BAB I PENDAHULUANI.1 Latar BelakangAnuitas dapat didefenisikan pembayaran premi asuransi, pembayaran hipotik, pembayaran bunga atas obligasi, pembayaran sewa, pembayaran secara cicilan, pembayaran uang pensiun adalah beberapa contoh daripada sebagai suatu rangkaian pembayaran atau penerimaan berkala atau periodik dari sejumlah uang yang sama besarnya dan dibayar atau diterima pada setiap periode waktu yang sama selama jangka waktu tertentu pembayaran atau penerimaan secara anuitas. Makalah ini membahas tentang Anuitas meningkat dan menurun. Dalam menyelesaikan persoalan tentang Anuitas di butuhkan teknik perhitungan dengan metode Penurunan rumus Matematik.

Rumusan masalah pada makalah ini yaitu apa yang dimaksud dengananuitas meningkat dan menurun, apakah perbedaan dari Anuitas Meningkat biasa dan Anuitas Meningkat dimuka, apakah perbedaan dari Anuitas Menurun biasa dan Anuitas Menurun dimuka, bagaimana cara menghitung pembayaran dalam waktu tertentu dengan metode anuitas meningkat, dan bagaimana cara menghitung pembayaran dalam waktu tertentu dengan metode anuitas meningkat? Tujuan makalah ini adalah untuk menjelaskan pengertian anuitas meningkat dan menurun, untuk menghitung tingkat bunga pada peminjaman, untuk menghitung pembayaran dalam waktu tertentu dengan metode anuitas meningkat dan menurun, dan untuk mengetahui penurunan rumus anuitas meningkat dan menurun Manfaat dari makalah ini adalah apat memahami pengertian anuitas meningkat dan menurun, dapat memahami apa perbedaan Anuitas meningkat biasa dan meningkat dimuka. Juga sebaliknya dengan Anuitas Menurun, dapat memahami contoh-contoh anuitas. Dan dapat mengetahui bagaimana teknik atau cara penyelesaian soal pada anuitas.

BAB II1

PEMBAHASAN II.1 Pembahasan Materi dan Penurunan RumusAnuitas adalah suatu rangkaian pembayaran dengan jumlah yang sama besar pada setiap interval pembayaran. Besar kecilnya jumlah pembayaran pada setiap interval tergantung pada jumlah pinjaman, jangka waktu, dan tingkat bunga. Pada bab ini anuitas yang dibahas adalah anuitas meningkat (increasing annuity) dan anuitas menurun (decreasing annuity). Jika dilihat dari waktu pembayarannya ,anuitas dapat dibagi dua yaitu anuitas biasa (annuity immediete) dan anuitas dimuka (annuity due). Anuitas biasa adalah suatu anuitas yang dibayar pada setiap akhir periode pembayaran, sedangkan anuitas dimuka adalah suatu anuitas yang dibayar pada setiap awal periode pembayaran. Maka Anuitas Meningkat dibagi menjadi anuitas meningkat Biasa (Increasing Annuity Immediate) dan Anuitas Meningkat dimuka (Increasing Annuity Due). Sebaliknya juga dengan Anutas Menurun Biasa (Decreasing Annuity Immediate) dan Anuitas Meningkat dimuka (Decreasing Annuity Due).

II.1.1 Anuitas Meningkat (Increasing annuity)Adalah suatu rangkaian pembayaran yang jumlah pembayarannya meningkat setiap interval pembayaran. Anuitas meningkat dimulai dengan 1, meningkat 1 setiap tahun dan akhirnya akan berakhir dengan n. Ini dikatakan anuitas meningkat secara teratur. Pembayaran berlangsung di awal tahun. II.1.1.a Anuitas Meningkat Biasa (Increasing Annuity Immediate): Adalah sebuah Anuitas Biasa yang dibayarkan selama n tahun dengan pembayaran pertama sama dengan P dan masing-masing pembayaran berikutnya meningkat dengan Q. Diagram nya seperti gambar berikut. Grafik Anuitas Meningkat Biasa :

2

P 0 1

P+(1)Q 2

P+(n-2)Q n-1

P+(n-1)Q n

Nilai sekarang (pada t=0) anuitas meningkat secara langsung ,dimana efektif tahunan tingkat bunga = i, di hitung sebagai berikut : Maka nilai anuitas langsung meningkat Biasa dapat juga kita tuliskan dari turunan rumus berikut

3

Misalkan P=1 dan Q=1. Dalam kasus ini , pembayaran mulai dari 1 dan meningkat 1 setiap tahun hingga pembayaran akhir n dibuat pada waktu n. Maka nilai sekarang (pada t=0) dari suatu anuitas Biasa langsung , di mana tingkat bunga efektif tahunan adalah i, maka anuitas meningkat biasa di lambangkan dengan (Ia) dan untuk menghitungnya adalah sebagai berikut :

4

Contoh II.1.1.a : Anggito meninjam uang 10.000 akan di bayar kembali lebih dari 30 tahun. Maka diberikan Pembayaran pertama nya adalah X pada akhir tahun 1. Pembayaran nya meningkat 100 per tahun untuk 19 tahun ke depan dan tingkatannya tetap untuk 10 tahun ke depan nya. Tingkat bunga efektif adalah 5% per tahun. Maka hitunglah nilai X? Penyelesaian :

II.1.1.b Anuitas Meningkat Di muka (Increasing Annuity-Due) Untuk anuitas dimuka dibayar selama n tahun dengan pembayaran pertama sama dengan P dan masing-masing berikutnya, Pembayaran meningkat dengan Q. Diagram grafik di bawah menggambar kan anuitas meningkat dimuka. Grafik Anuitas Meningkat Dimuka P 0 P+(1)Q 1 P+(2)Q 2 . .. n-1 P+(1-n)Q n

Nilai sekarang (pada t=0) dari anuitas meningkat dimuka, dimana efektif tahunan tingkat bunga = i, dapat dihitung seperti dibawah ini : Maka nilai anuitas langsung meningkat Dimuka turunan rumusnya sebagai berikut:

5

Misalkan P=1 dan Q=1. Dalam kasus ini , pembayaran mulai dari 1 dan meningkat 1 setiap tahun hingga pembayaran akhir n dibuat pada n waktu n-1

6

Nilai sekarang (pada t=0) dari anuitas meningkat dimuka, di mana tingkat bunga efektif tahunan adalah i, maka anuitas meningkat dimuka di lambangkan dengan I dan menghitungnya adalah sebagai berikut:

Contoh II.1.1.bSebuah Anuitas meningkat 8% yang dimulai tahun depan sebesar Rp1000.000 dan nilai sekarang sebesar Rp 377.754. jika tingkat bunga pertahun adalah 14% selama 4 tahun. Berapakah nilai anuitas meningkat nyah Jawab :

7

II.1.2 Anuitas menurun (Decreasing Annuity)Adalah suatu rangkaian pembayaran yang jumlah pembayarannya menurun setiap interval pembayaran . Anuitas menurun dimulai dengan n, menurun 1 setiap tahun dan akhirnya akan berakhir dengan 1. Ini dikatakan anuitas menurun secara teratur. II.1.2.a Anuitas Menurun Biasa (Decreasing Annuity Immadiate) Grafik Anuitas Menurun Biasa : Adalah sebuah Anuitas Biasa yang dibayarkan selama n tahun dengan pembayaran pertama sama dengan P dan masing-masing pembayaran berikutnya menurun dengan Q. Diagram nya seperti gambar berikut.

n

n-1

2

1

0

1

2

n-1

n

Nilai sekarang (pada t=0) dari suatu anuitas anuitas menurun langsung , di mana tingkat bunga efektif tahunan adalah i, maka di lambangkan dengan menghitungnya adalah sebagai berikut:8

dan

Misalkan P=n dan Q= -1. Dalam kasus ini, pembayaran mulai dari n dan menurun 1 setiap tahun, sampai pembayaran akhir 1 dibuat pada waktu n.

9

Soal II.1.2.a Hitunglah nilai anuitas menurun nyah dari suatu anuitas setiap awal tahun selama 4kali, jika tingkat bunga yang relevan adalah 10%? Jawab

II.1.2.b Menurun Dimuka (Decreasing Annuity Due) Grafik Anuitas Menurun Dimuka :

10

n

n-1

n-2

.

1

0

1

2

.

n-1

n

Nilai sekarang (pada t=0) dari penurunan anuitas Dimuka, di mana tingkat bunga efektif tahunan adalah i, maka di lambangkan dengan adalah sebagai berikut: dan menghitungnya

11

Misalkan P=n dan Q= -1. Dalam kasus ini, pembayaran mulai dari n dan menurun 1 setiap tahun, sampai pembayaran akhir 1 dibuat pada waktu n.

Contoh II.1.2.b Pak Anggito meminjam uang dengan tingkat bunga adalah 6%,peminjaman ini berdasarkan anuitas menurun dimuka atau pembayaran dimuka , dengan pembayaran pertama Rp10.000 maka untuk setiap pembayaran berikut nya dikurangi dengan Rp1000. maka hitunglah present value atau nilai sekarangnya? Jawab: PV PV = = = = = 10.000+9000v+8000 1000*(10+9v+8 1000*D (10) 1000*(10-a(10))/(1-v) 1000*(10-7,36)/0.056612

+..+1000 )

+..+

= = =

1000*2,64/0.0566 1000*46,638 Rp 46.638

BAB III KESIMPULAN13

Dari pembahasan ini dapat ditarik kesimpulan bahwa :

Anuitas meningkat merupakan suatu peminjaman uang dengan tingkat periode yang lama pada besar bunga tertentu

Anuitas menurun merupakan kebalikan dari anuitas meningkat yaitu suatu peminjaman uang dengan tingkat periode yang singkat pada besar bunga tertentu.

Dalam sebuah anuitas pasti memiliki bunga, dan bunga tersebut merupakan persenan dari total peminjaman yang akan dibayarkan pada pihak yang memberikan pinjaman.

Anuitas meningkat merupakan suatu jangka waktu yang semakin meningkat dari 1 hingga n pada suatu anuitas tertentu.

Aniutas menurun akan menurun dari n tiap 1tahunnya hingga akan berakhir sampai 1 tahun saja.

DAFTAR PUSTAKA

14

Kleynen,Ruud.2007. Financial and Actuarial Mathematics.McGrawHill.

Kellison, Stephen G.2007.The Theory of Interest. McGrawHill. Ruckman, Chris.2003. Financial Mathematics. Second Edition.South-Western.

LAMPIRAN SOAL1. Sebuah deposit 1 dibuat pada setiap akhir tahun selama 10 tahun ke

rekening bank yang membayar bunga pada setiap akhir tahun pada tingkat

15

yang efektif tahunan (j). Setiap pembayaran bunga diinvestasikan kembali ke account lain di mana ia memperoleh suku bunga efektif tahunan (j/2). Nilai akumulasi dari pembayaran bunga pada akhir 10 tahun 4.0122. Hitunglah nilai j. Penyelesaian :

2. Untuk melunasi suatu pinjaman dapat di lakukan dengan 2 cara: Pertama didasarkan pada konstanta penurunan anuitas jatuh temponya. Sesuai dengan pembayaran pertama Rp10.000 maka untuk setiap pembayaran berikut nya dikurangi dengan Rp1000. Dan Cara kedua atau cara lain nya adalah pembayaran meningkat 10% setiap tahun, kita ketahui bahwa nilai sekarang untuk pembayaran pada kedua cara adalah sama. Maka tentukanlah pembayaran pertama pada ke dua cara tersebut dengan tingkat bunga adalah 6%? Maka solusinya adalah: Nilai sekarang(PV) untuk cara pertama adalah :

PV PV

= =

10.000+9000v+8000 1000*(10+9v+8

+..+1000 )

+..+

16

= = = = = =

1000*D (10) 1000*(10-a(10))/(1-v) 1000*(10-7,36)/0.0566 1000*2,64/0.0566 1000*46,638 Rp 46.638

Nilai sekarang(PV) untuk cara kedua adalah : PV = D+1,1Dv+ D ++ D

Dalam menghitung nilai di atas kita menggunakan subtitusi berikutnya: V*=1,1*v=1,1/1.006 = 1,0377 Sehingga persamaan dapat ditulis sebagai : PV = = = = = = D+D +D D* (10) D*(1D*(1)/(1-1,0377) )/(1-1,0377) ++D

D*0,4483/0,0377 D*11,881

Karena nilai sekarang (PV) harus sama , maka : D*11,881 = 46.638 D = 3.92

3. Anuitas 1: 11-tahun-anuitas .langsung dengan pembayaran dimulai dari

1dan kemudian dari 1 meningkat untuk 5 tahun, diikuti dengan pembayaran yang dimulai dari 5 dan kemudian menurun dengan 1 selama 4 tahun.

17

Pembayaran

pertama

adalah

dalam

dua

tahun.

Anuitas 2: A 13-tahun-anuitas langsung dengan pembayaran mulai dari 5 dan kemudian meningkat 2 untuk 5 tahun, diikuti dengan pembayaran mulai dari 16 dan kemudian menurun dengan 4 untuk 3 tahun dan kemudian penurunan dengan 1 untuk 3 tahun. Pembayaran pertama dalam satu tahun. Nilai sekarang dari Anuitas 1 sama dengan 36. Tentukan nilai sekarang dari Anuitas 2. Penyelesaian :

4. Dana X sebesar 1000 disimpan, yang menghasilkan tingkat bunga efektif

tahunan i. Pada setiap akhir tahun, bunga yang diperoleh ditambah dengan 100, tambahan ditarik dari dana tersebut. Pada akhir tahun kesepuluh, dana habis. Penarikan tahunan bunga dan pokok yang disetorkan ke Dana Y, menghasilkan suatu efektif tahunan tingkat 9%. Nilai akumulasi Dana Y pada akhir tahun 10 adalah 2.085. Tentukan i. Penyelesaian :

18

5. Anda diberi anuitas-langsung membayar 10 untuk 10 tahun, kemudian

menurun oleh satu per tahun selama sembilan tahun dan membayar satu per tahun sesudahnya, selamanya. Tingkat bunga efektif tahunan adalah 4%. Hitung nilai sekarang dari anuitas ini.

Penyelesaian :

19