letak titikpada suatu bidang dalam

system sumbu koordinat , maka sekarang kita dapat mengambarkan

suatu fungsi dalam bentuk grafik . grafik di sini merupakan tempat

kedudukan suatu garis yang melewati semua titik-titik yang koordinatnya

memenuhi persamaan fungsi yang dimaksud

Agar lebih mudah memahami keterangan di atas , berikut ini

contonya sehingga akan memberikan gambaran yang jelas .

Contoh 2: suatu persamaan y = 2x + 10

Gambarlah kurvanya

Jawab : persamaan y + 2x +10

Titik potong dengan sumbu y apabila x =0

Maka y =2 .0 + 10

Y = 10 ------ titik potong (0, 10)

Titik potong sumbu y apabila y=0

Maka 0 = 2x + 10

Y = - 5 ------ titik potong (-5, 0)

65

Dari titk potong –titik potong dengan sumbu –sumbunya ,maka garisnya

dapat digambarkan sebagai berikut:

Contoh 3 : Persamaan y = x2 – 2x – 8. Gambarkan grafiknya

Jawab:

X -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6Y 7 0 -5 -8 -9 -8 -5 0 7 16

C. FUNGSI LINEAR

66

Fungsi linier merupakan fungsi yang pangkat tertinggi dari peubah

(variable) bebasnya adalah satu. Oleh karena itu fungsi liner juga sering

disebut sebagai fungsi berderajat satu. Bentuk umum fungsi linier adalah

y = ax + b , di mana a disebut sebagai koefisien arah atau lereng atau

slopa garis y besarnya a ≠ 0. Sedangkan b sebagai konstanta yang

merupakan penggal garis y pada sumbu y (sumbu vertical )

Pengambaran fungsi linier dalam bentuk kurva dapat dibuat degan

menghitung koordinat titik yang memenuhi persamaan fungsi linier

dimaksud ,kemudian digambarkan ke bidang sumbu silang yaitu absis

sebagai sumbu peubah bebas (x) yang digambar secara horizontal dan

ordinat sebagai sumbu peubah terikat (y) yang di gambar secara vertical

(tagak) .apabila fungsi linier digambar ,maka bentuk kurvanya adalah

berupa garis lurus

1. Kemiringan suatu garis

Kemiringan suatu garis atau disebut sebagai gradien dapat dicari

dengan menghitung nilai tangen sudut antara garis yang dibentuk

oleh persamaan disebut dengan sumbu x. kemiringan tersebut

besarnya merupakan sudut α (alfa) yan diukur dari sumbu x

bergerak belawanan arah dengan arah jarum jam ke garis yang

dimaksud .sehingga besarnya sudut α (sudut kemiringan ) adalah

00 sampai dengan 1800 Kemiringan suatu garis (gradien)

biasanya dinyataka dengan symbol m.

Apabila diketahui dua buah titik (x1, y1 ) dan (x2, y2 )yang terletak

pada satu garis lurus, maka kemiringan garis tersebut adalah :

M = tg α = --y 2x2

--y 1x1

= ∆∆

---yx

Dibaca : kemiringan suatu garis (gradien =m) adalah sama dengan

besarnya tangen sudut alfa -(α)

Atau sama dengan delta y (∆ y ) dibagi dengan delta x ( ∆ x).

Kemiringan kurva fungsi linier akan tergantung pada nilai a

(koefisien arah). Apabila koefisien arah a bernilai positip, maka garis

67

dari persamaan linier tersebut akan bergerak dari kirik ke kanan

atas. Sebaliknya apabila koefisien arah a bernilai negatip, maka

garis pesamaan linier tersebut akan begerak dari kiri ke kanan

bawah sedangka apabila koefisien arah a = 0 ,maka garis pesamaan

linier tersebut akan bergwrak dari besarnya konstanta b (sebagai

titik potong sumbu y) sejajar dengan sumbu x kekiri maupun

kekanan

Apabila nilai b sebagai titik potong sumbu y adalah positip , maka

kurva persamaan linier akan memotong sumbu y yang bernilai

positip . sebaliknya apabila nilai b negatip ,maka kurva pesamaan

linier tersebut akan memotong sumbu yyang benilai negatip

.sedangkan apabila nilai b =0 , maka kurva pesamaan linier

dimaksud tidak mempuyai titik potong dengan sumbu y (sumbu

vertical), sehingga kurva tersebut akan bergerak dari titik pangkal

(titik origin) atau titik 0. untuk selanjutnya berikut ini di berikan

contoh sehingga memberikan gambaran yang lebih jelas

Contoh 4 : gambarlah kurva dari pesamaan linier berikut :

a. Y = 3x + 2 d. y = 3x - 2

b. Y = - 3x + 2 e. y = 3x

c. Y = 2

Jawab : a .y =3x + 2

x 0 1y 2 5

2 38 11

A = positip

B = positip

b. y = - 3x + 2

x 0 1y 2 −1

2 3−4 −7

A = negatip

B = positip

68

c. y = 2

a = 0; b = positip

d. Y = 3x - 2

¿1036 9∨¿

¿10123∨¿¿

¿¿

|

e. Y = 3x

|¿103691∨¿

¿10123∨¿¿

¿|

2. Pembentukan persamaan garis lurus

Untuk membentuk persamaan garis lurus (linier) dapat

digunakan 4 macam metode yakni

a. Metode dua titik (dwi kordinat)

b. Metode titik potong sumbu

c. Metode kemiringan garis dan titik

d. Metode kemiringan garis dan titikpotong sumbu

a. Metode dua titik (dwi koordinat)Metode dua titik (dwi koordinat) merupakan metode pembentukan

pesamaan linier (garis lurus ) dari dua buah titik yang diketahui.

misalnya kita memiliki dua buah titik A (x1, y1) dan titik B (x2, y2),

69

maka dengan metode dua titik dapat dibentuk persamaan

liniernya ,yakni dengan rumus :

y− y1y 2− y1

=x−x1x2−x 1

atau y− y1x−x1

=y 2− y1x2− y1

y−¿ y 1 =y 2− y1x2−x 1

(x –x1)

Untuk lebih jelasnya , diberikan contoh sebagai berikut :

Contoh 5 : buatlah persamaan garis lurus yang melalui titik A

(4, 2) dan titik B (2, 6) kemudian gambarlah kurvanya !

Jawab : Titik A (4, 2) ==> x1 = 4 ; y1 = 2

Titik B (2, 6) ==> x2 = 2 ; y2 = 6

y− y2y 2− y1

=x−x1x2−x 1

y−22−6

=x−42−4

y−24

=x−4−2

-2y + 4 = 4x – 16

-2y = 4x – 20

Y = - 2x + 10

||y|108662∨¿

¿ x∨01234∨¿¿

¿

|

b. Metode Titik Potong Sumbu

Pembentukan persamaan garis lurus dengan metode titik potong

sumbu digunakan untuk kasus-kasus tertentu (kasus khusus ) , yaitu

apabila suatu titik ( x1, y1 ) merupakan titik potong sumbu y,

misalnya pada titik (0,b ) dan titik ( x2, y 2 ) merupakan titik

potong sumbu x, misalnya (a ,0 ) , maka persamaan garisnya dapat

dibentuk sebagai berikut :

x1=o ; y1=b x2=a; y2=0

70

y− y1x−x1

=y 2− y 1x 2−x1

atau y− y 1=y 2− y 1x 2−x1

(x−x1 )

y−b=0−ba−0

( x−0 )

y−b=−ba

( x )−→ y−b=−bxa

y−bb

=−xa

yb−1=

−xa

−→yb+xa=1

( y−b )a=−bx

( y−b )ab

=−x

y−bb

=−xa

Untuk lebih jelasnya diberikan contoh sebagai berikut :

Contoh 6: Apabila diketahui suatu garis dengan titik potong sumbu y

adalah (0,6 ) dan titik potong sumbu x adalah (4,0 ) . Carilah persamaan

garisnya?

Jawab :

yb

+xa=1

Y6

+x4=1

----------- x12

4y + 6x = 24

2y +3x =12 ---------------------- > y =−32

x+6

71

Sehingga persamaan garis yang melalui titik potong sumbu x (4,0) dan

sumbu y (0,6) adalah

y =−32

x+6

c. Metode Kemiringan Garis Dan Titik

Apabila diketahui suatu titik (x1 ,y2) dan dilalui oleh suatu garis lurus yang

memiliki kemiringan m ,maka persamaan garis tersebut adalah :

M =y 2− y1x2−x 1

,sedangkan y-y1= y 2− y1x2−x 1

(x-x1)

Maka : y-y1 =m (x-x1) ------> persamaan garis yang melalui sebuah titik

(x1,yi1)dengan kemiringan m.

Contoh 7 : Carilah persamaan garis yang melalui suatu titik (4,2) dan

memiliki kemiringan -3

Jawab : y− y 1=m ( x−x1 )

y−2=−3 ( x−4 )

y−2=−3 x+12 ----- > y=−3 x+14

d. Metode kemiringan garis dan titik potong sumbu

Apabila diketahui suatu titik (0,b) merupakan titik potong sumbu y

sebuah garis lurus yang memiliki kemiringan garis m,maka persamaan

garis tersebut adalah :

y− y 1=m(x−x 1)

y−b=m(x−0)

y−b=m x ----- > y=m x+b ----- > persamaan garis yang melalui titik

potong sumbu y dengan kemiringan m.

Contoh 8: Apabila suatu garis memiliki titik potong dengan sumbu y

pada (0,-4) dan kemiringannya 5, maka bagai manakah

persamaan garisnya ?

Jawab: y=mx+b

y=5 x−4

72

3. Hubungan antara dua garis lurus

Hubungan antara dua garis lurus yang terletak pada suatu

bidang datar dalam sistem sumbu silang mempunyai empat

kemungkinan yakni berimpit, sejajar, berpotongan dan saling tegak

lurus satu sama lain.

a. Kemunngkinan pertama: Dua garis saling berimpit.

Dua garis lurus saling berimpit apabila persamaan garis yang

satu merupakan kelipatan dari persamaan garis yang lain.

Contoh 9 :Persamaan garis pertama y=2 x+4

Persamaan garis kedua 2 y=4 x+8

Maka garis pertama akan berimpit dengan garis kedua,

karena garis kedua merupakan kelipatan darigaris pertama.

Buktinya : garis pertama : y=2 x+4

Titik potong dengan sumbu y bila x = 0,maka y=2 .0+4 -- >

y = 4 --- > titik potong (0,4)

Titik potong dengan sumbu x bila y = 0, maka 0=2x+4 -- >

x=−2 --- > titik potong (-2,0)

Garis kedua : 2 y=4 x+8

Titik potong dengan sumbu y bila x =0, maka 2 y=4.0+8 ---

> y=4 --- > titik potong (0,4)

Titik potong dengan sumbu x bila y =0, maka 2.0=4 x+8

---> x=−2 --- > titik potong (-2,0)

Grafiknya adalah sebagai berikut :

73

b. Kemungkinan kedua: dua garis saling sejajar

Dua garis lurus akan sejajar satu sama lain apabila kemiringan

(gradien) kedua garis tersebut besarnya sama.

Contoh 10 : persamaan garis pertama y=2 x+4

Persamaan garis kedua y=2 x−2

Maka garis pertama akan sejajar dengan garis kedua karena garis

tersebut memiliki kemiringan yang sama yaitu m.

Buktinya :garis pertama y=2 x+4

Titik potong dengan sumbu y pada (0,4)

Titik potong dengan sumbu x pada (-2,0)

Garis kedua y=2 x−2

Titik potong dengan sumbu y pada (0, -2)

Titik potong dengan sumbu x pada (1,0)

Grafiknya adalah sebagai berikut:

c. Kemungkinan ketiga: dua garis saling berpotongan

74

Dua garis akan saling berpotongan apabila kemiringan kedua garis

tersebut tidak sama besarnya .

Contoh 11: Persamaan garis pertama y=2 x+4

Persamaan garis kedua y=x+5

Maka kedua garis tersebut akan saling berpotongan karena

kemiringan kedua garis tersebut tidak sama besarnya,yaitu garis

pertama kemiringannya =2 dan kemiringan garis kedua =1

Buktinya :garis pertama y1=2x+4

Titik potong dengan sumbu y pada (0,4)

Titik potong dengan sumbu x pada (-2,0)

Garis kedua y2=x+5

Titik potong dengan sumbu y pada (0, 5)

Titik potong dengan sumbu x pada (-5,0)

Garis pertama akan berpotongan dengan garis kedua pada saat

y1= y2

Maka : 2x+4=x+5

x=1

y=2 x+4 --> y=2 .1+4 --> y=6

Jadi titik perpotongan garis pertama dengan garis kedua adalah

pada titik (1,6).

Grafiknya adalah sebagai berikut :

75

d. Kemungkinan keempat:dua garis saling berpotongan saling tegak

lurus

Dua garis lurus akan berpotongan saling tegak lurus apabila

kemiringan kedua garis tersebut saling terkebalikan dengan tanda

yang berlawanan atau kedua kemiringan garis yang dimaksud

besarnya ¿−1

Sehingga m1 .m2=−1 ===> m1=−1/m2

Contoh 12: Persamaan garis pertama y1=2 x+4

Persamaan garis kedua y2=−12 x

+9

Maka kedua garis tersebut di atas akan saling berpotongan

tegak lurus , karena kemiringan garis pertama (m=2)

merupakan kebalikan dan tandanya berlawanan dengan

kemiringan garis kedua (m=−1/2) .

Buktinya :garis pertama y1=2x+4

Titik potong dengan sumbu y pada (0,4)

Titik potong dengan sumbu x pada (-2,0)

Garis kedua y2=−1/2 x+9

Titik potong dengan sumbu y pada (0, 9)

Titik potong dengan sumbu x pada (18,0)

Titik perpotongan kedua garis jika y1= y2

2x+4=−12x

+9

76

2,5 x=5 -------> x=2

y=2 x+4 -----> y=2 .2+4 --> y=8

Jadi perpotongan garis y1 dengan garis y2 pada titik (2,8) dan

membentuk sudut 90o,karena m1.m2=1 (ingat tangen 90o=1)

Gambar grafiknya adalah sebagai berikut:

D. PENERAPAN FUNGSI LINIER DALAM EKONOMI

Penerapan fungsi linier dalam ekonomi meliputi fungsi permintaan dan

fungsi penawaran dalam kaitannya dengan analisa pulang pokok

(break even point) dan fungsi konsumsi .Untuk lebih jelasnya berikut ini

dibahas satu per satu.

1. Fungsi permintaan

Dalam kehidupan sehari hari biasanya jumlah barang yang

diminta oleh konsumen dipengaruhi oleh beberapa variabel

(peubah), seperti harga barang tersebut,harga barang dan

sebagainya .Namun dalam analisi ekonomi ,suatu permintaan

akan suatu barang biasanya hanya diperhitungkan adanya

pengaruh harga barang yang bersangkutan.Hal ini disebabkan

karena peubah-ubah yang lain selain harga dianggap tetap

(ceteris paribus) dan tidak terlalu berpengaruh terhadap suatu

barang.

Dalam penerapan ekonomi ,fungsi permintaan akan

bersifat linier pada range tertebntu yang relevan, sedangkan

77

pada range yang lain kemungkinan fungsi permintaannya

tidaklah bersifat linier.

Didalam praktek ,penggambaran fungsi permintaan yang

linier identik dengan penggambaran pada fungsi linier.Hanya saja

biasanya dalam sistem sumbu silang, sumbu XY diganti dengan P

sebagai sumbu harga dan sumbu X diganti dengan sumbu Q

sebagai sumbu jumlah (Quantitas).Sedangkan bentuk umum dari

pada fungsi permintaan adalah :

Q=−aP+b atau

aP=−Q+b ---> P=−Qa

+b /a

Dimana :Q = Jumlah barang yang diminta

P = Harga barang

a = koefisien fungsi permintaan

b =konstanta

Biasanya grafik fungsi permintaan mempunyai kemiringan

(slope) yang negatip, sehingga grafiknya akan bergerak dari kiri

atas kekanan bawah .Kemiringan grafik fungsi permintaan

negatip ini berarti sesuai dengan hukum permintaan yaitu bahwa

apabila harga suatu barang dinaikan,maka jumlah barag yang

diminta akan menurun dan sebaliknya,apa bila naik.Namun pada

kasus tertentu seperti halnya pada kasus pasar persaingan

sempurna di mana produsen dan konsumen tidak kuasa

mempengaruhi harga, maka jumlah barang yang diminta akan

berubah-ubah walaupun harganya tetap .Disini terlihat bahwa

kemiringan grafik fungsi permintaanya adalah nol.Juga kasus

pada pasar monopoli.Dalam kasus ini permintaan suatu barang

akan cenderung tetap walaupun harga barang tersebut berubah

ubah .Dalam hal ini fungsi permintaanya mempunyai kemiringan

yang tidak tentu.

Untuk memberikan gambaran yang jelas ,berikut ini

diberikan ilustrasi mengenai berbagai kemiringan dari

permintaan yang dimaksud :

78

Q = jumlah barang yang diminta

Untuk lebih jelasnya berikut ini diberikan contoh pembentukan

fungsi permintaan linier.

Contoh 13 : Diketahui bahwa permintaan suatu barang apabila harga

jualnya Rp.160,- jumlah barang yang diminta 20

buah,sedangkan apabila harga jualnya Rp.120,- maka jumlah

barang yang diminta sebanyak 40 buah.

a. Bagaimanakah persamaannya serta gambarlah grafiknya.

b. Apabila barang tersebut dibagi secara gratis kepada

konsumen,berapakah jumlah barang tersebut yang diminta

?

c. Berapa harga maksimum barang tersebut sehinggga tidak

ada yang membelinya?

Jawab : a. Persamaan fungsi permintaannya.

Kita menggunakan persamaan garis yang melalui dua titik

yaitu :

y− y1y 2− y1

=x−x 1x 2−x 1

atau

P−P1P2−p1

=Q−Q1Q2−Q1

P1=Rp.160,- P2=Rp.120,-

Q1=20 buah Q2=40 buah

79

Maka :

P−160120−160

=Q−2040−20

P−160−40

=Q−20

20

20 P – 3.200 =-40 Q +800

20 P = -40Q +800+3.200

20P =-40 Q +4000

P =-2 Q + 200 atau

Q=-1/2P + 100

Gambar grafiknya:

b. Apabila barang tersebut dibagi secara gratis berarti harganya (P)=nol

P =-2Q +200

0 =-2Q+200 ------->Q=100

Jadi apabila harganya nol, maka jumlah barang yang diminta sebanyak

100 buah.

c. Apabila barang tersebut tak ada yang membeli (Q = 0),maka harga

maksimumnya adalah:

P =-2Q +200

P =-2.0+200 ------->P=200

Jadi harga barang tersebut adalah Rp.200,-

Contoh 14: Keadaan permintaan suatu barang diketahui nahwa ketika

harga jualnya Rp.400,- tidak ada barang yang

80

terjual.Sedangkan apa bila barang tersebut dibagikan secara

Cuma-Cuma,jumlah barang yang diminta hanya 100 unit.

Bagaimanakah persamaan fungsi permintaanya dan grafiknya ?

Jawab : Kita menggunakan persamaan garis lurus yang melalui dua

titik potong

sumbu yaitu :

y /b+x /a=1makadalamhal ini:P /b+Q /a=1

Jika P=Rp4000 ,makaQ=0−−−→(0,400)

P=Rp0 ,makaQ=100−−→(100,0)

P400

+0

100=1

x 400

P+4Q=400−−−−−−→P=−4Q+400atau

Q=−1/4 P+100

Gambar grafiknya adalah

2. Fungsi Pernawaran

Seperti halnya pada permintaan, maka banyaknya barang yang

ditawarkan oleh produsen juga dipengaruhi oleh berbagai variabel.

Variabel yang paling berpengaruh dan sering digunakan dalam analisis

ekonomi adalah variabel harga.

Sesuai dengan hukum penawaran bahwa apabila harga suatu

barang naik , maka jumlah barang yang ditawarkan pada produsen akan

naik dan sebaliknya apabila harga barang tersebut turun ,maka jumlah

barang yang ditawarkan akan naik.Hal ini menunjukn bahwa pada grafik

81

fungsi penawaran,kemiringan garis adalah positip,sehingga grafiknya

akan bergerak dari kiri bawah kekanan atas .Sedangkan rumus umum

fungsi penawaran adalah :

Q=aP+b atau

−aP=−Q+b−−−−→P=Q /a+b /a

Pada kasus-kasus tertentu seperti halnya pada fungsi perminaan,

kemiringan grafik fungsi penawaran adalah nol yaitu apabila terjadi pada

pasar persaingan sempurna dimana produsen dan konsumen tidak dapat

mempengaruhi harga . Di sini jumlah barang yang ditawarkan berubah-

ubah walaupu harganya tetap.Demikian pula pada kemiringan grafik

penawaran yang tidak tentu di mana jumlah barang yang ditawarkan

adalah sama walaupun harga barang yang bersangkutan berubah-ubah.

Untuk lebih jelasnya berikut ini diberikan contoh grafik dengan

berbagai kemiringan dari fungsi penawaran dimaksud yaitu :

a. kemiringan

penawaran positip

b. kemiringan

penawaran = nol

c. kemiringan

penawaran tak tidak

tentu

P = harga ; Q = jumlah barang yang ditawarkan

Untuk memberikan gambaran yang jelas , berikut ini diberikan

contoh pembentukan fugsi penawaran .

Contoh 15 : Sebuah perusahaan konveksi menjual salah satu produknya

sebanyak 500 unit dengan harga Rp 1000,- per unit, maka

jumlah barang yang ditawarkan naik menjadi 900

82

unit.Bagaimanakah fungsi penawarannya dan gambarlah

grafiknya !

Jawab :Kita membuat fungsi penawaran dengan menggunakan

persamaan garis yang melalui dua titik.

y− y1y 2− y1

=x−x1x2−x 1

,makaP−P1P2−P1

=Q−Q 1Q 2−Q 1

P1=Rp1.000,−¿ P2=Rp2.200,−¿

Q1=500unit Q2=900unit

p−1.0001.200−1.000 =

900−500¿

q−500¿

p−1.000200 = q−500

400

400 p – 400.000 = 200 Q – 100.000

400 P = 200 Q + 300.000

P = ½ Q + 750 atau

Q = 2 P – 1.500

Gambar grafiknya adalah :

Contoh 16 : perusahaan rokok “ nikmat “ menjual produknya dengan

harga Rp. 200,- per bungkus dengan volume penjualan

sebanyak 2.500 dos . setelah keadaan membaik perusahaan

menaikan harganya menjadi Rp.250,- per bungkus dengan

83

jumlah penawaranya sebanyak 3.000 dos. Bagaimana fungsi

penawaranya, kemudian buatlah grafik fungsinya !

Jawab : P 1 = Rp. 200,- P2 = Rp. 250,-

Q1 = 2.500 dos Q2 = 3.000 dos

P−P1P2−P1

= Q−Q1Q 2−Q 1

P−200

250−200 =

Q−2.5003.000−2.500

P−200

50 =

Q−2.500500

500 P – 100.000 = 50 Q – 125.000

500 P = 50 Q – 25.000

P = 0.1 Q – 50 atau

P = 10 P + 500

Gambar grafiknya adalah :

Pada kasus di atas menunujukan bahwa jumlah rokok yang di tawarkan

sampai dengan 500 dos di bagikan secara Cuma –Cuma ( harganya = 0 )

Pada kasus penawaran yang lain , di samping memotong pada sumbu

harga yang positip dan negatip , grafik fungsi penawaran juga dapat

memotong sumbu harga pada titik nol (origin).

Contoh 17 : suatu barang tidak akan di jual apabila harganya hanya Rp.

100 ,- barang tersebut akan dinaikan penjualanya sebanyak

100 unit apabila harganya naik sebesar Rp. 25,- bagaimana

persamaan fungsi penawaranya dan gambarlah grafiknya !

84

jawab : untuk menyelesaikan kasus di atas , kita menggunakan

rumus persamaan linier yang melalui titik potong sumbu

dengan sebuah kemiringanya .

kemiringan garis (m) = ∆ y∆ x

= ∆ P∆Q

P1 = Rp 100 , Q1 = 0

P2 = Rp 125 , Q2 = 100 unit

Maka : P = Rp 125 – Rp 100 = Rp 25,-

Q = 100 unit – 0 = 100 unit

Kemiringan (m) = ∆ p∆ p

= 25100

= 14

Titik potong sumbu harga pada ( 0, 100 ) --> b = 100

Y = mx + b atau

P = mQ + b

P = 1/4 Q + 100 atau Q = 4 p – 400

Gambar grafiknya adalah :

3. Keseimbangan Pasar ( Market Equilibrium )

Keseimbangan pasar ( market equilibrium ) merupakan suatu

keadaan pada suatu tingkat harga tertentu di mana jumlah barang yang

di minta ( Q 1) sama dengan jumlah barang yag di tawarkan ( Q s) . pada

cadaan ini tercipta suatu keseimbangan harga ( price equilibrium ) dan

keseimbangan jumlah ( quantity aquilibrium ) sehingga pada

keseimbangan pasar ini akan di peroleh harga dan jumlah yang sama baik

pada fungsi permintaan maupun pada fungsi penawaranya . oleh karena

itu keseimbangan pasar tercapai pada titik potong antara fungsi

permintaan dan fungsi penawaran atau pada saat permintaan sama

85

dengan penawaranya . hal ini di peroleh bila kedua persamaan tersebut di

selesaikan secara serenta ( simultan ) .

Keadaan keseimbangan pasar ini akan bermakna apabila harga dan

jumlah keseimbangan yang terjadi kedua positif atau nol . hal ini berarti

perpotongan kedua fungsi tersebut terletak pada kuadran pertama di

mana harga dan jumlah bernilai positif atau nol. sedangkan apabila salah

satu atau keduanya dari harga dan jumlah bersifat negative , maka

keseimbangan yang terjadi tidak mempunyai arti ( makna) .

Suatu keseimbangan pasar akan akan mempunyai makna arti

apabila titik potong fungsi permintaan dengan sumbu har ( bD)lebih

besar dari pada titik potong fungsi penawaran dengan sumbu harga ( bs) .

jadi keseimbangan pasar bermakna apabila bD > bs .

Untuk memperjelas keterangan di atas , berikut ini di berikan contoh

mengenai keseimbangan pasar di maksut ,yaitu :

Contoh 18 : fungsi permintaan suatu barang di formulasikan oleh

persamaan p = - 2Q + 28 , sedangkan fungsi penawaranya

adalah p = 1/2 Q + 8. bagaimanakah keseimbangan pasar yang

terjadi dan gambarkanlah grafik keseimbangan !

Jawab : fungsi permintaan ( Qd)

P = - 2Q + 28 --- > Q = -1/2 Q + 14

Fungsi penawaran( Qs)

P = 1/2 Q + 8 ---- > Q = 2P – 16

Keseimbangan pasar tercapai pada saat Qd = Qs

- 1/2 p + 14 = 2p – 16

- 2,5 p = - 30 --- > p = 12

Q = - 1/2 P + 14 -- > Q = - 1/2 . 12 + 14 -- > Q = 8

Sehingga keseimbangan pasar tercapai pada saat keseimbangan

harga ( pe = 12) dan keseimbangan jumlah ( Qe = 8 ) .

Gambar grafiknya adalah :

86

Contoh 19 : fungsi permintaan suatu barang ditunjukan oleh persamaan p

= -Q -7 , sedangkan penawaranya P = 2Q -10 . berapakah

harga dan jumlah keseimbanganya dan gambar grafiknya. !

Jawaab : F. permintaan (Qd) : P = -Q -7 --> Q = -P – 7

F. penawaran (Qs) : P = 2Q -10 --> Q = 1/2 P+5

Keseimbanganya pasar terjadi pada saat Qd = Qs

-P – 7 = 1/2 P + 5 --> - 1,5 P = 12 --> P = -8

P = -Q -7 --- > - 8 = -Q – 7 --- > Q = 1

Jadi keseimbngan harga = -8 dan keseimbangan jumlahnya =

1

Gambar grafiknya adalah :

Keseimbangan pasar yang tercapai pada contoh 16 di atas merupakan

keseimbangan pasar yang tidak bermakna , larena keseimbangan

harganya negatip ( = - 8)

87

4. Pajak dan Subsidi

a. Pajak

Pajak merupakan iuran wajib yng harus di bayar oleh wjib

pajar kepada pemerintah tanpa adanya balas jasa

( kontraprestasi ) secara langsung. Pajak yang di tarik oleh

pemerintah tersebut dapat bersifat pajak langsung yaitu pajak yang

di tarik secara langsung dari wajib pajak , maupun pajak tidak

langsung yang di tarik dari wajib pajak secara tidak langsung. Pajak

langsung antara lain adalah pajak penghasilan, pajak pesneoran ,

pajak kekayaan dan sebagainya .

Sedangkan pajak ti dak langsung antara lain adalah pajak

penjualan , pajak tontonan , pajak pertambahan nilai .

Pengenaan pajak tidak langsung atas sesuatu barang seperti

pajak penjualaan akan di kenakan pada wajib pajak , dalam hal ini di

kenakan pada wajib pajak , dalam hal ini di kenakan pada produsen

( penjual) . tetapi oleh penjual , beban pembayaran pajak ini akan di

alihkan sebagian pada konsumen yang membelinya dengan cara

menaikan harga barang yang di jual . oleh karena itu adanyaa pajak

penjualan ini maka keseimbangan harga barang yang bersangkutan

akan terpengaruh baik keseimbangan harga maupun keseimbangan

jumlahnya .

Dengan naiknya harga jual akibat adanya pajak penjualan ,

maka jumlah barang yang di minta akan berkurang ( menurun) dan

keseimbangan harganya akan naik .

Pajak penjualan tersebut di atas dapat di kenakan pada

produk atas dasar per unit dari jumlah barang yang terjual maupun

atas dasar persentase dari seluruh penerimaan penjualanya.untuk

lebih jelasnya , berikut ini akan di jelaskan satu persatu tentang

pengenaan pajak penjualan :

1). Pajak per unit

88

Pajak penjualan per unit ini di kenakan terhadap suatu barang

tertentu dalam jumlah uang yang tetap untuk setiap unit barang

tersebut yang di jual. Pajak ini kan langsungdi bebankan pada harga

jualnya dengan cara menambahkan pajak penjulan per unit pada

harga jualnya, sehingga harga jual barang tersebut akan naik .

misalkan pajak per unit yang di kenakan pada suatu barang adalah

t,maka harga barang tersebut akan naik sebesar t untuk setiap

unitnya .pajak ini akan di terima oleh pemerintah sebesar pajak per

unit di kalikan dengan jumlah barang yang di jual .apabila pengaruh

pajak ini kita perhitungkan dalam fungsi penawaran , maka akan

terlihat sebagai berikut :

Fungsi penawaran sebelum pajak : p = £ (Q) , maka fungsi

Penawaran setelah pajak menjadi : p = £ (Q) + atau

P – t = £ (Q)

Q = £ (P – t)

Di mana : p = variabel harga per unit

Q = variabel jumlah ( kuantitas )

t = tingkat pajak per unit

Dengan adanya pajak per unit ini , maka fungsi penawaran

akan begeser ke atas sejauh pajak per unit tersebut. Untuk

memperjelas keterangan di atas dapat di lihat pada grafik

perubahan fungsi penawaran karena adanya pajak per unit sebagai

berikut .

89

Pada grafik di atas terlihat pada bahwa harga penawaran

sebelum pada pajak pada tingkt kuantitas Q2 adalah sebesar P2 ,

sedangkan setelah adanya pajak per unit sebear t , maka pada

tingkat kuantitas Q2 tersebut harganya menjadi p3 ( = p2 + t) .

dengan adanya pajak per unit juga akan menggeser keseimbangan

pasar , yakni dari titik E (sebelum pajak ) menjadi E1 ( setelah

pajak )

Sudah di jelaskan di muka bahwa pengenaan pajak terhadap

produsen ( pajak penjualan ) pembebanya sebagian akan di alihkan

kepada konsumen dengan cara menaikan harga jual barang yang di

maksut, sehingga pajak tersebut akan di tanggung sebagian oleh

konsumen dan sebagian oleh produsen. ( penjual ) . besarnya beban

pajak yang di tanggung oleh konsumen (tk) untuk setiap barang

yang di beli adalah sebesar selisih antara keseimbangan harga

setelah pajak ( P1) dengan keseimbangan harga sebelum pajak ( PO).

Sedangkan besarnya pajak yang di tanggung oleh penjual ( tp) untuk

setiap unitny adalah sebesar selisih antara besar pajak yang di

kenakan per unit (t ) dengan bagian pajak yang di tanggung oleh

konsumen ( tk) .adapun pajak yang di terima pemerintah ( tg) adalah

Di mana :

t k=pajak yangditanggungoleh konsumen

t p=pajak yangditanggungoleh produsen

t=besarnya pajak per unit

P1=keseimbangan harga setelah pajak

P0=keseimbanganharga sebelum pajak

Sedangkan jumlah pajak yang ditanggung oleh produsen

ataupun konsumen adalah dikalikan dengan jumlah unit keseimbangan

setelah pajak.

Contoh 20 : Fungsi permintaan akan suatu barang diformulasikan

oleh persamaan

90

P=−Q+10, sedangkan penawarannya P=12Q+4. pajak

penjualan atau barang tersebut adalah Rp 3 per unitnya .

Ditanyakan :

a. Titik keseimbangan pasar sebelum pajak,

b. Titik keseimbangan pajak setelah pajak ,

c. Besarnya pajak yang ditanggung konsumen maupun

produsen ( penjual),

d. Besarnya pajak yang diterima oleh permintaan

e. Gambarlah grafiknya !

jawab : a. Titik keseimbangan pasar sebelum pajak .

F. permintaan (Qd ) :P=−Q+10−→Q=−P+10

F.permintaan: (Qs ):P=12Q+4−→Q=2P−¿

Keseimbangan pasar : Qd=Qs

−P+10=2P−8

−3 P=−18−−→P=6

Untuk P=6−−→Q=−P+10−−→Q=−b+10

Q =

4

Jadi titik keseimbangan pasar sebelum pajak adalah pada titik E

( 4 , 6 ).

b.Titik keseimbangan pasar setelah pajak

F. permintaan (Qd) : Q1 = - P1 + 10

F. penawaran (Qs) : P1 = 1/2 Q1 + 4 + 3

P1 = 1/2 Q1 + 7

Q1 = 2 P1 – 14

keseimbangan pasar padaQd=¿ Qs

- P1 +10 = 2 P1 - 14

-3 P1 = -24 P1 = 8

Q1 = - P1 + 10 Q1 = -8

jadi titik keseimbangan pasar setelah pajak adalah pada titik

91

E1 (2, 8)

c. Besarnya pajak yang ditanggung konsumen ( t k )

t k = ( P1 - P0 ). Q1 = ( 8 – 6 ) 2 = 4

Besarnya pajak yang ditanggung produsen ( tp ) adalah

t p = (t - t k ) Q1 = (t – ( p1 - po ) Q1

t p = (3 – (8 – 6 ) . 2 = 2

Besarnya pajak yang diterima pemerintah t g

t g = t . Q1 = 3 x 2 = 6

Gambar grafik adalah

3. Pajak persentase :

Disamping dikenakan terhadap setiap barang yang dihasilkan ( dijual )

pengenaan pajak juga dapat dikenakan dengan cara menentukan

sebesar persentase tertentu dari barang yang dijual . misalnya

besarnya pajak yang dikenakan pada suatu barang adalah sebesar r

persen ( r %) dari barang yang terjual maka harga barang yang dijual

akan naik sebesar r % maka harga barang jual akan naik sebesar

untuk setiap unit barang yang ditawarkan dijual apabila harga jual

sebelum pajak adalah sebesar P0

Sedangkan pajaknya adalah sebesar r% maka harga jual setelah pajak

P1 = Po (1 + r)

Pengaruh pajak persentase ini dapat dilihat pada perubahan

fungsi penawaran yang akan bergesert keatas sejauh r% untuk setiap

92

kuantitas yang ditawarkan dijual dalam bentuk fungsi penawaran

perubahan tersebut adalah

Fungsi penawaran sebelum pajak( Qs ) : P = F ( Q) sedangkan fungsi

penawaran setelah pajak adalah( Qs ¿

P1 = f(Q) ( r + 1 ) maka P1 = P (1 + r) sedangkan dalam bentuk

umum fungsi penawaran yang lain dimana harga sebagai peubah

bebasnya yaitu Q = F( P ) , maka funsi penawaran setelah pajak dapat

diperoleh sebagai berikut.

Fungsi penawaran sebelum pajak ( Qs ) : P F(Q)

Fungsi penawaran setelah pajak ( Qs ) : P1 = F(Q) (1 + r)

P1 = P ( 1 + r ) maka

P = P1

(1+r )

Bila dimasukkan dalam bentuk umum fungsi penawaran Q = F(P)

maka fungsi penawaran setelah pajak ( Qs ) adalah

Q = F (P) Q = F ( P1

1+r ) fungsi penawaran

Setelah pajak denganpajak sebesar r %

Sehingga jumlah penawaran setelah pajak per unit adalah

t = r . P = r . f(Q) = r . P1

1+r

dimana

P = variable harga per unit

Q = variabel kuantitas

R =jarak dalam paersentase

Pengaruh pajak persentase secara secara grafik dapat dilihat

pada grafik berikut ini

93

Dari grafik diatas terlihat bahwa harga penawaran sebelum pajak pada

kuantitas Q0 adalah sebesar p0

Sedangkan harga penawaran setelah pajak pada kuantitas Q0

tersebut adalah sebesar pr dimana : Pr = P0 + r P0 Pr

= P0 (1+r) keseimbangan pasar yang terjadi sebagai akibat adanya

pajak persentase ini juga bergeser dari E Q¿¿¿

, P0 ) menjadi titik

E1 ( Q1 , P1 ) untuk lebih jelasnya berikut ini diberikan contoh

sebagai berikut .

Contoh 21 : fungsi permintaan suatu barang ditunjukkan oleh

persamaan P = - Q + 14 sedangkan fungsi penawaran adalah P = 2Q

+ 5 apabila terhadap barang tersebut dikenakan pajak sebesar 20

ditanyakan

a. Titik keseimbangan pasar sebelum pajak

b. Titik keseimbangan pasar setelah pajak

c. Gambarlah grafik yang menunjukkan perubahan keseimbangan

pasar sebelum dan sesudah pajak

a. Titik keseimbangan pasar sebelum pajak : Qd = Qs

-Q + 14 = 2 Q + 5

3Q = - 9 Q =3

P = 2 Q + 5 P = 2. 3 + 5 P = 11

94

Jadi keseimbangan pasar sebelum pajak pada titik E ( 3, 11 ) , yakni

Qe = 3 dan Pe = 11

b. Titik keseimbangan pasar setelah pajak : Qd = Qs

Fungsi permintaan setelah pajak : P1 = -Q + 14

Fungsi penawaran sebelum pajak : P = 2Q + 5

Fungsi penawaran setelah pajak P1 = (2Q + 5 ) ( 1 + 0,2 )

P1 = ( 2Q + 5 ) (1,2)

P1 = 2,4 Q + 6

Keseimbangan pasar setelah pajak : Qd = Qs

- Q + 14 = 2,4 Q + ³

- 3,4 Q = - 8

Untuk Q1 = 2,35 P1 = 2,4 Q + 6

1=¿P ¿

2,4 x 2 ,35 + ³

P1 = 11,64

Jadi titik keseimbangan pasar setelah pajak adalah pada titik E1 (2,35 ,

11,64 ) atau Qe = 2,35 dan Pe = 11,64

Gambar grafiknya adalah sebagai berikut

B. Subsidi

Berbeda dengan pajak yang merupakan iuran wajib masyarakat

( produsen) terhadap pemerintah maka subsidi merupakanbantuan yang

diberikan oleh pemerintah kepada masyarakat dalam hal ini produsen

terhadap produk yang dihasilkan atau ditawarkan denagn adanya subsidi

95

(s) dari pemerintah hal ini maka harga jual barang yang bersangkutan

akan turun seingga jumlah barang yang diminta dibeli masyarakat akan

naik . subsidi ini biasanya diberikan untuk setiap unit barang yang dijual

sehingga dengan adanya subsidi harga jual per unitnya akan turun

sebesar subsidi tersebut . penurunan harga ini disebabkan karena

sebagian biaya produksi barang yang bersangkutan ditanggung oleh

pemerintah sebesar subsidi tersebut .

Dengan turunya harga jual tersebut mengakibatkan grafik fungsi

penawaran barang yang bersangkutan bergeser ke bawah sejauh

besarnya subsidi yang diberikan oleh pemerintah .

Sedangkan grafik fungsi pemerintahan tidak terpengaruh sedangkan

grafik fungsi pemerintahan tidak terpengaruh adanya subsidi ini apabila

fungsi penawaran ditanyakan dengan P = f(Q) maka fungsi penawaran

setelah subsidi sebesar (s) adalah P1 = f(Q) – s . namun apabila fungsi

penawaranya ditanyakan dengan bentuk Q = f(P), maka fungsi penawaran

setelah subsidi adalah :

P : f(Q) Funsi penawaran sebelum subsidi

P1 = f(Q) – s fungsi penawaran setelah subsidi atau

F(Q) = P1 + s , sehingga Q = f (P + S) fungsi penawaran subsidi

Dengan demikian keseimbangan pasar setelah subsidipun akan

Yang diberikan pemerintah dengan bagian subsidi yang dinikmati oleh konsumen ( sk )

Sehinga : sk = p0 - p1

96

s p = s - sk atau s p = s – ( p0 - p1 )

Dimana : sk = subsidi yang dinikmati konsumen

s p = subsidi yang dimiliki oleh konsumen

p0 = keseimbangan harga sebelum subsidi

p1 = keseimbangan harga setelah subsidi

S = subsidi per unit yang diberikan pemerintah .

Sedangkan total subsidi yang dimiliki oleh konsumen atau produsen

adalah sebesar kuantitas keseimbangan setelah subsidi ( Q1 ) dikalikan

oleh subsidi per unit yang dinikmati konsumen ( sk )

Atau produsen ( s p ) .

Untuk memberikan gambaran jelas , berikut ini di berikan

contoh pengaruh subsidi terhadap keseimbangan pasar contoh 22 :

diketahui fungsi permintaan suatu barang adalah

P = -1/2 Q + 24 sedangkan fungsi penawarannya adalah P = 2

Q + 9 . Apabila terhadap barang ini diberi subsidi sebesar Rp 5 per

unit , maka tanyakan :

a. Titik keseimbangan pasar sebelum dan setelah subsidi.

b. Besarnya subsidi yang diberikan pemerintah.

c. Besarnya subsidi yang dinikmati oleh konsumen dan produsen.

d. Gambarlah grafik fungsi permintaan dan penawaran sebelum dan

sesudah subsidi

jawab : a. titik keseimbangan pasar sebelum subsidi.

Fungsi permintaan Qd : P = -1/2 Q + 24

Fungsi penawaran Qs : P = 2 Q + 9

Keseimbangan pasar : Qd = Qs

-1/2 Q + 24 = 2 Q + 9

-2,5 = -15

Q = 6

Untuk Q = 6 ---> P = -1/2 Q + 24

P = -1/2 . 6 + 24

P = 21

Jadi titik keseimbangan sebelum subsidi ( 6 , 21 )

97

b. titik keseimbangan pasar setelah subsidi :

Fungsi permintaan : Qd ‘ : P1 = -1/2 Q1 + 24

Fungsi penawaran : Qs ’ : P1 = 2 Q1 + 9 - 5

P1 = 2 Q1 + 4

Keseimbangan pasar : Qd ’ = Qs ’

-1/2 Q1 + 24 = 2 Q1 + 4

-2,5 Q = - 20

Q = 8

Untuk Q = 8 ---> P = -1/2 Q + 24

P = - 1/2 . 8 + 24 --> P = 20

Jadi titik keseimbangan setelah subsidi adalah E1 ( 8 , 20 ) .

c. Besarnya subsidi yang diberikan pemerintah ( sg ) adalah = 8

unit x Rp 5 = Rp 40 ,-

d. Besarnya subsidi per unit yang dinikmati konsumen ( sk ) = ( Rp

21 – Rp 20 ) = Rp 1 .

sehingga totalnya = 20 unit x Rp 1 = Rp 20 ,-

Besarnya subsidi per unit yang dinikmati produsen ( s p ) = ( Rp

5 – Rp 1 ) = Rp 32,-

98

e. Grafik fungsi permintaan sebelum dan sesudah subsidi adalah

sebagai :

5. Keseimbangan Pasar untuk dua barang

Dalam kenyataan sehari – hari banyak sekali permintaan barang

yang tidak hanya dipengruhi oleh tingkat harga barang tersebut aja ,

melainkan juga dipengaruhi oleh faktor – faktor yang lain . hubungan

pengaruh tersebut terjadi apabila kedua barang tersebut mempunyai

hubungan penggunaan tersebut maka harga suatu barang tidak hanya

dipengaruhi oleh harga barang yang lain , misalnya harga Barang

pengganti ( yang memiliki hubungan substitusi ) atau harga barang yang

saling melengkapi ( sebagai hubungan komplementer ) .

Seandainya kita mempunyai dua macam barang X dan Y yang saling

memiliki hubungan penggunaan yakni permintaan masing – masing

barang dipengaruhi oleh harga barang lainnya,maka fungsi permintaan

dari masing – masing barang tersebut adalah :

Qdx = f ( Px , py ) ---> fungsi permintaan X merupakan fungsi dari

harga barang X dan harga barang Y ( jumlah permintaan barang X

dipengaruhi oleh harga barang X dan harga barang Y)

99

Qdy = f ( Px , P y ) ---> fungsi permintaan barang Y dipengaruhi oleh

harga barang X dan harga barang Y .

Di mana :

Qdx = fungsi permintaan barang X

Qdy = fungsi permintaan barang Y

Px = harga barang X

P y = harga barang Y

Keseimbangan pasar yang tercapai dari dua persamaan

permintaan barang X dan barang Y di atas yaitu dengan menyelesaikan

kedua persamaan tersebut secara serentak (simulta ) dengan masing –

masing fungsi penawaran dari kedua barang tersebut . sehingga

keseimbangan pasar akan terjadi pada saat Qdx = Qsx dan Qdy =

Qsy .

Untuk memberikan gambaran jelas , berikut ini diberikan

contoh keseimbangan pasar untuk dua macam barang :

Contoh 23 : Apabila diketahui fungsi permintaan barang X adalah Qdx =

- 2 Px + 3 P y + 4 dan fungsi penawaran Qsx = 4 Px - 8 .

Sedangkan fungsi permintaan barang Y adalah Qdy = 5 Px - 3 Py +

16dan fungsi penawarannya Qsy + 5 Py + 4 . berapakah

keseimbangan pasar yang terjadi untuk masing – masing barang

tersebut ?

Jawab : Keseimbangan pasar barang X tercapai pada saat fungsi

permintaan barang X = fungsi penawaran barang X atau Qdx = Qsx

-2 Px + 3 Py + = 4 Px – 8

-6 Px + 3 Py = - 12 ………… ( 1 )

Keseimbangan pasar barang Y tercapai pada saat fungsi permintaan

barang Y = fungsi penawaran barang Y atau Qdy = Qsy .

5 Px - 3 Py + 4 = 4 Py + 4

5 Px - 8 Py = -12 …………. ( 2 )

Mencari : Px ; Py ; Qx ; Q y .

Dari ( 1 ) dan ( 2 ) :

-6 Px + 3 Py = -12 l x5 l -30 Px + 15 P y = - 60

100

5 Px - 8 P y = -12 l x6 l 30 P x−48P y=−72

−33 Py=−132P y=4

Dari ( 1 ) : - 6 Px + 3 Py = -12

-6 Px + 3 ( 4 ) = -12

-6 Px = -24 ---------> Px = 4

Dengan perhitungan di atas , maka dapat diperoleh jumlah kesimbangan

barang X dan barang Y dengan memasukan harga keseimbangan barang

X ( Px ) dan Y ( P y ) ke dalam persamaan – persamaan yang

bersesuaian yaitu untuk jumlah barang X :

Qdx = -2 Py + 3 P y + 4

= -2 ( 4 ) + 3 ( 4 ) + 4

Qdx = 8 ------------------------> Qx = 8

Untuk jumlah keseimbangan barang Y :

Qdy = 5 P y - 3 Py + 16

= 5 (4) – 3 ( 4 )

Qdy = 24 ---------------------> Q y = 24

Dari perhitungan di atas diperoleh :

Harga keseimbangan barang X ( Px ) = 4

Harga keseimbangan barang Y ( Py ) = 4

Jumlah keseimbangan barang X ( Qx ) = 8

Jumlah keseimbangan barang Y ( Q y ) = 24

6. Analisis biaya , volume dan laba

Dalam operasi perusahaan , biaya yang dikelurkan

dikelompokkan dalam dua kategori yaitu biaya tetap ( fixed cost = FC )

dan biaya variabel ( variabel cost = VC ) . Biaya tetap selalu tetap

jumlahnya untuk seluruh jumlsh barang yang dihasilkan . Biaya tetap ini

tidak tergantung pada perubahan volume penjualan ( jumlah barang yang

dihasilkan ) . termasuk biaya tetap misalnya biaya sewa , biaya

penyusuan , biaya bunga , gaji pimpinan dan sebagainya . Apabila di

gambar dala suatu grafik , biaya tetap berbentuk garis lurusyang sejajar

dengan sumbu jumlah . biaya tetap ini akan tetap dikeluarkan walaupun

101

tidak ada barang yang di produksi . notasi biaya tetap diberi simbol k.

Sedangkan biaya variabel adalah biaya yang berubah ubah sesuai dengan

perubahan volume ( jumlah ) barang yang dihasikan akan di produksi .

oleh karna itu biya variabel merupakan fungsi dari kuantitas yang

diproduksi f(Q).yang termasuk biaya variabel misalnya biaya bahan baku ,

biaya tenaga kerja langsug dan biaya overead pabrik variabel . apabila

biaya variabel ini di gambar dalam suatu grafik , maka berupa garis lurus

yang memiiki kemiringan positif , berferak dari titik nol ( origin ) kekanan

atas . karana dimulai dari titik nol berate bahwa perusahaan tidak

berproduksi mak tidak dikeluarkan biaya variabel dan semakin banyak

brang yang diproduksi , maka biaya variabel semakin besar. Adapun biaya

total ( total cost = TC ) adalalah jumlah dari biaya tetap dan biaya

variabel atas jumlah barang yang di produksi atau di hasilkan . dengan

demikian biaya total ( TC ) = FC + VC = k + f ( Q )

Penghasilan total (total revenue = TR ) dari suatu perusahaan

merupak hasil kali antara jumlah barang yang di hasilkan atau di jual

dengan harga jual perunit tersebut ( TR = P x Q ) . oleh karna itu semakin

banyak barang yang di jual , maka semakin besar penghasilan yang

diperolehnya .

Laba atau rugi merupan selisih antara total penghasilan yang

diperoleh dengan toral biaya yang dikeluarkan oleh perusahan .

perusahan akan memperoleh laba apabila penghasilan total lebih kecil

dari pada biaya totalnya . namun apabila penghasilan total yang di

peroleh ( TR ) sama dengan biaya total ( TC ) yang dikeluarkan , maka

perusahaan tidak akan mendapat kan laba dan tidak menderita kerugian ,

perusaan dalam keadaan titik pulang pokok ( break even point ) . dengan

demikian break even point ( BEP ) tercapai pada saat TR = TC . dari uraian

tersebut di atas , kita kenal suatu teknik analisis break even yaitu suatu

teknik analisis untuk mempelajari hubungan antara biaya tetap biayar

variabel volume kegiatan untuk keuntungan analisis break even ini juga

sering di sebut sebagai cost provit volume analisis untuk memberikan

gambaran yang jelas mengenai konsep biaya tetap biaya variabel total

102

biaya total penghasilan labaseta rugi maka dapat di lihat dalam bentuk

grafik berikut ini :

Biaya penghasilan

( TR , TC )

Dimana :

TR = total revenue = total penghasilan

TC = total cost = total biaya

VC = variable cost = biaya variabel

FC = fixwd cost = biaya tetap

BEP = break even point = titik pulang pokok

Asumsi – asumsi analisis break even antara lain adalah :

- Biaya di dalam perusahaan dapat digolongkan dalam biaya tetap

dan biaya variabel .

- Biaya variabel secara total berubah sebanding dengan volume

penjualan /produksi atau biaya variabel perunit tetap .

- Biaya tetap secara total adalah tetap meskipun ada perubahan

volume penjualan /produksi . hal ini berarti biaya tetap per unit

berubah ubah karena adanya perubahan volume penjualan

/produksi .

- Harga jual per unit tidak berubah selama periode yang di analisa .

103

- Perusahaan hanya memproduksi satu jenis barang .

- Apabila perusahaan memproduksi lebih dari satu jenis barang ,

maka perimbangan penghasilan penjualan antara masing – masing

barang harus selalu tetap .

Dari asumsi – asumsi tersebut di atasmaka break even point

akan berubah apabila variabel -variabelnya mengalami perubahan ,

misalnya :

- Adanya perubahan harga jual

- Adanya perubahan biaya , baik biaya tetap dan atau biaya

variabelnya

Berikut ini akan diberikan contoh penghitungannya , sehingga

memberikan gambaran yang jelas :

Contoh 24 : suatu perusahaan bekerja dengan biaya tetap ( fixed cost )

sebesar Rp 400.000,- per tahun . biaya variabel per unit

adalah Rp 60 ,-, sedangkan harga jual per unit Rp 100,- .

kapasitas normal perusahaan sebesar 15.000 unit .

Di tanyakan :

a. Berapakah total produksinya pada saat posisi titik pulang pokok

( BEP ) ?

b. Apabila harga naik menjadi Rp 160 per unit , berapakah BEP nya ?

c. Apabila biaya tetap naik sebesar Rp 200.000,- dan biaya variabel

per unit turun menjadi Rp 50 ,-, berapakah BEP nya ?

d. Apabila biaya tetap naik sebesar 5000 unit , berapakah laba atau

rugi perusahaan ?

e. Gambarlah grafiknya untuk perubahan (b) dan (c) dalam satu

grafik .

jawab :

a. Biaya variabel ( VC ) = 60 Q total biaya ( TC ) = FC + VC = 400.000

+ 60 Q total penghasilan ( TR ) = P x Q = 100 Q BEP pada saat TR =

TC 100 Q 400.000 + 60 Q 40 Q = 400.000 --------> Q = 10.000 Unit .

atau = 10.000 x Rp 100 = Rp 1.000.000,-

104

b. Harga naik menjadi Rp 160 , - per unit , maka total penghasilan

menjadi TR’ = 160 Q1 . BEP : TR’ = TC’ 160 Q1 = 400.000 + 60

Q1 100 Q1 = 400.000 --------> Q = 4.000 unit . atau = 4.00 x Rp

160 ,- = Rp 640.000,-

c. Biaya tetap menjadi = Rp 400.000 + Rp 200.000 = Rp 600.000,-

biaya variabel menjadi Rp 50 ,- ----> TR mula – mula BEP -----> bila

TR = TC 100 Q = 600.000 + 50 Q 50 Q = 600.000 ------> Q = 12.000

Unit . atau = 12.000 x Rp 100 = Rp 1.200.000 ,-

d. Apabila di produksi 5.000 unit . Q = 5.000 x Rp 100 ,- = Rp

500.000,-‘ TC = 400.000 + (5000 x 60 ) = Rp 700.000,- rugi = Rp

200.000,-

e. Gambar grafik untuk perubahan ( b ) dan ( c ) adalah sebagai

berikut :

7. Optimalisasi

Apabila suatu perusahaan menghasilkan lebih dari satu

jenis produk , maka akan timbul masalah tentang berapa jumlah

105

dari masing – masing jenis produk tersebut yang harus diprokdusi

/dihasilkan agar memperoleh laba yang optimal . dengan kata lin

timbul masalah berapa kombinasi produk yang harus diproduksi

Agar mendapatkan hasil yang maksimal . kombinasi produksi

tersebut dimaksudkan sebagai jumlah masing – masing jenis produk

yang diproduksi oleh perusahaan apabila perusahaan memproduksi

lebih dari satu jenis produksi.

Untuk memecahkan permasalahan di atas , maka perlu di

cari berapa perbandingan ( kombinasi ) jumlah antara produk yang

satu dengan produk yang lain agar mencapai keuntungan

maksimal . untuk menentukan kombinasi yang optimal dapat

digunakan metode linear programming . linear programming

merupakan salah satu cara atau metode untuk menentukan

kombinasi produksi yang paling optimal . optimal disini meliputi

maksimisasi laba ( profit ) dan minisasi biaya .

Dalam metode linier programming dikenal 2 ( dua ) macam

fungsi , yaitu fungsi tujuan ( objective function ) sebagai fungsi yang

digunakan unutuk memperoleh titik maksimum atau minimum dan

fungsi batasan ( constraint function) sebagai fungsi yang membatasi

tercapainya tujuan yang dimaksud .

Fungsi tujuan merupakaN fungsi yang menggambarkan

tujuan dan sasaran dari permasalahan linier programming yang

berkaitan dengan pengaturan secxara optimal dari pada sumber

daya yang ada untuk memperoleh keuntungan maksimal atau biaya

minimal . fungsi tujuan ini biasah nya ditanyakan dengan simbol z

.sedangkan fungsi batasan adalah merupakan bentuk penyajian

secara matematis dari batasan – batasan faktor – faktor produksi

yang tersedia yang akan dialokasikan secara opitimal dalam

kegiatan produksi yang dimaksud antara lain adalah :

- Faktor kapasitas mesin

- Faktor bahan baku

- Faktor modal ( uang yang tersedia )

Disamping itu juga adanya batasan faktor permintaan faktor.

106

Untuk menentukan jumlah produksi yang akan memberikan

laba optimal , dalam linier programming dikenal dua metode , yaitu

metode grafik dan metode simplek . namun dalam buku ini hanya

akan dibahas metode grafik saja . sedangkan metode simplek dapat

dibaca dan dipelajari pada buku – buku yang membahas linier

programming lebih luas dan mendalam .

Langkah – langkah untuk menyelesaikan masalah linier

programming dengan menggunakan metode grafik adalah sebagai

berikut :

- Susunlah permasalahan yang ada , baik mengenain tujuan maupun

batasan – batansan nya ke dalam suatu bentuk persamaan linier .

- Gambarelah masing – masing fungsi batasan yang ada kedalam

satu sistem sumbu silang , kemudian tentukanlah daearah yang

memenuhi semua batasan – batasan tersebut yang disebut sebagai

daerah fisibel ( feasible area ) .

- Carilah titik yang paling menguntungkan ( optimal ) yang terletak

pada daerah fisibel.

Untuk mencari titik yang paling menguntungkan ( optimal )

dapat dilakukan dengan dua cara yaitu dengan menggambarkan

fungsi tujuan ( disebut dengan cara coba – coba ) dan dengan cara

membandingkan nilai – nilai dari fungsi tujuan ( z ) pada berbagai

titik – titik alternatip yang terdapat dalam daerah fisibel .

Untuk memberikan gambaran yang jelas , berikut ini

diberikan contoh penyelesaian , sebagai berikut :

Contoh 25 : suatu perusahaan memproduksi dua macam barang X

dan Y dengan dua batasan permintaan . batasan faktor

produksinya adalah : batasan bahan bakuy : 5x + 4y =

1.000 batasan kapasitas mesin : 8x + 20 y = 4.000

sedangkan permintaan barang X adalah = 180 dan

permintaan barang Y = 200 . diketahui harga per unit

107

barang x sebesar Rp 20.000 dan harga barang Y =

sebesar Rp10.000,- . dari data di atas diminta :

a. Gambarlah grafik yang menentukan daerah fisibelnya.

b. Hitunglah kombinasi produk yang memberikan laba

maksimal dan berapakah laba maksimal tersebut.

Jawab : fungsi tujuan ( z ) : sumbangan laba barang x = = Rp

20.000 – Rp 8.000 = Rp 12.000,- . dan sumbangan

laba barang Y = Rp 30.000 – Rp 10.000,- = Rp 20.000,- .

sehingga fungsi tujuan : maksimumkan : z = 12.000 x

20.000 y. batasan batasannya :

1) 5x + 4y = 1.000

2) 8x + 20y = 4.000

3) X = 180

4) Y = 200

Batasan – batasan dari faktor – faktor produksi dianggap

digunakan semua ( full capacity ) dalam proses produksi ,

sehingga batasan – batasan tersebut diubah menjadi

bentuk persamaan , yaitu :

1) 5x + 4y = 1.000

2) 8x + 20y = 4.000

3) X = 180

4) Y = 200

a. Gambar grafik adalah :

108

b. Kombinasi produk yang menghasilkan laba maksimal

adalah :

Altenatip 1 : titik A : x = 0 dan y = 200

Laba ( z ) = 12.000 x + 20.000 y

z = 12.000 ( 0 ) + 20.000 ( 200 )

z = 4.000.000

alternative 2 : titik B : 5x + 4y = 1.000

8x + 20y = 4.000

-----------------------

25x + 20y = 5.000

8x + 20y = 4.000

-----------------------

17x = 1.000

X = 58,82

X = 58 ( dibulatkan )

Untuk x = 58

5x + 4y = 1.000 ----> 5 ( 58 ) + 4 y = 1.000

290 + 4 y = 1.000

4y = 710 ----> y = 180

Laba ( z ) = 12.000 x + 20.000 y

Z = 12.000 ( 58 ) + 20.000 ( 180 )

109

Z = 696 .000 + 360.000

Z = 4.296.000

Alternatip 3 : tittik c : 5x + 4 y = 1.000

X = 180

5x + 4y = 1.000 ----> 5 ( 180 ) + 4y = 1.000

4y = 1.000 – 900 ----> 4y = 100 ----> yy = 25

Laba ( z ) = 12.000 x + 20.000y

Z = 12.000 ( 180 ) + 20.000 ( 0 )

Z = 2.160.000,-.

Dari perhitungan di atasternyhata kombinasi produk

yang memberikan sumbangan laba maksial adalah

apabila perusahaan memproduksi barang x sebanyak 58

unit dan barang y sebanyak 180 unit dengan laba yang

diperoleh sebesar Rp 4.296.000,.

Untuk memperdalam masala optimasi ini , para pembaca dianjurkan

membaca buku-buku mengenai linear programming dan atau manajemen

produksi .

8. Fungsi komsumsi , tabungan dan pendapatan nasional

Menurut jonh maynard keynes seorang ahli ekonomi dari inggir

bahwa dalam ekonomi makro pengeluaran seseorang yang digunkan

untuk komsumsi dipengaruhi oleh tingkat pendapatannya . konsumsi akan

semakim tinggi apabuila tingkat pendapatannya semakin besar . demikian

pula pengeluaran untuk tabungan . tabungan akan semakin tinggi apabila

pendapatan nya semakin besar . tabungan disini merupakan pendapatan

yang tidak dikomsumsikan . oleh karena itu pendapatan akan dikeluarkan

dalam dua kategori yaitu pengeluaran untuk komsumsi dan pengeluaran

untuk tabungan .

Dalam ekonomi makro juga berlaku bahwa pengeluaran dalam

suatu perekonomian negara dapat dibagi atas pengeluaran untuk

tabungan . secara matematis , hubungan fungsional antara komsumsi ,

tabungan dan pendapatan adakah : Y = C + S dimana Y sebagai

110

pendapatn / pendapatan nasional , C sebagai pengeluaran untuk

komsumsi dan S adalah pengeluaran untuk tabungan .

Besar kecil konsumsi dan tabungan tergantung dari hasrat untuk

komsumsi (propesity to consume = PTC )dan hasrat untuk menabung

(propensity to save = PTS). Selain itu juga tergantung pada besar kecilnya

pendapat . apabila pendapatan bertambah besar ∆ Y , maka konsumsi

akan bertambah besar ∆ C dan juga tabungan akan bertambah besar

∆ S . rasio pertambahan konsumsi ( ∆ C) dibanding dengan

pertambahan pendapatan ( ∆ Y) disebut hasrat konsumsi marjinal

(marginal propensity to consume = MFC ) . sedangkan rasio pertambahan

tabungan ( ∆ S ) dibanding dengan pertambahan pendapat( ∆ Y )

disebut hasrat menabung marjinal (marginal propensity to save = MPS).

Sehingga dari keterangan diatas diperoleh :

MPC = ∆C∆Y

dan MPS = ∆S∆Y

Apabila pendapat bertambah sebesar ∆Y , maka konsumsi

bertambah sebesar ∆C dan tabungan bertambah sebesar ∆ S

sehingga ∆Y=∆C+∆S . apabila ruas kiri dan kanan dibagi dengan ∆Y

,maka diperoleh :

∆Y∆Y

= ∆C∆Y

+ ∆S∆Y

1 = ∆C∆Y

+ ∆C∆Y

+ ∆S∆Y

--- ∆C∆Y

= MPC : dan ∆S∆Y

= MPS

Sehingga : 1 = MPC + MPS atau

MPC = 1 – MPS dan MPS = 1 – MPC

Pada kenyataanya , saat pendapatan sama dengan nol masyarakat tetap

mengeluarkan konsumsi yaitu sebesar ( a ) . sedangkan tabungannya

sebesar ( -a) karena tabungan sama dengan pendapatan dikurangi

konsumsi . jadi apabila pendapatanya = 0 , konsumsi sebesar ( a ) , maka

tabungan = (-a) . di dalam penggambaran grafik , besarnya ( a ) dan (-a)

ini merupakan titik potong sumbu tegak (sumbu konsumsi dan

tabungan ). Dari penjelasan di atas , maka fungsi konsumsi dan tabungan

dapat ditulis sebagai berikut:

Y = C + S

111

C = a + b Y

S = Y – C --> S = Y – a – b Y

S = - a + ( 1 – b ) Y

Dimana :

Y = pendapatan

C = pengeluaran untuk konsumsi

S = pengeluaran untuk tabungan

a = besarnya konsumsi pada saat pendapatan = nol

b = MPC = besarnya tabungan pada saat pendapatannya nol

adanya tambahan pendapatan.

-a = besarnya tabungan pada saat pendapatannya nol 1 – b = MPS

Secara grafis, fungsi konsumsi , tabungan dan pendapatan dapat

dilihat pada grafik berikut ini :

Keterangan :

Garis bantu Y = C + S , merupakan garis impas yang membentuk sudut

45 ° dimana pada garis ini menunjukan bahwa pendapatan tempat

sama dengan konsumsi + tabungan .

E Merupakan titik equilibrium ( keseimbangan ) yaitu titik perpotongan

antara garis impas dengan garis konsumsi. Pada titik E ini semua

pendapatan habis dikonsumsikan yang berarti tabungannya sama dengan

nol ( ditunjukkan oleh titik Y E pada sumbu pendapatan dimana S = 0 )

E dan (-a) = titik potong garis konsumsi / tabungan dengan sumbu

konsumsi /tabungan dimana pendapatan = nol .

112

Untuk memberikan gambaran yang jelas berikut diberikan contoh

perhitungannya:

Contoh 26 : Pola konsumsi dari suatu masyarakat adalah pada

pendapatan Rp. 280 juta , konsumsi yang dikeluarkan sebesar

Rp. 220 juta . sedangkan pada pendapatan Rp. 200 juta

konsumsinya menurun menjadi Rp. 180 juta . Ditanyakan :

a. Bagaimana fungsi konsumsi dan tabunganya

b. Berapakah pendapatan pada keadaan equilibrium ?

c. Gambarkan grafiknya !

Jawab : a. Diketahui Y 1=280 juta ,makaC1=220 juta

Y 2=200 juta ,makaC1=180 juta

Y−Y 1

Y 2−Y 1

=C−C1

C2−C1

Y−280

200−280=

C−220180−220

=Y−280−80

=C−220−40

−40Y +11.200=−80C+17.600

−40Y=−80C+6.400

Y=2C−160

C=12Y+80 (F .konsumsi )

Fungsi tabungannya :

S=Y−C

S=Y−12Y−80

S=12Y−80(F . tabungan)

b. Pendapatan dalam keadaan equilibrium adalah

pada saat Y=C

Y=12Y +80

12Y=80

Y=160

113

Sehingga pendapatan pada saat equilibrium adalah 160 juta

c. Gambar grafiknya adalah sebagai berikut :

Contoh 26 : Pada saat pendapatann seseorang = nol , biaya yang

dikeluarkan untuk konsumsi per bulan sebesar Rp. 60.000,-

Sedangkan pada saat pendapatanya Rp. 150.000,- per bulan

tabungannya mencapai Rp. 30.000,-. Berapakah

pendapatannya ketika tabungan per bulannya mencapai Rp.

40.000,-?

Jawab : Fungsi konsumsi : C = By

Pada saat Y = 0 ----> C = Rp. 60.000,-

Maka a = 60.000

Pada saat Y = 150.000 ----> S = 30.000

S = Y – C Berarti C = 150.000 – 30.000 = 120.000

Padahal C = a + b Y

120.000 = 60.000 + 150.000 b

b = 0,4

Sehingga persamaan fungsi konsumsinya adalah

C + a + by

C = 60.000 + 0,4 Y

Dan fungsi tabungannya :

S = Y – C

S = Y – 60.000 – 0,4 Y

S = 0,6 Y – 60.000

Pada saat tabungannya mencapai Rp. 40.000/bulan

114

S = 0,6 Y – 60.000

40.000 = 0,6 Y – 60.000

0,6 Y = 100.000

Y = 166.666,67

Jadi tabungan per bulan sebesar Rp. 40.000,- apabila pendapatannya

Rp. 166.666,67

115

BAB VI

FUNGSI NON LINIER

Untuk menggambar grafik fungsi non linierm dilakukan dengan

menentukan titik-titik yang memenuhi persamaan atau ditentukan dulu

kaidah-kaidah untuk membuat garafik fungsi non linier . kaidah- kaidah

tersebut antara lain adalah :

a. Titik potong

Titik potong grafik yang dimaksud adalah titik perpotongan antara

grafik fungsi non linier dan garis sumbu. Titik potong dengan x

diperolah dengan memberi nilai y sama dengan nol dalam persamaan

untuk kemudian mencari nilai x yang dimaksud. Sedangkan titik

potong dengan sumbu y diperoleh deengan memberi nilai x sama

dengan nol ke dalam persamaan , kemudian mencari nilai y yang

dimaksud .

Dengan membuat titik-titik potong sumbu ini maka grafik fungsi yang

dimaksud dapat digambar

b. Simetris

Fungsi yang simetris terhadap sumbu x dan sumbu y tentu akan

simetris dengan titik original (nol). Tetapi grafik yang simetris terhadap

titik origin belum tentu simetris terhadap sumbu x dan y.

c. Batas nilai

Untuk menggambar grafik suatu fungsi harus dilihat tentang batas-

batas nilai dari variabel-variabel yang ada pada persamaannya. Grafik

yang akan digambar harus mempunyai batas bilangan rill. Sehingga

apabila dalam suatu titik ( x,y ), maka nilai-nilai dari x dan y harus

bilangan rill. Sedangkan bila salah satu titik nilainya adalah tidak rill

116

(imajiner) , maka titik ini tidak digunakan dalam penggambaran grafik

yang dimaksud.

d. Asimtot

Asimtot adalah suatu garis lurus yang didekati oleh grafik dengan

jarak yang semakin dekat dengan nol, tetapi tidak sampai saling

berpotongan di antara mereka. Garis asimtot yang biasanya digunakan

adalah asimtot yang sejajar dengan sumbu x yang disebut asimtot

datar (asimtot horisontal) dan asimtot sejajar dengan sumbu y,

disebut asimtot tegak (asimtot vertikal). Untuk asimtot datar sejajar

dengan sumbu x, diberi notasi y = k, untuk grafik y = f(x) dimana y

mendekati bilangan tak berhingga ( y−→ ) . Asimtot ini sering

digunakan apabila grafiknya berbentuk hiperbola.

e. Faktorisasi

Faktorisasi ini dimaksudkan untuk mencari akar-akar persamaan yang

terdiri dari dua faktor atau lebih. Sehingga dengan mengadakan

faktorisasi , maka persamaan yang terdiri dari dua faktor atau lebih

dapat lebih mudah digambar grafiknya. Misalnya suatu persamaan

x2+2 xy−3 y2

=0

Maka apabila akan dibuat grafiknya kita harus memfaktorkan

persamaan tersebut,yaitu:

x2+2 xy−3 y2

=0

x2+3 xy−xy−3 y2

=0

x ( x+3 y )− y ( x+ y )=0

maka : (x− y ) ( x+3 y )=0

Sehingga grafik dari persamaan x2+2 xy−3 y2

=0 adalah terdiri dari

dua buah garis lurus dengan persamaan garis x – y = 0 dan x + 3y = 0

Dengan membuat kaidah-kaidah yang telah dijelaskan di atas , maka

grafik dari persamaan yang dimaksud dapat dibuat dengan mudah.

117

Di dalam buku ini hanya akan dibahas mengenai fungsi non linier yang

sering digunakan dalam analisa bidang ekonomi yaitu meliputi fungsi

kuadrat, fungsi pecah dan fungsi kubik atau fungsi pangkat tiga

beserta penerapannya di dalam kasus ekonomi.

A. FUNGSI KUADRAT

Fungsi kuadrat adalah suatu fungsi non linier yang peubah

(variabel) bebasnya paling tinggi berpangkat 2 (dua). Bentuk grafik

fungsi kuadrat dapat berbentuk parabola, hiperbola, lingkaran, elips

atau bentuk yang lain. Berikut ini hanya akan dibahas fungsi kuadrat

yang berbentuk parabola.

Parabola merupakan tempat kedudukan titik-titik pada suatu

bidang datar yang jaraknya ke suatu titik dan garis tertentu adalah

sama . Titik-titik tersebut disebut sebagai fokus dan garisnya disebut

sbagai directrix. Suatu parabola memiliki sumbu simetri yang

membagi parabola tersebut sama besar. Titik perpotongan antara

sumbu simetris dan parabola yang bersangkutan disebut vartex.

1. Bentuk y=f ( x )=ax2+bx+c

Atau

2. Bentuk x=f ( y )=ay2+by+c

Dimana : y = variabel terikat pada persamaan bentuk pertama dan

sebagai variabel bebas pada persamaan kedua.

X = variabel bebas pada persamaan bentuk pertama dan

sebagai variabel terikat pada bentuk persamaan kedua.

a,b dan c sebagai konstanta

Untuk menggambar grafik persamaan parabola dapat dilakukan dengan

dua cara, yakni :

1. Dengan cara tabel

2. Dengannya cara menyelesaikan ciri-ciri (kaidah) matematis.

Contoh 1 : Gambarlah persamaan parabola y=x2−7 x+12

Jawab : a. Dengan cara tabel

118

y=x2−7 x+12

x 0 1 2 3 3 ½ 4 5 6y 12 6 2 0 -¼ 0 2 6

Setelah dicari nilai-nilai dari variabel x dan y, maka grafik parabola

tersebut dapat digambar yaitu :

b. Dengan cara mencari ciri-ciri matematisnya.

1) Titik potong dengan sumbu y, bila x=0 y=ax2+bx+c —untuk x=0

Maka y = 0 --- titik potongnya pada (0,c)

2) Titik potong dengan sumbu x, bila y=00=ax2+bx+c

Disini ada tiga kemungkinan, yaitu :

a) Bila determinan (D) atau b2−4ac>0

Maka ada 2 (dua) titik potong

b) Bila D = 0, maka parabola menyinggung garis sumbu x.

c) Bila D < 0, maka tidak ada titik potong dengan sumbu x.

a) Kemungkinan pertama, bila D > 0

x1;2=−b±√b2

−4 ac2a

Sehingga titik potongnya :

x1=−b±√b2

−4ac2a

119

Dan

x2=−b±√b2

−4ac2a

b) Kemungkinan kedua, bila D = 0 maka grafik parabola menyinggung

sumbu x, yaitu pada

x=−b2a

c) Kemungkinan ketiga,bila D < 0 titik puncak parabola pada x=−b2a

dan pada

y=−D4 a

=−(b2

−4ac)4 a

3) Sumbu simetri

Sumbu simetri parabola pada x=−b2a

Untuk lebih jelasnya kita lihat contoh 1 di atas yaitu y=x2−7 x+12

Titik potong dengan sumbu y bila x = 0

Y = 0 – 0 + 12 ---- y = 12

Jadi titik potong dengan sumbu y pada ( 0,12 )

Titik potong dengan sumbu x bila y = 0

0=x2−7 x+12

Determinan (D) =

−7¿¿

b2−4ac=¿

maka ada dua titik potong.

−7¿¿

¿2−4.1.12−7±√ ¿x1 ;2=¿

x1=7+12

=4 danx2=7−12

=3

Jadi titik potong dengan sumbu x pada (4,0) dan titik (3,0).

Titik puncak parabola : x=−(−7)

2.1=3,5

120

Dan

−7¿

(¿¿2−4.1.12)¿

−¿y=¿

Sehingga titik puncaknya pada (3,5; 4

−1 /¿¿

Sumbu simetrinya adalah x=−(−7)

2=3,5

Jadi sumbu simetrinya adalah garis yang sejajar sumbu y pada x =

3,5.

Dengan diketahui ciri-ciri matematisnya, maka grafiknya dapat

digambar sebagai berikut :

Untuk menyidik mengenai posisi parabola apakah terbuka ke atas atau

kebawah ; memotong sumbu x atau tidak, dapat dilihat pada ketentuan

berikut ini :

- Apabila D > 0 dan a > 0

Maka parabola menghadap ke atas dan mempunyai 2 titik potong

dengan sumbu x

- Apabila D = 0 dan a > 0 maka parabola menghadap ke atas dan

menyinggung sumbu x.

- Apabila D < 0 dan a > 0, maka parabola menghadap ke atas dan

tidak berpotongan dengan sumbu x.

- Apabila D > 0 dan a > 0, maka parabola menghadap ke bawah dan

mempunyai 2 titik potong dengan sumbu x.

121

- Apabila D = 0 da a < 0, maka parabola menghadap ke bawah dan

mempunyai titik singgung dengan sumbu x.

- Apabila D > 0 dan a < 0 , maka parabola menghadap ke bawah dan

tidak memotong sumbu x.

Untuk menggambar grafik fungsi parabola bentuk yang kedua

yaitu

x= f ( y )=ay2+by+c juga berlaku cara-cara dalam menggambar parabola

bentuk pertama.

Contoh 2 : Gambarlah fungsi parabola dengan persamaan x= y2+5y−6

Jawab : - Titik potong dengan sumbu x bila y = 0

x=0+0−6−−−x=−6

Jadi titik potongnya pada (-6,0 )

-Titik potong dengan sumbu y bila x = 0

0= y2+5 y−6

D=b2−4 ac=52

−4.1 . (−6 )=49

D > 0 --- terhadap 2 titik potong dengan sumbu y

y2+5 y−6=( y+6 )( y−1)

y1=−6dan y2=1

Jadi titik potongnya adalah (0,-6) dan (0,1).

-Titik puncak parabola y=−b2a

=−52

−212

Untuk x=−D4a

=−494.1

=−121 /4

Jadi titik puncaknya adalah (−121/4 ;−212)

-Sumbu simetri pada ; y=−b2a

=−52

=−212

- Gambar grafiknya adalah sebagai berikut :

122

Untuk menyidik posisi parabola apakah terbuka ke kanan atau

terbuka ke kiri, memotong sumbu y atau tidak,dapat dijelaskan

sebagaib berikut :

- Apabila D > 0 dan a > 0, maka parabola terbuka ke kanan dan

mempunyai 2 titik potong dengan sumbu y.

- Apabila D = 0 dan a > 0 maka parabola menghadap ke kanan dan

menyinggung sumbu y.

- Apabila D < 0 dan a > 0, maka parabola menghadap ke kanan dan

tidak memotong /menyinggung dengan sumbu y.

- Apabila D > 0 dan a < 0 , maka parabola terbuka ke kiri dan

memotong sumbu y di dua tempat.

- Apabila D = 0 dan a < 0 , maka parabola terbuka ke kiri dan

menyinggung sumbu y.

- Apabila D < 0 dan a < 0 , maka parabola terbuka ke kiri dan tidak

menyinggung/memotong sumbu y.

Soal-soal untuk latihan :

Gambarlah persamaan garis berikut :

1. y=−x2+9x−14

2. y=2 x2−2x−12

3. y=−x2−2x−15

4. x= y2−3 y+2

5. x= y2 y+6

123

B. FUNGSI PECAH

Bentuk umum fungsi pecah adalah y=ax+bcx−d

Dimana : y sebagai variabel terikat

X sebagai variabel bebas

a,b,c dan d sebagai konstanta

Gambar grafik fungsi pecah adalah berbentuk hiperbola. Untuk

menggambar grafik fungsi pecah

Dapat dilakukan dengan langkah-langkah sebagai berikut :

1. Titik potong dengan sumbu y , bila x = 0 , sehingga

d0,b/¿

y=a .0+bc .0+d

=bd−→ titik potongnya¿

2. Titik potong dengan sumbu x , bila y = 0, sehingga

0=ax+bcx+d

−−→0=ax+b−→ax=−b

a ,0−b/¿

x=−ba

,makatitik potongnya pada¿

3. Asimtot

- Asimtot tegak tercapai apabila nilai y tidak terhingga ( ),

sehingga persamaan menjadi:

=ax+bcx+d

−−−cx+d=ax+b

Suatu bilangan apabila dibagi dengan bilangan tidak terhingga

hasilnya = nol .

Maka : cx+d=0−−−x=−d /c s

Jadi asimtot tegak terletak pada garis x=−dc

- Asimtot datar tercapai apabila nilai x tidak terhingga ( ),

sehingga persamaan menjadi

y=a+b/ xc+d / x

−−− y=a+b/c+d /

y=a+0c+0

−−− y=ac

124

Jadi asimtot datar terletak pada garis y=a/c

4. Menggunakan tabel nilai x dan y yang bersesuaian dengan

persamaan fungsi pecah yang dimaksud. Setelah langkah-langkah

tersebut di atas dihitung maka fungsi pecah dapat digambar.

Contoh 3 : gambarlah grafik fungsi pecah y = 2 x+6x+2

Jumlah : - titik potong sumbu y bila x = 0 maka

y= 0+60+2

= 3 - titik potong ( 0, 3)

- Titik potong dengan sumbu x bila y = 0, maka X= -6/2= -3

-- titik potongnya ( -3,0)

- asimtot tegak =x = -d/c = - 2/1 = -

Jadi asimtot tegak adalah pada x = -2

- Asimtot datar = y = a /c = 2/1 =2

Jadi asimtot datar adalah pada y= 2

- Membuat tabel untuk nilai nilai x dan y yang bersesuaian

yaitu

x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 ~y 1 0 ~ 4 3 8/3 2 ½ 12/5 2

- Gambar grafiknya adalah sebagai berikut:

125

SOAL SOAL UNTUK LATIHAN

Gambarlah persamaan fungsi pecah berikut ini :

1. y =3−2 x1−x

2. y =3 x−12x+2

3. y =2 x−7−x+3

C. Fungsi Kubik

Fungsi kubik atau fungsi pangkat tiga adalah suatu fungsi non

linear yang variabel bebasnya paling tinggi berpangkat tiga . bentuk

umum fungsi pangkat tiga adalah :

y = ax3+cx+d

Dimana : y sebagai variabel terikat

126

X sebagai variabel bebas

A,b.c dan d sebagai kostanta

Untuk mengambar fungsi kubik pada dasarnya sama dengan

mengambar fungsi kuadrat sebagaimana telah di jelaskan di muka .

gambar grafik fungsi kubik memiliki 2 titik puncak ( titik ektrim )

yaitun titik maksimum dan titik belok ini tergantung pada nilai a,b

dan c yang ikut membentuk persamaan yang di maksud,

Contoh 3 : gambarlah grafik dari fungsi

Y = x3-2x2+ x+3

Jawab: - dibuat tabel nilai-nilai x dan y yang bersesuaikan

X -3 -2 -1 0 1 2 3y -44 -14 0 4 4 6 16

- Gambar grafiknya adalah;

Contoh 4 : Gambarlah grafik dari fungsi

y = x3 – 3x2 – 2x

jawab: Tabel nilai x dan y adalah:

127

X -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5y -48 -16 -2 0 -4 -8 -6 8 40

g - Gambar grafiknya adalah

Untuk mencari titik – titik maksimum dan minimum maupun titik belok

secara lebih jelas dapat dicari dengan cara differensial

Soal-soal untuk latihan :

1. y = 2x3 – 4x2 + 7x – 5

2. x = x3 – 9x2 +15x + 40

3. y = - 2x3 + 16 x2

D. PENERAPAN FUNGSI NON LINIER DALAM EKONOMI

1. Fungsi Permintaan , Penawaran Dan Keseimbangan Pasar

Untuk memperoleh garis fungsi permintaan dan penawaran

kita ambil fungsi permintaan dan penawaran yang berbentuk fungsi non

linier yang memiliki nilai positif yaitu yang berada di kuadrat pertama.

Sehingga fungsi permintaan dan penawaran ini dapat berbentuk

potongan parabola , hiperbola atau potongan fungsi non linier yang lain .

biasanya dalam penerapan ekonomi , sumbu fertikal dalam sistem

sumbu kordinat di ganti dengan notasi harga ( p= price ), sedangkan

sumbu horisontal ( x ) di ganti dengan notasi kuantitas ( Q = quantity).

128

Selain berbentuk linier , keseimbangan pasar juga berlau untuk

keseimbangan pasar ini juga akan terjadi apabila jumlah barang yang di

minta (Qd =demand quantity ) sama dengan jumlah barang yang di

tawarkan (Qs = supply quantity). Sehingga secara mudah di pahami

bahwa keseimbangan pasar akan trercapai pada saat Qd= Qs.

Keadaan ini tercapai pada perpotongan fungsi permintaan dan

penawaran yang di gambar dalam satu sistem sumbuh koordinat .

Untuk memberikan gambaran yang jelas , dapat di ikuti

contoh contoh berikut ini:

CONTOH 5 : permintaan suatu barang di formulasikan oleh persamaan

p = 2Q2 – 11Q + 15, sedangkan fungsi penawaran di

formulasikan oleh persamaan P= Q2+ 1. Carilah titik

keseimbangan pasar dari barang tersebut dan gambaran

grafiknya

Jawab : - fungsi permintaan ( Qd) :p = 2Q2-11Q-15 titik potong

dengan sumbu p = bila Q = 0

P=2.0-11.0+15 = 15 — titik potong ( 0,15)

Titik potong dengan sumbu Q bila p = 0

0 = 2Q2 – 11Q + 15

Q1 ;2=−b±√b2

−4ac2a

Q1 ;2=−(−11)±√(−11)2−4.2 .15

2.2

Q1 ;2=11±√121−120

4=

11±14

Q1=11+1

4=3 ;Q2=

11−14

=2,5 ;

Jadi titik potong sumbu Q pada (3,0) ; (2,5 ; 0)

Titik puncak pada Q = −b2a

=−(−11)

2.2 .=2

34

Dan pada P = −D4a

=−14.2

=−1/8

Jadi titik puncak pada (2 ¾ ; - 1/8)

- fungsi penawaran (Qs) : P = Q2 + 2Q

titik potong sumbu P, bila Q = 0

129

maka titik potongnya pada (0,1)

titik potong sumbu Q, bila P = 0

Q = Q2 + 2Q + 1

Q1 ;2=−2±√22

−4.1 .12.1

=−2±0

2

Q1 = -1 dan Q2 = -1 jadi merupakan titik singgung (ingat D =

0, grafik menyinggung sumbu Q) pada titik (-1,0)

Titik puncaknya pasar tercapai pada Qd = Qs

Jadi : 2Q2 – 11Q + 15 = Q2 + 2Q 1

Q2 – 13Q + 14 = 0

Q1 ;2=−(−13)±√(−13)

2−4.1.14

2.1

Q1 ;2=13±√169−156

2=

13±√11132

Q1=13+10.63

2=11,615 ;Q2=

11−10.632

=1,185

Untuk Q2 = 1,185

P = Q2 + 2Q + 1 = (1,185)2 + 2(1,185) + 1

P = 4,77

Jadi keseimbangan pasar tercapai pada titik (1,185 : 4,77)

sedangkan untuk

Q1 = 11,815

P = (11,815)2 + 2 (11,185) + 1

P = 164,22

Maka keseimbangan pasar yang kedua tercapai pada titik

(11,815 ; 164,22)

Gambar grafiknya adalah sebagai berikut :

130

2. Pengaruh Pajak

Seperti hal nya keseimbangan pasar fungsi linier

keseimbangan pada fungsi non linier akan berubah apabila ada

barang yang bersangkutan di kenakan pajak . pajak yang di

kenakan tersebut akan menaikan harga jual barang yang di

tawarkan . hal ini terlihat pada berubahnya fungsi penawaran

barang yang di maksut . dengan adanyan pajak ini maka barang

yang di minta akan berkkurang dari sebelum di kenakan pajak .

Besarnya pajak yang di kenakan pemerintah tersebut tidak

seluruhnya di tanggung oleh produsen , tetapi beban pajak tersebut

oleh produsen di alihkan sebagian pada konsumen yaitu dengan

naiknya harga barang yang di kenakan pajak tersebut besarnya

beban pajak yang di tanggung oleh konsumen (tk) adalah selisih

antara hargab keseimbangan setelah pajak (P1) dengan harga

keseimbangan sebelum pajak (P0). Sedangakan besarnya pajak

yang di tanggung produsen ( tp) adalah selisih antara pajak yangt

di kenakan terhadap barang tersebut (t) dengan pajak yang

menjadi tanggung jawab konsumen (tk). Perhitungan –perhitungan

tersebut adalah untuk setiap unit barang. sedangkan apabila ingin

131

mengetahui jumlah pajak yang dikenakan maupun pajak yang di

tanggung oleh konsumen dan produsen, kita tinggal menggalikan

jumlah barang yang di produksi / di jual . dari penjelasan

tersebut , apabila fungsi penawaran sebelum pajak (QS) adalah p=

f(Q) sedangkan pajak yg di kenaka perunit sebesar t, maka fungsi

penawaran setelah pajak (QS) adalah p= f (Q) + t .sedangkan

fungsi permintaannya sebelum dan sesudah pajak tetap sama

yaitu Qd : p =f(Q) .

Untuk lebih jelasnya, diberikan contoh berikut :

Contoh 6: diketahui fungsi permintaan suatu barang (Qd) adalah P = Q2

- 11Q +30 , sedangkan fungsi penawaran (QS) : P = Q2 + 1.

apabila terhadap barang tersebut di kenakan pajak per unit

sebesar Rp . 3,-, di tanyakan .

1) Keseimbangan pasar sebelum dan sesudah pajak

2) Pajak yag di tanggung konsumen ( tk)

3) Pajak yang di tanggung produsen (tp)

4) Pajak yang di terima oleh pemerintah ( tg)

5) Gambarlah grafik keseimbangan pasar sebelum

Jawab :

1) Keseimbangan pasar sebelum dan sesudah pajak.

- Keseimbangan pasar sebelum pajak :

Qd=Qs−−→Q2−11Q+30=Q2

+1

−11Q=−28−−→Q=2,64

Untuk Q=2.64

P=Q2+1= (2,64 ) 2+1=7,87

Jadi keseimbangan sebelum pajak

E= (2,64 ;7,97 )

- Keseimbangan pasar sesudah pajak

Qd=Qs−−→Q2−11Q+30=Q2

+1−3−11Q=−26−−→Q=2,36

Untuk Q=2,36

P=Q2+1= (2,36 )2+4=9,57

132

Jadi keseimbangan pasar sesudah dikenakan pajak sebesar

Rp3

unit adalah E (2,36 ;9,57 )

2) Pajak yang ditanggung konsumen per unitnya

¿harga sesudah pajak−harga sebelum pajak=9,57−7,79=1,6

Jumlah pajak yang ditanggung konsumen adalah

¿ pajak yangditanggung konsumen per unit x . Keseimbangan jumlahsesudah pajak=1,6 x2,36=3,776

3) Pajak yang ditanggung produsen per unitnya

¿ tingkat pajak−pajak yang ditanggung konsumen=3−1,6=1,4

Jumlah pajak yang ditanggung produsen adalah

¿ pajak yagditanggung konsumen per unit xkeseimbangan jumlahsesudah pajak=1,4 x 2,36=3,304

4) Pajak yang diterima pemerintah

¿ tingkat pajak xkeseimbangan jumlah sesudah pajak=3 x 2,36=7,08.

5) Gambar keseimbangan pasar sebelum dan sesudah pajak adalah

sebagai berikut :

Keterangan :

A=Pajak yang ditanggung konsumen

133

B=Pajak yangditanggung produsen

A+B=Pajak yangditerima oleh pemerintah

E=Keseimbangan pasar sebelum pajak

E'=Keseimbangan pasar sesudah pajak

4. Pengaruh Subsidi

Selain mengenakan pajak terhadap barang yang di jual,

pemerintah juga memberikan subsidi terhadap suatu

barang. Pemberian subsidi akan mengakibatkan biaya

produksi barang yang bersangkutan sebagai dibiayai

dengan subsidi tersebut , sehingga harga jualnya akan

lewbih rendah di bandingkan apabila tidak di beri subsidi .

besarnya subsidi yang di berikan pemerinyah tertsebut

yaitu sebagai akan dinikmati baik oleh produsen maupun

oleh konsumen. Bagian subsidi yang dinikmati oleh

konsumen (sk) adalah sebesar selisih antara harga

keseimbanggan sebelum subsidi (P 1). Sedangkan bagian

subsidi yang dinikmati oleh produsen (sp ) adalah sebesar

selisih antara besaran subsidi yang di miliki oleh

konsumen .

Jumlah subsidi secara keseluruhan yang di miliki mati

oleh konsuimen maupun produsen adalah sebesar bagian

subsidi yang dinikmati nya seperti tersebut di atas

dikalikan dengan jumlah barang yang terjual . sedangkan

jumlah subsidi yang di berikan oleh pemerintah adalah

sebesar subsidi per unit dikalikan dengan jumlah barang

yang terjual (sg=sxQ).

Dari penjelasan di atas , apabila fungsi penawaran sebelum

subsidi (Qs) adalah p =f (Q) sedangkan subsidi yang di

berikan pemerintah sebesar s setiap unitnya , maka fungsi

penawaran sesudah subsidi (Qs) menjadi p = f ( Q) – s .

Sedangkan fungsi pemerintah sebelum dan sesudah subsidi

adalah tetapan sama yaitu Qd =Qd : p = f (Q).

134

Untuk lebih jelasnya , di berikan contoh berikut

Contoh 6 : seperti pada contoh 5 di muka diketahui

Fungsi penawaran (Qs):

P = Q2 +1

Apabila pemerintah memberikan subsidi terhadap barang

tersebut sebesar Rp 4 per unit carilah :

1) Keseimbangan pasar sebelum dan sesudah subsidi

2) Subsidi yang dtanggung konsumen ( sk )

3) Subsidi yang di tanggung produsen ( sp)

4) Jumlah subsidi yang di berikan oleh pemerintah (sg)

5) Gambarlah grafiss keseimbangan pasar sebelum dan

sesudah subsidi

Jawab : 1) keseimbangan pasar sebelumya dan sesudah subsidi

- keseimbangan pasar sebelum subsidi :

Qd = Qs Q2 – 11Q + 30 = Q2 + 1

-11Q = -29 Q = 2, 64

Untuk Q = 64

P= Q2 + 1 = ( 2, 64 ) 2+1 = 7 , 97 jadi

keseimbangan sebelum subsidi adalah pada titik e

( 2, 64 ,7 97 )

- Keseimbangan pasar sesudah subsidi :

Qd ‘ = Qs ‘ Q2 – 11Q = 30 = Q2 + 1 – 4

- 11Q = -33 Q1 = 3

Untuk Q =

Jadi kesimbangang pasar sesudah subsidi adalah

pada titik E (3,6)

2) Subsidi yang dinikmati konsumen per unit x

keseimbangan jumlah sesudah subsidi = 7,97 - 6 = 1,97

Qd=Qs−−−−¿Q2−11Q+30=Q2

+1

−11Q=−28−−−→Q=2,64

UntukQ=64

P=Q2+1= (2,64 )2+1=7,97

135

Jadi keseimbangan sebelum subsidi adalah pada titik E (2,64 ;7,97 )

-Keseimbangan pasar sesudah subsidi

Qd=Qs−−−−¿Q2−11Q+30=Q2

+1−4

−11Q=−33−−−→Q1=3

UntukQ=¿

P=Q2−3=(3 )2−3=6−−→P1=6

Jadi keseimbangan pasar sesudah subsidi adalah pada titik E(3,6)

2) Subsidi yang dinikmati konsumen per unit = Harga keseimbangan

sebelum subsidi – harga keseimbangan sesudah subsidi

¿7,97−6=1,97

Jumlah subsidi yang dinikmati konsumen = subsidi yang dinikati

konsumen perunit x keseimbangan jumlah sesudah subsidi

¿1,97 x3=5,91

3) Subsidi yang dinikmati produsen perunit = besarnya subsidi perunit

- bagian subsidi yang dinikmati oleh konsumen ¿4−1,97=2,03

Jumlah subsidi yang dinikmati produsen adalah = subsidi yang

dinikmati produsen per-unit x keseimbangan jumlah sesudah

4) Subsidi yang diberikan Pemerintah

=subsidi per unit x keseimbanga jumlah

sesudah subsidi ¿4 x 3=12

5) Gambar keseimbangan pasar sebelum dan sesudah subsidi adalah

sebagai berikut:

136

Keterangan :

A=Subsidi yangdinikmati konsumen

B=Subsidi yangdinikmati produsen

A+B=subsidi yangdierikan pemerintah

E=Kesimbangan pasar sebelum subsidi

E=Keseimbangan pasar sesudah subsidi

P0danQ 0=Keseimbanganhargadan jumlah sebelum pajak

P1danQ 1=Keseimbanganhargadan jumlahsetelah pajak

5. Analisis Biaya , Volume Dan Laba Non Linier

Seperti halnya pada fungsi linier analisa biaya volume dan

laba juga di analisis dengan fungsi b non linier . sudah kita

ketahui bahwa biaya produksi terdiri dari biaya tetap (fixied coist

= FC ), biaya variabeol ( variabewl cost = VC sedangkan biaya

tetap di tambah biaya variable diisebut biaya total ( total cost =

TC). Selain pengertian biaya tetap , biaya variable ,biaya total

137

tersebut di atas , di kenal pula konsep biaya rata rata (average cost

=MC).biaya rata rata ini merupakan hasil bagi antara total biaya

dengan jumlah barang yang di hasilkan ,sedangkan biaya di

keluarkan untuk mengasilkan satu unit tambahan barang yang di

hasilkan.

Jumlah barang yang di hasilkan sering disebut sebagai volume

produksi dalam satuan periode tertentu apabila di hubungkan

dengan biaya produksi, volume produksi ini akan nmenentukan

besarnya biaya marjanin volume produksi ini akasn menentukan

besarnya volume secara matematis dapat di jelaskan sebagai

berikut :

Total cost = TC =VC+ FC

Variabel cost = VC =F(Q)

Fixed cost = fc = k

Sehingga TC = F (Q) + k

Average Cost = AC = TCQ

Margini Cost = MC = TAMBAHAN BIAYA

TAMBAHAN PRODUKSI =

ΔTCΔQ

Average Fixed Cost = AFC = FCQ

Average Variable Cost = AVC = VCQ

Karena TC + FC , maka AC = AVC + AFC

Laba perusahaan yang di peroleh merupakan selisih antara

penerimaan total dengan biaya total nya. Penerimaan total ( total

revenue = TR ) merupalan hasil kali volume penjualan ( Q) dengan

harga jual barang yang bersangkutan ( P ) . yang berarti bahwa

penerimaan ini juga di kenal pendapatan rata –rata ( Average

Reveman ) total dengan jumlah barang yang jual secara matematis

konsep penerimaan dapat

Di jelaskan sebagai berikut TR :

TR = total Revenue = f (Q) = P X Q

AR=¿ Average Revenue = TRQ

138

MR = marginal Revenue= tambahanTRtambahanQ

=ΔTRΔQ

Penerimaan rata rata adalah total penerimaan di bagi dengan

jumlah unit barang yang di jual . padahal total dengan jumlah unit

baranng yang di jual . padahal total penerimaan juga sama

dengan harga (P) kali jumlah unit barang yang di jual . hal ini

berarti penerimaan ratA rata sama dengan harga jual . hal ini

berarti penerimaan rata rata sama dengan harga jual per unit .

TR =AR X Q atau TR = PxQ

Maka : AR = P

Apabila di gambarkan dalam grafis , ternyata bahwa grafis fungsi

penerimaan rata rata akan sama dengan fungsi penerimaan

barang yang di maksut

Sudah di jelaskan di muka bahwa laba merupakan selisih antara

penerimaan total dengan biaya total apabila penerimaan total

lebih besar dari pada biaya totalnya akan terjadi laba. Sebaliknya

apabila penerimaan total lebih kecil dari biaya totalnya maka

akan terjadi rugi . sedangkan apabila penerimaan total sama

dengan biaya totalnya maka perusahaan dalam keadaan pulang

pokok ( titik pulang pokok) atau di sebut sebagai brek even point ,

yakni di mana labanya sama dengan nol (tidak memperoleh laba

atau menderita kerugiaan ).

Penerimaan maksimal akan tercapai pada titik puncak fungsui

penerimaan sedangkan laba maksimal akan tercapai pada titik

puncak fungsi laba untuk memberikan gambaran yang lebih jelas

berikut ini di berikan contoh masalah di atas

Contoh 7 : fungsi permintaan suatu barang di formula sikan oleh

persamaan p = - 4Q + 520 . di formulkan biaya nya

adalah TC = Q2+ 20Q + 3500.

Di tanyakan :

1) Break even points (BEP)

2) Penerimaan maksimal

139

3) Keuntungan maksimal

4) Gambar grafikaan nya

Jawab : 1) Break even point (BEP) tercapai pada saat

TR = TC, TR = P x Q =(-4Q+520) Q

TR = -4Q + 520 Q

TC = Q2+ 20Q + 3.500

BEP - 4Q 2+ 520Q=Q2 + 20Q +3.500

= 5 Q2+ 500Q - 3500 =0

= -Q2 + 100Q – 700=0

Q1.2=−b±√b2

−4 ac2a

−700¿

¿10002−4(−1)¿

−100±√¿Q1.2=¿

−100± √10.000❑−2.800¿

−2Q1.2=¿

−100± √7200¿

−2=

−100±84,85−2

Q 1.2=¿

Q1=−100+84,85

−2=7,58

Q2=−100−84,85

−2=92,43

Untuk Q1 = 7,58

TR = 520 Q - 4Q 2 = 520 (7, 58

¿¿2

TR = 3. 941, 6 – 229, 83

TR = 3. 711,77 = 3.712

TC = TR = 3. 712

P = 520 – 4Q

p1 = 520 – 4(7,58) = 489, 63

Untuk Q2 = 92, 43

140

TR = 520 Q - 402 = 520 (92, 43) – 4 (92, 43 ¿2

TR = 48 . 063, 6 – 34. 173 ,22

TR = 13.890, 38 = 13.890

TC = TR = 13.890

P =520 – 4Q = 520 – 4 (92., 43)

p2 = 520 – 369 , 72 = 150, 28

Jadi BEP tercapai pada saat :

BEP1 = Q1 = 7, 28 dan p1 = 489, 68

BEP2 = --> Q2 = 92, 43 dan p2 = 150 ,28

2) penerimaan maksimal tercapai pada Q = -b /2a

Fungsi penerimaan (TR)

TR = 520Q - 4Q2

Q = −b2a

=−5202(−4 )

65=¿

P = 520 – 4 Q =520 - 4 (65) = 520 – 260 = 260

TR = 520Q – 4 (Q ¿2 = 520 (65 ¿

2

TR = 33. 800 – 16 . 900 = 16 .900

Jadi penerimaan maksimal tercapai pada saat Q = 65 unit dan harganya p

= 260 , dengan jumlah penerima 16. 900

Keuntungan maksimal tercapai pada titik puncak fungsi keuntungan

(fungsi laba)

Laba (π) = TR –TC

π = 520Q - 4Q2 - Q2 - 2Q - 3. 500

π = 5Q2 + 500Q – 3. 500

π maksimal terjadi pada Q = - b/ 2a

π maksimal = -500 /2 (-5) = 50 unit

Q = 50 , maka laba = - 5 (50 ¿2 + 500 (50) – 3. 500

= - 12. 500 + 25. 000 – 3.500

= 9.000

Jadi laba maksimal tercapai pada saat jumlah barang 50 unit dengan

laba yang diperoleh 9.000.

4) gambar grafiknya adalah sebagai berikut :

141

Keterngan :

Q1 dan Q2 = jumlah produksi pada BEP

B – C = laba maksimal

E1 = BEP pertama pada (7,56; 3. 712)

E2 = BEP kedua pada (92, 43; 13. 890)

A = titik puncak perimaan maksimal

Q4 = jumlah produksi pada pemerimaan maksimal

Q3 = jumlah produksi pada laba maksimal

Contoh 8 : Hasil produksi suatu persahaan mempunyai fungsi permintaan

P=−0,25Q+25, sedangkan fungsi biaya totalnya adalah

TC=0,75Q2−75Q+1875. Dari data tersebut, dinyatakan:

1) BEP dalam unit ( jumlah ) produksi

2) Jumlah produksi yang menghasilkan pererimaan maksimal

3) Jumlah produksi yang menghasilkan laba maksimal

4) Laba yang diperoleh apabila perusahaan menjual 60unit

5) Gambar grafiknya

Jawab :

1) BEP dalam unit ( jumlah ) produksi

TR=P xQ=(−0,25Q+25 )Q=−0,25Q2+25Q

TC=0,75Q2−75Q+1.875

BEP terjadi pada saat TR=TC

−0,25Q2+25Q=0,75Q2

−75Q+1.875

−Q2+100Q−1.875=0

Q2−100Q+1.875=0

Q1 ;2=−b±√b2

−4ac2a

Q1 ;2=−(−100 )±√(−100 )

2−4.1.1875

2.1

Q1 ;2=100±√2.500

2=

100±502

142

75¿2+25 (75 )

Q1=100+50

2=75−−→TR=−0,25 ¿

¿−1.406,25+1.875=468,75

25¿2+25 (25 )

Q2=100−50

2=25−−→TR=−0,25¿

¿−156,25+625=468,75

Jadi BEP dalam unit terjadi pada saat perusahaan menjual sebanyak 75

unit dan 25 unit.

2) Jumlah produksi yang menghasilkan penerimaan maksimal adalah

sebagai berikut :

TR=−0,25Q2+25Q

TR maksimal terjadi pada Q=−b2a

Q=−b2a

=−25

2 (−0,25 )=50

Jadi untuk menghasilkan penerimaan yang maksimal, maka harus

diproduksi/dijual sebanyak 50 unit.

3) Jumlah produksi yang menhasilkan laba maksimal adalah :

Laba (π )=TR−TC

π=−0,25Q2+25Q−0,75Q2

+75Q−1.875

π=−Q2+100Q−1.875

Laba maksimum terjadi pada Q=−b2a

=50

Jadi untuk menghasilkan laba yang maksimal, maka perusahaan harus

menjual 50 unit.

4) Laba yang diperoleh apabila dijual 60 unit

TR=−0,25 (60 )+25 (60 )=−900+1.500

TR=600

60¿2−75 (60 )+1.875TC=0,75¿

TC=2.700−4.500+1.875

TC=75

Laba=TR−TC

143

60¿2+100 (60 )−1.875Atau laba=−¿

laba=−3.600+6.000−1.875

laba=525

5) Gambar grafiknya adalah sebagai berikut TR, TC

Keterangan :

Q1danQ3= jumlah produksi padaBEP

Q2= jumlah produksi pada penerimaanmaksimaldan labamaksimal

A−B=penerimaan danlabamaksimal

BE P1=BEP pertama pada (25 ; 468,75 )

BE P2=BEP kedua pada (75 ;468,75 )

Dalam contoh 8 di atas terlihat bahwa laba maksimal tercapai pada

saat penerimaan juga maksimal yaitu jarak A dan B dengan jumlah

produksi atau jumlah yang terjual sebanyak 50 unit . Hal ini juga

merupakan jarak terlebar antara fungsi TR dan TC . namun demikian ,

tidak setiap jarak yang terlebar dari pada grafik penerimaan akan

menghasilkan laba yang maksimal . jadi tidak setiap penerimaan yang

maksimal akan menghasilkan laba yang maksimal . seperti hal nya pada

contoh ke tujuh ( contoh 7 ) di muka di sana terlihat bahwa pada

penerimaan maksimal . ( titik A ) tidak memberikan laba yang maksimal

terdapat pada saat jumlah barang yang di produksi / di jual sebanyak

yaitu jarak antaran titik B dan C

Untuk menentukan hasil maksimal secara grafis di tentukan oleh jarak

antara TR dan TC semakin lebar ( selisih ) antara TR dan TC yang

144

positif , semakin lebar pula yang di peroleh . namun sekali lagi bahwa

tidak selalu bahwa laba maksimal terjadi pada saat gravik total

penerimaan mencapai titik yang maksimal dan juga tidak pasti mesti

terjadi pada saat biaya produksi minimal . untuk memperdalam

konsep biaya , volume dan laba ini , para pembaca dapat membaca buku

buku yang membahasnya

145

BAB VII

Matrik s dan V ector

Matriks adalah kumpulan bilangan yang disajikan secara teratur

dalam baris dan kolom serta termuat dalam sepanjang tanda kurung

.

A3x4= (a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

a14

a24

a34)

Unsur - unsur matriks dilambangkan dua notasi aij ,dimana i

menunjukkan baris sedangkan j kolom .

Pada contoh di atas matriks A adalah matriks berorde 3 x4

Vector adalah bentuk matriks khusus yang hanya mempunyai satu

baris atau satu kolom :

Vector baris : vector kolom :

a. [24−5 ]

b. [637 ] a= [362]

b= [5

−79 ]

Pengop e rasian Matriks

1. Penjumlahan dan pengurangan matriks

A = [2 −3 58 2 4] B = [1 6 2

0 4 5]C= [3 3 7

8 6 9]A± B = C

Kaidah komutatif = A + B =B+A

Kaidah Asosiatif = A + (B+C)=(A+B)+ C=A+B+C

146

2. Perkalian matriks d en gan s k alar

λ = 3 A = [2 −3 58 2 4]

λA = B =3 [2 −3 58 2 4] = [ 6 −9 15

18 6 12 ]

λA = B

Kaidah komutatif : λA = Aλ

Kaidah distributif : λ(A±B) = λA ± λB

3. perkalian antar matriks

A2x3= [2 −3 58 2 4] B3x2 = [

3 56 −72 9 ]

C2x2= [2 (3 )+(−3 ) 6+5 (2 ) 2 (5 )+ (−3 ) (−7 )+5(9)8 (3 )+2 (6 )+4 (2 ) 8 (5 )+2 (−7 )+4 (9) ]

= [−2 7644 62]

AmxnBnxp =Cmxp

Kaidah asosiatif = A(BC) = (AB)C=ABC

Kaidah distributif = A(B+C) = AB+AC

(A+B)C = AC +BC

4. Perkalian matriks dengan vector

Amxn xbnx1=Cmx 1

n˃1

[2 −3 58 2 4] [

362]=[2 (3 )+(−3 )6+5(2)

8 (3 )+2 (6 )+4 (2) ]=[−244 ]

A2x3 b3x1 c2x1

Bentuk –bentuk K has matriks

1. Matriks satuan ialah matriks bujur sangkar yang unsur diagonalnya

utamanya adalah angka-angka 1 dengan unsur lainya nol

147

I2=[1 00 1] I3=[

1 0 00 1 00 0 1]

2. Matriks dioagonal ialah matriks bujur sangkar yang semua unsurnya

nol kecuali unsur utama diogonalnya

[3 00 5 ] I3=[

3 0 00 −2 00 0 7]

3. Matriks Nol ialah matriks yang semua unsurnya nol

02 xx=[0 00 0] 02 x3=[0 0 0

0 0 0 ]4. Matriks ubahan (transpose matriks) ialah pengubahan unsur-unsur

baris menjadi unsur-unsur kolom dan unsur-unsur kolom menjadi

unsur-unsur baris.

A=[1 2 34 5 6] A1

=[1 23 45 6]

( A1 )1=A

5. Matriks simetrik ialah matriks bujur sangkar yang sama dengan

ubahannya( A=A1 )

A=[2 −5 8

−5 4 78 7 9 ] A1

=[2 −5 8

−5 4 78 7 9]

A A1=AA=A2

6. Matriks simetrik miring ialah matriks bujur sangkar yang sama

dengan negative ubahannya ( A=−A1)atau (−A1=A )

a. A=[0 5 −4

−5 0 −24 2 0 ] A1

=[0 −5 45 0 2

−4 −2 0]−A1=[

0 5 −4−5 0 −24 2 0 ]

b. B=(0 2

−2 0−9 15 −4

9 −5−1 4

0 −33 0

) B1=(

0 −22 0

9 −1−5 4

−9 51 −4

0 3−3 0

)=−B

148

Determinan matriks

A=[a11 a12

a21 a22] |A|=|a11 a12

a21 a22|

Mencari Nilai numeric determinan :

(i) Determinan berdimensi dua

[a11 a12

a21 a22]=a11a22−a12a21

(ii) Dertiminan berdimensi tiga

Metode sarrus : |A|=|a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a31|a11 a12

a21 a22

a31 a32

¿(a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32)

= ( +a31 a22 a13❑+a32a23a11+a33 a21a12¿

MINOR DAN KOFAKTOR

|A|=|1 2 34 5 67 8 9|

Minor Kofaktor : Aₐₓₑ = (-1)ᵃ⁺ᵉMₐₓₑ

M11 = |5 64 9|=5 (9) -6(8)=-3 A11=(-1)2(-3)=-3

M12 = |4 67 9| =(4) 9- 7 (6) =-6 A12=(-1)3(-3)=-3

M13 = |4 57 8| =4(8)- 7 (5) =-3 A13=(-1)4(-3)=-3

M21 = |2 38 9| =2(9)- 8 (3) =-6 A21=(-1)3(-6)=6

M22 = |1 37 9| =1(9)- 7(3) =-12 A22=(-1)4(-12)=-12

M23 = |1 27 8| =2(9)- 8 (3) =-6 A21=(-1)3(-6)=6

149

M31 = |2 35 6| =2(9)- 8 (3) =-6 A21=(-1)3(-6)=³

M32 = |1 34 6| =2(9)- 8 (3) =-6 A21=(-1)3(-

6)=6

M33 = |1 24 5| =2(9)- 8 (3) =-6 A21=(-1)3(-6)=³

Matrik konfaktor2 nya;

[A ij ] = [−3 6 −36 −12 6

−3 6 −3 ]Adjoin Matriks

Adalah ubahan dari matriks-matriks kofaktornya

[Adj . A ] = [−3 6 −36 −12 6

−3 6 −3 ]Tambahan bentuk bentuk khas matriks

7. Matrik balikan (inverse matriks) ialah matriks yg apabila dikalikan dg

suatu matriks bujur sangkar menghasilkan sebuah matriks satuaan

(AA-1=1)

A = [−1 64 3] |A| = [−1 6

4 3] =(-1)(3)-(4)(6)=-27

MINOR KOFAKTOR

M11=3 A11=(-1)2(3)=3

M12=4 A12=(-1)3(4)=-4

M21=6 A21=(-1)3(6)=-6

M22=-1 A22=(-1)4(-1)=-1

Matrik konhfaktor = [AIJ ] [ 3 −4−6 −1 ] = ADJ. A= [ 3 −6

−4 −1 ]

150

A-I= ADJ . AlAl

= [ 3 −6−4 −1 ] [−1/9 2/9

4 /27 1/27]

- 27

AA-1= [−1 64 3] [−1/9 2/9

4 /27 1/27]

=

−1 /9+(6)(4 /27)¿

−2/9+(6)(1/27)¿

−1 /9+(3)(4/27)¿

−2/9+(3)(1/27)¿

(−1 ) ¿¿

= [1 00 1 ]

8. Matriks skalar ialah matriks diagonal yang unsur-unsurnya sama

Matriks ortogonal ialah matriks yg apabila dikalikan dengan matriks

ubahannya menghasilkan matriks satuan

Matrik singular ialah matrik bujur sangkar yg determinannya sama

dengan nol sehingga tidak mempunyai balikan.

Matriks non singular ialah matriks bujur sangkar yang determinannya

tidak sama dengan nol sehingga mempunyai balikan

151

Penerapan m a trik s dalam ekonomi

Matrik s transaksi

Keluara

n

masukan

pertanian industri jasa Permintaa

n

akhir

Keluaran

total

Pertanian 20 35 5 40 100Industri 15 80 60 135 290Jasa 10 50 55 120 235Nilai

tambah

55 125 115 70 365

Keluaran

total

100 290 235 365 990

Pembacaan tabel ke samping

Dari seluruh keluaran sektor pertanian senilai 100 sebesar 20 di gunakan

sebagaI input sektor pertanian, sebesar 35 digunakan sebagai input

sektor industry, sebesar 5 digunakan sebagai input sektor jasa dan

sebesar 40 di beli oleh konsumen akhir. Dan seterusnya.

Pembacaan tabel ke bawah

Dari seluruh keluarga sektor pertanian senilai 100, sebesar 20 berupa

input

dari sektor pertanian, sebesar 15 berupa input dari sektor industri

,sebesar 10 berupa input dari sektor jasa ,dan sebesar 55 merupakan

nilai tambah dari sektor pertanian itu sendiri. Dan seterusnya.

Matriks teknologi

Matriks teknologi di bentuk hanya oleh sektor utama

Pertanian industri jasa Permintaa

n

akhir

Keluaran

total

Pertanian X1 X12 X13 U1 X1

Industri X21 X22 X23 U2 X2

Jasa X31 X32 X33 U3 X3

Nilai

tambah

Y1 Y2 Y3 Um+1 Xm+1

152

Keluaran

total

X1 X2 X3 Xm+1 x

Koefisien teknologi: aij = XijXj

Kasus 1 : untuk matriks transaksi di atas hitunglah keluaran total masing-

masing sektor dan nilai tambahnya jika di targetkan permintaan akhir

terhadap sektor pertanian ,indurtri ,dan jasa masing-masing 100,300,dan

200. susunlah matriks transaksi yang baru !

Matriks teknologi :

P I J

[0,20 0,12 0,020,15 0,28 0,260,10 0,17 0,23] = A

Nilai tambah 0,55

X = (I- A ) -1.U

[1 0 00 1 00 0 1] - [

0,20 0,12 0,020,15 0,28 0,260,10 0,17 0,23] = [

0,80 −0,12 −0,02−0,15 0,72 −0,26−0,10 −0,17 0,77 ]

I A

|I−A| = [0,80 −0,12 −0,02

−0,15 0,72 −0,26−0,10 −0,17 0,77 ]

0,80 −0,12−0,15 0,72−0,10 −0,17

=[(0,80)(0,72)(0,77)+(-0,02)(-0,26)(-0,10)+(-0,02)(-0,15)

(-0,77)]- [(-0,10)(0,72)(0,02)+(-0,17)(-0,26)(0,80)+(0,77)(-0,15)(-0,12)

= 0,38923

|I−A| = [0,80 −0,12 −0,02

−0,15 0,72 −0,26−0,10 −0,17 0,77 ]

153

Minor

M11 = [ 0,72 −0,26−0,17 0,77 ] = 0,5102 - A11 = ( -1)2 (0,5102)=0,51

M12 = [−0,15 −0,26−0,10 0,77 ] = -0,1415 A12 = (-1)3 (0,1415) =0,14

M13 = [−0,15 0,72−0,77 −0,72] = 0,0975 A13 = (-1)4(0,0975) = 0,097

M21 = [−0,12 −0,02−0,17 0,77 ] = -0,0985 A21 = ( -1)3(-0,0985) = 0,095

M22 = [ 0,80 −0,02−0,10 0,77 ] = 0,6140 A22 = (-1)4 (0,6140) = 0,614

M23 = [ 0,80 −0,12−0,10 −0,17] = 0,1480 A23 = (-1)5(-0,1480) = 0,14

M31 = [−0,12 −0,020,72 −0,26 ] = 0,0456 A31 =(-1)4(0,0456) = 0,0456

M32 = [ 0,80 −0,02−0,15 −0,26] = -0,2110 A32 = (-1)5(-0,2110) = 0,2110

M32 = [ 0,80 −0,12−0,15 0,72 ] = 0,5580 A33 =(-1)³(0,5580) = 0,5580

Maktriks kofaktornya :

|I−A| [0,5102 0,1415 0,09750,0958 0,6140 0,14800,0456 0,2110 0,5580]

Adj.(I-A) [0,5101 0,0985 0,04560,1415 0,6140 0,21100,0975 0.1480 0,5580]

( I-A)-1 = Adj (I−A )

I−A

[0,5102 0,0958 0,0450,1415 0,6140 0,21100,0975 0,1480 0,558 ]

0,38923

154

[1,3108 0,2461 0,11710,3635 1,5775 0,54210,2505 0,3802 1,4336 ]

Dengan Demikian =

[x1x 2x 3] = [

1,3108 0,2461 0,11710,3635 1,5775 0,54210,2505 0,3802 1,4336 ] [

100300200 ]

= [131,08+¿73,83+¿23,4236,35+¿473,25+¿108,4225,05+¿114,06+¿286,72]

Sedangkan nilai tambah sector =

Pertanian = 0,55 x 228,33 = 125,58

Industri = 0,43 x 618,02 = 265,75

Jasa = 0,49 x 425,83 = 208,66

Matriks Transaksi yang baru ,

permintaa

n

keluaran

Pertanian industri jasa akhir totalpertanian 45,67 74,16 8,51 100 228,33industri 34,67 173,05 110,72 300 618,02jasa 22,83 105,06 97,94 200 425,83Nilai

tambah

125,58 265,75 208,66

Keluaran

total

228,33 618,02 425,83

0,20 x 228,33 = 45,67 0,12 x 618,02 = 74,16

0,02 x 425,83 = 8,5

0,115 x 228,33 = 34,25 0,28 x 618,02 = 173,05

0,26 x 425,83 = 11,02

0,10 x 228,33 = 22,83 0,17 x 618,02 = 105,06

0,23 x 425,83 = 97,9

155

BAB VII

Matrik s dan V ector

Matriks adalah kumpulan bilangan yang disajikan secara teratur

dalam baris dan kolom serta termuat dalam sepanjang tanda kurung

.

A3x4= (a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

a14

a24

a34)

Unsur - unsur matriks dilambangkan dua notasi aij ,dimana i

menunjukkan baris sedangkan j kolom .

Pada contoh di atas matriks A adalah matriks berorde 3 x4

Vector adalah bentuk matriks khusus yang hanya mempunyai satu

baris atau satu kolom :

Vector baris : vector kolom :

a. [24−5 ]

b. [637 ] a= [362]

b= [5

−79 ]

Pengop e rasian Matriks

3. Penjumlahan dan pengurangan matriks

156

A = [2 −3 58 2 4] B = [1 6 2

0 4 5]C= [3 3 7

8 6 9]A± B = C

Kaidah komutatif = A + B =B+A

Kaidah Asosiatif = A + (B+C)=(A+B)+ C=A+B+C

4. Perkalian matriks d en gan s k alar

λ = 3 A = [2 −3 58 2 4]

λA = B =3 [2 −3 58 2 4] = [ 6 −9 15

18 6 12 ]

λA = B

Kaidah komutatif : λA = Aλ

Kaidah distributif : λ(A±B) = λA ± λB

3. perkalian antar matriks

A2x3= [2 −3 58 2 4] B3x2 = [

3 56 −72 9 ]

C2x2= [2 (3 )+(−3 ) 6+5 (2 ) 2 (5 )+ (−3 ) (−7 )+5(9)8 (3 )+2 (6 )+4 (2 ) 8 (5 )+2 (−7 )+4 (9) ]

= [−2 7644 62]

AmxnBnxp =Cmxp

Kaidah asosiatif = A(BC) = (AB)C=ABC

Kaidah distributif = A(B+C) = AB+AC

(A+B)C = AC +BC

4. Perkalian matriks dengan vector

Amxn xbnx1=Cmx 1

n˃1

157

[2 −3 58 2 4] [

362]=[2 (3 )+(−3 )6+5(2)

8 (3 )+2 (6 )+4 (2) ]=[−244 ]

A2x3 b3x1 c2x1

Bentuk –bentuk K has matriks

7. Matriks satuan ialah matriks bujur sangkar yang unsur diagonalnya

utamanya adalah angka-angka 1 dengan unsur lainya nol

I2=[1 00 1] I3=[

1 0 00 1 00 0 1]

8. Matriks dioagonal ialah matriks bujur sangkar yang semua unsurnya

nol kecuali unsur utama diogonalnya

[3 00 5 ] I3=[

3 0 00 −2 00 0 7]

9. Matriks Nol ialah matriks yang semua unsurnya nol

02 xx=[0 00 0] 02 x3=[0 0 0

0 0 0 ]10. Matriks ubahan (transpose matriks) ialah pengubahan unsur-

unsur baris menjadi unsur-unsur kolom dan unsur-unsur kolom

menjadi unsur-unsur baris.

A=[1 2 34 5 6] A1

=[1 23 45 6]

( A1 )1=A

11. Matriks simetrik ialah matriks bujur sangkar yang sama

dengan ubahannya( A=A1 )

A=[2 −5 8

−5 4 78 7 9 ] A1

=[2 −5 8

−5 4 78 7 9]

A A1=AA=A2

12. Matriks simetrik miring ialah matriks bujur sangkar yang sama

dengan negative ubahannya ( A=−A1)atau (−A1=A )

158

a. A=[0 5 −4

−5 0 −24 2 0 ] A1

=[0 −5 45 0 2

−4 −2 0]−A1=[

0 5 −4−5 0 −24 2 0 ]

b. B=(0 2

−2 0−9 15 −4

9 −5−1 4

0 −33 0

) B1=(

0 −22 0

9 −1−5 4

−9 51 −4

0 3−3 0

)=−B

Determinan matriks

A=[a11 a12

a21 a22] |A|=|a11 a12

a21 a22|

Mencari Nilai numeric determinan :

(iii) Dertiminan berdimensi dua

[a11 a12

a21 a22]=a11a22−a12a21

(iv) Dertiminan berdimensi tiga

Metode sarrus : |A|=|a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a31|a11 a12

a21 a22

a31 a32

¿(a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32)

= ( +a31 a22 a13❑+a32a23a11+a33 a21a12¿

MINOR DAN KOFAKTOR

|A|=|1 2 34 5 67 8 9|

Minor Kofaktor : Aₐₓₑ = (-1)ᵃ⁺ᵉMₐₓₑ

M11 = |5 64 9|=5 (9) -6(8)=-3 A11=(-1)2(-3)=-3

M12 = |4 67 9| =(4) 9- 7 (6) =-6 A12=(-1)3(-3)=-3

159

M13 = |4 57 8| =4(8)- 7 (5) =-3 A13=(-1)4(-3)=-3

M21 = |2 38 9| =2(9)- 8 (3) =-6 A21=(-1)3(-6)=6

M22 = |1 37 9| =1(9)- 7(3) =-12 A22=(-1)4(-12)=-12

M23 = |1 27 8| =2(9)- 8 (3) =-6 A21=(-1)3(-6)=6

M31 = |2 35 6| =2(9)- 8 (3) =-6 A21=(-1)3(-6)=³

M32 = |1 34 6| =2(9)- 8 (3) =-6 A21=(-1)3(-

6)=6

M33 = |1 24 5| =2(9)- 8 (3) =-6 A21=(-1)3(-6)=³

Matrik konfaktor2 nya;

[A ij ] = [−3 6 −36 −12 6

−3 6 −3 ]Adjoin Matriks

Adalah ubahan dari matriks-matriks kofaktornya

[Adj . A ] = [−3 6 −36 −12 6

−3 6 −3 ]Tambahan bentuk bentuk khas matriks

7. Matrik balikan (inverse matriks) ialah matriks yg apabila dikalikan dg

suatu matriks bujur sangkar menghasilkan sebuah matriks satuaan

(AA-1=1)

A = [−1 64 3] |A| = [−1 6

4 3] =(-1)(3)-(4)(6)=-27

160

MINOR KOFAKTOR

M11=3 A11=(-1)2(3)=3

M12=4 A12=(-1)3(4)=-4

M21=6 A21=(-1)3(6)=-6

M22=-1 A22=(-1)4(-1)=-1

Matrik konhfaktor = [AIJ ] [ 3 −4−6 −1 ] = ADJ. A= [ 3 −6

−4 −1 ]A-I=

ADJ . AlAl

= [ 3 −6−4 −1 ] [−1/9 2/9

4 /27 1/27]

- 27

AA-1= [−1 64 3] [−1/9 2/9

4 /27 1/27]

=

−1 /9+(6)(4 /27)¿

−2/9+(6)(1/27)¿

−1 /9+(3)(4/27)¿

−2/9+(3)(1/27)¿

(−1 ) ¿¿

= [1 00 1 ]

8. Matriks skalar ialah matriks diagonal yang unsur-unsurnya sama

Matriks ortogonal ialah matriks yg apabila dikalikan dengan matriks

ubahannya menghasilkan matriks satuan

Matrik singular ialah matrik bujur sangkar yg determinannya sama

dengan nol sehingga tidak mempunyai balikan.

Matriks non singular ialah matriks bujur sangkar yang determinannya

tidak sama dengan nol sehingga mempunyai balikan

161

Penerapan m a trik s dalam ekonomi

Matrik s transaksi

Keluara

n

masukan

pertanian industri jasa Permintaa

n

akhir

Keluaran

total

Pertanian 20 35 5 40 100Industri 15 80 60 135 290Jasa 10 50 55 120 235Nilai

tambah

55 125 115 70 365

Keluaran

total

100 290 235 365 990

Pembacaan tabel ke samping

Dari seluruh keluaran sektor pertanian senilai 100 sebesar 20 di gunakan

sebagaI input sektor pertanian, sebesar 35 digunakan sebagai input

sektor industry, sebesar 5 digunakan sebagai input sektor jasa dan

sebesar 40 di beli oleh konsumen akhir. Dan seterusnya.

Pembacaan tabel ke bawah

Dari seluruh keluarga sektor pertanian senilai 100, sebesar 20 berupa

input

dari sektor pertanian, sebesar 15 berupa input dari sektor industri

,sebesar 10 berupa input dari sektor jasa ,dan sebesar 55 merupakan

nilai tambah dari sektor pertanian itu sendiri. Dan seterusnya.

Matriks teknologi

Matriks teknologi di bentuk hanya oleh sektor utama

Pertanian industri jasa Permintaa

n

akhir

Keluaran

total

Pertanian X1 X12 X13 U1 X1

Industri X21 X22 X23 U2 X2

Jasa X31 X32 X33 U3 X3

Nilai

tambah

Y1 Y2 Y3 Um+1 Xm+1

162

Keluaran

total

X1 X2 X3 Xm+1 x

Koefisien teknologi: aij = XijXj

Kasus 1 : untuk matriks transaksi di atas hitunglah keluaran total masing-

masing sektor dan nilai tambahnya jika di targetkan permintaan akhir

terhadap sektor pertanian ,indurtri ,dan jasa masing-masing 100,300,dan

200. susunlah matriks transaksi yang baru !

Matriks teknologi :

P I J

[0,20 0,12 0,020,15 0,28 0,260,10 0,17 0,23] = A

Nilai tambah 0,55

X = (I- A ) -1.U

[1 0 00 1 00 0 1] - [

0,20 0,12 0,020,15 0,28 0,260,10 0,17 0,23] = [

0,80 −0,12 −0,02−0,15 0,72 −0,26−0,10 −0,17 0,77 ]

I A

|I−A| = [0,80 −0,12 −0,02

−0,15 0,72 −0,26−0,10 −0,17 0,77 ]

0,80 −0,12−0,15 0,72−0,10 −0,17

=[(0,80)(0,72)(0,77)+(-0,02)(-0,26)(-0,10)+(-0,02)(-0,15)

(-0,77)]- [(-0,10)(0,72)(0,02)+(-0,17)(-0,26)(0,80)+(0,77)(-0,15)(-0,12)

= 0,38923

|I−A| = [0,80 −0,12 −0,02

−0,15 0,72 −0,26−0,10 −0,17 0,77 ]

163

Minor

M11 = [ 0,72 −0,26−0,17 0,77 ] = 0,5102 - A11 = ( -1)2 (0,5102)=0,51

M12 = [−0,15 −0,26−0,10 0,77 ] = -0,1415 A12 = (-1)3 (0,1415) =0,14

M13 = [−0,15 0,72−0,77 −0,72] = 0,0975 A13 = (-1)4(0,0975) = 0,097

M21 = [−0,12 −0,02−0,17 0,77 ] = -0,0985 A21 = ( -1)3(-0,0985) = 0,095

M22 = [ 0,80 −0,02−0,10 0,77 ] = 0,6140 A22 = (-1)4 (0,6140) = 0,614

M23 = [ 0,80 −0,12−0,10 −0,17] = 0,1480 A23 = (-1)5(-0,1480) = 0,14

M31 = [−0,12 −0,020,72 −0,26 ] = 0,0456 A31 =(-1)4(0,0456) = 0,0456

M32 = [ 0,80 −0,02−0,15 −0,26] = -0,2110 A32 = (-1)5(-0,2110) = 0,2110

M32 = [ 0,80 −0,12−0,15 0,72 ] = 0,5580 A33 =(-1)³(0,5580) = 0,5580

Maktriks kofaktornya :

|I−A| [0,5102 0,1415 0,09750,0958 0,6140 0,14800,0456 0,2110 0,5580]

Adj.(I-A) [0,5101 0,0985 0,04560,1415 0,6140 0,21100,0975 0.1480 0,5580]

( I-A)-1 = Adj (I−A )

I−A

[0,5102 0,0958 0,0450,1415 0,6140 0,21100,0975 0,1480 0,558 ]

0,38923

164

[1,3108 0,2461 0,11710,3635 1,5775 0,54210,2505 0,3802 1,4336 ]

Dengan Demikian =

[x1x 2x 3] = [

1,3108 0,2461 0,11710,3635 1,5775 0,54210,2505 0,3802 1,4336 ] [

100300200 ]

= [131,08+¿73,83+¿23,4236,35+¿473,25+¿108,4225,05+¿114,06+¿286,72]

Sedangkan nilai tambah sector =

Pertanian = 0,55 x 228,33 = 125,58

Industri = 0,43 x 618,02 = 265,75

Jasa = 0,49 x 425,83 = 208,66

Matriks Transaksi yang baru ,

permintaa

n

keluaran

Pertanian industri jasa akhir totalpertanian 45,67 74,16 8,51 100 228,33industri 34,67 173,05 110,72 300 618,02jasa 22,83 105,06 97,94 200 425,83Nilai

tambah

125,58 265,75 208,66

Keluaran

total

228,33 618,02 425,83

0,20 x 228,33 = 45,67 0,12 x 618,02 = 74,16

0,02 x 425,83 = 8,5

0,115 x 228,33 = 34,25 0,28 x 618,02 = 173,05

0,26 x 425,83 = 11,02

0,10 x 228,33 = 22,83 0,17 x 618,02 = 105,06

0,23 x 425,83 = 97,9

165

166