Analisa Struktur

(Structural Analysis)

Prinsip Dasar Metode Energi

(Principle of Work and Energy)

Kerja

Prinsip Konservasi Energi (conservation of energy principle) :

Kerja akibat seluruh gaya luar yang bekerja pada sebuah struktur

(external forces) Ue, menyebabkan terjadinya gaya-gaya dalam pada

struktur (internal work or strain energy) Ui seiring dengan deformasi

yang terjadi pada struktur.

Apabila tegangan yang terjadi tidak melebihi batas elastis material

struktur tersebut, elastic strain energy akan mengembalikan bentuk

struktur ke tahap awal sebelum terjadinya pembebanan, jika gaya-gaya

luar yang bekerja dihilangkan.

............................Persamaan 1.1

Gaya Axial luar yang bekerja pada struktur (external work-force)

Ketika sebuah gaya F mengakibatkan perpindahan sebesar dx ke arah yang sama

dengan arah gaya F tersebut, maka kerja yang dilakukan adalah dUe = F dx.

Jika total perpindahan adalah x, maka persamaan berubah menjadi :

= 0

............................Persamaan 1.2

Perhatikan gambar 1.1 berikut

Gaya axial F bekerja pada ujung dari sebuah bar. Besar magnitude gaya F meningkat

secara perlahan dari 0 hingga F = P, yang mengakibatkan bar mengalami perpanjangan

sebesar . Subsitusikan persamaan gaya tersebut kedalam persamaan 1.2 , dan

intergrasikan mulai dari 0 hingga maka akan kita dapatkan :

=1

2

............................Persamaan 1.3

Gambar 1.1

Apabila ada gaya lain yang bekerja pada bar tersebut misal gaya 1yang menambah panjang bar lebih jauh sebesar 1seperti terlihat dalam gambar 1.2, maka persamaan kerja gaya P akibat pertambahan gaya 1 adalah :

Total kerja yang dilakukan oleh kedua gaya P dan 1direpresentasikan oleh segitigaACE. Area segitiga ABG merupakan tampilan kerja gaya P yang menyebabkanperpanjangan sebesar , segitiga BCD adalah total kerja akibat gaya 1 yangmenyebabkan pertambahan panjang sebesar 1, dan segiempat BGDE merupakantambahan kerja gaya P akibat tambahan perpanjangan sebesar 1 yang disebabkanoleh gaya 1

............................Persamaan 1.4

Gambar 1.2

Gaya Momen luar yang bekerja pada struktur (external work-Moment)

Gaya momen didefinisikan sebagai produk dari besaran Momen M dan sudut dsesuai arah putarannya, sehingga dUe = M d

jika total besar sudut putaran adalah sebesar radian, maka persamaan kerja menjadi

dan seperti halnya dengan gaya axial, apabila magnitude momen diperbesar mulai nol

hingga M, maka dengan mengintegralkan persamaan 1.5 tersebut akan didapat:

Gambar 1.3

............................Persamaan 1.5

............................Persamaan 1.6

Energi Regangan akibat axial force (strain Energy Axial force)

Gaya N yang bekerja pada sebuah Bar seperti yang terlihat pada Gambar

1.4, dikonversikan menjadi strain energy yang menyebabkan pertambahan

panjang pada bar sebesar dan timbulnya tegangan . Jika diasumsikanbahwa material bar adalah linearly elastic, maka berlaku Hookes Law :

= . Apabila Bar mempunyai luas area yang sama sepanjang barsebesar A dan panjang L, maka persamaan defleksi dapat dituliskan

menjadi:

............................Persamaan 1.7

Subsitusikan persamaan 1.7 ke dalam persamaan 1.3 dengan mengganti P = N, maka

didapat :

............................Persamaan 1.8

Gambar 1.4

Energi Regangan akibat Bending(strain Energy Bending)

Sebuah balok menerima gaya axial P dan beban merata w seperti terlihat dalam

gambar 1.5 diatas. Gaya P dan w menciptakan gaya dalam momen M yang

menyebabkan rotasi pada bagian balok yang berjarak x dari tumpuan sebelah kiri.

Seperti sudah dipelajari dalam mata kuliah Mekanika Bahan, bahwa persamaan rotasi

pada balok adalah = (/) . Berdasarkan konsekuensi prinsip energi,maka dengan menggunakan persamaan 1.6, dapat dihasilkan:

Total strain energy pada balok bisa didapat dengan menintegrasikan persamaan ini

terhadap seluruh panjang Balok L, sehingga didapat

Gambar 1.5

............................Persamaan 1.9

............................Persamaan 1.10

Prinsip Kerja dan Energi

Setelah definisi kerja dan energi dari gaya axial dan momen telah diformulasikan,

kini dapat dilihat ilustrasi bagaimana prinsip kerja dan energi diaplikasikan untuk

menentukan besar perpindahan (displacement) sebuah titik tertentu pada struktur.

Pertimbangkan untuk mencari besar perpindahan pada lokasi dimana gaya Pbekerja seperti terlihat pada balok kantilever dalam gambar 1.6.

Berdasarkan persamaan 1.3, kerja akibat gaya luar =1

2 . Hal ini

menimbulkan Bending Strain energi sesuai persamaan 1.10, dengan menganggap

besaran momen sebagai sebuah fungsi dari posisi x pada balok dengan = ,maka didapat :

Gambar 1.6

..........Persamaan 1.11

Dengan kedua persamaan tersebut dapat dihitung nilai dari besarnya perpindahan

Latihan

Tentukan besar perpindahan dari titik A pada struktur seperti terlihat

pada gambar berikut apabila :

a. Material Balok berupa Baja (E = 2 x 10 11 N/m2)

b. Material balok berupa kayu kelas II (E = 1 x 10 10 N/m2)

c. Tentukan dimensi Kayu yang dapat memiliki defleksi di titik A

sebesar defleksi baja.

h= 30 cm

b= 20 cm

Solusi:

a. Material Baja

E = 2 * 1011 N/m2

P = 30 kN = 30000 N

I balok = .3

12= 20.303

12= 54 .104

12cm4 =

54 .104

12m4

= 3

3 =

30000

3 . 2 . 1011/2

273

54 . 104 4

12

=810000 3

27 . 107 2= 0,003 m = 3 mm

Solusi:

b. Material Kayu

E = 1 * 1010 N/m2

P = 30 kN = 30000 N

I balok = .3

12= 20.303

12= 54 .104

12cm4 =

54 .104

12m4

= 3

3 =

30000

3 . 1 . 1010/2

273

54 . 104 4

12

=810000 3

13,5 . 106 2= 0,06 m = 60 mm

c. Ukuran Kayu

I balok = .3

12= 20.303

12= 54 .104

12cm4 x 20 = 900000 cm4

Asumsikan besar b = h maka : 4900000 12 = 57,3

Tentukan besar perpindahan pada titik B dari Struktur balok

kantilever berikut ( Elastisitas dan Inertia balok konstan = EI)

4 m

4 m

6 m

2 m

P = 10 kN

P = 10 kN

P = 10 kN

A

A

A

B

B

B

C

Solusi

a. =1043

3=

640

3

b. =1043

3=

640

3

c. =1063

3=

720

Tentukan besar perpindahan pada titik B dari Struktur balok

kantilever berikut ( Elastisitas dan Inertia balok konstan = EI)

4 m 2 m

P = 10 kN

A B C

P = 10 kN