BAB XII

PENERAPAN DERET FOURIER

12.1. Pendahuluan

Sebuah fungsi periodik telah dibahas dalam bagian terdahulu, dimana dalam

bagian ini kita akan membahas sebuah fungsi periodik seperti fungsi sinusuida

sebagai fungsi yang sederhana dan sangat berguna dalam analisa rangkaian. Sebuah

deret yang sudah kita kenal dalam matakuliah kalkulus yaitu, deret fourier yang

merupakan teknik untuk menggantikan atau untuk menyatakan sebuah fungsi yang

periodik menjadi suku-suku sinusuida, yang akan kita terapkan dengan metode phasor

untuk analisa rangkaian.

Sebuah fungsi periodik sebarang dapat dinyatakan sebagai jumlah

takberhingga suku-suku sinusuida. Bentuk pertama yang dibahas adalah deret Fourier

trigonometri dan dilanjutkan dengan deret Fourier eksponensial. Dan bagian terakhir

membahas aplikasi deret Fourier dalam analisa rangkaian pada analisa spektrum dan

filter.

12.2. Deret Fourier Trigonometri

Dalam deret Fourier dinyatakan bahwa sebuah fungsi bukan sinusuida yang

periodik dapat dinyatakan sebagai jumlah tak berhingga fungsi sinusuida. Sebuah

fungsi periodik adalah sebuah fungsi yang berulang-ulang setiap satu periode, yang

dapat dinyatakan sebagai

(12.1)

dimana :

T adalah periode dari sebuah fungsi.

Sebagai sebuah fungsi periodik, fungsi f(t) harus memenuhi keempat kondisi

dibawah ini.

1. f(t) adalah berharga tunggal dimana-mana.

2. f(t) harus mempunyai jumlah berhingga diskontinyu disetiap harga.

3. harus mempunyai harga maksimum dan minimum dalam setiap periode.

4. ada harganya untuk setiap .

149

Sebuah fungsi sebarang periodik dalam deret Fourier dinyatakan sebagai

(12.2)

atau dapat dinyatakan sebagai

(12.3)

dimana disebut frekuensi fundamental dalam rad/s. Persamaan (12.3)

disebut sebagai deret Fourier trigometri. Sin dan cos disebut sebagai

harmonik ke-n dari f(t). Konstanta dan disebut koefisien Fourier. adalah

harga rata-rata atau komponen dc sedang dalam kurung persamaan (12.3)

adalah komponen ac.

Mencari harga dengan mengintegrasikan kedua sisi persamaan (12.3) dalam

satu periode, dihasilkan

=

(12.4)

Penyelesaian lebih lanjut menghasilkan

atau

(12.5)

Mencari harga , mengalikan kedua sisi persamaan (12.3) dengan dan

mengintegrasikan dalam satu periode, dihasilkan

=

(12.6)

150

Penyelesaian lebih lanjut persamaan (12.6) menghasilkan

untuk n = m.

Atau

(12.7)

Dengan cara yang sama, mencari , mengalikan kedua sisi persamaan (12.3) dengan

dan mengintegrasikan dalam satu periode dihasilkan

(12.8)

Bentuk alternatip dari pernyataan deret Fourier persamaan (12.3) adalah

berbentuk amplitudo-phasa

(12.9)

Dengan mangambil persamaan (12.9) untuk ruas kanan diselesaikan dengan kalkulus

trigonometri menghasilkan

(12.10)

Dengan menyamakan persamaan (12.10) ruas kanan terhadap persamaan (12.3)

dihasilkan

(12.11)

Dalam bentuk phasor dinyatakan sebagai

(12.12)

dimana

(12.13)

Penyelesaian dalam bentuk grafik amplitudo terhadap harmonik disebut

spektrum amplitudo dari f(t); sedang penyelesaian secara grafik sudut phase terhadap

151

harmonik disebut spektrum phase. Kedua spektrum disebut sebagai spektrum

frekuensi.

Formulasi matematika yang secara langsung berkaitan dengan analisis Fourier untuk

memudahkan dalam penyelesaiannya koefisien-koefisien Fourier perlu disuguhkan

disini dalam bentuk integral diberikan dalam persamaan (12.14).

(12.14)

Juga perlu ditampilkan beberapa nilai dari fungsi sinus, cosinus dan eksponensial

dalam perkalian dengan nilai yang diberikan dalam Tabel 12.a, dimana n adalah

integer.

152

Contoh Soal 12.1.

Susunlah deret Fourier bentuk gelombang tegangan dalam Gambar 12.1. Dan

dapatkan spektrum amplitudo dan phase.

Penyelesaian :

Dalam deret Fourier dinyatakan

Langkah pertama kita adalah mencari koefisien Fourier menggunakan

persamaan (12.5), (12.7) dan (12.8). Fungsi f(t) sebagai fungsi tegangan v(t) dituliskan

sebagai

s

dengan T = 2 s dan

Substitusikan konstanta-konstanta deret Fourier kedalam persamaan (12.3) dihasilkan

atau

153

Spektrum sinyal gelombang tegangan Gambar 12.1 untuk amplitudo dan sudut phase

adalah

dan akhirnya sudut phasenya adalah

Dengan menjumlahkan satu demi satu suku-suku dalam Gambar 12.3 akan didapatkan

bentuk selubung pulsa persegi aslinya.

154

Spektrum magnitude untuk berbagai harga ditunjukkan dalam Gambar 12.4.

Soal-Soal Latihan

12.1. Carilah deret Fourier gelombang arus dalam Gambar 12.5, dan gambarkan

spektrum magnitude dan phase.

12.2. Dapatkan deret Fourier untuk fungsi periodik dalam Gambar 12.6, dan

gambarkan spektrum magnitude dan phase.

155

12.3. Penggunaan Sifat Simetri

Sebuah metode untuk menyusun deret Fourier dengan menggunakan sifat

simetri dari sebuah fungsi periodik akan mempermudah dalam penyelesaiannya

karena koefisien-koefisien deret Fourier tidak harus diselesaikan secara keseluruhan

tetapi hanya memanfaatkan sifat simetri dari fungsi yang diberikan dan dihitung

hanya untuk setengah periode saja. Sifat simetri terdapat tiga jenis yaitu : simetri

genap, simetri ganjil dan simetri setengah gelombang.

12.3.1. Simetri Genap

Sebuah fungsi f(t) adalah fungsi genap jika secara grafis fungsi tersebut

simetri terhadap sumbu tegak, artinya jika setengah gelombang dilipat pada sumbu

tegaknya maka akan terjadi penutupan secara penuh. Secara matematis dinyatakan

sebagai

(12.15)

156

Contoh fungsi simetri genap adalah : cos t. Gambar 12.7

memperlihatkan contoh fungsi genap periodik. Fungsi fungsi tersebut sesuai dengan

persamaan (12.15).

Penyelesaian integral sebuah fungsi genap periodik dalam satu periode adalah

(12.16)

Karena fungsi genap mempunyai sifat simetri terhadap sumbu tegak-y maka

penyelesaian integral untuk setengah periode dari ke 0 akan memberikan nilai

yang sama dari 0 ke Dengan menggunakan sifat simetri ini maka koefisien

koefisien Fourier menjadi

(12.17)

157

12.3.2. Simetri Ganjil

Sebuah fungsi ganjil jika gambar fungsi tersebut tidak simetri terhadap sumbu

tegaknya, dan dinyatakan sebagai

(12.18)

Contoh fungsi ganjil adalah . Gambar 12.8 menunjukkan contoh fungsi ganjil

periodik. Fungsi fungsi tersebut sesuai dengan persmaan (12.18).

Karakteristik dari sebuah fungsi ganjil periodik adalah

(12.19)

karena penyelesaian integrasi dari –T/2 ke 0 adalah negatip dari 0 ke T/2. Koefisien-

koefisien Fourier menjadi

(12.20)

158

Dari hasil pembahasan deret Fourier dari kedua fungsi genap dan ganjil diatas dapat

dicatat bahwa fungsi genap hanya terdiri dari suku dc dan suku cosinus, sedang fungsi

ganjil hanya mengandung suku sinus saja, yang jika kita gabungkan menjadi ekspansi

deret Fourier sebagai

(12.21)

Persamaan (12.21) mengandung pengertian bahwa jika adalah fungsi genap,

maka dan jika adalah fungsi ganjil, maka

12.3.3. Simetri Setengah Gelombang

Sebuah fungsi simetri ganjil setengah gelombang jika

(12.22)

dimana setiap setengah siklus merupakan cermin dari setengah siklus berikutnya.

Mengingat bahwa fungsi dan adalah sesuai dengan persamaan

(12.22) untuk harga n ganjil oleh karena itu proses simetri setengah gelombang bila n

adalah ganjil. Contoh sebuah fungsi simetri setengah gelombang ditunjukkan dalam

Gambar 12.9.

159

Koefisien-koefisien deret Fourier dapat dirangkum menjadi

(12.23)

Jadi deret Fourier dari fungsi simetri setengah gelombang hanya mengandung

harmonik ganjil.

Perubahan variabel integrasi dengan membuat interval dengan mengganti

, sehingga dx = dt .

Jika t = – T/2, x = 0 dan Jika t = 0, x = T/2.

Dari persamaan 12.22, maka

160

(12.24)

yang sesuai dengan persamaan (12.23). Dengan cara yang sama

(12.25)

Dengan mengubah variabel persamaan (12.25), menjadi

(12.26)

Karena dan

(12.27)

Substitusi persamaan (12.27) ke persamaan (12.26) didapatkan

n = ganjil

n = genap

sesuai dengan persamaan (12.22). Dengan prosedur yang sama untuk koefisien

sesuai dengan persamaan (12.22).

Contoh Soal 12.2.

Tentukan eksapansi deret Fourier dari bentuk gelombang Gambar 12.6.

161

Penyelesaian :

Fungsi dari Gambar 12.10 adalah simetri ganjil.

Contoh 12.3.

Untuk bentuk gelombang Gambar 12.11, carilah ekspansi deret Fouriernya.

162

Penyelesaian :

Fungsi Gambar 12.11 adalah simetri ganjil

Deret Fourier adalah

Contoh 12.4.

Carilah ekspansi deret Fourier dalam Gambar 12.12.

Penyelesaian :

Fungsi tersebut adalah fungsi ganjil. Periode T = 4 s dan . Koefisien

koefisien deret Fourier adalah

163

dan

Untuk n = 1,

Untuk n >1,

Untuk n = ganjil (atau n = 1, 3, 5, ...) , harga (n + 1) dan (n – 1) keduanya adalah

genap, sehingga . Jadi n = ganjil.

Untuk n = genap (atau n = 2, 4, 6, ...), harga (n + 1) dan (n – 1) keduanya adalah

ganjil, sehingga . Jadi n = genap.

Oleh karena itu

, dengan n = ganjil

Jadi,

164

Soal Soal Latihan

12.3. Carilah ekspansi deret Fourier fungsi dalam Gambar 12.13.

12.4. Carilah ekspansi deret Fourier fungsi dalam Gambar 12.14.

12.4. Deret Fourier Dalam Analisa Rangkaian

Dalam mencari tanggapan keadaan mantap sebuah rangkaian dengan

perangsang periodik nonsinusuida haruslah mesti memerlukan penerapan deret

Fourier bersama dengan analisis phasor ac dan teknik superposisinya. Sebuah contoh

sumber tegangan ditunjukkan dalam Gambar 12.15, deret Fourier persamaan (12.3)

dan (12.9) untuk sumber tegangan dinyatakan sebagai

(12.24)

165

Dimana menyatakan komponen dc dan menyatakan komponen ac dengan

harmoniknya.

Tanggapan atau respon untuk komponen dc dapat dihasilkan dengan menetapkan

daerah frekuensi dengan n = 0 atau atau untuk daerah waktu dengan mengganti

semua induktor dengan rangkaian hubung singkat dan semua kapasitor dengan

rangkaian hubung buka.

Contoh Soal 12.5.

Sebuah fungsi dalam Gambar 12.1 sebagai sumber tegangan untuk rangkaian

dalam Gambar 12.16. Carilah respon arus dan tegangan .

Penyelesaian :

166

Hasil penyelesaian yang telah dibahas untuk deret Fourier dalam contoh soal 12.1

adalah

Impedansi masukan adalah

Arus masuk adalah

Arus komponen dc adalah ( atau n = 0)

Tegangan harmonik ke-n sumber adalah

Arus komponen ac (harmonik ke-n) adalah

Arus komponen ac daerah waktu adalah

A.

Harmonik ketiga yang pertama (atau n = 1, 3, 5 ) adalah

Spektrum magnitude arus ditunjukkan dalam Gambar 12.17.

Respon tegangan dihitung dengan teknik pembagi tegangan adalah

Komponen dc ( atau n = 0) tegangan adalah

Komponen ac tegangan harmonik ke-n adalah

Tegangan dalam daerah waktu adalah

167

Tegangan harmonik ganjil ketiga pertama (n = 1, 3, 5) adalah

V

Spektrum magnitude tegangan ditunjukkan dalam Gambar 12.18.

Contoh Soal 12.6.

Sebuah bentuk gelombang tegangan ditunjukkan dalam Gambar 12.19(a), sebagai

sumber bagi rangkaian Gambar 12.19(b). Tentukan (a) Deret Fouriernya dan (b)

respon tegangan .

168

Penyelesaian :

Bentuk gelombang Gambar 12.19(a) adalah fungsi simetri ganjil dengan T = 4 s.

Dengan mengingat bahwa fungsi simetri genap dan

fungsi simetri ganjil, maka

atau

169

Jadi deret Fouriernya adalah

dimana seperti diatas, dan .

Dengan pembagi tegangan didapatkan hasil

Komponen dc (dengan atau n = 0)

Komponen harmonik adalah

(b) respon tegangan

respon daerah waktu

Tiga suku pertama ( n = 1, 2, 3, ) komponen harmonik adalah

Gambar 12.20 menunjukkan spektrum amplitudo bagi tegangan output .

Contoh Soal 12.7

170

Diketahui sebuah rangkaian ditunjukkan dalam Gambar 12.21, sember tegangan

ditunjukkan dalam Gambar 12.21(b). Carilah (a) respon arusnya. (b) spektrum

amplitudo respon arus.

Penyelesaian :

Bentuk gelombang Gambar 12.21 adalah fungsi simetri ganjil dengan periode T = 2.

171

Dengan penerapan metode pembagi arus didapatkan hasil

Komponen harmonis ke-n adalah

Respon arus daerah waktu adalah

Ampere.

Respon arus harmonis ke-3 yang pertama adalah

Spektrum amplitudo arus seperti ditunjukkan dalam Gambar 12.22.

Soal Soal Latihan

172

12.5. Diberikan sebuah rangkaian dalam Gambar 12.23. Jika tegangan sumber

diketahui berbentuk ekspansi deret Fourier

V

Carilah respon tegangan

12.6. Jika tegangan adalah merupakan sumber untuk

rangkaian dalam Gambar 12.24. carilah respon arus .

12.7. Sebuah rangkaian Gambar 12.25 (a) dengan sumber ditunjukkan dalam Gambar

12.25 (b). Carilah respon tegangan .

173

12.5. Deret Fourier Eksponensial

Deret Fourier yang telah kita kinal sebelumnya dalam persamaan (12.3) dapat

dinyatakan sebagai bentuk deret eksponensial. Fungsi sinus dan cosinus kita nyatakan

dalam bentuk eksponensial dengan identitas Euler dalam kalkulus yang kita kenal :

(12.25)

(12.26)

Substitusi persamaan (12.25) dan (12.26) ke dalam persamaan (12.3) dihasilkan

(12.27)

174

Kita definisikan koefisien baru yaitu

(12.28)

sehingga menjadi

(12.29)

atau

(12.30)

Persamaan (12.30) disebut sebagai deret Fourier eksponensial/kompleks dari f(t).

Koefisien deret Fourier juga dapat diperoleh dengan persamaan

(12.31)

Hubungan ketiga koefisien deret Fourier dapat dinyatakan sebagai

(12.32)

dimana

(12.33)

Contoh Soal 12.7.

Carilah ekspansi deret Fourier untuk bentuk gelombang dalam Gambar 12.26.

175

Penyelesaian :

Harga konstata adalah

Deret Fourier dapat disusun (untuk manjadi

Dengan mengingat bahwa bentuk baku dari adalah sama dengan

yang disebut dengan faktor cuplikan. Faktor cuplikan akan berharga nol, jika x

kelipatan dari (dengan mana n = 1, 2, 3,...), dan berharga 1, jika x = 0. Maka

didapatkan hasil magnitudo

176

Harga sudut phasenya adalah

dan

Dengan memberikan variasi harga untuk n dari negatip dan positip, dihasilkan bentuk

spektrum frekuensi dan sudut phase ditunjukkan dalam Gambar 12.27.

Contoh soal 12.8.

Carilah ekspansi deret Fourier eksponensial dari sebuah fungsi periodik

Penyelesaian :

Konstanta adalah

177

Dari identitas E’uler didapatkan bahwa

, maka

Harga magnitudo adalah

, maka deret Fouriernya adalah

Sudut phase adalah

Spektrum amplitudo dan sudut phase dengan memberi variasi harga n negatip dan

positip ditunjukkan dalam Gambar 12.28.

178

Contoh soal 12.9.

Susunlah deret Fourier eksponensial dari sebuah fungsi periodik untuk

Penyelesaian :

Periode

Harga konstanta adalah

Dengan penyelesaian integral parsial, yaitu dengan memisalkan

179

Dimana dengan mengingat identitas E’uler, maka

180

Sehingga

Magnitudo dan sudut phasenya adalah

Dengan memvariasikan harga n dari positip dan negatip dihasilkan spektrum

amplitudo dan sudut phasenya ditunjukkan dalam Gambar 12.29.

Contoh soal 12.10.

Tetapkan ekspansi deret Fourier eksponensial dari sebuah fungsi yang ditunjukkan

dalam Gambar 12.30.

Penyelesaian :

Konstanta adalah

181

dimana :

Magnitudo dan sudut phase adalah

dan

Spektrum amplitudo dan sudut phase ditunjukkan dalam Gambar 12.31(a) dan (b).

Soal Latihan

12.8. Kenalilah fungsi berikut apakah termasuk sebagai fungsi genap.

(a) (b) dan (c)

182

15.9. Tetapkanlah fungsi berikut apakah termasuk sebagai fungsi ganjil.

(a) (b) dan

12.10. Tetapkanlah periode dari fungsi berikut ini.

(a) dan (b)

12.11. Carilah ekspansi deret Fourier eksponensial Gambar 12.32.

12.12. Carilah ekspansi deret Fourier dari sebuah fungsi dalam Gambar 12.33.

12.13. Sebuah fungsi periodik dalam Gambar 12.34. Carilah koefisien fourier

dan .

12.14. Susunlah deret fourier untuk gelombang dalam Gambar 12.35. Dan hitunglah

f(t) untuk t = 3 dt pada harmonik kelima pertama yang tidak nol.

183

12.15. Tentukan deret fourier trigonometri dari Gambar 12.36.

12.16. Carilah deret fourier dari fungsi yang ditunjukkan dalam Gambar 12.37.

12.17. Hasilkan ekspansi deret fourier dari sinyal Gambar 12.38.

12.18. Carilah koefisien deret fourier dan untuk sinyal dalam Gambar 12.39.

Dan gambarkan spektrum amplitudo dan phasanya.

184

12.19. Hasilkan ekspansi deret fourier untuk bentuk gelombang dalam Gambar 12.40.

185

12.20. Susunlah deret fourier untuk bentuk gelombang Gambar 12.41 dengan

menggunakan sifat simetri genap atau simetri ganjil.

12.21. Tentukan deret fourier trigonometri sinyal dalam Gambar 12.42 menggunakan

sifat simetri genap atau simetri ganjil.

186

12.22. Tentukan deret fourier trigonometri dari sinyal Gambar 12.43 dengan

menggunakan sifat simetri genap atau ganjil.

12.23. Carilah tegangan dalam rangkaian Gambar 12.44, jika tegangan sumber

Volt.

12.24. Diketahui rangkaian dalam Gambar 12.45 ekspansi deret fourier untuk

adalah

Ampere.

Carilah arus yang mengalir dalam kapasitor C.

12.25. Tetapkan tegangan untuk rangkaian Gambar 12.46, jika diketahui

Volt.

187

12.26. Sebuah rangkaian dalam Gambar 12.47(a) diberikan sumber tegangan dalam

Gambar 12.47 (b). Carilah tegangan .

12.27. Gelombang arus dalam Gambar 12.48(a) dikenakan pada rangkaian Gambar

12.48(b). Tetapkanlah arus .

188

12.28. Sebuah sinyal gelombang dalam Gambar 12.49(a) dikenakan pada rangkaian

Gambar 12.49(b). Tetapkanlah arus .

12.29. Sebuah sinyal penyearah gelombang penuh dalam Gambar 12.50(b)

diaplikasikan pada rangkaian Gambar 12.50(a). Tentukan tegangan out – put .

189

12.30. Sinyal dari sebuah pembangkit pulsa ditunjukkan dalam Gambar 12.51(a)

dikenakan pada sebuah rangkaian Gambar 12.51(b). Carilah arus .

12.31. Carilah deret fourier eksponensial dari sinyal gelombang Gambar 12.52.

190

12.32. Tetapkan deret fourier eksponensial dari sinyal gelombang Gambar 12.53.

12.33. Jika diketahui koefisien fungsi dari sebuah deret fourier adalah

, carilah deret fourier eksponensialnya.

191

12.34. Carilah ekspansi deret Fourier eksponensial dari sebuah fungsi yang

ditunjukkan dalam Gambar 12.54.

12.35. Carilah ekspansi deret Fourier eksponensial dari sebuah fungsi yang

ditunjukkan dalam Gambar 12.55.

12.36. Carilah ekspansi deret Fourier eksponensial dari sebuah fungsi yang

ditunjukkan dalam Gambar 12.56.

12.37. Carilah ekspansi deret Fourier eksponensial dari sebuah fungsi yang

ditunjukkan dalam Gambar 12.57.

192

193

12.38. Hasilkan deret fourier dari gelombang Gambar 12.58 dan plot gambar

spektrum amplitudo dan phase.

12.39. Carilah deret Fourier dari sinyal Gambar 12.55.

12.40. Carilah deret Fourier dari sinyal penyearah gelombang penuh Gambar 12.56.

12.41. Fungsi Gambar 12.57(a) adalah sumber tegangan bagi rangkaian

Gambar 12.57(b). Carilah respon tegangan dan gambarkan spektrum

amplitudonya.

194

12.42. Carilah respon arus dalam rangkaian Gambar 12.58, jika tegangan input

dinyatakan dengan ekspansi deret Fourier

12.43. Tegangan input rangkaian Gambar 12.59 dinyatakan dengan

Tentukan respon arus

195

196