ANALISIS NUMERIK LANJUT

Hendra Gunawan, Ph.D.2006/2007

BAB 0. PENDAHULUANBeberapa contoh masalah dan metode numerik:

Menyelesaikan persamaan f(x) = 0 atau x = g(x) Metode Bagi- Dua, Metode Newton, Teorema Titik TetapMenghitung integral tentu Aturan Trapesium, Aturan SimpsonMenyelesaikan SPL Ax = b Metode Eliminasi GaussMenyelesaikan Masalah Nilai Awal y’ = f(x,y), y(x0) = y0

Metode Euler, Metode Runge- KuttaMenghampiri (nilai) fungsi Teorema Taylor, Metode Kuadrat Terkecil, Interpolasi Polinom, Deret Fourier, Wavelet (Analisis Multi Resolusi)

Pengetahuan yang diperlukan:Analisis Real: bilangan real, barisan, fungsi, limit, turunan, dan integralAnalisis Fungsional: ruang norm, ruang hasil kali dalam, ruang fungsi C[a,b], Lp, dan lain-lainAnalisis Fourier: deret dan transformasi Fourier, basis ortonormal, proyeksi ortogonal

Contoh 1: Menyelesaikan MNA y’ = f(x,y), y(x0) = y0

Tuliskan MNA y’ = f(x,y), y(x0) = y0 sebagai persamaan integral

Hitung hampiran Picard (secara iteratif):

dengan hampiran awal y0(x) = y0.

00( ) ( , ( ))

x

xy x y f t y t dt= + ∫

01 0( ) ( , ( ))

x

n nxy x y f t y t dt+ = + ∫

Metode Euler untuk MNAy’ = f(x,y), y(x0) = y0

Tentukan h > 0 (sbg ukuran langkah)Tulis xn = x0 + n.h, yn = y(xn)Hitung (secara rekursif): yn+1 = y0 + h.f(xn,yn).

Metode Runge-Kutta untuk MNAy’ = f(x,y), y(x0) = y0

Tentukan h > 0 (sbg ukuran langkah)Tulis xn = x0 + n.h, yn = y(xn)Hitung (secara rekursif): yn+1 = y0 + h/6.[kn,1 + 2.kn,2 + 2.kn,3 + kn,4]dengankn,1 = f(xn,yn)kn,2 = f(xn+h/2,yn+h/2.kn,1)kn,3 = f(xn+h/2,yn+h/2.kn,2)kn,4 = f(xn+h,yn+h.kn,3).

Metode Euler vs Metode Runge-Kutta

Tinjau MNA y’ = y, y(0) = 1.(1) Dengan h = 0.125, gunakan metode Euler untuk

menaksir nilai y(1). [Hasil: y(1) = 2.56578](2) Dengan h = 0.5, gunakan metode Runge- Kutta untuk

menaksir nilai y(1). [Hasil: y(1) = 2.71735]Taksiran manakah yang lebih baik? [Cttn: y(1) = e]

Galat dengan metode Euler ~ h2; Galat dengan metode Runge- Kutta ~ h4.

Secara umum, metode Runge- Kutta lebih baik daripada metode Euler.

Latihan: Menyelesaikan MNA

Diberikan MNA y’ = [x2 – y2]1/2, y(0) = 0.Hitung hampiran Picard y1(x) dan y2(x); lalu gunakan y2(x) untuk menaksir nilai y(0.5) dan y(1).Gunakan metode Runge-Kutta untuk menghampiri nilai y(0.5) dan y(1).

Contoh 2: Metode Kuadrat Terkecil

Diberikan data n titik (x1,y1), (x2,y2), … , (xn, yn), tentukan persamaan garis lurus y = mx + c yg merupakan hampiran terbaik untuk data tsb.Secara aljabar, masalah ini setara dengan menentukan proyeksi ortogonal vektor y = (y1, … , yn) terhadap bidang yang direntang oleh vektor x = (x1, … , xn) dan e = (1, … , 1).Bila y* adalah proyeksi ortogonalnya, maka galatnya adalah || y* - y ||2.

Yang Akan DipelajariRuang linear, ruang bernorma, ruang hasilkali dalamOperator linear pada ruang bernorma, fungsional linear, jenis-jenis kekonvergenan.Teori Interpolasi: interpolasi polinom Lagrange/Hermite, interpolasi linear bagian demi bagian, interpolasi trigonometrikHampiran terbaik di ruang norm: himpunan konveks, eksistensi titik ekstrim, eksistensi dan ketunggalan hampiran terbaikHampiran terbaik di ruang hasil kali dalam: proyeksi ortogonal, eksis-tensi dan ketunggalan hampiran terbaik, metode kuadrat terkecilPolinom ortogonal, operator proyeksi, batas galat seragamTeorema Titik Tetap Banach dan aplikasinyaKalkulus diferensial untuk operator tak-linear*Metode Newton di ruang BanachTeorema Titik Tetap Brouwer dan Teorema Titik Tetap Schauder*

(* bila waktu tersedia)

Buku Rujukan: Atkinson & Han, Theoretical Numerical Analysis, Springer 2001.