Analisis struktur metode matrix · ANALISIS STRUKTUR METODE MATRIX Pertemuan ke-3 SISTEM RANGKA...
Transcript of Analisis struktur metode matrix · ANALISIS STRUKTUR METODE MATRIX Pertemuan ke-3 SISTEM RANGKA...
ANALISIS STRUKTUR METODE MATRIX
Pertemuan ke-3
SISTEM RANGKA BATANG (PLANE TRUSS)
Sistem koordinat
global
lokalglobal
lokal
elemen
Struktur merupakan gabungan dari banyak elemen yang bekerja sebagai satu sistem
Setiap elemen memiliki sumbu bahan, mengikuti arah panjang elemen
Sumbu bahan tersebut disebut sistem koordinat lokal elemen
Struktur, memiliki sistem koordinat global untuk menyatakan orientasi arah secara global
Sistem koordinat
global
lokal
Orientasi elemen terhadap sistem koordinat global dapat dikenali melalui
sudut α (alpha)
Sudut α dihitung dari sumbu-X (global) menuju sumbu-x (lokal),
dengan poros sumbu Z positif (berlawanan jarum jam)
Nodal Elemen
i
j
Setiap elemen plane truss memiliki 2 joint (nodal)
Notasi/penamaan joint (nodal) dengan notasi “i” dan “j”
“i” adalah nodal pada posisi permulaan
“j” adalah nodal pada posisi akhir
Sistem koordinat lokal, berjalan dari nodal “i” menuju “j”
Note : Notasi “i” dan “j” boleh diganti, asalkan menunjukkan urutan
Prinsip pembebanan Superposisi
Pengaruh beberapa pembebanan pada struktur dapat diperoleh
dengan menjumlahkan pengarus masing-masing pembebanan
yang dikerjakan sendiri-sendiri secara terpisah.
Terdapat 2 beban = P1 dan P2
RA, RB, MB = reaksi tumpuan
D = displacement struktur
Prinsip pembebanan Superposisi
Beban nodal ekivalen
Pada metode matriks, berlaku ketentuan berikut :
Beban hanya bekerja pada nodal (joint load)
Displacement (translasi & rotasi) dihitung hanya pada nodal
Bagaimana jika beban tidak bekerja pada nodal ??
Jika beban bekerja tidak pada nodal,
maka harus dibuat sebuah beban
tiruan pada nodal yang memiliki
pengaruh yang setara/ekivalen
Beban nodal ekivalen
Beban nodal ekivalen
Beban nodal ekivalen
Beban nodal ekivalen
X
Y
Nodal displacement
X
Y
Sb. Y
Sb. X
Nodal displacement dinyatakan dalam sistem koordinat global
Nodal displacement
X
Y
Nodal displacement dinyatakan dalam sistem koordinat global
Matrix Kekakuan Elemen
global
lokal
Matrix Kekakuan Elemen
Matrix Kekakuan Elemen
Matrix Kekakuan Elemen
[F] = [K] . [u]
Matrix Kekakuan Elemen
Transformasi Koordinat
globallokal Matrix transformasi
Transformasi Koordinat
Transformasi Koordinat
Transformasi Koordinat
Matrix kekakuan global
kemudian
menjadi :
Contoh :
Contoh :
Contoh :
Matrix kekakuan global , menjadi :
Contoh :
Contoh :
Contoh :
Contoh :
3 t
1
2
3
12
3
3
2
Keterangan :
Nomor nodal
Nomor elemen
200
200 cm
200 cm
282,84 cm
90˚ 45˚
45˚
Contoh :
u1 v1 u2 v2 u2 v2 u3 v3 u1 v1 u3 v3
367.5 0 -367.5 0 u1 183.75 -183.75 -183.75 183.75 u2 0 0 0 0 u1
[ Kg 1 ] = 0 0 0 0 v1 [ Kg 2 ] = -183.75 183.75 183.75 -183.75 v2 [ Kg 3 ] = 0 367.5 0 -367.5 v1
-367.5 0 367.5 0 u2 -183.75 183.75 183.75 -183.75 u3 0 0 0 0 u3
0 0 0 0 v2 183.75 -183.75 -183.75 183.75 v3 0 -367.5 0 367.5 v3
• Elemen 1
i = node 1
J = node 2
Contoh :
u1 v1 u2 v2 u2 v2 u3 v3 u1 v1 u3 v3
367.5 0 -367.5 0 u1 183.75 -183.75 -183.75 183.75 u2 0 0 0 0 u1
[ Kg 1 ] = 0 0 0 0 v1 [ Kg 2 ] = -183.75 183.75 183.75 -183.75 v2 [ Kg 3 ] = 0 367.5 0 -367.5 v1
-367.5 0 367.5 0 u2 -183.75 183.75 183.75 -183.75 u3 0 0 0 0 u3
0 0 0 0 v2 183.75 -183.75 -183.75 183.75 v3 0 -367.5 0 367.5 v3
• Elemen 2
i = node 2
J = node 3
Contoh :
u1 v1 u2 v2 u2 v2 u3 v3 u1 v1 u3 v3
367.5 0 -367.5 0 u1 183.75 -183.75 -183.75 183.75 u2 0 0 0 0 u1
[ Kg 1 ] = 0 0 0 0 v1 [ Kg 2 ] = -183.75 183.75 183.75 -183.75 v2 [ Kg 3 ] = 0 367.5 0 -367.5 v1
-367.5 0 367.5 0 u2 -183.75 183.75 183.75 -183.75 u3 0 0 0 0 u3
0 0 0 0 v2 183.75 -183.75 -183.75 183.75 v3 0 -367.5 0 367.5 v3
• Elemen 3
i = node 1
J = node 3
• Setiap isi matriks kekakuan global elemen diplotkan kedalam matrik kekakuan struktur berdasarkan index-nya
• Keseluruhan matrik kekakuan struktur (tiap elemen) kemudian dijumlahkan
• Orde/ukuran matrik kekakuan struktur = jumlah nodal*jumlah DOF
• Untuk kasus plane truss, jumlah DOF adalah 2 , yaitu :• U displacement horizontal
• V displacement vertikal
• Contoh : • Jumlah nodal =3
• Jumlah DOF = 2
• Orde/ukuran matrik kekakuan struktur = 3*2 = 6
• Maka, matrik kekakuan struktur adalah 6 x 6
(6 baris, 6 kolom)
Menyusun matriks kekakuan struktur
• Kekakuan struktur elemen 1
u1 v1 u2 v2 u2 v2 u3 v3 u1 v1 u3 v3
367.5 0 -367.5 0 u1 183.75 -183.75 -183.75 183.75 u2 0 0 0 0 u1
[ Kg 1 ] = 0 0 0 0 v1 [ Kg 2 ] = -183.75 183.75 183.75 -183.75 v2 [ Kg 3 ] = 0 367.5 0 -367.5 v1
-367.5 0 367.5 0 u2 -183.75 183.75 183.75 -183.75 u3 0 0 0 0 u3
0 0 0 0 v2 183.75 -183.75 -183.75 183.75 v3 0 -367.5 0 367.5 v3
Menyusun matriks kekakuan struktur
Kemudian diplotkan sesuai index DOF-nya
u1 v1 u2 v2 u3 v3 u1 v1 u2 v2 u3 v3 u1 v1
367.5 0 -367.5 0 0 0 u1 0 0 0 0 0 0 u1 0 0
0 0 0 0 0 0 v1 0 0 0 0 0 0 v1 0 367.5
[ K1 ] = -367.5 0 367.5 0 0 0 u2 [ K2 ] = 0 0 183.75 -183.75 -183.75 183.75 u2 [ K3 ] = 0 0
0 0 0 0 0 0 v2 0 0 -183.75 183.75 183.75 -183.75 v2 0 0
0 0 0 0 0 0 u3 0 0 -183.75 183.75 183.75 -183.75 u3 0 0
0 0 0 0 0 0 v3 0 0 183.75 -183.75 -183.75 183.75 v3 0 -367.5
• Kekakuan struktur elemen 2
• Kemudian diplotkan sesuai index DOF-nya
u1 v1 u2 v2 u2 v2 u3 v3 u1 v1 u3 v3
367.5 0 -367.5 0 u1 183.75 -183.75 -183.75 183.75 u2 0 0 0 0 u1
[ Kg 1 ] = 0 0 0 0 v1 [ Kg 2 ] = -183.75 183.75 183.75 -183.75 v2 [ Kg 3 ] = 0 367.5 0 -367.5 v1
-367.5 0 367.5 0 u2 -183.75 183.75 183.75 -183.75 u3 0 0 0 0 u3
0 0 0 0 v2 183.75 -183.75 -183.75 183.75 v3 0 -367.5 0 367.5 v3
Menyusun matriks kekakuan struktur
u1 v1 u2 v2 u3 v3 u1 v1 u2 v2 u3 v3 u1 v1
367.5 0 -367.5 0 0 0 u1 0 0 0 0 0 0 u1 0 0
0 0 0 0 0 0 v1 0 0 0 0 0 0 v1 0 367.5
[ K1 ] = -367.5 0 367.5 0 0 0 u2 [ K2 ] = 0 0 183.75 -183.75 -183.75 183.75 u2 [ K3 ] = 0 0
0 0 0 0 0 0 v2 0 0 -183.75 183.75 183.75 -183.75 v2 0 0
0 0 0 0 0 0 u3 0 0 -183.75 183.75 183.75 -183.75 u3 0 0
0 0 0 0 0 0 v3 0 0 183.75 -183.75 -183.75 183.75 v3 0 -367.5
• Kekakuan struktur elemen 3
u1 v1 u2 v2 u2 v2 u3 v3 u1 v1 u3 v3
367.5 0 -367.5 0 u1 183.75 -183.75 -183.75 183.75 u2 0 0 0 0 u1
[ Kg 1 ] = 0 0 0 0 v1 [ Kg 2 ] = -183.75 183.75 183.75 -183.75 v2 [ Kg 3 ] = 0 367.5 0 -367.5 v1
-367.5 0 367.5 0 u2 -183.75 183.75 183.75 -183.75 u3 0 0 0 0 u3
0 0 0 0 v2 183.75 -183.75 -183.75 183.75 v3 0 -367.5 0 367.5 v3
Menyusun matriks kekakuan struktur
Kemudian diplotkan sesuai index DOF-nya
u1 v1 u2 v2 u3 v3 u1 v1 u2 v2 u3 v3 u1 v1 u2 v2 u3 v3
367.5 0 -367.5 0 0 0 u1 0 0 0 0 0 0 u1 0 0 0 0 0 0 u1
0 0 0 0 0 0 v1 0 0 0 0 0 0 v1 0 367.5 0 0 0 -367.5 v1
[ K1 ] = -367.5 0 367.5 0 0 0 u2 [ K2 ] = 0 0 183.75 -183.75 -183.75 183.75 u2 [ K3 ] = 0 0 0 0 0 0 u2
0 0 0 0 0 0 v2 0 0 -183.75 183.75 183.75 -183.75 v2 0 0 0 0 0 0 v2
0 0 0 0 0 0 u3 0 0 -183.75 183.75 183.75 -183.75 u3 0 0 0 0 0 0 u3
0 0 0 0 0 0 v3 0 0 183.75 -183.75 -183.75 183.75 v3 0 -367.5 0 0 0 367.5 v3
• Matrix kekakuan struktur keseluruhan diperoleh dengan menjumlahkan matriks kekakuan elemen
• Kekakuan struktur = [K1] + [K2] + [K3]
• Maka diperoleh :
Menyusun matriks kekakuan struktur
u1 v1 u2 v2 u3 v3
367.5 0 -367.5 0 0 0 u1
0 367.5 0 0 0 -367.5 v1
[ K ] = -367.5 0 551.25 -183.75 -183.75 183.75 u2
0 0 -183.75 183.75 183.75 -183.75 v2
0 0 -183.75 183.75 183.75 -183.75 u3
0 -367.5 183.75 -183.75 -183.75 551.25 v3
F1
G1
F2
G2
F3
G3
• Matriks beban merupakan matriks kolom (hanya ada 1 kolom)
• Matriks beban memiliki jumlah baris sebesar = jumlah nodal*jumlah DOF
• Contoh :• Jumlah nodal = 3
• Jumlah DOF =2
• Jumlah baris = 3*2 =6 baris
• Maka orde matriks beban adalah = 6x1 (6 baris, 1 kolom)• F = beban horizontal
• G = beban vertikal
Beban horizontal node 1
Beban vertikal node 1
Menyusun matriks beban
U1
V1
U2
V2
U3
V3
• Matriks displacement merupakan matriks kolom (hanya ada 1 kolom)
• Memiliki jumlah baris sebesar = jumlah nodal*jumlah DOF
• Contoh :• Jumlah nodal = 3
• Jumlah DOF =2
• Jumlah baris = 3*2 =6 baris
• Maka orde matriks displacement adalah = 6x1 (6 baris, 1 kolom)• U = displacement horizontal
• V = displacement vertikal
displacement horizontal node 1
displacement vertikal node 1
Menyusun matriks displacement
U1
V1
U2
V2
U3
V3
• Matriks displacement
• Matriks beban
Matriks beban dan displacement
F1
G1
F2
G2
F3
G3
F1
G1
0
G2
3
0
U1
V1
U2
V2
U3
V3
Matriks displacement merupakan matriks yang dicari