1. Nama : Risdawati Hutabarat NPM : 1215031064 11.5 ANALISIS KOMPLEKS GELOMBANG SINUSOID Fungsi kosinus selalu dipilih untuk mempresentasikan sinusoid secara umum. Berikut ini adalah analisis kompleks mengenai gelombang sinusoid. Sebelum kitamulai menaganalisis kompleks gelombang sinusoid, hal pertama yang dilakukan adalah menyatakan gelombang-gelombang yaitu sinusoid kedalam bentuk fungsi-fungsi komplek. Dengan begitu prosess menganalisis dapat dilakukan dengan mudah dan akan mendapatkan gambararan mengenaifase yang terakumulassi pada sinyal-sinyal yang terjadi melalui berbagai mekanisme. Dalam proses menganalisis ini biasanya akan terjadi permasalahan dimana dua gelomban sinusoid atau lebih harus digabungkan agar membentuk sebuah gelombang resultan. Nah untuk memudahkan menyelesaikan masalah ini adalah dengan analisis kompleks Apabila kita ingin menyatakan fungsi-fungsi sinusoid kedalam bentuk kompleks maka akan tidak jauh dengan yang namanya identitas Euler. Dimana dapat dinyakan pada persamaan berikut ejx = cos (x) j sin (x) (pers. 32) Dari persamaan Euler diatas, maka kita dapat menentukan berapa nilai dari fungsi kosinus dan fungsi sinus secara berturut-turut, sebagai bagian riil dan bagian imajiner dari bilangan eksponen kompleks euler. Berikut ini adalah persamaan untuk medapatkan nilai dari fungsi kosinus dan fungsi sinus yaitu : Cos(x) = Re | ejx | = 1 2 (ejx + e-jx ) = 1 2 ejx + k.k. (pers. 33a) Sin (x) = Im | ejx | = 1 2 (ejx - e-jx ) = 1 2 ejx + k.k. (pers. 33b) Dari persamaan diatass diketahui bahwa j = 1 dan k.k adalah singkatan dari konjugasi kompleks dari suku yang muncul sebelumnya pada persamaan. Bilangan konjugat dibentuk dengan mengubah tanda semua bilangan j yang muncull pada suku terkait. Dari persamaan 33a diatas yaitu untuk mencari fungsi cos(x) , fungsi ini dapat kita terapkan pada persamaan sebelumnya yaitu pada persamaan untuk mencari nilai tegangan maka akan didapatkan sebuah persamaan baru yaitu : V (z,t) = |VO| cos | t z + | = 1 2 (|Vo | ej ) ejz e jt + k.k (pers. 34)

2. Dari persamaan 34 diatas bahwa apabila dilihat pada persamaan itu tersusun atas besaran-besaran fase sehingga kita dapat mengidentifikasikan amplitudo kompleks dari gelombang tegangan yaitu Vo = (|Vo | ej ). Dimana terdapat sebuah symbol tunggal (pada kasus ini yaitu Vo) akan dinotasikan sebagai symbol untuk amplitude dari gelombang tegangan dan arus, namun sebelumnya harus dipahami bahwa amplitude ini secara umum adalah sebuah besaran kompleks yaitu magnitude dan fasse. Kemudian dari persamaan (34) diatas kita akan menurunkan dua definisi baru yaitu untuk memperoleh tegangan kompleks sesaat dan tegangan fasor . Berikut ini adalah tegangan kompleks sesaat yang dituliskan dalam persamaan : Vc (z,t) = Vo ejz ejt (pers. 35) Setelah itu didapatkan pula tegangan fasor yang diperoleh dengan menanggalkan factor ejt dari persamaan tegangan kompleks sesaat diatass yang akan menghasilkan : Vs (z) = V0 ejz Namun ada yang perlu diperhatikan bahwa tegangan fasor hanya dapat difenisikan di dalam kondisi steady-state sinusoid yang artinya adalah bahwa Vo tidak bergantung pada waktu. Namun kita sering berasumsi akan hal tersebut karena sebuah amplitude yang berubah terhadap waktu mengimplikasikan adanya beberapa komponen frekuensi di dalam sinyal. Pada kesempatan ini kita hanya membicarakan tentang gelombang frekuensi tunggal disini. Pengejawantahan dari tegangan fasor adalah bahwa kita secara efektif mengamsumsikan bahwa waktu sama sekali berhenti dan kita mengamati sebuah gelombang yang diam atau dengan kata lain stasioner di dalam ruang pada titik waktu yaitu t = 0. Dengan demikian proses menganalisis fase-fase relative sinyal diberbagai titik pada saluran dan ddengan menggabungkan beberapa gelombang untuk membentuk gelombang baru yang akan menjadi relative mudah apabila berbentuk fasor. Namun hal ini dapat diterapkan bila semua sinyal yang terkait telah memiliki frekuensi yang sama. Dengan demikian maka dari definisi yang ada pada (35) dan (36) maka tegangan riil sesaat dapat diturunkan persamaannya dari persamaan (34) menjadi : V (z,t) = |VO| cos | t z + | = Re |Vc (z,t) | = 1 2 Vc + k.k (Pers. 37a) Atau apabila menggunakan tegangan fasor : V (z,t) = |VO| cos | t z + | = Re [ Vs (z) ejt ] = 1 2 Vs (z) ejt + k.k (37b) Dengan demikian maka akan diperoleh kembali gelombang tegangan sinusoid riil dengan mengalikan tegangan fasor dengan factor ejt yang berarti dengan memasukkan factor kebergantungan terhadap waktu. 3. 11.6 PERSAMAAN-PERSAMAAN SALURAN TRANSMISI DAN SOLUSINYA DALAM BENTUK FASOR. Pada subbab sebelumnya terdapat beberapa persamaan yang telah diperoleh, maka dari persamaan-persamaan yang telah diperoleh tersebut maka kita kita dapat menerapkannya kedalam persamaan saluran transmisi, yang berawal dari persamaan gelombang umum, dimana persamaan tersebut dituliskan kembali dalam bentuk tegangan riil sesaat V (z,t) sebagai berikut : 2 V / z2 = LC (2 V / t2 ) + (LG + RC) V/ t + RGV (38) Kemudian adalah menyulihkan V(z,t) dengan bentuk persamaan pada sisi paling kanan persamaan 37b yaitu 1 2 Vs (z) ejt + k.k , konjugat kompleks (k.k) akan membentuk persamaan redundan terpisah. Kemudian operator / t akan sama dengan mengalikannya dengan factor j, setelah mengsubtitusikan operator / t kedalam factor j maka semua turunan terhadap waktu yang terjadi adalah factor ej akan hilang. Kemudian akan didapatkan sebuah persamaan gelombang dengan suku-suku berupa tegangan fasor. 2 Vs /dz2 = -2 LC Vs + j (LG + RC) Vs+ RG Vs (39) Persamaan 39 diatass dapat disederhanakan lagi kedalam bentuk yaitu : 2 Vs /dz2 = (R + jL) (G + jC) Vs = 2 Vs (40) Z Y Dari persamaan (40) diatas z, y diindikasikan pada persamaan ini secara berturut-turut merepresentasikan impedansi seri netto dan admitansi shunt netto pada saluran transmisi kedua besaran diukur dalam basis persatuan jarak. Konstanta propagasi untuk saluran ini didefinisikan sebagai : = ( + jL)(G + jC) = = + j (41) Namun interpertasi untuk suku-suku persamaan ini akan diberikan pada subbab berikutnya yaitu pada subbab 11.7 nanti, jadi solusi untuk persamaan (40) adalah : Vs(z)= V+ o e-z + V- o e+z (42a) Ketika persamaan gelombang untuk tegangan didapatkan maka persamaan gelombang untuk aruspun dapat didapatkan karena persamaannya memiliki bentuk yang identik pada persaamaan (40) Is(z) = I+ o e-z + I- o e+z (42b) 4. Setelah Diketahui hubungan antara tegangan dan arus kini kita dapat menuliskan persamaan arus sinusoid , karena telah diindikasikan oleh kedua persamaan sang telegrafis yaitu pada persamaan (5) dan (8) yaitu pada subbab 11.2 sebelumnya. (z,t) = |Io| cos (t +z + ) = 1 2 (|Io|eJ ) ejz ejt + k.k = 1 2 Is(z) ejt + k.k (43) Kemudian menyulihkan sisi paling kanan dari persamaan (37b) dan (43) kedalam (5) dan (8) akan mengubah persamaan (5 dan 8) akan menjadi : = - (R + L ) = - (R + jL) Is = -Z Is (44a) = - (GV + C ) = - (G + jC) Vs = -Y Vs (44b) Kemudian menyulihkan persamaan (42a) dan (42b) kedalam salah satu dari persamaan (44a) untuk mendapatkan : - V+ o e-z + V- o ez = -Z (I+ o e-z + I- o ez ) (45) Langkah berikutnya adalah menyamakan koefisien-koefisien dari suku-suku e z dan ez pada kedua sisi persamaan diataas, kemudian menurunkan persamaan umum untuk impedansi karakteristik saluran transmisi : Z0 = V+ o / I+ o = - V- o / I- o = Z/ = Z/ = (46) Kemudian menyulihkan bentuk-bentuk Z dan Y yang telah diindikasikan pada (40) kedalam persamaan tersebut. Maka akan didapatkan impedansi karakteristik sebagai fungsi dari parameter-parameter saluran transmisi yaitu : Z0 = + jL + jC = | Z0| ej (47) Setelah memperhatikan persamaan tegangan dan arus yang telah dituliskan pada persamaan (37b) dan (43) secara berturut-turut maka kita akan mengetahui bahwa fase dari impedansi karakteristik adalah = -