Analisis Rangkaian Elektrik - OpenCourseWare and Articles · Struktur Kristal dan Nonkristal Teori...

Mengenal

Sifat Material (2)oleh:

Sudaryatno Sudirham

Open Course

Struktur Kristal dan Nonkristal Teori Pita Energi dan Teori Zona Sifat Listrik Metal Sifat Listrik Dielektrik Sifat Thermal Material

Cakupan Bahasan

Struktur Kristal

Kristal

Kristal merupakan susunan atom-atom yang teratur dalam ruang tigadimensi. Keteraturan susunan tersebut timbul karena kondisi geometrisyang dihasilkan oleh ikatan atom yang terarah dan paking yang rapat.

Sesungguhnya tidaklah mudah untuk menyatakan bagaimana atom tersusun dalam padatan. Namun ada hal-hal yang diharapkan menjadi

faktor penting yang menentukan terbentuknya polihedra koordinasiatom-atom.

Secara ideal, susunan polihdra koordinasi paling stabil adalah yang memungkinkan terjadinya energi per satuan volume minimal.

Keadaan tersebut dicapai jika:

1. kenetralan listrik terpenuhi

2. ikatan kovalen yang diskrit dan terarah terpenuhi

3. meminimalkan gaya tolak ion-ion

4. paking atom serapat mungkin

Struktur kristal yang biasa teramati pada padatan dinyatakan dalam konsepgeometris ideal yang disebut kisi-kisi ruang (space lattice) dan menyatakan

cara bagaimana polihedra koordinasi atom-atom tersusun bersama agar energi dalam padatan menjadi minimal.

Kisi-kisi ruang adalah susunan tiga dimensi titik-titik di mana setiap titikmemiliki lingkungan yang serupa. Titik dengan lingkungan yang serupa itu

disebut titik kisi (Lattice Point).

Titik kisi dapat disusun hanya dalam 14 susunan yang berbeda yang disebutkisi-kisi Bravais; oleh karena itu atom-atom dalam kristal haruslah tersusun

dalam salah satu dari 14 kemungkinan tersebut.

Kristal

Sel Satuan pada Kisi-Kisi Ruang BRAVAIS [2,5]

Kristal

Setiap titik kisi dapat ditempati oleh satu atau lebih atom, tetapi atom ataukelompok atom pada satu titik kisi haruslah identik dengan orientasi yang

sama agar memenuhi definisi kisi ruang.

Susunan atom dapat disebutkan secara lengkap dengan menyatakan posisiatom dalam suatu unit yang secara berulang tersusun dalam kisi ruang. Unit

yang berulang itu disebut sel satuan.

Rusuk sel satuan, yaitu vektor yang menghubungkan dua titik kisi, haruslahmerupakan translasi kisi, dan sel satuan yang identik akan membentuk kisi-

kisi ruang jika mereka disusun bidang sisi ke bidang sisi.

Satu kisi-kisi ruang dapat memiliki beberapa sel satuan berbeda yang memenuhi kriteria tersebut di atas, akan tetapi biasanya sel satuan dipilihyang memiliki geometri sederhana dan memuat beberapa titik kisi saja.

Satu sel satuan yang memiliki titik kisi hanya pada sudut-sudutnya, ataudengan kata lain satu unit sel yang memuat hanya satu titik kisi, disebut sel

primitif.

Kristal

Unsur Metal dan Unsur Mulia

3 sel satuan yang paling banyak dijumpai pada unsur ini adalah:

Bulatan menunjukkan posisi atom yang juga merupakan lattice points pada FCC

dan BCC

Posisi atom yang adadalam sel bukan lattice

points

[2]

Kristal

Unsur ini biasanya memiliki ikatan kovalen sehingga kristal yang terbentukakan mengikuti ketentuan ikatan ini.

Jika orbital yang tak terisi digunakan seluruhnya untuk membentuk ikatan, maka atom ini akan berikatan dengan (8 – N) atom lain, dimana N adalahjumlah elektron valensi yang dimilikinya.

Elemen Cl, Br, J, kulit terluarnya memuat 7 elektron; oleh karena itu padaumumnya mereka berikatan dengan hanya 1 atom dari elemen yang samamembentuk molekul diatomik, Cl2, Br2, J2.

Molekul diatomik tersebutmembangun ikatan denganmolekul yang lain melalui ikatansekunder yang lemah, membentuk kristal.

Unsur Dengan Lebih Dari 3 Elektron Valensi

[2]

Kristal

Atom Group VI (S, Se, Te) memiliki 6 elektron di kulit terluarnya danmembentuk molekul rantai atao cincin di mana setiap atom berikatan dengandua atom (dengan sudut ikatan tertentu).

Molekul ini berikatan satu sama lain dengan ikatan sekunder yang lemahmembentuk kristal.

Rantai spiral atom Te bergabung

dengan rantai yang lain membentuk

kristal hexagonal.

[2]

Atom Group VI (S, Se, Te)

Kristal

Atom Group V (P, As, Sb, Bi) memiliki 5 elektron di kulitterluarnya dan setiap atom berikatan dengan tiga atom (dengan sudut ikatan tertentu).

[2]

Atom Group V (P, As, Sb, Bi)

Kristal

Kristal Ionik

Walau sangat jarang ditemui kristal yang 100% ionik, namun beberapakristal memiliki ikatan ionik yang sangat dominan sehingga dapat disebutsebagai kristal ionik. Contoh: NaCl, MgO, SiO2, LiF.

Dalam kristal ionik murni, polihedra anion (polihedra koordinasi) tersusunsedemikian rupa sehingga kenetralan listrik terpenuhi dan energi ikat per satuan volume menjadi minimum tanpa menyebabkan menguatnya gayatolak antar muatan yang bersamaan tanda.

Gaya tolak yang terbesar terjadi antar kation karena muatan listriknyaterkonsentrasi dalam volume yang kecil, oleh karena itu polihedrakoordinasi harus tersusun sedemikian rupa sehingga kation salingberjauhan.

Kristal

Contoh struktur kristal ionik

AnionKation

tetrahedron oktahedron

Kristal

Kristal Molekul

Jika dua atom terikat dengan ikatan primer, baik berupa ikatan ion ataupunikatan kovalen, maka mereka dapat membentuk molekul yang diskrit.

Jika ikatan primer tersebut kuat dalam satu sub-unit, maka ikatan yang terjadiantar sub-unit akan berupa bentuk ikatan yang berbeda dari ikatan primer. Kristal yang terbentuk adalah kristal molekuler dengan ikatan antar sub-unit yang lemah.

Jika ikatan primernya adalah ikatan ion, molekul yang diskrit terbentuk jikamuatan kation sama dengan hasilkali muatan anion dengan bilangankoordinasi.

Contoh: sub-unit SiF4 terbentuk dengan ikatan ion, polihedrakoordinasi atau polihedra anion berbentuk tetrahedra F mengelilingikation Si yang kemudian tersusun dalam kisi-kisi BCC

Kristal

Pada es (H2O), ikatan primernya adalah ikatan kovalen dan ikatan sekunderantar sub-unit adalah ikatan ionik yang lemah

Hidrogen hanya akan membentuk satu ikatankovalen. Oleh karena itu molekul air terdiridari 1 atom oksigen dengan 2 ikatan kovalenyang dipenuhi oleh 2 atom hidrogen dengansudut antara dua atom hidrogen adalah 105o.

Dalam bentuk kristal, atom-atom hidrogenmengikat molekul-molekul air dengan ikatanionik atau ikatan dipole hidrogen.

Bola-bola menunjukkan posisi atom O; atom H terletak pada garis yang menghubungkan atom O yang berdekatan; ada 2 atom H setiap satu atom O.

Kristal

Jika molekul membentuk rantaian panjang dengan penampang melintangyang mendekati simetris, mereka biasanya mengkristal dalam kisi-kisiberbentuk orthorhombic atau monoclinic.

Molekul polyethylene dilihat dari depan

Kristal

Kebanyakan polimer yang terbentuk lebih dari dua macam atom, memilikiketidak-teraturan yang membuat ia tidak mengkristal. Walaupun demikian adayang memiliki penampang simetris dan mudah mengkristal, sepertipolytetrafluoroethylene (Teflon).

Molekul polytetrafluoroethylene

Polimer yang komplekspun masih mungkin memiliki struktur yang simetris dandapat mengkristal seperti halnya cellulose.

Kristal

Ketidaksempurnaan Pada Kristal

Kristal

interstitial

(atom sendiri)kekosongan

substitusi

(atom asing)

⇒ pengotoran

interstitial

(atom asing)

⇒(pengotoran)

Kristal

ketidaksempurnaan Schottkyketidaksempurnaan Frenkel

pengotoran

interstitial

kekosongan kation

pengotoran

substitusi

Selain ketidak sempurnaan tersebut, yang disebut sebagai ketidaksempurnaan titik, dapat terjadi pula ketidaksempurnaan garis dan juga

ketidaksempurnaan bidang.

Tugas Bibliografis

tentang

Ketidak Sempurnaan Kristal

Kristal

Teori Pita Energi

nhfE =

h = 6,63 × 10-34 joule-sec

mv

h=λ

λπ2

=kbilangan gelombang:h

mvk π2=

kkh

p h=π

=2

energi kinetik elektron sbg gelombang : m

k

m

pEk

22

222h

==

momentum:

Planck :

energi photon(partikel)

bilangan bulat frekuensi gelombang cahaya

De Broglie :

Elektron sbg gelombang

Teori Pita Energi

Ulas Ulang Kuantisasi Energi

m

k

m

pEk

22

222h

==

E

k

Energi elektron sebagai fungsi k (bilangan gelombang)

Teori Pita Energi

Makin tinggi nomer atom, atom akan makin kompleks, tingkat energi yang terisi makin banyak.

Teori Pita Energi

s p d f

−5,143

4

5

67

2

3

45

67

3

4

56

7

3

456

7

456

7

Sodium Hidrogen

E[ eV]

0

−1

−2

−3

−4

−5

−6

Kemungkinan terjadinya transisi elektron dari satu tingkat

ke tingkat yang lain semakin banyak

Teori Pita Energi

[6]

Molekul lebih kompleks dari atom; tingkat-tingkat energi lebih banyakkarena energi potensial elektron yang bergerak dalam medan yang diberikan oleh banyak inti atom tidaklah sederhana.

Lebih dari itu, energi vibrasi dan rotasi atom secara relatif satu terhadaplainnya juga terkuantisasi seperti halnya terkuantisasinya energi elektronpada atom.

Transisi dari satu tingkat ketingkat yang lain semakin banyakkemungkinannya, sehingga garis-garis spektrum dari molekul semakinrapat dan membentuk pita.

Timbullah pengertian pita energi yang merupakankumpulan tingkat energi yang sangat rapat.

Molekul

Teori Pita Energi

Penggabungan

2 atom H →→→→ H2

0

−2

−4

6

4

2

8

10

E [ eV]

1 2 3 Å

stabil

tak stabil

R0

jarak antar atom

Pada penggabungan duaatom, tingkat energi

dengan bilangankuantum tertinggi

akan terpecah lebih dulu

Elektron yang berada di tingkat energi terluar disebut elektron valensi; elektronvalensi berpartisipasi dalam pembentukan ikatan atom.

Elektron yang berada pada tingkat energi yang lebih dalam (lebih rendah) disebutelektron inti;

Teori Pita Energi

Gambaran tentang terbentuknya molekul dapat diperluas untuk sejumlah atom yang besar yang tersusun secara teratur, yaitu kristal padatan.

n = 1

n = 2

n = 3

Jarak antar atom

Energ

i

Padatan

Dalam penggabungan N atom identik, setiap tingkat energi terpecah menjadi N

tingkat dan setiap tingkat akan mengakomodasi sepasang elekron dengan spin yang berlawanan ( ms = ± ½ ).

Teori Pita Energi

0 5 10 15Å

−10

−20

−30

0

E [ eV]

sodium

2p

R0 = 3,67 Å

3s

3p

4s

3d

Teori Pita Energi

[6]

Cara penempatan elektron pada tingkat-tingkat energi mengikuti urutansederhana: tingkat energi yang paling rendah akan terisi lebih dulu,

menyusul tingkat di atasnya, dan seterusnya.

EF , tingkat energi tertinggi yang terisi disebut tingkat Fermi, atau energi Fermi.

Pada 0o K semua tingkat energi sampai ke tingkat EF terisipenuh, dan semua tingkat energi di atas EF kosong .

Pada temperatur yang lebih tinggi, beberapa tingkat energi di bawah EF

kosong karena elektron mendapat tambahan energi untuk naik ke tingkat diatas EF .

Teori Pita Energi

Elektron valensi yang berada pada tingkat energi Fermi ataupun di atasenergi Fermi, berada pada salah satu tingkat energi yang dimiliki oleh

kristal.

Jumlah tingkat energi yang dimiliki oleh kristal sangat banyak dan sangatrapat sehingga hampir merupakan perubahan yang kontinyu. Oleh karenaitu, elektron pada tingkat energi Fermi yang bergerak dalam kristal dapat

dipandang sebagai elektron bebas.

Elektron yang bergerak dengan kecepatan tertentu memiliki energi kinetikdan bilangan gelombang, k, tertentu.

m

k

m

pEk

22

222h

==

Gerakan elektron tersebut mengalami hambatan karena ada celah energi.

Teori Pita Energi

Model Zona

Elektron sebagai gelombang mengikuti hukum defraksi Bragg.

θλ sin2dn =

λπ2

=kθ

πsind

nk ≡

Ada satu seri nilai k yang membuat elektron terdefraksi sehingga tidak dapatmelewati kristal secara bebas.

Untuk elektron dalam kristal, seri nilai k ini terkait dengan celah energi.

Nilai k dari defraksi Bragg memberikan dua set gelombang diam (standing

wave) dengan nilai energi yang berbeda; selisih antara keduanya adalahlebar celah energi.

d = jarak antar bidang kristal;

θ = sudut datang;

n = bilangan bulat.

Model Zona

Adanya celah energi membuat energi elektron tidak lagi merupakan fungsikontinyu dari k 2.

Model elektron bebas yang memberikan energi sebagai fungsi kontinyu darik 2 harus dimodifikasi dengan memutus fungsi kontinyu tersebut dengan

celah energi pada nilai k yang memberikan defraksi Bragg.

k

E

Celah energi

Celah energi

−k2 +k2−k1 +k1

Model Zona

Zona BRILLOUIN

Zona Brillouin adalah representasi tiga dimensi dari nilai k

yang diperkenankan

Celah energi

Celah energi

zone pertama

zone kedua

Satu Dimensi:

k

E

−k2 +k2−k1 +k1

Model Zona

k

E

−k2 +k2−k1 +k1

.....3 ,2 ,1dengan ±±±== na

nkn

π

k tergantung dari arah relatif gerak elektron terhadap kristal

a = jarak antar atom

Model Zona

Dua Dimensi: ( )2

2

2

121 nna

nknk yx +

=+π

− π/a− 2π/a + π/a + 2π/a

− π/a

+ π/a

+ 2π/a

− 2π/a

Zona pertama

Zona kedua

kx

ky

Model Zona

[6]

Tiga Dimensi: ( )2

3

2

2

2

1321 nnna

nknknk zyx ++

=++π

Zone kedua terdiri dari piramida dengan tinggi π/a dan dasar

2π/a terletak di permukaan kubus dari zone pertama

kx

kz

ky

+π/a

−π/a

+π/a

−π/a

+π/a

−π/aZone pertama kristal kubik

Model Zona

[6]

Pada metal dengan kirstal BCC dan FCC, setiap zona memuatjumlah status kuantum sama dengan jumlah atom yang

membentuknya

Untuk kristal dengan N atom, ada N status di zona pertama

Karena setiap tingkat energi berisi 2 elektron, maka pada kristalmonovalen ada N/2 status kuantum terendah yang terisi; zona

pertama hanya terisi setengahnya.

Di samping mengetahui jumlah status di tiap zona, perlu diketahuijuga jumlah status kuantum untuk setiap energi; yaitu

degenerasi sebagai fungsi energi.

Model Zona

Berdasarkan sifat fisik dan mekanik, Seitz mengidentifikasi zat padat sebagaiberikut:

Metal : memiliki koefisien temperaturresistivitas positif, konduktivitas listrik danthermal tinggi, bisa dibentuk secara plastis.

Kristal ionik : konduktivitas listrik danthermal rendah, tidak plastis. (NaCL)

Kristal kovalen : keras, konduktivitaslistrik dan thermal rendah. (Intan).

Semikonduktor : ikatan kovalen, konduktivitas listrik rendah, koefisientemperatur negatif.

Berdasarkankonduktivitas listriknya

kita membedakanmaterial sebagai

konduktor

semikonduktor

dielektrik

Material dengan ikatan van der Waals.

0,14×107Stainless steel

0,7×107Baja

1,03×107Nickel

1,07×107Besi

1,56×107Kuningan

1,82×107Tungsten

3,5×107Aluminium

4,25×107Emas

5,85×107Tembaga

6,3×107Perak

σe [siemens]Material

10−15 ∼ 10−17Polyethylene

10−11 ∼ 10−15Mika

10−10 ∼ 10−15Gelas(borosilikat)

1 ∼ 2×10−11Bakelit

2 ∼ 3×10−5Gelas (kaca)

σe [siemens]Material

Konduktor

Isolator

Konduktor

[6]

Model Klasik Sederhana

Jika pada suatu material konduktor terjadi perbedaan potensial, arus listrikakan mengalir melalui konduktor tersebut

ΕΕ

J e

e

e σρ==

kerapatan arus[ampere/meter2]

kuat medan[volt/meter]

resistivitas[Ωm]

konduktivitas[siemens]

Konduktor - Model Klasik Sederhana

Medan listrik E memberikan gaya dan percepatan pada elektron sebesar

EF ee =em

ea

E=

Karena elektron tidak terakselerasi secara tak berhingga, maka dapatdibayangkan bahwa dalam pergerakannya ia harus kehilangan energi padawaktu menabrak materi pengotor ataupun kerusakan struktur pada zatpadat.

Jika setiap tabrakan membuat elektron kembali berkecepatan nol, danwaktu antara dua tabrakan berturutan adalah 2τ maka kecepatan rata-rata adalah:

em

ev

Eτ=


0 2τ 4τ 6τ

e

em

ev

Eτ=

e

maksm

ev

Eτ2=

kecepata

n

waktu

e

em

nevne

τEJ

2

== Eeσ=e

em

ne τσ

2

=

kerapatanelektronbebas

benturan

Jika tak ada medan listrik, elektron bebas bergerakcepat pada arah yang acak sehingga tak ada aliranelektron netto. Medan listrik akan membuatelektron bergerak pada arah yang sama.

kerapatanarus


Teori Drude-Lorentz

Tentang Metal

1900: Drude mengusulkan bahwa konduktivitas listrik tinggi pada metal dapatdijelaskan sebagai kontribusi dari elektron valensi yang dianggap dapatbergerak bebas dalam metal, seperti halnya molekul gas bergerak bebas dalamsuatu wadah. Gagasan Drude ini dikembangkan lebih lanjut oleh Lorentz.

Elektron dapat bergerak bebas dalam kristal metal pada potensial internal yang konstan. Ada dinding potensial pada permukaan metal, yang menyebabkanelektron tidak dapat meninggalkan metal.

Semua elektron bebas berperilaku seperti molekul gas (mengikuti statistikMaxwell-Boltzmann); elektron ini memiliki distribusi energi yang kontinyu.

Gerakan elektron hanya dibatasi oleh tabrakan dengan ion-ion metal.

Konduktor - Teori Drude-Lorentz Tentang Metal [1]

Medan listrik E memberikan gaya dan percepatan pada elektron sebesar

EF ee =em

ea

E=

Integrasi a terhadap waktu memberikan kecepatan elektron, yang disebutkecepatan drift :

tm

ev

e

drift

E=


tm

ev

e

drift

E=

Jika jalan bebas rata-rata elektron adalah L maka waktu rata-rata antaratabrakan dengan tabrakan berikutnya adalah

driftv

Lt

+=µ

Kecepatan drift ini berubah dari 0 sampaivdrift maks , yaitu kecepatan sesaat sebelumtabrakan dengan ion metal.

tm

evv

e

drift

drift22

E==

kecepatan thermal µ<<driftvµL

t ≈

Kecepatan drift rata-rata dapat didekati dengan:


µL

m

et

m

ev

ee

drift22

EE==

Kerapatan arus adalah:

µedrifte

m

Lnevne

2

2E

J ==ρE

=

Lne

me

2

2 µρ =


Model Pita Energi

untuk Metal

Jika banyak atom bergabung menjadi padatan, tingkat valensi terluar darisetiap atom cenderung akan terpecah membentuk pita energi. Tingkat-tingkat energi yang lebih dalam, yang disebut tingkat inti, tidak terpecah.

Setiap tingkat valensi dari dari suatu padatan yang terdiri dari N atom berbentuk pita valensi yang terdiri dari N tingkat energi.

Dengan demikian maka tingkat valensi s yang di tiap atom memuat 2 elektron, akan menjadi pita s yang dapat menampung 2N elektron.

Tingkat valensi p yang di tiap atom memuat 6 elektron, akan menjadi pita p

yang dapat menampung 6N elektron.

Gambaran pita-pita energipada suatu padatan:

pita s

pita p

celah energi

Konduktor - Model Pita Energi

Pada metal, pita valensi biasanya hanya sebagian terisi

Pita energi paling luar, jika ia hanya sebagian terisi dan padanya terdapattingkat Fermi, disebut sebagai pita konduksi.

kosong

celah energi

terisi

kosong

pita valensiEF

pita konduksi

Sodium


Pada beberapa metal, pita valensi terisi penuh. Akan tetapi pita inioverlap dengan pita di atanya yang kosong. Pita yang kosong inimemfasilitasi tingkat energi yang dengan mudah dicapai olehelektron yang semula berada di pita valensi.

terisi penuh

kosong

EF

pita valensi

Magnesium


Pada beberapa material, pita valensi terisi penuh dan pita valensi initidak overlap dengan pita di atasnya yang kosong. Jadi antara pita valensi dan pita di atasnya terdapat celah energi.

celah energi

terisi penuh

kosong

pita valensi

Intan

celah energi

terisi penuh

kosong

Silikon

isolator semikonduktor


Model Mekanika

Gelombang

Dalam model mekanika gelombang, elektron dipandang sebagai paketgelombang, bukan partikel.

Kecepatan grup daripaket gelombang adalah dk

dfvg π2=

f = frekuensi DeBroglie

k = bilangan gelombang

Percepatan yang dialami elektron adalah

dt

dk

dk

Ed

hdk

dE

dt

d

hdt

dva

g

2

222 ππ=

==

Karena E = hf , maka:dk

dE

hvg

π2=

Konduktor - Model Mekanika Gelombang

dt

dk

dk

Ed

hdk

dE

dt

d

hdt

dva

g

2

222 ππ=

==

dtdk

dE

h

edtvedxedE g

EEE

π2=== Ee

hdt

dk π2=

2

2

2

24

dk

Ed

hea

πE=

Percepatan yang dialami elektron adalah

Percepatan ini terjadi karena ada medan listrik E, yang memberikangaya sebesar eE

Gaya sebesar eE memberikan laju perubahan energi kinetik padaelektron bebas sebesar

sehinggapercepatan elektron menjadi:


2

2

2

24

dk

Ed

hea

πE=

sehinggapercepatan elektron menjadi:

Bandingkan dengan relasi klasik: amF ee =

Kita definisikan massa efektif elektron:

1

2

2

2

2

4*

−

=

dk

Edhm

π *m

ea

E=

Untuk elektron bebas m* = me .

Untuk elektron dalam kristal m* tergantung dari energinya.


1

2

2

2

2

4*

−

=

dk

Edhm

π

menurun dk

dEnegatif

2

2

dk

Ed

negatif *m

meningkat dk

dEpositif

2

2

dk

Ed

k

E

−k1 +k1

kecil *m

celah energi

sifat klasik

m* = me jika energinya tidakmendekati batas pita energi

dan kurva E terhadap k

berbentuk parabolik

Pada kebanyakan metal m* = me karenapita energi tidak terisi penuh. Pada

material yang pita valensinya terisi penuhm* ≠ me


Teori Sommerfeld

Tentang Metal

Metal dilihat sebagai benda padat yang kontinyu, homogen, isotropik.

Gambaran tentang elektron seperti pada teori Drude-Lorentz; elektronbebasa berada pada potensial internal yang konstan.

Perbedaannya adalah bahwa elektron dalam sumur potensial

mengikuti teori kuantum dan bukan mekanika klasik

Berapa statuskah yang tersedia untuk elektron atau dengankata lain bagaimanakah kerapatan status?

Bagaimana elektron terdistribusi dalam status yang tersediadan bagaimana mereka berpartisipasi dalam proses fisika?

Kita lihat lagi Persamaan Schrödinger

Konduktor - Teori Sommerfeld Tentang Metal [1]

x

z

y

LxLy

Lz

Sumur tiga dimensi

02 2

2

2

2

2

22

=ψ+

∂

ψ∂+

∂

ψ∂+

∂

ψ∂E

zyxm

h

)()()(),,( zZyYxXzyx =ψ

0)(

)(

1)(

)(

1)(

)(

1

2 2

2

2

2

2

22

=+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂E

z

zZ

zZy

yY

yYx

xX

xXm

h

Em

z

zZ

zZy

yY

yYx

xX

xX 22

2

2

2

2

2 2)(

)(

1)(

)(

1)(

)(

1

h

−=∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

Aplikasi Persamaan Schrödinger: Kasus 3 Dimensi


xEm

x

xX

xX 22

2 2)(

)(

1

h

−=∂

∂

yEm

y

yY

yY 22

2 2)(

)(

1

h

−=∂

∂

zEm

z

zZ

zZ 22

2 2)(

)(

1

h

−=∂

∂

0)(2)(

22

2

=+∂

∂xXE

m

x

xXx

h2x

22

L8m

hnE x

x = 2y

22

L8m

hnE

y

y = 2z

22

L8m

hnE z

z =

x

z

y

LxLy

Lz

Sumur tiga dimensi

Aplikasi Persamaan Schrödinger; Kasus 3 Dimensi


2x

22

L8m

hnE x

x = 2y

22

L8m

hnE

y

y = 2z

22

L8m

hnE z

z =

Energi elektron :

Energi elektron dinyatakan dalam momentumnya:

m

pE x

x2

2

=m

pE

y

y2

2

=m

pE z

z2

2

=

sehingga :2

x

2

L2

=

hnp x

x

2

y

2

L2

=

hnp

y

y

2

z

2

L2

=

hnp z

z

momentum :

iL2

hnp i

i ±=


momentum :

iL2

hnp i

i ±=Tanda ± menunjukkan bahwa arahmomentum bisa positif atau negatif.

Pernyataan ini menunjukkan bahwamomentum terkuantisasi.

px, py, pz membentuk ruang momentum tiga dimensi. Jika ruang

momentum berbentuk kubus, maka satuan sisi kubus adalah h/2L

Kwadran pertama ruang momentum (dua dimensi):

px

py

0

setiap titik menunjukkanstatus momentum yang diperkenankan

setiap status momentum menempati ruang sebesarh2/4L2 (kasus 2 dimensi).


Kwadran pertama ruangmomentum (dua dimensi)

px

py

0 px

py

0

pdp

setiap status momentum menempati ruang sebesarh2/4L2

( )3

2

L8/

8/ 4)(

3h

dppdpp

π=

tigadimensi

( )3

V 4)(

2

h

dppdpp

π=


px

py

0

pdp

tigadimensi

( )3

V 4)(

2

h

dppdpp

π=

Karena ( ) 2/12mEp = ( ) dEmEdp

2/122

−=

maka

( ) ( ) dEmEmmEh

VdEE

2/122

4)(

3

−××=π

( ) ( ) ddEEmh

VdEE =×= 2/12/3

2 2

)(3

π

massa elektron di siniadalah massa efektif

Inilah kerapatan status. Setiap status mencakup 2 spin

Berapakah yang terisi?


Tingkat Energi FERMI

Densitas Status pada 0 K

( ) ( ) ddEEmh

VdEE =×= 2/12/3

2 2

)(3

π

Status energi diisi oleh elektron valensi mulai dari tingkat terendah secra berurut ke tingkat yang lebih tinggi sampai seluruh elektron terakomodasi.

Elektron pada status energi yang paling tinggi analog dengan elektron pada tingkat energi paling tinggi di sumur potensial.

Elektron ini memerlukan tambahan energi sebesar work function untuk meninggalkan sumur potensial.

Status energi paling tinggi, yaitu tingkat yang paling tinggi yang ditempati oleh elektron pada 0 K secara tentatif didefinsikan sebagai tingkat Fermi, EF. (Definisi ini sesungguhnya tidak lengkap, tetapi untuk sementara kita gunakan).

Konduktor - Tingkat Energi FERMI

px

py

0

pdp

Jika p adalah jarak dari titik pusat kemomentum paling luar, maka akandiperoleh status yang terisi.

Status yang terisi adalah:

3

3

3

33

3

V 8

2L

3

4

h

php

ππ =÷=

Karena ( ) 2/12mEp =

( )3

2/33/2

3

V2m 8

h

E

π=

Energi Fermi: 3

2/3

2/3

2

1

V

3

8

1h

m

EF

=

π3/222

3/2

V

3

82

1

V

3

4

1

=

=

ππ

m

hh

m

EF


N(E)

EEF

∞ E1/2

Densitas & Status terisi pada 0 K

Densitas Status pada 0 K ( ) ( ) ddEEmh

VdEE =×= 2/12/3

2 2

)(3

π

Jumlah status yang terisi dihitung dari jumlah status momentum yang terisi dalam ruang momentum:

3

3

33

3

3h

V8

L/

)3/4(2

p

h

p

π=

π×=


Jika elektron pada tingkat energi EF kita pandang secara klasik, relasi energi:

Pada tingkat energi EF sekitar 4 eV, sedang

FBF TkE =

di mana TF adalah temperatur Fermi

eV 106,8 5−×≈Bk

maka KTF 107,4 4×≈

Jadi suatu elektron klasik berada pada sekitar 50.000 K untuk setara dengan elektron pada tingkat Fermi.


Hasil Perhitungan

6,45,5Au

6,45,5Ag

8,27,0Cu

1,81,5Cs

2,11,8Rb

2,42,1K

3,73,1Na

5,54,7Li

TF

[oK×10-4]EF

[eV]elemen FBF TkE =

[1]


[1]

Resistivitas

Menurut mekanika gelombang elektron bebas dalam kristal dapatbergerak tanpa kehilangan energi. Setiap kelainan pada struktur kristalakan menimbulkan hambatan pada gerakan elektron yang menyebabkantimbulnya resistansi listrik pada material.

Bahkan pada 0o K, adanya resistansi dapat teramati pada material nyatasebab pengotoran, dislokasi, kekosongan, dan berbagaiketidaksempurnaan kristal hadir dalam material.

Pada metal murni, resistivitas total merupakan jumlah dari dua komponenyaitu komponen thermal ρT, yang timbul akibat vibrasi kisi-kisi kristal, danresistivitas residu ρr yang disebabkan adanya pengotoran danketidaksempurnaan kristal.

Relasi Matthiessen:

e

rT σρρρ

1=+=

resistivitas total

resistivitas thermal resistivitas residu

konduktivitas

Konduktor - Resistivitas

Eksperimen menunjukkan:

200 300 oK100

| |

−

−

−−

−

−

Cu

Cu, 1,12% Ni

Cu, 2,16% Ni

Cu, 3.32% Ni

ρ[o

hm

-m] ×

10

8

1

2

3

4

5

6 Di atas temperatur Debye

komponen thermal dari resistivitashampir linier terhadap temperatur:

frekuensi maksosilasi

B

DD

k

hf=θ

D

sD

f

c=λ

Temperatur Debye:

konstanta Boltzmann

1,38×10−23 joule/oK

kecepatanrambat suara

panjang gelombangminimum osilator

[6]


200 300 oK100

| |

−

−

−−

−

−

Cu

Cu, 1,12% Ni

Cu, 2,16% Ni

Cu, 3.32% Ni

ρ[o

hm

-m] ×

10

8

1

2

3

4

5

6( )xAxr −= 1ρ

konstanta tergantungdai jenis metal dan

pengotoran

konsentrasipengotoran

Relasi Nordheim:

Jika x << 1 Axr =ρ

2% 3%1%

| |

−

−−

−

ρ r/ ρ 2

73

0,05

0,10

0,15

0,20

4%

|

In dalam Sn

[6]


Pengaruh Jenis Pengotoran pada Cu

−

−

| | | |

2,0×10−8

2,5×10−8

1,5×10−8

ρ[o

hm

-mete

r]

0 0,05 0,10 0,15 0,20

ρT (293)

Sn

Ag

CrFe

P

% berat

[6]


Emisi Elektron

Elektron bebas dalam metal tidak meninggalkan metal, kecuali jikamendapat tambahan energi yang cukup.

+ + + +

x

EF

Energ

i

Hampa

eF

Emisi Elektron

emitter collector

cahaya

A

V

Sumber

teganganvariabel

I

V−−−−V0

x lumen

2x lumen

3x lumen

0

Pada tegangan ini semua elektronkembali ke katoda (emitter)

Laju keluarnya elektron (arus) tergantung dari intensitas cahayatetapi energi kinetiknya tidaktergantung intensitas cahaya

Energi kinetik elektron = e V0

Peristiwa photolistrik

Emisi Elektron - photolistrik

emitter collector

cahaya

A

V

Sumber

teganganvariabel

I

V−−−−V01

λ=5000Å (biru)

−−−−V02 −−−−V03

λ=5500Å (hijau)λ=6500Å (merah)

Intensitas cahaya konstan tetapipanjang gelombang berubah


emitter collector

cahaya

A

V

Sumber

teganganvariabel

Photon dengan energi hf diserap elektrondi permukaan metal sehingga elektrontersebut mendapat tambahan energi. Jikapada awalnya elektron menempati tingkatenergi tertinggi di pita konduksi danbergerak tegak lurus ke arah permukaan, ia akan meninggalkan emitter denganenergi kinetik maksimum

Ek maks= hf − eφ

Energi yang diterima

Energi untuk mengatasihambatan di permukaan

(dinding potensial)


emitter collector

cahaya

A

V

Sumber

teganganvariabel

tingkat energiterisi

hf

EF

eφφφφ

Ek maks

Ek < Ek maks

hf


emitter collector

cahaya

A

V

Sumber

teganganvariabel

Jika V0 (yang menunjukkan energikinetik) di-plot terhadap frekuensi:

Vo

f

−φ1

−φ2

Slope = h/e

Metal 1Metal 2

Rumus Einstein: φehfe −−−−====0V


Peristiwa Emisi Thermal

Pada temperatur tinggi, sebagian elektron memiliki energi kinetik yang lebih tinggi dari energi rata-rata elektron sehingga dapat melampauiwork function ( eφ ).

A

V

vakum

pemanas

katoda anoda Jika arus cukup tinggi, terjadi saling tolakantara elektron di ruangan sehinggaelektron dengan energi rendah tidakmencapai anoda.

Muatan ruang makin berpengaruh jika arusmakin tinggi. Arus akan mencapaikejenuhan.

I

V−V

Emisi Elektron – emisi thermal

Makin tinggi temperatur katoda, akan makin tinggi energi elektronyang keluar dari permukaan katoda, dan kejenuhan terjadi pada nilaiarus yang lebih tinggi.

A

V

vakum

pemanas

katoda anodaI

V−V

T1

T2

T3

Kejenuhan dapat diatasi denganmenaikkan V

I

T

V1

V2

V3


Pada tegangan yang sangat tinggi, dimana efek muatan ruangteratasi secara total, semua elektron yang keluar dari katodaakan mencapai anoda.

A

V

vakum

pemanas

katoda anoda

Persamaan Richardson-Dushman

kTeeATJ /2 φ−=

kerapatan arus konstanta dari material

k = konstanta Boltzman = 1,38×10−23 joule/oK

I

T

V1

V2

V = ∞


Nilai φ tergantung dari temperatur :

A

V

vakum

pemanas

katoda anoda

Tαφφ ++++==== 0

pada 0o K

dTd /φα ====

koefisien temperatur

KeV/ 10 o4−≈αe pada kebanyakanmetal murni

Persamaan Richardson-Dushmanmenjadi:

kTeke eeATJ//2 0φα −−−−−−−−====


A

V

vakum

pemanas

katoda anoda

Persamaan Richardson-Dushman

kTeke eeATJ//2 0φα −−−−−−−−====

kTeke eAeAT

J //

20φα −−−−−−−−====

kT

e

k

eA

AT

J 0

2lnln

φα−−−−−−−−====

2

lnAT

J

T

1

?


1,621,9290303Cs

0,602,5800983Ba

0,603,415002123Th

0,554,221002873Mo

0,4 – 0,64,123003271Ta

0,0604,525003683W

A

[106amp/m2 oK2

work

function

[eV]

temp. kerja

[OK]

titik leleh

[OK]

Material katoda

[6]


Jika elektron dengan energi tinggi (yang disebut elektron primer) ditembakkan ke permukaan metal, elektron dapat keluar dari permukaanmetal (yang disebut elektron sekunder).

Energi kinetik elektron sekunder tidak harus tergantung dari energi kinetikelektron yang membentur permukaan.

Efisiensi emisi sekunder dinyatakan sebagai rasio jumlah elektronsekunder, Is terhadap jumlah elektron primer yang membentur permukaan, Ip. Rasio ini disebut secondary emission yield, δ, dan merupakan fungsi darienergi kinetik berkas elektron yang membentur permukaan.

Jika energi kinetik berkas elektron yang membentur permukaan terlalurendah hanya sedikit dihasilkan emisi sekunder.

Emisi Elektron – emisi sekunder

Peristiwa Emisi Sekunder

Jika energi kinetik berkas elektron yang membentur permukaan terlalutinggi hanya sedikit juga dihasilkan emisi sekunder. Hal ini disebabkankarena elektron yang membentur permukaan metal sempat masuk(penetrasi) ke dalam metal sebelum terjadi benturan dengan elektronbebas dalam metal.

Elektron bebas yang menerima tambahan energi mengalami tabrakan-tabrakan sebelum mencapai permukaan, dan mereka gagal keluar daripermukaan metal.

Akibatnya adalah δ sebagaifungsi dari energi berkaselektron, mempunyai nilaimaksimum.

δ

Ek

00

δmaks

Ek maks


13004,8Al2O3

50010,2BeO

400∼2,5gelas

7001,43W

5501,3Ni

3751,25Mo

4000,9Cs

6001,35Cu

3000,97Al

Ek [eV]δmaksemitter [6]


Efek SCHOTTKY

Dalam peristiwa emisi thermal telah disebutkan bahwakenaikan medan listrik antaraemitter dan anoda akanmengurangi efek muatan ruang.

I

V1

V2

V3

Medan yang tinggi jugameningkatkan emisikarena terjadi perubahandinding potensial dipermukaan katoda.

+ + + +x

EF

Energ

i x0

e∅

medan listrik tinggiV = eEx

e∆∅

Medan E memberikanpotensial −eEx padajarak x dari permukaan

nilai maksdinding

potensial

penurunan work function

Emisi Elektron – efek Schottky

Peristiwa Emisi Medan

Hadirnya medan listrik pada permukaan katoda, selain menurunkanwork function juga membuat dinding potensial menjadi lebih tipis.

+ + + +

x

EF

Energ

i

e∅

medan listrik sangattinggi V = eEx

e∆∅

jaraktunneling

penurunan work function

Emisi Elektron – emisi medan

Karakteristik Dielektrik

Dielektrik digunakan pada kapasitor dan sebagai bahan isolasi

Permitivitas relatif didefinisikan sebagai rasio permitivitas dielektrik (ε)dengan permitivitas ruang hampa (ε0)

0εε

ε ≡r

Jika suatu dielektrik yang memiliki permitivitas relatif εr disisipkan antaradua pelat kapasitor yang memiliki luas A dan jarak antara kedua pelatadalah d , maka kapasitansi yang semula

00 εd

AC = berubah menjadi

rr Cd

A

d

AC εεεε 00 ===

dielektrik meningkatkan kapasitansi sebesar εr kali

Faktor Desipasi

Sifat Listrik Dielektrik - Karakteristik Dielektrik

Diagram fasor kapasitor

im

reIRp

ICItot

δ

VC

δtanCCRpCP IVIV ==

Desipasi daya (menjadi panas):

tanδ : faktor desipasi

(loss tangent)

δε

δε

tanπ2

tanω

2

0

00

r

r

Cf

CP

V

VV

=

=

εr tanδ : faktor kerugian

(loss factor)


Kekuatan Dielektrik

Gradien tegangan maksimum yang masih dapatditahan oleh dielektrik sebelum terjadi tembus listrik

Nilai kekuatan dielektrik secara eksperimen sangattergantung dari ukuran spesimen, elektroda, serta

prosedur percobaan

Tembus listrik diawali oleh hdirnya sejumlah elektron di pita konduksi. Elektron ini mendapat percepatan oleh adanya medan listrik yang tinggi sehingga memperoleh energi kinetik yang tinggi. Sebagian

energi ini ditransfer ke elektron valensi sehingga elektron valensi naikke pita konduksi. Jika jumlah elektron ini cukup banyak maka akan

terjadi avalans elektron di pita konduksi. Arus meningkat dengan cepatsehingga terjadi peleburan lokal, terbakar, atau penguapan.

Elektron awal bisa hadir oleh beberapa sebab: discharge antara elektrodategangan tinggi dengan permukaan dielektrik yang terkontaminasi, pori-

pori berisi gas dalam dielektrik, pengotoran oleh atom asing.


Jarak elektroda [m] X 10−2

Tegangan

tem

bus

[kV

]

100 −

0

200 −

300 −

400 −

500 −

600 −

0 0.51 1.03 1.55 2,13 2,54

udara 1 atm

udara 400 psi SF6 100 psi

SF6 1 atm

Porselain

Minyak Trafo

High Vacuum

[6]


Polarisasi

0

0

0

000 /

εσ

ε====

dd

A

Q

d

CQ

d

VE

Tanpa dielektrik :

qre =p

E0

+ + +

− − −

d

σ0

+

−+

−

+ + + + + + +

d

σ

E

+

−+

−

+

−+

−

+

−+

−

− − − − − − −

Dipole listrik :

timbul karena terjadi Polarisasi

rr dd

A

Q

d

CQ

d

VE

εεσ

εε00

/====

Dengan dielektrik :

( )10000 −=−=− rr EEE εεεεεσσ

Polarisasi : total dipole momen listrik per satuan volume

P=

Sifat Listrik Dielektrik - Polarisasi

Molekul di dalam dielektrik mengalami pengaruh medan listrik yang lebihbesar dari medan listrik yang diberikan dari luar. Medan listrik yang dialamioleh molekul ini disebut medan lokal.

+

−+

−

+ + + + + + +

σ

E

+

−+

−

+

−+

−

+

−+

−

− − − − − − −

+

−+

−

+

−+

−

+

−+

−

+

−+

−

Induksi momen dipole olehmedan lokal Elok adalah

lokmol E α=p

polarisabilitas

lokE α=P

jumlah molekul per satuan volume

( )1 0 −== rlok EE εεαP ( )E

E lokr

0

1

εα

ε =−


4 macam polarisasi

a. polarisasi elektronik :

tak ada medan

ada medan

E

Teramati pada semua dielektrik.

Terjadi karena pergeseran awan elektronpada tiap atom terhadap intinya.


4 macam polarisasi

tak ada medanada medan

E

b. polarisasi ionik :+

−

+

+

++

−

−

− +

−

+

+

++

−

−

−

Terjadi karena pergeseran ion-ion yang berdekatan yang berlawananmuatan.

Hanya ditemui pada material ionik.


4 macam polarisasi

tak ada medan

ada medan

E

c. polarisasi orientasi :

+−

+−

+

−

+−

+−

+−

+

−

+ −

+ −

+

−

+−

+−

+ −

+ −

+−

+ −

Terjadi pada material padat dan cair yang memiliki molekul asimetris yang momendipole permanennya dapat diarahkanoleh medan listrik.


4 macam polarisasi

tak ada medanada medan

E

d. polarisasi muatan ruang :

+ + ++ +

+ + + ++ +

+ + +

− − −−−−−

− −− − − −

−−−

+ + ++ +++

+ +

++ +

++

+

− − −−−−−−

−−−

−−−−

Terjadi pengumpulan muatan diperbatasan dielektrik.


εεεεr Tergantung Pada

Frekuensi Dan Temperatur

Dalam medan bolak-baik, polarisasi total P, polarisabilitas total αααα, dan εεεεr, tergantung dari kemudahan dipole untuk mengikuti medanyang selalu berubah arah tersebut.

Dalam proses mengikuti arah medan tersebut, waktu yang dibutuhkan oleh dipole untuk mencapai orientasi keseimbangandisebut waktu relaksasi.

Kebalikan dari waktu relaksasi disebut frekuensi relaksasi.

Jika frekuensi dari medan yang diberikan melebihi frekuensirelaksasi, dipole tidak cukup cepat untuk mengikutinya, dan prosesorientasi berhenti.

Karena frekuensi relaksasi dari empat macam proses polarisasiberbeda-beda, maka kontribusi dari masing-masing proses padapolarisasi keseluruhan dapat diamati.

Sifat Listrik Dielektrik - εεεεr Tergantung Pada Frekuensi Dan Temperatur

frekuensi listrik frekuensi optik

frekuensipower audio radio infra merah

cahayatampak

P; εr

absorbsi; loss factor

muatan ruang

orientasi

ionikelektronik

orientasi

muatan ruang

ionikelektronik

α


εr

Ttitikleleh

nitrobenzene [6]


εr

oC

5×102 cps

104 cps

8×102 cps

5 −

10 −

15 −

20 −

0

0 100 200 300 400

silica glass [6]


Kehilangan Energi

tanδ : faktor desipasi

(loss tangent)

im

re

Diagram fasor kapasitor

IRp

ICItot

δ

VC

δtanCCRpCP IVIV ==

Desipasi daya (menjadi panas):

δε

δε

tanπ2

tanω

2

0

00

r

r

Cf

CP

V

VV

=

=

εr tanδ : faktor kerugian

(loss factor)

Sifat Listrik Dielektrik - Kehilangan Energi

Sifat Ferroelectric

Sifat Piezoelectric

Tugas Bibliografis

Dikumpulkan pada hari WWWWWW

Jam : WWW.

Sifat Listrik Dielektrik

Sejumlah energi bisa ditambahkan ke dalam material melalui pemanasan, medan listrik, medan magnit,

bahkan gelombang cahaya seperti pada peristwa photo listrik yang telah kita kenal.

Pada penambahan energi melalui pemanasan tanggapan padatan termanifestasikan dalam gejala-gejala kenaikan

temperatur sampai pada emisi thermal tergantung dari besar energi yang masuk.

Dalam padatan, terdapat dua kemungkinan penyimpanan energi thermal:

1) penyimpanan dalam bentuk vibrasi atom / ion di sekitar posisi keseimbangannya

2) energi kinetik yang dikandung oleh elektron-bebas.

Sifat-sifat thermal yang akan kita bahas

adalah

kapasitas panas

panas spesifik

pemuaian

konduktivitas panas

Kapasitas Panas

Kapasitas Panas

Kapasitas Panas (heat capacity)

Kapasitas panas pada volume konstan, Cv

vv

dT

dEC =

Kapasitas panas pada tekanan konstan, Cp

pp

dT

dHC =

E : energi internal padatan yaitu total energi yang ada dalam padatan baik dalam bentuk vibrasi atom maupun energi kinetik elektron-bebasT : temperatur

H : enthalpi. Pengertian enthalpidimunculkan dalam thermodinamikakarena amat sulit meningkatkankandungan energi internal pada tekanankonstan.

energi yang kita masukkan tidak hanyameningkatkan energi internal melainkanjuga untuk melakukan kerja pada waktupemuaian terjadi.

Kapasitas Panas

volume

PVEH +=

tekanan

energi internal

T

VP

T

E

T

PV

T

VP

T

E

T

H

∂∂

+∂∂

=∂∂

+∂∂

+∂∂

=∂∂

0≈Jika perubahan volume terhadapT cukup kecil suku ini bisadiabaikan sehingga

vT

E

T

H

∂∂

≈∂∂

pv CC ≈

Panas Spesifik

Panas Spesifik

Panas Spesifik, Perhitungan klasik

Kapasitas panas per satuan massa per derajat Kdituliskan dengan huruf kecil cv dan cp

Perhitungan Klasik

Molekul gas ideal memiliki tiga derajat kebebasan

energi kinetik rata-rata per derajat kebebasan TkB2

1

energi kinetik rata-rata (3 dimensi): TkB2

3

energi per mole RTTkE Bmolek2

3

2

3/ ==

Bilangan Avogadro

Konstanta Boltzman

Atom-atom padatan saling terikatenergi rata-rata per derajat kebebasan TkB

RTE padatmoletot 3 / = cal/mole

Kcal/mole 96,53 o=== RdT

dEc

vv

Menurut hukum Dulong-Petit (1820), cv

Hampir sama untuk semua material yaitu

6 cal/mole K

Pada umumnya hukum Dulong-Petit cukup teliti untuk temperatur di atas temperatur kamar. Namun beberapa unsur memiliki panas spesifik pada temperatur kamar yang lebih rendah dari angka

Dulong-Petit, misalnya

Be ([He] 2s2), B ([He] 2s2 2p1),

C ([He] 2s2 2p2), Si ([Ne] 3s2 3p2)


Unsur-unsur ini orbital terluarnya tersisi penuh atau membuat ikatan kovalen dengan unsur sesamanya.

Oleh karena itu pada temperatur kamar hampir tidak terdapat elektron bebas dalam material ini. Lebih rendahnya kapasitas panas

yang dimiliki material ini disebabkan oleh tidak adanya kontribusi elektron bebas dalam peningkatan energi internal.

Sebaliknya pada unsur-unsur yang sangat elektropositif seperti

Na ([Ne] 3s1)

kapasitas panas pada temperatur tinggi melebihi prediksi Dulong-Petit karena adanya kontribusi elektron bebas dalam penyimpanan energi

internal.


Panas Spesifik, Perhitungan Einstein

Perhitungan Einstein

Padatan terdiri dari N atom, yang masing-masing bervibrasi (osilator) secara bebas pada arah tiga dimensi, dengan frekuensi fE

En nhfE =

Frekuensi osilator

Konstanta Planck

bilangan kuantum, n = 0, 1, 2,....

Jika jumlah osilator tiap status energi adalah n dan 0 adalah jumlah asilator pada status 0, maka menuruti fungsi Boltzmann

)/(0

TkEn

Bne−=

Jumlah energi per status: nnE

total energi dalam padatan: ∑=n

nn EE

sehingga energi rata-rata osilator ∑

∑

∑

∑−

−

===

n

Tknhfn

ETknhf

n

n

n

nn

BE

BE

e

nhfe

E

EE

)/(0

)/(0

energi rata-rata osilator ∑

∑

∑

∑−

−

===

n

Tknhfn

ETknhf

n

n

n

nn

BE

BE

e

nhfe

E

EE

)/(0

)/(0


misalkan Tkhfx BE /−=

( ).........1

..........0

32

32

++++

++++==

∑

∑−

−

xxx

xxxE

n

nx

n

Enx

eee

eeehf

e

nhfe

E

Karena turunan dari penyebut, maka dapat ditulis

( )...........1ln 32 ++++= xxxE eee

dx

dhfE

xe−

=1

1 1

/ −= − Tkhf

E

Bee

hfE

Dengan N atom yang masing-masing merupakan osilator bebas yang berosilasitiga dimensi, maka didapatkan total energi internal

1

33

)/( −==

Tkhf

E

BEe

hfEE


Panas spesifik adalah

( )2/

/2

1

3

−

==

Tkhf

Tkhf

B

EB

vv

BE

BE

e

e

Tk

hfk

dt

dEc

fE : frekuensi Einstein

ditentukan dengan cara mencocokkankurva dengan data-data eksperimental.

Hasil yang diperoleh adalah bahwa padatemperatur rendah kurva Einstein menuju noljauh lebih cepat dari data eksperimen

Ketidak cocokan ini dijelaskan oleh Debye

Panas Spesifik, Perhitungan Debye

Perhitungan Debye

Menurut Debye, penyimpangan hasil perhitungan Einstein disebabkan oleh asumsi yang diambil Einstein bahwa atom-atom bervibrasi secara bebas dengan frekuensi sama, fE

Analisis yang perlu dilakukan adalah menentukan spektrumfrekuensi g(f) dimana g(f)df didefinisikan sebagai jumlah

frekuensi yang diizinkan yang terletak antara f dan (f + df)

Debye melakukan penyederhanaan perhitungan denganmenganggap padatan sebagai medium merata yang bervibrasidan mengambil pendekatan pada vibrasi atom sebagaispectrum-gelombang-berdiri sepanjang kristal

3

24)(

sc

ffg

π=

kecepatan rambat suara dalam padatan

Debye memandang padatan sebagai kumpulan

phonon karena perambatan suara dalam padatan

merupakan gejala gelombang elastis

Postulat Debye: ada frekuensi osilasi maksimum, fD, karenajumlah keseluruhan frekuensi yang diizinkan tidak akan melebihi 3N

(N adalah jumlah atom yang bervibrasi tiga dimensi).

Panjang gelombang minimum adalah

tidak lebih kecil dari jarak antar atom dalam kristal

DsD fc /=λ


Energi internal untuk satu mole volume kristal

∫ −=

D

B

f

TkhfD

dffe

hf

f

E

0

2

/31

9

didefinisikan TTkhf DBD // θ≡B

DD

k

hf=θ temperatur Debye

( )

−

θ== ∫

θ T

x

x

DB

vv

D

e

dxxeTk

dT

dEc

/

0 2

43

1

9


)/( TD DθDidefinisikan fungsi Debye

( )

−

θ×=θ ∫

θ T

x

x

DD

D

e

dxxeTTD

/

0 2

43

1

3)/( )/(3 TDkc DBv θ=

Fungsi Debye tidak dapat diintegrasi secara analitis, namun dapat dicari nilai-nilai limitnya

1)/( →θ TD D

32

5

4)/(

θπ

→θD

DT

TD

jika ∞→T

jika DT θ<<

Pada temperatur tinggi cv mendekati nilai yang diperoleh Einstein

Rkc Bv 33 ==

Pada temperatur rendah332

5,4645

43

θ=

θπ

=DD

BvTT

kc

Kontribusi Elektron

Panas Spesifik – Kontribusi Elektron

Hanya elektron di sekitar energi Fermi yang terpengaruh oleh kenaikan temperatur dan elektron-elektron inilah yang

bisa berkontribusi pada panas spesifik

Pada temperatur tinggi, elektron menerima energi thermal sekitar kBT dan berpindah pada tingkat energi yang lebih

tinggi jika tingkat energi yang lebih tinggi kosong

T > 0

T = 0

F(E)

0 E

1

kBT

0EF

pada kebanyakan metal sekitar 5 eV

pada temperatur kamar kBT sekitar 0,025 eV

kurang dari 1% elektron valensiyang dapat berkontribusi pada

panas spesifik

kontribusi elektron dalam panas spesifik adalah TE

kc

F

Bv

3elektron

≅

Panas Spesifik Total

Panas Spesifik Total elektron ion total vvv ccc +=

untuk temperatur rendah, dapat dituliskan

TATcv γ′+= 3 2ATT

cv +γ′=atau

T 2

γ′

slope = A

cv/T

Panas Spesifik Pada Tekanan Konstan, cp

Panas Spesifik, Pada Tekanan Konstan dan Faktor Lain yang Turut Berperan

Hubungan antara cp dan cv diberikan dalam thermodinamika

β

α=−

2v

vp TVcc

volume molar

koefisien muai volume

kompresibilitas

pv

dT

dv

v

≡α

1

Tdp

dv

v

≡β

1

Faktor-Faktor Lain Yang Turut Berperan

Pemasukan panas pada padatan tertentu dikuti proses-proses lain, misalnya:perubahan susunan molekul dalam alloy,

pengacakan spin elektron dalam material magnetik, perubahan distribusi elektron dalam material superkonduktor,

Proses-proses ini akan meningkatkan panas spesifik material yang bersangkutan

Pemuaian

Pemuaian

Pemuaian

Pada tekanan konstan p

LdT

dl

l

=α

1

LV α×=α 3

Dengan menggunakan model Debye

V

cvLv

βγ=α=α 3

γ : konstanta Gruneisen

β : kompresibilitas

cp, αL, γ, untuk beberapa material.[6].

1,756,70,036Tl

2,1423,50,54Sn

1,623,950,034W

2,4019,50,056Ag

2,548,80,031Pt

1.8813,30,13Ni

2,7328,00,32Pb

1,6010,80.11Fe

3,0313,80,031Au

1,9617,60,092Cu

2,1724,10,22Al

γ

(konst. Gruneisen)αL (300 K)1/K×106

cp (300 K)cal/g K

Material

Pemuaian

Konduktivitas Panas

Konduktivitas Panas

Konduktivitas Panas

Jika q adalah jumlah kalori yang melewati satu satuan luas (A) per satuan waktu ke arah x maka

dx

dTQq Tσ−==

A

Konduktivitas Panas

aliran panas berjalan dari temperatur tinggi ke temperatur rendah

Pada temperatur kamar, metal memiliki konduktivitas thermal yang baik dan konduktivitas listrik yang baik pula karena elektron-bebas berperan dalam berlangsungnya transfer panas

Pada material dengan ikatan ion ataupun ikatan kovalen, di mana elektron kurang dapat bergerak bebas, transfer panas berlangsung melalui phonon

Dalam polimer perpindahan panas terjadi melalui rotasi, vibrasi, dan translasi molekul

σT untuk beberapa material pada 300 K .[6].

-0,14Ge

-1,5C (Intan)

2,311,00Ag

2,470,19Fe

2,230,94Cu

2,20,53Al

L=σT/σeT

(volt/K)2×108

σT

cal/(cm sec K)Material

Konduktivitas Panas

Lorentz number

Konduktivitas Panas Oleh Elektron

Konduktivitas Panas Oleh Elektron

pengertian klasik gas ideal TkE B2

3=

Jika L adalah jalan bebas rata-rata elektron, maka transmisi energi per elektron adalah

x

Tk

x

EB ∂∂

=∂∂

2

3

Lx

TkL

x

EB ∂∂

=∂∂

2

3

Jumlah energi yang ter-transfer ke arah x Lx

Tk

nQ B ∂

∂µ=

2

3

3

kerapatan elektron

kecepatan rata-rata

Energi thermal yang ditransfer melalui dua bidang paralel tegak-lurus arah x dengan jarak δx pada perbedaan temperatur δT adalah

x

TE T ∂

∂σ=∆

xT

Q

x

TQ T ∂∂

=σ∂∂

σ=/

atau T

Lkn

BT2

µ=σ

Rasio Wiedemann-Franz

Rasio Wiedemann-Franz

Rasio ini adalah rasio antara konduktivitas thermal dan konduktivitas listrik listrik

2

2

2

2

2

e

km

m

Lne

Lkn

BB

e

T µ=

µ

µ

=σ

σ

Te

ToL=

σ

σ

Lorentz numberhampir sama untuk kebanyakan metal

Isolator Panas

Isolator thermal yang baik adalah material yang porous. Rendahnyakonduktivitas thermal disebabkan oleh rendahnya konduktivitas udara

yang terjebak dalam pori-pori

Isolator Panas

Namun penggunaan pada temperatur tinggi yang berkelanjutancenderung terjadi pemadatan yang mengurangi kualitasnya

sebagai isolator thermal

Material polimer yang porous bisa mendekati kualitas ruang hampapada temperatur sangat rendah; gas dalam pori yang membekumenyisakan ruang-ruang hampa yang bertindak sebagai isolator

Courseware

Mengenal Sifat Material (2)

Sudaryatno Sudirham

Analisis Rangkaian Elektrik - OpenCourseWare and Articles · Struktur Kristal dan Nonkristal Teori...

Documents

Transcript of Analisis Rangkaian Elektrik - OpenCourseWare and Articles · Struktur Kristal dan Nonkristal Teori...