Aplikasi Matematika Dalam Dunia Teknik Sipil

Oleh :1.Adieq Irma.T ()2.Agnestya.L ()

3.Irfan Hermawan ()4.M.Mughny Halim (3111120010)

1 sipil 1 sore

Program studi Teknik Konstruksi SipilPoliteknik Negeri Jakarta 2012

Sekilas integral

Pendahuluan Volume Benda Putar Volume Benda Putar

Dalam menentukan volume benda putar yang harus

diperhatikan adalah bagaimana bentuk sebuah partisi jika

diputar. Berdasarkan bentuk partisi tersebut, maka metode

yang digunakan untuk menentukan volume benda putar

dibagi menjadi :

1. Metode cakram

2. Metode cincin

3. Metode kulit tabungy

0 x

y

x

0x

1 2-2

-1

y

1

2

3

4

NextBack Home

Metode Cakram Volume Benda Putar Volume Benda Putar

Metode cakram yang digunakan

dalam menentukan volume benda

putar dapat dianalogikan seperti

menentukan volume mentimun

dengan memotong-motongnya

sehingga tiap potongan berbentuk

cakram.

NextBack Home

Metode Cakram Volume Benda Putar Volume Benda Putar

Bentuk cakram di samping

dapat dianggap sebagai tabung

dengan jari-jari r = f(x), tinggi h

= x. Sehingga volumenya dapat

diaproksimasi sebagai V r2h

atau V f(x)2x.

Dengan cara jumlahkan, ambil

limitnya, dan nyatakan dalam

integral diperoleh:

V f(x)2 x

V = lim f(x)2 xdxxf

a0

2)]([v

x

h=x

x

x

y

0 x

y

xa

)(xf

)(xfr

NextBack Home

6

7.2.2 Metoda Cincin

Jika D diputar terhadap sumbu x, maka ( perhatikan gambar berikut )

)()(,|),( xhyxgbxayxD

b

a

dxxgxhV 22 )()(Sehingga

xxgxxhv )()( 22

7

Contoh : D daerah yang dibatasi oleh dan

Hitung volume benda putar, jika D diputar mengelilingi sumbu x.

Jawab : Daerah D digambarkan sebagai berikut :

2xy xy 82

8

Partisi D yang tegak lurus sumbu x akan berbentuk cincin, dan volumenya,

xxxV ))()8(( 222

.5

48

0

2

54)8(,Sehingga

52

2

0

4

x

xdxxxV

9

• 7.2.3 Metoda Kulit Tabung

Jika D diputar terhadap sumbu y, maka

Sehingga,

Jika D diputar terhadap sumbu y, maka

)(0,|),( xfybxayxD

xxfxxfxxV )(2)(21

22

V x f x dxa

b

2 ( )

)()(,|),( xhyxgbxayxD

b

a

dxxgxhxV )()(2

10

• Contoh : Diketahui Jika D diputar mengelilingi garis x = 4, hitung volume benda putar yang

terjadi. Jawab :

Buat partisi sejajar sumbu putar ( garis x = 4 ), partisi tersebut jika diputar terhadap garis x = 4 akan berbentuk kulit tabung dengan jarak partisi ke

sumbu putar (jari-jari) r= (4-x), maka sehingga volume benda putar yang terjadi

4,20|),( 2 yxxyxD

xxxv )4)(4(2 2

.3

104)

4

12

3

416(2

)4416(2

2

0

423

2

0

32

xxxx

dxxxxV

x=4

APLIKASI INTEGRAL

• 1. LUAS DAERAH BIDANG RATA• 2. VOLUME BENDA DALAM BIDANG: lempengan,

cakram dan cincin.• 3. VOLUME BENDA PUTAR• 4. PANJANG KURVA PADA BIDANG (kurva rata).• 5. LUAS PERMUKAAN BENDA PUTAR.• 6. KERJA• 7. GAYA CAIRAN (fluida)• 8. MOMEN, PUSAT MASSA

Aplikasi Integral

• Menghitung momen inersia bahan Momen inersia (Satuan SI : kg m2) adalah

ukuran kelembaman suatu benda untuk berotasi terhadap porosnya.

- Ada beberapa rumus yang digunakan untuk menghitung momen inersia suatu bahan diantaranya adalah :

Rumus momen inersia

Momen inersia persegi

segitiga

• Untuk aplikasi integral dalam penghitungan momen inersia bahan digunakan untuk menghitung momen inersia sebuah bagun datar terhadap sumbu netralnya, rumusnya adalah :

Contoh bahan yang dihitung momen inersianya

Balok girder

Balok kantilever

Balok kantilever yang dihitung

momen inersianya

• Selain itu integral dapat juga digunakan untuk menghitung volume, luas, titik berat yang semuanya digunakan sebagai alat bantu dalam merancang kekuatan/ketahanan suatu bangunan.

Aplikasi lain dari integral

Dome (kubah)Aplikasi volume benda putar

Gb. 4

Pembuatan jembatan kabel

9

2xy

Menghitung volume tangki ready mix

Menghitung volume pengecoran

Merancang bangunan dengan bentuk yang tidak simetris

Aplikasi diferensial

• Definisi :• Kalkulus diferensial adalah salah satu cabang

kalkulus dalam matematika yang mempelajari bagaimana nilai suatu fungsi berubah menurut perubahan input nilainya. Topik utama dalam pembelajaran kalkulus diferensial adalah turunan.

Aplikasi diferensial dalam teknik sipil

• 1. menghitung nilai maksimum dan minimum contoh soal :• Seorang petani mempunyai 80 meter kawat

berduri untuk membuat tiga kandang persegi dan di satu sisi terdapat tembok sepanjang 100 meter. Maksimumkan kawat berduri tersebut sehingga luas maksimum.

penyelesaian

• Jawab:• Sketsakan gambar tesebut, hingga didapat:• 4x+y = 80• y = 80 - 4x• luas total A = x.y• maka, A = 80x – 4x²• 0<>• Maka yang dimaksimumkan adalah x [0,20].• dA/dx = 80 – 8x• x = 80/8 = 10 meter• dan y = 80 – 4(10) = 40 meter