ANALISIS VARIANSI

Pada bab sebelumnya telah dibahas prosedur pengujian untuk menentukan apakah mean dua populasi normal yang saling bebas, sama atau tidak apabila variansi kedua populasi diasumsikan sama (walaupun tidak diketahui ).

Teknik tersebut dapat diperluas sehingga dapat digunakan untuk membandingkan mean beberapa (k) populasi.

akan diuji apakah tiga varitas gandum secara rata-rata memberikan hasil yang sama apabila tanaman gandum tersebut ditanam pada petak-petak yang berukuran sama dan mempunyai kondisi tanah yang sama

ingin diselidiki apakah enam laboratorium yang ada memberikan hasil analisis yang sama apabila diberikan sampel-sampel dari bahan yang sama.

Dalam kasus ini, ada satu factor yang disebut perlakuan (treatment).

Factor perlakuan pada kasus gandum adalah varitas gandum yang mempunyai 3 level sedangkan pada kasus kedua factor perlakuannya berupa laboratorium yang mempunyai enam level.

CONTOH

Pada kasus pengujian k mean populasi, dengan k > 2, diasumsikan bahwa terdapat k sampel dari k populasi.

Prosedur yang biasa digunakan dalam hal ini dinamakan analisis variansi atau ANOVA.

Analisis variansi adalah suatu teknik stastistik untuk menganalisis pengukuran-pengukuran yang bergantung kepada beberapa efek / pengaruh yang bekerja serentak, menentukan efek mana yang penting dan menduga efek itu.

Analisis variansi didasarkan pada pemecahan variansi total menjadi bagian-bagian / komponen- komponen yang masing-masing mengukur variabilitas yang disebabkan oleh berbagai sumber.

Dalam membandingkan k mean populasi , dua sumber variasi adalah :

1. perbedaan antar mean 2. variasi dalam populasi ( error )

KLASIFIKASI SATU ARAH Pada analisis variansi satu arah,hanya satu

faktor (treatment) yang diteliti.

Misalnya : - pengaruh varitas gandum terhadap hasil

panen - pengaruh konsentrasi bahan kimia

terhadap pertumbuhan tanaman - pengaruh laboratorium terhadap hasil

analisis.

Misalkan terdapat k populasi yang saling bebas, berdistribusi normal dengan mean masing-masing …, dan variansi .

Dari setiap populasi,masing-masing diambil sampel berukuran .

Setiap populasi diidentifikasikan sebagai populasi dari respon- respon dibawah treatment tertentu .

adalah pengamatan ke-j dari populasi (treatment) ke-i,i=1,2,3,..k dan j=1,2,… ni

,, 21 k 2

knnn ,.....,, 21

ijx

Populasi

1 2 k

Total

Mean

11x 21x

12x 22x 2kx

11nx

.1x .2x .kx

.1

x .2

x

22nx

1kx

kknx

.kx

..x

..

x

MODEL MATEMATIKA adalah variabel acak yang saling bebas,

mempunyai mean dan variansi . Model matematika : , j = 1,2,…,ni dan i = 1,2,…,k. dimana : : pengamatan ke-j dari treatment ke-i : mean treatment ke-i : error, diasumsikan saling bebas dan

berdistribusi

ijXi 2

ijiijx

ijx

iuj

2,0 N

HIPOTESIS

minimal ada dua mean yang tidak sama

Uji hipotesis akan didasarkan pada perbandingan dua nilai dugaan/penaksir yang saling bebas untuk variansi populasi .

Nilai dugaan ini dapat diperoleh dengan cara menguraikan variabilitas total pada data menjadi dua komponen.

kH 210 ::1H

2

Variansi dari seluruh pengamatan (untuk kasus banyaknya pengamatan tidak sama untuk tiap treatment seperti pada tabel sebelumnya):

, Pembilang dalam s2 disebut jumlah kuadrat

total yang mengukur keragaman total dalam data.

Keragaman total tersebut dapat diuraikan melalui identitas berikut : JKT = JKTr + JKE

Cat : untuk kasus banyaknya pengamatan pada treatment sama, rumus-rumusnya dapat dilihat di buku.

2s 1

1

2

n

xxk

i

n

ijij

i

k

iinn

1

JKT = JKTr + JKE Untuk mempermudah perhitungan, rumus-rumus diatas dapat dituliskan dalam bentuk :

1. JK Total (JKT) : =

2. JK Treatment (JKTr) : =

3. JK Error (JKE) : = JKT - JKTr

k

i

n

jij

i

xx1 1

2

k

i

n

jij

i

nx

x1 1

22

k

iii xxn

1

2

k

i i

i

nx

1

2

nx 2

k

i

n

jiij

i

xx1 1

2

k

i

k

i

n

jiijii

k

i

n

jij

ii

xxxxnxx1 1 1

2

.

2

...

2

1 1..

Statistik uji yang akan digunakan dalam anova adalah :

F = yang berdistribusi F dengan db dan dimana

= dan = : Rata-rata JK Treatment

: Rata-rata JK Error

22

21

SS

11 k kn 2

21S 1

JKTrk

22S

knJKE

21S2

2S

Penurunan Distribusi F dapat dijelaskan sbb:

Untuk setiap i : adalah variabel acak berukuran ni dari populasi normal dengan variansi .

berdistribusi khi kuadrat dg db = ni-1

berdistribusi khi kuadrat dg db = n-k

ijX

2

2

1

2

in

jiij XX

2

1 1

2

k

i

n

jiij

i

XX

: variabel acak berdistribusi normal dengan variansi .

= berdistribusi khi kuadrat,

db = k-1.Seperti telah dijelaskan sebelumnya,

,dimana dan yang masing-masing berderajat bebas (k-1) dan

(n-k). Sehingga

F = berdist F dgn db dan

iX

in2

k

ii

i

n

XX

12

2

21

2

k

iii XXn

222

121

//

F2

212

1)1(

Sk

2

222

2)(

Skn

22

21

SS

11 k kn 2

Kriteria pengujian : Pada tingkat signifikasi , Ho ditolak jika F ≥  

knkF ,1;

TABEL ANOVA

Sumber Jumlah

Kuadrat

Derajat

Bebas

Rata – rata

Jumlah Kuadrat

F

Hitung

Treatment JKTr k - 1

Error JKE n - k

Total JKT

21 1

JKTrsk

2122

ss

22

JKEsn k

1n

CONTOH Dalam suatu percobaan biologi,empat

konsentrasi bahan kimia digunakan untuk merangsang pertumbuhan sejenis tanaman. Percobaan dilakukan selama periode waktu tertentu.

Apakah pertumbuhan rata-rata tanaman berbeda untuk keempat konsentrasi bahan kimia tersebut?

Ujilah dengan menggunakan tingkat signifikasi 0,01.

Data pertumbuhan tanaman (dalam sentimeter) adalah sebagai berikut :

Konsentrasi Total

1 8,2 8,7 9,4 9,2 35,5

2 7,7 8,4 8,6 8,1 8,0 40,8

3 6,9 5,8 7,2 6,8 7,4 6,1 40,2

4 6,8 7,3 6,3 6,9 7,1 34,4

150,9

- Model matematika : , i = 1,2,3,4 , j = 1,2,…,niDimana : : pertumbuhan tanaman ke-j pada konsentrasi ke-i : pertumbuhan rata-rata tanaman yang disebabkan

konsentrasi ke-i : error, diasumsikan saling bebas dan berdistribusi - Hipotesis :

H1 : minimal ada dua yang tidak sama

ijiijx

ijx

i

ij 2,0

N

i

43210 : H

- Perhitungan n1 = 4, n2 = 5, n3 = 6 dan n4 = 5 JKT = = 19,35. JKTr = = 15,46 JKE = 3,89

5,351 x 8.402 x 2,403 x 4,344 x

209,1501,77,82,8

2222

45,35 2

54,34 2

209,150 2

15,5346,152

1 s 24,01689,32

2 s

TABEL ANOVA Sumber Jumlah

Kuadrat

Derajat

Bebas

Rata-rata

Jumlah

Kuadrat

F

Treatment 15,46 3 5,15

Error 3,89 16 0,24

Total 19,35 19

4,2124,015,5

F

Karena F = 21,4 >5,29 maka Ho ditolak Kesimpulan : Pertumbuhan rata-rata tanaman berbeda

untuk keempat konsentrasi bahan kimia tersebut.

01,029,516;3;01,0 F