APLIKASI FUNGSI BESSEL TERMODIFIKASI

PADA PERPINDAHAN KALOR PIN SEGITIGA LURUS

SKRIPSI

untuk memenuhi sebagian persyaratan

mencapai derajat Sarjana S-1

Program Studi Matematika

diajukan oleh :

FITRI NURHAYATI

09610002

Kepada

PROGRAM STUDI MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SUNAN KALIJAGA

YOGYAKARTA

2014

ii

iii

iv

v

MOTTO

Syukurilah kesulitan, karena terkadang kesulitan mengantar kita pada

hasil yang lebih baik dari apa yang kita bayangkan

- Adi Wijaya-

Boleh jadi Allah akan mengabulkan harapan kita dengan tidak

memberi apa yang kita inginkan, karena Dia Maha Tahu bahaya yang

akan menimpa dibalik keinginan kita

-Aa Gym-

vi

HALAMAN PERSEMBAHAN

Skripsi ini penulis persembahkan kepada:

Kedua Orang tua, Bapak Susamto S.Pd.I dan Ibu Parti.

Almamater UIN Sunan Kalijaga Yogyakarta.

vii

KATA PENGANTAR

Segala puji bagi Allah SWT yang telah memberikan segala rahmat, nikmat

dan karunia-Nya, sehingga penulis mampu menyelesaikan skripsi ini dalam

rangka mengabdi kepada-Nya. Sholawat beserta salam tak lupa penulis panjatkan

kepada suri tauladan umat manusia sepanjang masa, Rasulullah SAW sang

revolusioner sejati yang menjadi inspirasi setiap saat dalam memperbaiki umat

manusia menuju masyarakat islami.

Alhamdulillah, akhirnya penulis dapat menyelesaikan penulisan skripsi

yang berjudul ”Aplikasi Fungsi Bessel Termodifikasi pada Perpindahan Kalor

Pin Segitiga Lurus” ini. Namun, tidak dapat dipungkiri bahwa skripsi ini dapat

penulis buat dengan bantuan dan dukungan dari banyak pihak. Oleh karena itu,

atas dukungan dan bantuan tersebut maka penulis mengucapkan banyak terima

kasih kepada:

1. Dekan Fakultas Sains dan Teknologi UIN Sunan Kalijaga Yogyakarta.

2. Ketua Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Sunan

Kalijaga Yogyakarta.

3. Bapak Sugiyanto, S.T, M.Si selaku dosen pembimbing yang telah

meluangkan waktu dan tenaga untuk memberikan bimbingan dan arahan

kepada penulis dalam menyelesaikan skripsi ini.

4. Segenap staf dosen dan karyawan Fakultas Sains dan Teknologi UIN Sunan

Kalijaga Yogyakarta.

viii

5. Bapak Susamto, S.Pd.I dan Ibu Parti, Aziz dan Ulum serta seluruh keluarga

yang telah memberikan dorongan baik moril maupun materiil selama

penulis menimba ilmu di FST UIN Sunan Kalijaga Yogyakarta.

6. Ibu Pipit yang selalu membantu memberi solusi dan semangat untuk terus

melanjutkan skripsi ini.

7. Mbak Eki dan mas Dodo yang senasib sepenanggungan, selalu memberi

semangat dan dukungan untuk menyelesaikan skripsi ini.

8. Sahabat-sahabat atas keceriaan, dukungan, tempat curhat dan semangat

yang kalian berikan.

9. Ismail atas waktu dan tutorial singkat yang sangat bermanfaat.

10. Seluruh teman-teman Matematika 2009, untuk kebersamaan kita selama

menimba ilmu di FST UIN Sunan Kalijaga selama ini.

11. Semua pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu per-satu yang telah

membantu dalam penulisan skripsi ini.

Dengan penuh kesadaran bahwa skripsi ini masih jauh dari kesempurnaan.

Oleh karena itu, saran dan kritik yang membangun dan mengarahkan untuk lebih

baik, penulis terima dengan tangan terbuka. Walaupun demikian, penulis berharap

skripsi ini dapat bermanfaat. Amin.

Yogyakarta, 1 Januari 2014

Penulis

ix

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL ..................................................................................... iHALAMAN PERSETUJUAN SKRIPSI .................................................... iiHALAMAN PENGESAHAN ........................................................................ iiiHALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN SKRIPSI ................................ ivHALAMAN MOTTO ................................................................................... vHALAMAN PERSEMBAHAN ................................................................... viKATA PENGANTAR ................................................................................... viiDAFTAR ISI .................................................................................................. ixDAFTAR SIMBOL ........................................................................................ xiDAFTAR GAMBAR ..................................................................................... xiiiABSTRAKSI .................................................................................................. xiv

BAB I PENDAHULUAN ............................................................................. 1

1.1. Latar Belakang.................................................................................... 11.2. Batasan Masalah ................................................................................. 21.3. Rumusan Masalah............................................................................... 21.4. Tujuan Penelitian ............................................................................... 21.5. Manfaat Penelitian.............................................................................. 31.6. Tinjauan Pustaka ................................................................................ 31.7. Metode Penelitian ............................................................................... 41.8. Sistematika Penulisan ......................................................................... 5

BAB II DASAR TEORI ............................................................................... 7

2.1. Persamaan Diferensial ....................................................................... 72.2. Persamaan Diferensial Bessel…………………………… ................ 10

2.2.1.Persamaan Diferensial Bessel Order n .......................................... 102.2.2.Persamaan Diferensial Bessel Termodifikasi Order n .................. 112.2.3.Persamaan Diferensial Bessel Termodifikasi Order nol ............... 12

2.3. Bentuk Lain Persamaan Diferensial Bessel........................................ 132.4. Perpindahan Kalor.............................................................................. 14

2.4.1.Perpindahan Kalor Konduksi ........................................................ 142.4.2.Perpindahan Kalor Konveksi ........................................................ 15

2.5. Pin Segitiga Lurus .............................................................................. 16

BAB III PEMBAHASAN ............................................................................ 18

3.1. Persamaan Diferensial Pin Segitiga Lurus ......................................... 18

x

3.2. Efisiensi Pin Segitiga Lurus ..................................................................... 25

BAB IV PENUTUP ....................................................................................... 31

4.1. Kesimpulan......................................................................................... 314.2. Saran ................................................................................................... 31

DAFTAR PUSTAKA.................................................................................... 32LAMPIRAN ................................................................................................... 34

xi

DAFTAR SIMBOL

: Fungsi Gamma dari (dibaca “tho”)

0 ( )J x : Fungsi Bessel jenis pertama order nol

( )vJ x : Fungsi Bessel jenis pertama order v

0( )Y x : Fungsi Bessel jenis kedua order nol atau fungsi Naumann

order nol

( )vY x : Fungsi Bessel jenis kedua order v

0 ( )xY : Fungsi Bessel Jenis kedua order nol atau Fungsi Weber order

nol.

a : Tinggi pin

b : Ketebalan pin

h : Koefisien perpindahan panas secara konveksi

k : Konduktifitas termal

l : Panjang pin

x : Kehilangan kalor dari x ke ujung pin

x : Terjadinya keseimbangan kalor

x x : Perpindahan kalor dari dinding ke x

0I : Fungsi Bessel termodifikasi jenis pertama order nol

0K : Fungsi Bessel termodifikasi jenis kedua order nol

u : Suhu permukaan

xii

0u : Suhu udara

U : Distribusi suhu

0q : Aliran kalor konduksi pin segitiga lurus

1q : Aliran kalor konduksi pin segitiga lurus atau pin ideal

: Efisiensi pin

: Konstanta Euler

xiii

DAFTAR GAMBAR

Gambar 3.1. Pin Segitiga Lurus .................................................... 18

Gambar 3.1. Segitiga Sebangun pada Pin Segitiga Lurus ............ 20

xiv

ABSTRAK

Persamaan diferensial Bessel memiliki penyelesaian yang disebut fungsiBessel. Fungsi Bessel terdiri dari fungsi Bessel jenis pertama, fungsi Bessel jeniskedua, fungsi Bessel jenis ketiga, dan fungsi Bessel termodifikasi. Penelitian inimenyajikan satu aplikasi fungsi Bessel termodifikasi pada perpindahan kalor pinsegitiga lurus.

Persamaan diferensial pin segitiga lurus menggambarkan tentang distribusitemperatur sepanjang pin yang diperoleh dari dasar-dasar perpindahan kalorkonduksi dan konveksi. Persamaan diferensial tersebut akan ditransformasi kepersamaan umum persamaan diferensial Bessel.

Penyelesaian persamaan diferensial pin segitiga lurus adalah fungsi Besseltermodifikasi order nol. Selanjutnya fungsi Bessel termodifikasi yang diperolehdigunakan untuk memperoleh efisiensi pin yang dapat diartikan sebagaiperbandingan laju aliran kalor konduksi pin dibagi dengan laju aliran kalorkonveksi pin ideal.

Kata Kunci: fungsi bessel termodifikasi order nol, pin segitiga lurus, efisiensi pin

segitiga lurus.

1

BAB I

PENDAHULUAN

1.1. Latar Belakang

Persamaan diferensial seringkali muncul dalam model Matematika.

Persamaan Diferensial (PD) merupakan persamaan yang memuat turunan-

turunan dari suatu fungsi. Fungsi tersebut biasa dilambangkan dengan ( )y x

dengan x variabel bebas dan y variabel bergantung.

Persamaan diferensial Bessel merupakan persamaan diferensial linier

homogen tingkat dua. Penyelesaian persamaan diferensial Bessel disebut

dengan Fungsi Bessel. Fungsi Bessel pertama kali didefinisikan oleh Daniel

Bernouli dan disempurnakan oleh Freidrich Welhem Bessel tahun 1826

(Mclachlan, 1955: 2). Fungsi Bessel memiliki peranan yang penting dalam

berbagai permasalahan seperti: gelombang elektromagnetik, konduksi panas,

pin pendingin, dan lain-lain. Pada pin pendingin, fungsi Bessel dapat

diterapkan pada pin segiempat, pin segitiga lurus, pin melingkar, dan lain-lain.

Pada skripsi ini dibahas mengenai pin segitiga lurus yang merupakan

sebuah pin logam berbentuk prisma segitiga yang menempel pada suatu

dinding dan berguna untuk memindahkan panas sehingga keluar dari mesin ke

lingkungan sekitarnya (Wylie, 1976: 822). Persamaan diferensial pin segitiga

lurus diperoleh dari distribusi temperatur secara konduksi dan konveksi.

Persamaan pin segitiga lurus yang diperoleh berupa persamaan Bessel

termodifikasi. Oleh karena itu, penyelesaian dari persamaan pin segitiga lurus

2

adalah suatu fungsi Bessel termodifikasi yang disebut sebagai distribusi

temperatur sepanjang pin. Distribusi temperatur tersebut berguna untuk

menjaga mesin agar tetap stabil dan tidak overheat karena akan

mempengaruhi kinerja mesin. Fungsi Bessel yang didapat, selanjutnya

digunakan untuk memperoleh efisiensi pin. Efisiensi pin dapat diartikan

sebagai perbandingan laju aliran kalor konduksi pin dibagi dengan laju aliran

kalor konveksi pin ideal (Thirumaleshwar, 2009: 250).

1.2. Batasan Masalah

Aplikasi fungsi Bessel termodifikasi yang akan dibahas pada skripsi ini

dibatasi pada pin yang sangat tipis, dalam keadaan tunak (steady state) dan

pin berada pada satu dimensi.

1.3. Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang dapat dibuat rumusan masalah sebagai berikut:

Bagaimana aplikasi fungsi Bessel termodifikasi pada perpindahan kalor

pin segitiga lurus?

1.4. Tujuan Penelitian

Tujuan dari penulisan ini yaitu:

Mengetahui solusi atau penyelesaian persamaan diferensial pin segitiga

lurus yang merupakan fungsi Bessel termodifikasi order nol.

3

1.5. Manfaat Penelitian

Berdasarkan tujuan penulisan di atas maka manfaat yang dapat diambil

dari penulisan ini yaitu:

1) Skripsi ini dapat memberikan informasi tentang distribusi temperatur pada

suatu pin segitiga lurus dengan penerapan fungsi Bessel termodifikasi.

2) Dapat mengetahui efisiensi pin segitiga lurus.

3) Dapat digunakan sebagai bahan referensi dalam perkembangan ilmu

pengetahuan, khususnya matematika.

1.6. Tinjauan Pustaka

Tinjauan pustaka skripsi ini terdiri dari beberapa jurnal dan skripsi sebagai

referensi pelengkap guna menunjang kelengkapan penelitian.

Adapun penelitian sebelumnya yang menjadi acuan penulis antara lain

jurnal yang menjadi rujukan utama adalah jurnal yang ditulis oleh Dr. Somnuk

Theerakulpisut (1995) yang berjudul “Application of Modified Bessel

Functions in Extended Surface Heat Transfer Problem”. Penelitian ini

menjelaskan efisiensi pin annular dan pin segitiga lurus.

Skripsi Asih Dwi Nurrani (2011) yang berjudul ”Persamaan Diferensial

Bessel dan Penerapannya pada Frekuensi Alami Membran Berbentuk Cincin”.

Penelitian ini menjelaskan tentang persamaan diferensial Bessel dan fungsi

Bessel pada frekuensi alami membran berbentuk cincin.

Skripsi Siti Makhmudah (2009) yang berjudul “Aplikasi Fungsi Bessel

pada Getaran Membran Sirkular dan Distribusi Kecepatan Aliran Laminar

4

Unsteady Pipa Sirkular”. Penelitian ini menjelaskan tentang persamaan

diferensial Bessel dan Fungsi Bessel pada getaran membran sirkular dan

distribusi kecepatan aliran laminar unsteady pipa sirkular.

Penelitian ini merupakan pengembangan dari jurnal Dr. Somnuk

Theerakulpisut yang ditekankan pada pin segitiga lurus.

Perbedaan penelitian ini dengan penelitan Asih yaitu pada penelitian ini,

digunakan fungsi Bessel termodifikasi sebagai penerapan pada pin segitiga,

sedangkan penelitian Asih dibahas mengenai persamaan diferensial Bessel,

fungsi Bessel dan penerapannya pada Frekuensi Alami Membran Berbentuk

Cincin. Penelitian Siti menggunakan fungsi Bessel sebagai penerapan pada

pipa sirkuler.

1.7. Metode Penelitian

Metode penelitian yang digunakan pada skripsi ini yaitu studi literatur,

dengan melakukan penelitian untuk memperoleh data-data dan informasi-

informasi yang digunakan dalam pembahasan.

Adapun langkah-langkah yang dilakukan peneliti dalam membahas skripsi ini

yaitu sebagai berikut:

1. Mencari literatur utama yang dijadikan acuan dalam pembahasan dan

mengumpulkan literatur pendukung sebagai bahan atau sumber informasi

yang berkaitan dengan fungsi Bessel termodifikasi, perpindahan kalor dan

efisiensi pin segitiga lurus.

2. Mempelajari dan memahami persamaan diferensial Bessel dan

penyelesaiannya (fungsi Bessel).

5

3. Mempelajari dan memahami fungsi Bessel termodifikasi.

4. Mempelajari dan memahami perpindahan kalor konduksi dan konveksi.

5. Mencari persamaan diferensial pin dan penyelesaiannya yang berbentuk

fungsi Bessel termodifikasi order nol.

6. Mencari distribusi suhu pada pin

7. Mencari efisiensi pin.

8. Membuat kesimpulan dari pembahasan yang telah ditulis.

1.8. Sistematika Penulisan

Sistematika penulisan dalam skripsi ini terdiri dari empat bab, yaitu bab

pendahuluan, dasar teori, pembahasan dan penutup. Masing-masing bab akan

dijelaskan sebagai berikut:

BAB I PENDAHULUAN

Pada bab pendahuluan memuat tentang latar belakang, batasan masalah,

rumusan masalah, tujuan penelitian, manfaat penelitian, tinjauan pustaka,

metode penelitian, dan sistematika penulisan.

BAB II DASAR TEORI

Pada bab dua ini, diberikan kajian-kajian yang menjadi landasan masalah

yang akan dibahas, yaitu persamaan diferensial, persamaan diferensial Bessel,

persamaan diferensial Bessel termodifikasi order n, persamaan diferensial

Bessel termodifikasi order nol, bentuk lain persamaan diferensial Bessel,

perpindahan kalor (konduksi dan konveksi), dan pin segitiga lurus.

6

BAB III PEMBAHASAN

Pada bab tiga dibahas aplikasi fungsi Bessel termodifikasi order nol pada

perpindahan kalor pin segitiga lurus dan dibahas tentang efisiensi dari pin

segitiga lurus.

BAB IV PENUTUP

Bab empat berisi kesimpulan dari hasil penelitian yang telah dilakukan dan

saran bagi pembaca yang akan melanjutkan penelitian dalam skripsi ini.

30

BAB IV

PENUTUP

4.1. Kesimpulan

Berdasarkan hasil pembahasan sebelumnya yaitu tentang persamaan

diferensial pin segitiga lurus dan efisiensi pin, maka dapat disimpulkan bahwa,

persamaan diferensial pin segitiga lurus mempunyai penyelesaian dalam

bentuk fungsi Bessel termodifikasi order nol yaitu

1 0 2 0(2 ) (2 )U = c I x +c K x

dengan 0 ( )I x adalah fungsi Bessel termodifikasi jenis pertama order nol dan

0 ( )K x adalah fungsi Bessel termodifikasi jenis kedua order nol.

Penyelesaian persamaan diferensial pin segitiga lurus dapat digunakan

untuk memperoleh efisiensi pin. Efisiensi pin dapat diartikan sebagai

perbandingan laju aliran kalor konduksi pin dibagi dengan laju aliran kalor

konveksi pin ideal atau

1

0

(2 )1 cos

2 (2 )

I akb

a h I a

.

4.2. SARAN

Berdasarkan penulisan penelitian ini, maka saran-saran yang dapat

disampaikan adalah sebagai berikut:

31

1. Penelitian ini dapat dikembangkan dengan membahas lebih lanjut tentang

fungsi Bessel termodifikasi order v atau n yang dapat diaplikasikan pada

bidang ilmu teknik.

2. Aplikasi fungsi Bessel termodifikasi pada pin ada banyak penerapannya

tergantung dari macam-macam pin yang dibahas. Pada pin segitiga lurus

masih bisa dikembangkan dengan mencari nilai optimal.

32

DAFTAR PUSTAKA

Anis, Samsudin dan Aris Budiyono. 2009. Studi Eksperimen Pengaruh AlurPermukaan Sirip pada Sistem Pendingin Mesin Kendaraan Bermotor.Jurnal Kompetensi Teknik Vol.1, No.1. Universitas Negeri Semarang.

Arpaci, Vedat S. 1966. Conduction Heat Transfer. United States of America.

Ault, J. C dan Frank Ayres. 1992. Persamaan Diferensial dalam Satuan SIMetric. Jakarta: Erlangga.

Bowman, Frank. 1958. Introduction To Bessel Functions. United States ofAmerica.

Buchori, Luqman. 2009. Perpindahan Panas Bagian I. Fakultas TeknikUniversitas Diponegoro.

Holman, J.P dan E. Jasjfi. 1997. Perpindahan Kalor. Jakarta: Erlangga.

Kraus, Allan, D. Abdul Aziz, James Willey. 2001. Extended Surface HeatTransfer. United States of America.

Kreyszig, Erwin. 1993. Matematika Teknik Lanjutan, edisi ke-6, Buku 1. Jakarta:Penerbit PT Gramedia Pustaka Utama.

Makhmudah, Siti. 2009. Aplikasi Fungsi Bessel pada Getaran MembranSirkulardan Distribusi Kecepatan Aliran Laminar Unsteady Pipa Sirkular.Jawa Timur: Universtitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim.

Mclachlan, N. W. 1934. Bessel Functions for Engineers. London: ClarendonPress

Nurrani Asih Dwi. 2011. Persamaan Diferensial Bessel dan Penerapannya padaFrekuensi Alami Membran Berbentuk Cincin. Yogyakarta: UIN SunanKalijaga.

Rathore M.M dan R.R Kapuno. 2011. Engineering Heat Transfer, Edisi kedua.United States of America.

Soare, Mircea V, Petre P.Teodorace, dan Ileana Toma. 2007. OrdinaryDifferential Equations with Application to Mechanics.Spinger

Sugiyanto dan Slamet Mugiyono. 2011. Persamaan Diferensial Biasa.Yogyakarta: SUKA-Press UIN Sunan Kalijaga.

33

Theerakulpisut, Dr. Somnuk. 1995. Application of Modified Bessel Functions inExtended Surface Heat Transfer Problem. KKU Engineering JournalVol.22, No.1 (61-74). Khon Kaen University.

Thirumaleshwar, M. 2009. Fundamentals of Heat and Mass Transfer. India: SaiPrint-o-Pack

Wylie, C. Ray dan Louis C. Barrett. 1995. Advanced Engineering Mathematic.USA: McGraw-Hill,Inc.

http://eprints.undip.ac.id/27613/1/0190-ba-ft-2009.pdf diakses pada 27 September2013 pukul 08.14 WIB.

34

Lampiran 1

Konduktivitas Termal Bahan LogamKonduktivitas Termal

tk

BahanLogam

2W / m . C

20℃ -100℃ 100℃ 200℃ 300℃ 400℃ 600℃Aluminium:Murni 204 215 206 215 228 249Al-Cu (Duralumin),94-96% Al, 3-5%

164 126 182 194Cu, runut Mg Al-Si(Silumin, mengandungtembaga), 86.5% Al,1% Cu 137 119 144 152 161Al-Si (Alusil),78-80% Al,20-22% Si 161 144 168 175 178Al-Mg-Si, 97% Al,1% Mg, 1% Si,1% Mn 177 189 204Timbal 35 36,9 33,4 31,5 29,8

Besi:Murni 73 87 67 62 55 48 40

Besi Tempa, 0.5% C 59

35

Konduktivitas Termal

tk

Logam

2W / m . C

20℃ -100℃ 100℃ 200℃ 300℃ 400℃ 600℃Baja 57 52 48 45 36

C≈ 0.5% 54 52 48 45 42 35

1.0% 43 43 42 40 36 33

1.5% 36 36 36 35 33 31Baja nikelNi ≈ 0% 73

20% 1940% 1080% 35

36

Lampiran 1.

Konduktivitas Termal Berbagai Bahan pada 0⁰CKonduktivitas Termal

tk

Bahan 2W / m . C 2Btu / h.ft . F

LogamPerak (murni) 410 237Tembaga (murni) 385 223Aluminium (murni) 202 117Nikel (murni) 93 54Besi (murni) 73 42Baja karbon, 0

01 C 43 25Timbal (murni) 35 20,3Baja krom-nikel 16,3 9,4

0 00 018 Cr,8 Ni

Bukan LogamKuarsa (sejajar sumbu) 41,6 24Magnesit 4,15 2,4Marmar 2,08-2,94 1,2-1,7Batu pasir 1,83 1,06Kaca,jendela 0,78 0,45Kayu mapel atau ek 0,17 0,096Serbuk gergaji 0,059 0,034Wol kaca 0,038 0,022

Zat CairAir-raksa 8,21 4,74Air 0,556 0,327Amonia 0,540 0,312Minyak lumas, SAE50 0,147 0,085Freon 1 2, 2 2CCI F 0,073 0,042

GasHidrogen 0,175 0,101Helium 0,141 0,081Udara 0,024 0,0139Uap air(jenuh) 0,0206 0,0119Karbondioksida 0,0146 0,00844

37

Lampiran 2.

Nilai kira-kira Koefisien Perpindahan Panas KonveksiKoefisien Perpindahan Panas Konveksi

th

Bahan 2W / m . C 2Btu / h.ft . F

Konveksi bebas, 30 CU

Plat vertikal, tinggi 0,3 m (1ft) diudara 4,5 0,79Silinder horizontal, diameter 5 cmdi udara 6,5 1,14Silinder horizontal, diameter 2 cmdalam air 890 157

Konveksi paksaAliran udara 2 m/s di atas platbujur sangkar 0,2 m 12 2,1Aliran udara 35 m/s di atas platbujur sangkar 0,75 m 75 13,2Udara 2 atm mengalir di dalamtabung diameter 2,5 cm,kecepatan 10 m/s 65 11,4Air 0,5 kg/s mengalir di dalamtabung 2,5 cm 3500 616Aliran udara melintas silinderAdiameter 5 cm kecepatan 50 m/s 180 32

Air mendidihDalam kolam atau bejana 2500-35.000 400-6200Di luar tabung horizontal 5000-100.000 800-17.600

Pengembunan uap air, 1 atmMuka vertikal 4000-11.300 700-2000Di luar tabung horizontal 9500-25.000 1700-4400

38

Lampiran 3

A. Fungsi Bessel Termodifikasi Jenis Pertama Order Nol 0 ( )I x

Fungsi Bessel termodifikasi jenis pertama order nol digunakan dalam

penyelesaian pin segitiga lurus. Sebelum membahas tentang fungsi Bessel

termodifikasi jenis pertama order nol, terlebih dahulu akan dicari fungsi Bessel

jenis pertama order nol 0 ( )J x . Selanjutnya, 0 ( )J x akan digunakan untuk

mencari nilai fungsi Bessel termodifikasi jenis pertama order nol sebagai

berikut.

Persamaan diferensial Bessel yang berorder nol secara umum adalah sebagai

berikut,

2 2 2'' ' ( ) 0 0x y xy x n y n

atau

2 2'' ' ( ) 0x y xy x y (1)

Menurut (McLachlan, 1934: 5) langkah awal yang dilakukan untuk

memperoleh 0 ( )J x adalah dengan mengasumsikan solusi persamaan (1) dalam

bentuk,

1 00

( ) 0m nm

m

y x a x a

. (2)

Menurut (Kraus, 2001: 983) diberikan 0a sebagai berikut ,

0

1

2 ( 1)na

n

dengan ( 1) !n n . (3)

Turunan pertama dan kedua terhadap x dari persamaan (2) yaitu,

39

11

0

'( ) m nm

m

y x a m n x

21

0

''( ) 1 m nm

m

y x a m n m n x

.

Persamaan (2) dan turunan-turunannya disubstitusi ke persamaan (1) sehingga

diperoleh,

2 2 1

0 0

1 m n m nm m

m m

x a m n m n x x a m n x

2

0

0m nm

m

x a x

2

0 0 0

1 0m n m n m nm m m

m m m

a m n m n x a m n x a x

2

0 0

1 0m n m nm m

m m

a m n m n m n x a x

2 2 2

0 0

2 0m n m nm m

m m

a m nm n n m n m x a x

2 2 2

0 0

2 0m n m nm m

m m

a n nm m x a x

Jumlahan pertama dijabarkan hingga 2m dan jumlahan kedua dimulai dari

2m .

2 2 1 2 20 1 2

2 2

2 1 2 0n n m n m nm m

m m

n a x n n a x n nm m a x a x

2 2 1 2 20 1 2

2

2 1 2 0n n m nm m

m

n a x n n a x n nm m a a x

(4)

Berdasarkan persamaan (4) (koefisien dari setiap pangkat x yaitu koefisien

dari nx , 1nx , n mx ) dapat diperoleh,

40

1. Pada nx dapat ditulis,

20 0n a .

Berdasarkan persamaan (4) 0 0a , sehingga

2 0n . (5)

Persamaan (5) memiliki akar kembar 1 2 0n n .

Menurut (Sugiyanto, 2011: 71) persamaan (5) mempunyai penyelesaian

10

( ) m nm

m

y x a x

dan

2 11

( ) ( ) lnm nm

m

y x a x y x x

.

1( )y x digunakan untuk memperoleh 0 ( )J x dan 2 ( )y x digunakan untuk

memperoleh 0 ( )Y x .

2. Pada 1nx dapat diperoleh,

212 1 0n n a . (6)

0n disubstitusi ke persamaan (6) sehingga diperoleh,

1 0a . (7)

3. Selanjutnya dicari nilai ma yaitu diperoleh dari koefisien persamaan n mx ,

2 222 0m mn nm m a a untuk 2m atau

22

1

( )m ma an m

. (8)

41

Persyaratan 2m diperlukan dalam persamaan (8) karena 2ma tidak

terdefinisikan untuk 0m atau 1m .

0n disubstitusi ke dalam persamaan (8) diperoleh bahwa,

22

1

( )m ma am

. (9)

Berdasarkan persamaan (7) dan (9) dapat diperoleh,

2 0 02 2

1 1

4 (2) (1!)a a a

3 1

10

9a a

4 2 04 2

1 1

16 (2) (2!)a a a

5 1

10

25a a

6 4 0 02 2 4 2 6 2

1 1 1

36 2 (3) 2 (2!) 2 (3!)a a a a .

Jadi diperoleh penyelesaian untuk 1( )y x yaitu,

10

( ) m nm

m

y x a x

2 4 21 0 2 2 4 2 2 2

1 1 ( 1)( ) 1 0 0 ... ...

(2) (1!) (2) (2!) (2) ( !)

mn m

my x a x x x x

m

2 4 21 0 2 2 4 2 2 2

1 1 ( 1)( ) 1 ... ...

(2) (1!) (2) (2!) (2) ( !)

mn m

my x a x x x x

m

21 0 2 2

0

( 1)( )

(2) ( !)

mm n

mm

y x a xm

. (10)

0 ( )J x diperoleh dengan memasukkan nilai 0n pada persamaan (3)

42

0 0

11

2 (0 1)a

,

dan memasukkan 0n persamaan (10)

21 2 2

0

( 1)( )

(2) ( !)

mm

mm

y x xm

.

Selanjutnya, 1( )y x dapat disimbolkan dengan 0 ( )J x sebagai berikut

20 2 2

0

( 1)( )

(2) ( !)

mm

mm

J x xm

. (11)

Persamaan (11) yaitu fungsi dari variabel real sedangkan fungsi Bessel

termodifikasi memuat variabel imajiner. Oleh karena itu, 0 ( )J x dapat dirubah

menjadi fungsi dari variabel imajiner sebagai berikut

2

0 220

( 1) ( )( )

2 !

m m

mm

ixJ ix

m

2 2 2

220

( )

2 !

m m m

mm

i i x

m

4 2

220 2 !

m m

mm

i x

m

.

4mi akan selalu bernilai satu untuk sembarang nilai 0,1,2,m atau dapat

ditulis,

2

0 220

( )2 !

m

mm

xJ ix

m

.

43

Menurut (McLachlan, 1934: 162), 0 0( ) ( )I x J ix . Oleh karena itu, fungsi

0 ( )J ix ini sering disebut fungsi Bessel termodifikasi jenis pertama orde nol

dan disimbolkan dengan 0 ( )I x .

B. Fungsi Bessel Termodifikasi Jenis Kedua Order Nol 0 ( )K x

Fungsi Bessel termodifikasi jenis kedua order nol digunakan dalam

penyelesaian persamaan diferensial pin segitiga lurus. Untuk memperoleh

fungsi Bessel termodifikasi jenis kedua order nol terlebih dahulu akan dicari

nilai fungsi Weber atau fungsi Bessel jenis kedua yang diubah ke variabel

imajiner ( 0 ( )ixY ). Berikut akan dijelaskan alur untuk memperoleh fungsi

Bessel termodifikasi jenis kedua order nol.

Persamaan (5) mempunyai akar kembar yaitu 1 2 0n n dan mempunyai

penyelesaian

2 01

( ) ( ) lnm nm

m

y x a x J x x

atau

2 01

( ) ( ) lnmm

m

y x a x J x x

. (12)

Selanjutnya persamaan (12) diturunkan terhadap x, sehingga diperoleh,

1 02 0

1

( )'( ) '( ) lnm

mm

J xy x ma x J x x

x

(13)

2 0 0 02 0 2

1

'( ) ( ) '( )''( ) 1 ''( ) lnm

mm

J x J x J xy x m m a x J x x

x x x

44

2 0 02 0 2

1

2 '( ) ( )''( ) 1 ''( ) lnm

mm

J x J xy x m m a x J x x

x x

. (14)

2 ''( )y x , 2 '( )y x , dan 2 ( )y x disubstitusi ke persamaan (1) seperti berikut,

2 0 00 2

1

2 '( ) ( )1 ''( ) lnm

mm

J x J xx m m a x J x x

x x

1 00 0

1 1

( )'( ) ln ( ) ln 0m m

m mm m

J xma x J x x x J x x a x

x

1 00 0

1

( )1 ''( ) ln 2 '( )m

mm

J xm m a x xJ x x J x

x

1 100 0

1 1

( )'( ) ln ( ) ln 0m m

m mm m

J xma x J x x xJ x x a x

x

0 00 0 0 0

( ) ( )''( ) ln '( ) ln ( ) ln 2 '( )

J x J xxJ x x J x x xJ x x J x

x x

1 1 1

1 1 1

1 0m m mm m m

m m m

m m a x ma x a x

0 0 0 0''( ) '( ) ( ) ln 2 '( )xJ x J x xJ x x J x

2 1 1

1 1

0m mm m

m m

m a x a x

(15)

0J merupakan solusi persamaan (1), maka

0 0 0''( ) '( ) ( ) 0xJ x J x xJ x .

Oleh karena itu, persamaan (15) menjadi,

2 1 10

1 1

0 2 '( ) 0m mm m

m m

J x m a x a x

. (16)

Berdasarkan persamaan (11) yang berbentuk

45

20

0 2 01

( 1)( )

2 !(0 )!

m m

mm

xJ x x

m m

2

221

( 1)

2 !

m m

mm

x

m

,

dapat diperoleh deret pangkat dari 0 '( )J x sebagai berikut

2 1

0 221

( 1) 2'( )

2 !

m m

mm

mxJ x

m

2 1

0 22 1 11

( 1)'( )

2 2 !

m m

mm

xJ x

m m

2 1

0 2 11

( 1)'( )

2 ! 1 !

m m

mm

xJ x

m m

. (17)

Persamaan (17) disubstitusi ke persamaan (16), sehingga diperoleh

2 1

2 1 12 1

1 1 1

( 1)2 0

2 ! 1 !

m mm m

m mmm m m

xm a x a x

m m

2 1

2 1 12 1 1

1

( 1)0

2 2 ! 1 !

m mm m

m mmm

xm a x a x

m m

2 1

2 1 12 2

1

( 1)0

2 ! 1 !

m mm m

m mmm

xm a x a x

m m

3 50 2 2 3 2 2 4

1 1 2 2 3 32 42 3

2 2!1! 2 3!2!

x xx a x a x a x a x a x a x

7 92 3 5 2 4 6

4 4 5 56 84 5

2 4!3! 2 5!4!

x xa x a x a x a x

112 5 7

6 6106 0

2 6!5!

xa x a x

46

0 2 2 2 2 31 2 1 3 2 42

11 2 3 4

2 2!1!a x a x a a x a a x

2 4 2 53 5 4 64

15 6 0

2 3!2!a a x a a x

.

Pangkat terkecil dari x yaitu 0x , dan 1a merupakan koefisien 0x . Oleh karena

itu 1 0a . Setelah itu, dengan menyamakan jumlah koefisien-koefisien dari

pangkat 2mx dengan nol, akan diperoleh

2 2 1 2 12 1 0m mm a a dengan 1, 2,3,m .

Sehingga dapat dibentuk,

2 1

2 1 22 1

mm

aa

m

.

Selanjutnya, untuk

2 1 1

3 2 21 0

32 1

a am a

,

3

5 2 2

02 0

54 1

am a

,

5

7 2 2

03 0

76 1

am a

, dan seterusnya.

Kemudian dengan menyamakan jumlah koefisien-koefisien dari 2 1mx dengan

nol, akan diperoleh

-1 + 4 2a = 0

4 2a = 1

2

1

4a , untuk (m = 0).

47

Untuk nilai-nilai m = 1, 2, …

12

2 2 22

( 1)(2 2) 0

2 ( 1)! !

m

m mmm a a

m m

,

atau

1

2 2

2 2 2

( 1)2 ( 1)! !

(2 2)

m

m m

m

am m

am

.

Untuk m = 1, diperoleh

2

2 2

4 2

( 1)2 (2)!1!

(4)

3

128

aa

dan secara umumnya,

1

2 2 2

( 1) 1 1 11 ...

2 ( !) 2 3

m

m ma

m m

, m = 1, 2, … . (18)

Dan1 1

1 ...2 m dapat disimbolkan dengan mh .

Persamaan (18) dan 0n disubstitusi ke dalam persamaan (12), maka

diperoleh

1

222

1

02 )!(2

)1(ln)()(

m

mm

mm

xm

hxxJxy

= ...128

3

4

1ln)( 42

0 xxxxJ . (19)

Menurut (Sugiyanto, 2001: 95) 2 ( )y x diganti dengan penyelesaian khusus

yang bebas linear berbentuk 2 0( )A y BJ , dengan B merupakan konstanta.

48

Biasanya 2A dan ln 2B , dengan 0,57721566490... yang biasa

disebut konstanta Euler, yang didefinisikan sebagai limit

1 11 ln

2m

m

,

untuk m mendekati tak hingga. Oleh karena itu, dapat diperoleh

1

22 0 0 02 2

1

( 1)2( ) ( ) ln ln 2 ( )

2 ( !)

mmm

mm

hA y BJ x J x x x J x

m

1

20 0 2 2

1

( 1)2( ) ln ln 2 ( )

2 ( !)

mmm

mm

hJ x x J x x

m

12

0 2 21

( 1)2( ) ln

2 2 ( !)

mmm

mm

hxJ x x

m

atau 2 0 ( )A y BJ x dapat disimbolkan dengan 0 ( )Y x .

12

0 0 2 21

( 1)2( ) ( ) ln

2 2 ( !)

mmm

mm

hxY x J x x

m

. (20)

0 ( )Y x merupakan fungsi bessel jenis kedua order nol atau fungsi Neumann

order nol dan digunakan untuk memperoleh nilai dari 0 ( )xY yang merupakan

fungsi Weber (fungsi Bessel jenis kedua order nol).

Menurut (McLachlan, 1934: 164), diketahui bahwa

0 0 0

2( ) ( ) ln 2 ( )x Y x J x

Y . (21)

Oleh karena itu, berdasarkan persamaan (20) dan (21) dapat diperoleh,

1

20 0 02 2

1

( 1)2( ) ( ) ln ln 2 ( )

2 ( !)

mmm

mm

hx J x x x J x

m

Y

atau

49

12

0 0 2 21

( 1)2( ) ( ) ln

2 2 ( !)

mmm

mm

hxx J x x

m

Y . (22)

Seperti persamaan (11), pada persamaan (22) 0 ( )xY diubah menjadi fungsi

dengan variabel imajiner.

1

2

0 0 2 21

( 1)2( ) ( ) ln

2 2 ( !)

mmm

mm

hixix J ix ix

m

Y . (23)

Nilai ln( )ix pada 0 ( )ixY yaitu

ln( ) ln lnix i x

1ln ln

2cis x

1

2ln lni

e x

1ln

2i x .

Oleh karena itu, persamaan (23) menjadi

1

2

0 0 2 21

( 1)2 1( ) ( ) ln ln 2

2 2 ( !)

mmm

mm

hix J ix i x ix

m

Y .

Menurut (McLachlan, 1934: 164) nilai

0 0 0

1( ) ( ) ( )

2K x i I x i xi Y .

Oleh karena itu, dapat ditulis

0 0 0

1( ) ( ) ( )

2K x i I x i xi Y

sehingga,

50

1

2

0 0 0 2 21

( 1)1 2 1( ) ( ) ( ) ln ln 2

2 2 2 ( !)

mmm

mm

hK x i I x i J ix i x ix

m

atau,

4

2

0 0 2 2 21

( ) ( ) ln2 2 ( !)

mmm

mm

i hxK x I x x

i m

.

4mi akan selalu bernilai satu sehingga dapat diperoleh,

20 0 2 21

( ) ( ) ln2 2 ( !)

mmm

m

hxK x I x x

m

. (24)

0 ( )K x yaitu fungsi Bessel termodifikasi jenis kedua order nol.