TEOREMAUntuk sistem linear sebarang Ax=b, sistem

normal yang terkait ATAx=ATb

bersifat konsisten, dan semua solusi dari sistem normal adalah solusi kuadrat terkecil dari Ax=b. Selanjutnya, jika W adalah ruang kolom dari A, dan x adalah solusi kuadrat terkecil sebarang dari Ax=b, maka proyeksi ortogonal b pada W adalah

projwb = Ax

TEOREMAJika A adalah sebuah matriks m x n yang

memiliki vektor-vektor kolom yang bebas linear, maka untuk setiap matriks b, m x 1, sistem linear Ax=b memiliki sebuah solusi kuadrat terkecil yang unik. Solusi ini diberikan oleh sistem normal yang terkait

x = (ATA)-1 ATb

Selanjutnya, jika W adalah ruang kolom dari A, maka proyeksi ortogonal b pada W adalah

projwb = Ax = A (ATA)-1 ATb

Contoh 1 : Solusi kuadrat terkecilTentukan solusi kuadrat terkecil dari sistem

linear Ax=b yang diberikan oleh

dan tentukan proyeksi ortogonal b pada ruang kolom dari A.

Penyelesaian :

A memiliki vektor-vektor kolom yang bebas linear, sehingga terdapat sebuah solusi kuadrat terkecil yang unik bagi sistem ini.

342

123

4

21

21

21

xx

xx

xx

314

dan 4 2-2 3 1-1

A b

Sehingga sistem normal ATAx = ATb adalah

Proyeksi ortogonal b pada ruang kolom dari A adalah

213314

4 2-2 3 1-1

4 21231 AAT

101

314

4 21231 ATb

101 213

314 2

1

xx

579428543928592

2851439517

w

4 2-2 3 1-1

Axbproj

285

143 ,

95

1721 xx

Contoh 2 Proyeksi ortogonal pada sebuah Subruang

Tentukan proyeksi ortogonal dari vektor u=(-3, -3, 8, 9) pada subruang dari R4 yang direntang oleh vektor-vektor

u1=(3, 1, 0, 1), u2=(1, 2, 1, 1), u3=(-1, 0, 2, -1),

Penyelesaian : Subruang W dari R4 yang direntang u1, u2,u3 adalah ruang

kolom dari matriks

Dengan demikian, jika u dinyatakan sebagai sebuah vektor kolom, kita dapat menentukan proyeksi ortogonal u pada W dengan cara menentukan sebuah solusi kuadrat tekecil dari sistem Ax=u dan kemudian menghitung projwu = Ax dari solusi kuadrat tekecil yang telah didapatkan

1-112100211-13

A

sehingga

Sistem normal ATAx = ATu adalah

Proyeksi ortogonal u pada ruang kolom dari A adalah

6 040 76 4611

1112 100 21113

1201-1 121 1 013

AAT

10 8 3

6 040 76 4611

1

1

1

xxx

0 4 3 2

1 2 1-

1112 100 21113

Axuprojw

1 ,2 ,1 321 xxx

10 8 3

9 8 3-3-

1201-1 121 1 013

uAT