AritmatikaSistem Bilangan

Unit aritmetika dan logika (arithmetic-logic unit, disingkat ALU) merupakan bagian pengolah bilangan dari sebuah komputer.

Artinya bahwa selain melakukan operasi aritmetika, bagian komputer ini juga melaksanakan operasi logika

Apa itu Unit Aritmetika dan Logika?

Empat metoda komputasi dasar yang dilakukan oleh ALU komputer : penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian.

Rangkaian ALU dasar terdiri atas gerbang OR, AND, dan rangkaian full adder 1 bit.

Rangkaian full adder 1 bit pada rangkaian ALU dasar pada awalnya hanya melakukan penjumlahan unsigned number.

Pengembangan lebih lanjut pada rangkaian ALU dasar mampu melakukan operasi pengurangan.

PENDAHULUAN

+

0

1

2

A

B

Op

C

Cin

Cout

+

0

1

2

A

B 0

1

Binver

Op

Cin

Cout

C

RANGKAIAN ALU DASAR KOMPUTER

Tanpa Fungsi Pengurangan Dengan Fungsi Pengurangan

Operasi Aritmatika Dasar

• Addition / Penjumlahan

•Complements

•Subtraction / Pengurangan

Penjumlahan Biner 0+ 0 0

0+ 1 1

1+ 0 1

1+ 11 0

Carry Bit

(a) (b)

(c) (d)

Contoh Penjumlahan Biner dengan operand lebih dari 1 bit

10011001+ 101100 11000101

101 + 1001 1110

1011 + 101 10000

1010 + 100 1110

1011 + 1100 10111

(a) (b) (c)

(d) (e)

Metode untuk menyatakan bit bertanda digunakan sistem komplement kedua (2’s complement form)

Komplemen ke 2

Komplemen ke 1Biner 0 diubah menjadi 1Biner 1 diubah menjadi 0

1 0 1 1 0 1 0

0 1 0 0 1 0 1

Misal

Biner Awal

Komplemen pertama

Membuat Komplemen ke 21. Ubah bit awal menjadi komplemen pertama2. Tambahkan 1 pada bit terakhir (LSB)

1 0 1 1 0 1

0 1 0 0 1 0

1

0 1 0 0 1 1

Misal

Biner Awal = 45

Komplemen 1

Tambah 1 pada LSB

Komplemen 2

Pengurangan BinerPengurangan Biner diimplementasikan dengan menjumlahkan Two’s complement bilangan yang akan dikurangkan.Example

1101 1101 -1001 +0111

10100

Carry yang dihasilkan dapat diabaikan. Sehingga, hasilnya adalah 0100.

Two’s complemen

t of 1001

Menyatakan Bilangan Bertanda dengan Komplemen ke 2

1. Apabila bilangannya positif, magnitude dinyatakan dengan biner aslinya dan bit tanda (0) diletakkan di depan MSB.

2. Apabila bilangannya negatif, magnitude dinyatakan dalam bentuk komplemen ke 2 dan bit tanda (1) diletakkan di depan MSB

0 1 0 1 1 0 1 Biner = + 45

1 0 1 0 0 1 1 Biner = - 45

Bit Tanda

Bit Tanda Biner asli

Komplemen ke 2

Negasi

Operasi mengubah sebuah bilangan negatif menjadi bilangan positif ekuivalennya, atau mengubah bilangan positif menadi bilangan negatif ekuivalennya.Hal tersebut dilakukan dengan meng-komplemenkan ke 2 dari biner yang dikehendakiMisal : negasi dari + 9 adalah – 9

+ 9 = 01001 Biner awal- 9 = 10111 Negasi (Komplemen ke 2)+ 9 = 01001 Di negasi lagi

Dua Buah bilangan biner dapat dikalikan dengan metoda yang sama dengan metoda perkalian pada bilangan desimal.

Sebagai pengantar akan ditunjukkan operasi perkalian konvensional dengan bilangan tak bertanda (unsigned number).

Sebagai contoh akan ditunjukkan operasi perkalian untuk operand Multiplicand (M) = 1110 dan Multiplier (Q) = 1011.

RANGKAIAN PERKALIAN

Gambaran Proses Perkalian 4 Bit

11101011x1110

11100000

1110+

10011010

Multiplicand (M)Multiplier (Q)

Product (P)

(14)(11)

(154)

11101011x1110

1110

0000

Multiplicand (M)Multiplier (Q)

(14)(11)

+

10101+010101110+

10011010

Partial Product 0

Partial Product 1

Partial Product 2

Product (P) (154)Konsep dasar perkalian konvensional

Perkalian Konvensional Implementasi HW

Pembagian biner dilakukan dengan cara yang sama dengan bilangan desimal.

Dalam pembagian bilangan biner pembagian dengan digit biner 0 tidak akan mengandung arti sehingga :0 : 1 = 01 : 1 = 1

Operasi Pembagian Bilangan Biner

Proses pembagian pada sistem biner menggunakan proses pembagian berekor yaitu sebagai berikut:◦ Kurangi bilangan yang dibagi dengan kelipatan

pembagi yang berbobot tertinggi◦ Jumlah kelipatan x bobot yang merupakan hasil

bagin dijumlahkan dengan hasil bagin-1◦ Bila sisa bagi (bilangan yang dibagi – kelipatan

pembagi berbobot tertinggi) >= pembagi, lakukan step 1 dan 2 hingga diperoleh kelipatan pembagi berbobot tertinggi < pembagi

◦ Hasil Bagi dan sisa bagi telah ditemukan

Operasi Pembagian Bilangan Biner

1. 1 1 2 / 1 0 0 0 0 1 2 \ 1 0 1 1 2

1 1 __ - 0 0 1 0 0 1 1 1 - 0 0 1 1 0 1 1 - 0 2

    2. 1 1 0 0 2 / 1 0 0 1 0 0 0 0 2 \ 01 1 0 0 2

1 1 0 0 - 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 - 0 0 0 0 0 0 02

 

Contoh

Menyelesaikan suatu aritmatika bilangan desimal sudah biasa dilakukan, karena bilangan desimal dalam sistem komputer digunakan untuk merepresentasikan bilangan yang lazim digunakan oleh pengguna berdasarkan sepuluh jari.

Operasi Penjumlahan Aritmatika Desimal

1. 2 0 5 6 7 10 2. 1 2 3 4 5 10

6 5 2 1 3 10 + 6 7 8 9 0 10 +

8 5 7 8 0 10 8 0 2 3 5 10

Contoh

Perkalian bilangan desimal dalam ALU juga dilakukan dengan menjumlahkan beberapa kali angka yang harus dikalikan dengan pengalinya.

Operasi Perkalian pada Aritmatika Desimal

1 2 3 10

4 1 10 x

1 2 3 4 9 2 + 5 0 4 3 10

Contoh

16 10 / 208 10 \ 1 3 10

16 -

4 8 4 8 - 0

Operasi Pembagian pada Aritmatika Desimal

Penjumlahan bilangan oktal memiliki hal yang serupa dengan penjumlahan desimal dimana jumlah bilangan yang didapatkan harus < 8.

Bila terdapat hasil penjumlahan yang ≥ 8 maka lakukan pengurangan dengan bilangan 8 sampai dengan bilangan tersebut tidak dapat lagi dikurangi dengan bilangan 8

Banyaknya pengurangan terhadap bilangan tersebut disebut juga dengan carry (pembawa).

Penjumlahan dimulai dari LSB ke MSB.

Operasi Penjumlahan Aritmatika Oktal

Penjumlahan tanpa carry 

4 3 8 3 + 1 = 4

2 1 8+ 4 + 2 = 6

6 4 8

 Penjumlahan dengan carry 

4 5 6 8 6 + 2 = 8 – 8 = 0 carry 1

3 7 2 8+ 5 + 7 + 1 = 13 – 8 = 5 carry

1050 8 4 + 3 + 1 = 8 – 8 = 0 carry 1

Contoh :

Pengurangan bilangan oktal dilakukan dengan peminjaman pada bilangan yang berada didepannya sama dengan pengurangan bilangan desimal.

Adapun bilangan yang dipinjam dari bilangan tersebut setiap 1 digit peminjaman adalah 8.

Pengurangan dilakukan dari LSB.

Operasi Pengurangan pada Aritmatika Oktal

Pengurangan tanpa peminjaman 6 5 4 8 4 – 4 = 0

3 2 4 8 - 5 – 2 = 3

3 3 0 8 6 – 3 = 3

 Pengurangan dengan peminjaman 5 2 6 1 8 1 + 8 – 2 = 7

3 4 7 2 8 - 5 + 8 – 7 = 6

1 5 6 7 8 1 + 8 – 4 = 5

4 – 3 = 1

Contoh

Perkalian bilangan oktal dilakukan sama dengan bilangan desimal.

Seperti halnya perkalian biner, perkalian oktal pun dalam ALU akan dilakukan dengan operasi penjumlahan sebanyak perkalian yang diinginkan.

Operasi Perkalian pada Aritmatika Oktal

Tidak terjadi carry pada perkalian tetapi terjadi carry pada penjumlahannya.

Aritmatika Perkalian 4 5 8 1 x 5 = 5

1 1 8 x 1 x 4 = 4

4 5 1 x 5 = 5 4 5 + 1 x 4 = 4 5 15 8

Aritmatika Penjumlahan 5 + 0 = 5 4 + 5 = 9 – 8 = 1 carry 1 4 + 1 (carry) = 5  

Contoh

Terjadi carry pada perkalian tapi tidak untuk penjumlahan Aritmatika Perkalian

4 5 8 7 x 5 = 35 – 8 = 27 – 8 = 19 – 8 = 11 – 8 = 3 carry 4

2 7 8 x 7 x 4 = 28 + 4 (carry)

= 32 – 8 = 24 – 8 = 16 – 8 = 8 – 8 = 0 carry 4 4 0 3 2 x 5 = 10– 8 = 2 carry 1 1 1 2 + 2 x 4 = 8 + 1 (carry)= 9 – 8 = 1 carry 1 1 5 2 3 8

Aritmatika Penjumlahan 3 + 0 = 3 0 + 6 = 6 4 + 1 = 5 1 + 0 = 1 

 

Contoh

Terjadi carry pada perkalian dan penjumlahan

Aritmatika perkalian 7 6 8 6 x 7 = (42)10 – ( 8 x 5 ) = 2 carry 5

1 7 8 x 7 x 7 = (49 + 5)10

= (54)10 – ( 8x6 )= 6 carry 6 6 6 2 1x 6 = 6 7 6 + 1 x 7 = 7 1 6 4 2 8

Aritmatika penjumlahan 2 + 0 = 2 6 + 6 = 12 – 8 = 4 carry 1 6 + 7 = 13 + 1 = 14 – 8 = 6 carry 1 1 + 0 = 1

Contoh

Pembagian bilangan oktal dilakukan seperti biasa (sama) dengan bilangan desimal.

Operasi Pembagian pada Aritmatika Oktal

76 8 / 1 6 4 2 8 \ 1 7 8

7 6 - 6 6 2 6 6 2 - 0   Uraian Aritmatika Perkalian: 7 6 8

1 8 x

7 68

7 6 8 6 x 7 = (42) – ( 8 x 5 ) = 2 carry 5

7 8 x 7 x 7 = 49 + 5 = 54 – ( 8x6 )= 6 carry 6

6 6 2 8

 

 

 

  

Contoh

45 8 / 1 5 2 3 8 \ 2 7 8

1 1 2 - 4 0 3 4 0 3 - 0   Uraian Aritmatika Perkalian : 4 5 8 5 x 2 = 10 – 8 = 2 carry 1 2 8 x 4 x 2 +1 = 9 – 8 = 1 carry 1 112 8

4 5 8 5 x 7 = 35 – ( 8 x 4 ) = 3 carry 4 7 8 x 4 x 7 = 28 + 4 = 32 – ( 8x4 )= 0 carry 4 4 0 3 8

 

Contoh

Penjumlahan bilangan heksadesimal memiliki hal yang serupa dengan penjumlahan desimal dimana jumlah bilangan yang didapatkan harus < 16.

Bila terdapat hasil penjumlahan yang ≥ 16 maka lakukan pengurangan dengan bilangan 16 sampai dengan bilangan tersebut tidak dapat lagi dikurangi dengan bilangan 16

Banyaknya pengurangan terhadap bilangan tersebut disebut juga dengan carry (pembawa).

Penjumlahan dimulai dari LSB ke MSB.

Operasi Penjumlahan Aritmatika Heksadesimal

Penjumlahan tanpa carry 

4 5 16 5 + 2 = 7

3 2 16+ 4 + 3 = 7

7 7 16

 1 A 16 3 + 10 = 13

= D

B 3 16+ 1 + 11 = 12 = C

C D 16

Contoh

Penjumlahan dengan carry 

6 7 9 16 9 + 7= 16 – 16 = 0 carry 1

4 8 7 16 + 7 + 8 + 1 = 16 – 16 = 0 carry 1

B 0 0 16 6 + 4 + 1 = 11 = B

  

A 5 E 16 14 + 9 = 23 – 16 = 7 carry 1

6 F 9 16+ 5 + 15 + 1 = 21 – 16 = 5 carry 1

1 1 5 7 16 10 + 6 + 1 = 17 – 16 = 1 carry 1

Contoh

Pengurangan bilangan heksadesimal dilakukan dengan peminjaman pada bilangan yang berada didepannya sama dengan pengurangan bilangan desimal.

Adapun bilangan yang dipinjam dari bilangan tersebut setiap 1 digit peminjaman adalah 16.

Pengurangan dilakukan dari LSB.

Operasi Pengurangan Aritmatika Heksadesimal

Pengurangan tanpa peminjaman 9 4 5 16 5 – 4 = 1

3 2 4 16 - 4 – 2 = 2

6 2 1 16 9 – 3 = 6

  A B C 16 12 – 4 = 8

5 1 4 16 - 11 – 1 = 10 = A

5 A 8 16 10 – 5 = 5

Contoh

Pengurangan dengan peminjaman

9 2 5 416 4 + 16 – 6 = 14 = E

3 7 7 6 16- 4 + 16 – 7 = 13 = D

5 A D E 16 1 + 16 – 7 = 10 = A

8 – 3 = 5

Contoh

Perkalian bilangan heksadesimal dilakukan sama dengan bilangan desimal.

Seperti halnya perkalian biner, perkalian heksadesimal pun dalam ALU akan dilakukan dengan operasi penjumlahan sebanyak perkalian yang diinginkan.

Operasi Perkalian Aritmatika Heksadesimal

Tidak terjadi carry pada perkalian tetapi terjadi carry pada penjumlahannya.

Aritmatika Perkalian 8 9 16 1 x 9 = 9

1 1 16 x 1 x 8 = 8

8 9 1 x 9 = 9 8 9 + 1 x 8 = 8 9 1 9 16

Aritmatika Penjumlahan 9 + 0 = 9 8 + 9 = 17 – 16 = 1 carry 1 8 + 1 (carry) = 9   

Contoh

Terjadi carry pada perkalian dan penjumlahan

Aritmatika Perkalian 4 A 16 5 x 10 = 50 – 16 = 34 – 16 = 18 – 16 = 2 carry 3 3 5 16x 5 x 4 = 20 + 3 (carry) = 23 – 16 = 7 carry 1 1 7 2 3 x 10 = 30– 16 = 14 = E carry 1 D E + 3 x 4 = 12 + 1 (carry)= D F 5 2 16

Aritmatika Penjumlahan 2 + 0 = 2 14 + 7 = 21 – 16 = 5 carry 1 1 + 13 + 1 (carry) = 15 = F  Aritmatika perkalian A 6 16 6 x 12 = 72 – ( 16 x 4 ) = 8 carry 4 1 C 16x 12 x 10 = 120 + 4 = 124 – ( 16x7)= 12 = C carry 7 7 C 8 1x 6 = 6 A 6 + 1 x 10 = 10 = A 1 2 2 8 16

Aritmatika penjumlahan 8 + 0 = 8 12 + 6 = 18 – 16 = 2 carry 1 7 + 10+1 = 17 + 1 = 18 – 16 = 2 carry 1 

Pembagian bilangan heksadesimal cukup rumit dan dilakukan seperti halnya dengan pembagian bilangan desimal.

Operasi Pembagian Aritmatika Heksadesimal

11 16 / 919 16 \ 89 16

88 -

9 9 9 9 - 0   Uraian : 1 1 16 1 1 16

8 16 x 9 16 x

8 88 9 9 16

 

Contoh

35 16 / F 5 2 16 \ 4 A 16

D4 - 2 1 2 2 1 2 - 0   Uraian : Aritmatika Perkalian 3 5 16 5 x 4 = 20 – 16 = 4 carry 1 4 16 x 4 x 3 +1 = 13 = D D E 16 Aritmatika Perkalian 3 5 16 5 x 10 = 50 – ( 16 x 3 ) = 2 carry 3 A 16 x 3 x 10 = 30 + 3 = 33 – ( 16x2 )= 1 carry 2 2 1 2 16 

Contoh

A6 16 / 1 2 2 8 16 \ 1 C 16

A 6 -

7 C 8 7 C 8 - 0   Uraian : Aritmatika Perkalian A 6 16 6 x 1 = 6

1 16 x 1 x 10= 10 = A

A 6 16

Aritmatika Perkalian A 6 16 6 x 12 = 72 – ( 16 x 4 ) = 8 carry 4

C 16 x 10 x 12 = 120 + 4 =124 – ( 16x7)= C carry 7

7 C 8 16

Contoh

Kerjakan Latihan. Dikumpulkan pekan depan

PR Individu