Analisis kesulitan belajara kemampuan penalaran matematis siswa smp pada limas

ISBN : 978 – 602 – 14432 – 2 – 4

SEMINAR NASIONAL PENDIDIKAN STKIP SURYA ------------------------------------------------ Tangerang, 15 Februari 2014

205

PROCEEDING SEMINAR NASIONAL PENDIDIKAN MATEMATIKA,

SAINS, DAN TIK STKIP SURYA 2014

“Integrasi Keterampilan Abad 21 Dalam Kurikulum 2013

Untuk Mewujudkan Indonesia Jaya”

ANALISIS KESULITAN BELAJAR KEMAMPUAN PENALARAN

MATEMATIS SISWA SMP PADA MATERI LUAS PERMUKAAN

DAN VOLUME LIMAS

Sulistiawati Program Studi Pendidikan Matematika STKIP Surya,

[email protected]

ABSTRAK

Penelitian ini dilatarbelakangi oleh rendahnya kemampuan penalaran matematis

siswa Sekolah Menengah Pertama (SMP) dalam matematika. Siswa mengalami kesulitan

pembelajaran materi geometri. Penelitian ini bertujuan untuk mengetahui kesulitan-

kesulitan belajar (learning osbtacle) siswa berkaitan dengan kemampuan penalaran

matematis siswa SMP pada materi luas permukaan dan volume limas. Sampel yang

diambil adalah siswa kelas IX E SMP Negeri 29 Bandung sebanyak 35 orang, siswa kelas

XI IPA2 SMA Negeri 1 Lembang sebanyak 41 orang dan mahasiswa STKIP Siliwangi

Bandung semester 6 sebanyak 49 orang untuk mendapatkan data kesulitan belajar

(learning obstacle) siswa. Metode penelitian ini adalah kualitatif deskriptif dengan

menganalisis kesulitan-kesulitan siswa dari instrumen yang diberikan. Instrumen dalam

penelitian ini berbentuk tes tertulis. Hasil dari penelitian ini menunjukkan bahwa soal-

soal penalaran matematis belum dikuasai oleh siswa (siswa). Hal ini terlihat bahwa

jawaban siswa yang mampu menjawab dengan benar untuk siswa SMP Negeri 29

Bandung sebesar 14,29%, siswa SMA Negeri 1 Lembang sebesar 36,75%, dan

mahasiswa STKIP Siliwangi sebesar 20,68%. Rata-rata keseluruhan siswa yang mampu

menjawab soal-soal penalaran matematis berkaitan dengan luas dan volume limas dengan

benar adalah sebesar 23,90%.

Kata Kunci: penalaran matematis, kesulitan belajar (learning obstacle), luas permukaan

limas, volume limas

PENDAHULUAN Menurut Herman (2007), rendahnya kemampuan siswa SMP dalam memahami

matematika sudah dirasakan sebagai masalah yang cukup pelik dalam pengajaran matematika di

sekolah. Permasalahan ini muncul sudah cukup lama dan agak terabaikan karena kebanyakan

guru matematika dalam kegiatan pembelajaran berkonsentrasi mengejar skor Ujian Akhir

Nasional (UAN) setinggi mungkin. Oleh karena itu kegiatan pembelajaran biasanya difokuskan

untuk melatih siswa terampil menjawab soal matematika, sehingga penguasaan dan pemahaman

matematika siswa masih terabaikan.

Menurut hasil survey IMSTEP-JICA (dalam Herman, 2007), rendahnya pemahaman

siswa dalam matematika salah satunya disebabkan oleh pembelajaran matematika yang terlalu

mailto:[email protected]

ISBN : 978 – 602 – 14432 – 2 – 4

------------------------------------------------ SEMINAR NASIONAL PENDIDIKAN STKIP SURYA Tangerang, 15 Februari 2014

206

berkonsentrasi pada hal-hal yang prosedural dan mekanistik, pembelajaran berpusat pada guru,

konsep matematika disampaikan secara informatif, dan siswa dilatih menyelesaikan banyak soal

tanpa pemahaman yang mendalam. Akibatnya, kemampuan penalaran dan kompetensi strategis

siswa tidak berkembang sebagaimana mestinya.

Rendahnya kemampuan penalaran matematis siswa, salah satunya disebabkan oleh

pembelajaran matematika yang kurang melibatkan siswa. Apabila dilihat dari kenyataan di

lapangan, metode mengajar yang digunakan oleh guru secara umum cenderung guru yang lebih

aktif dan siswa pasif menerima informasi yang disampaikan oleh guru. Sama halnya dengan

yang diungkapkan oleh Sumarmo (dalam Rofingatun, 2006:5) bahwa proses pembelajaran pada

umumnya kurang melibatkan aktivitas siswa secara optimal sehingga siswa jarang aktif dalam

pembelajaran. Pendapat ini juga didukung oleh Sutiarso (2000) yang menyatakan bahwa

kenyataan di lapangan justru menunjukkan siswa pasif dalam proses pembelajaran dan siswa

pada umumnya hanya menerima transfer pengetahuan dari guru.

Terdapat beberapa faktor yang menyebabkan siswa mengalami kesulitan belajar

matematika. Brueckner, dkk. (1975) mengelompokkan sumber kesulitan belajar siswa ke dalam

lima faktor yakni: faktor fisiologis, faktos sosial, faktor emosional, faktor intelektual, dan faktor

pedagogis. Di sisi lain, menurut Natawijaya (1980) siswa mengalami kesulitan belajar dalam

mencapai konsep belajar sebagaimana yang diharapkan,

1. siswa jarang bertanya karena kebanyakan siswa tidak tahu dan tidak memahami yang

ditanyakan,

2. siswa jarang memberikan tanggapan, karena belum mampu menjelaskan ide-ide

matematika,

3. beberapa siswa mampu menyelesaikan soal matematika, tetapi kurang memahami

apa yang terkandung dalam soal tersebut (tidak meaningful),

4. banyak siswa yang tidak mampu membuat suatu kesimpulan dari materi yang telah

dipelajari.

Kesulitan-kesulitan belajar yang disebabkan oleh faktor-faktor di atas harus didiagnosa,

terutama kesulitan belajar yang berkaitan dengan kesulitan intelektual. Diagnosa kesulitan

belajar ini sebagai usaha yang dilakukan untuk memahami dan menetapkan jenis dan sifat

kesulitan belajar. Selain itu, juga mempelajari faktor-faktor yang menyebabkan kesulitan belajar

serta cara menetapkan dan kemungkinan mengatasinya, baik secara kuratif (penyembuhan )

maupun secara preventif (pencegahan) berdasarkan data dan informasi yang seobyek mungkin,

dengan memperhatikan apa yang siswa ketahui dan apa yang perlu dipelajari oleh siswa.

Para peneliti mencatat bahwa siswa mengalami kesulitan dan menunjukkan kinerja

yang buruk dalam pembelajaran geometri. Usiskin (Halat, 2008) menyatakan bahwa banyak

siswa yang gagal dalam memahami konsep-konsep kunci dalam geometri, dan meninggalkan

pelajaran geometri tanpa belajar terminologi dasar. Burger dan Shaughnessy (1986) menyatakan

bahwa siswa sering salah mengidentifikasi gambar dalam pembelajaran geometri, dan kesulitan

pada masalah pembuktian suatu teorema pada bangun geometri. Demikian pula halnya dengan

hasil survey Programme for International Students Assesment (PISA) 2000/2001 (Suwaji, 2008)

yang menunjukkan bahwa siswa lemah dalam geometri, khususnya dalam pemahaman ruang

dan bentuk. Penelitian bermaksud untuk mengetahui kesulitan-kesulitan yang mungkin dialami

oleh siswa dalam pembelajaran geometri khususnya untuk materi luas permukaan dan volume

limas yang berkaitan dengan kemampuan penalaran matematis siswa. Oleh karena itu

pertanyaan penelitian dalam penelitian ini adalah bagaimanakah kesulitan-kesulitan belajar

(learning obstacle) siswa terkait penalaran matematis pada materi luas dan volume limas?

METODE PENELITIAN Metode penelitian ini merupakan metode kualitatif dengan analisa data secara

deskriptif. Penelitian dilakukan untuk mendapatkan data tentang kesulitan belajar (learning

obstacle) pada siswa berkaitan dengan materi luas dan volume limas. Subyek dalam penelitian

pendahuluan ini adalah siswa SMP kelas IX, siswa SMA kelas XI IPA, mahasiswa S1 Sekolah

Tinggi Keguruan dan Ilmu Pendidikan (STKIP) Siliwangi, Bandung. Data tersebut diperoleh

melalui soal tes penalaran matematis yang diberikan kepada siswa dan mahasiswa. Siswa dan

mahasiswa mengerjakan soal tes penalaran matematis pada materi luas dan volume limas.

ISBN : 978 – 602 – 14432 – 2 – 4


207

Sampel yang diambil adalah siswa kelas IX E SMP Negeri 29 Bandung sebanyak 35

orang, siswa Kelas XI IPA2 SMA Negeri 1 Lembang sebanyak 41 orang dan mahasiswa STKIP

Siliwangi Bandung semester 6 sebanyak 49 orang. Jawaban-jawaban dari siswa selanjutnya

dianalisis untuk melihat kesulitan belajar (learning obstacle).

Dalam penelitian ini, indikator penalaran matematis yang akan diukur dan aspek yang

diteliti dapat dilihat pada tabel berikut ini:

Tabel 1. Indikator dan aspek penalaran matematis Indikator Penalaran Matematis Aspek Penalaran Matematis

1. Memperkirakan jawaban dan proses

solusi

1. Siswa dapat menduga volume air di dalam kubus

yang di dalamnya dimasukkan piramida dengan

ukuran tertentu.

2. Menganalisis pernyataan-

pernyataan dan memberikan

penjelasan/alasan yang dapat

mendukung atau bertolak belakang

2. Siswa dapat memeriksa jawaban atau pendapat

atas pernyataan yang berkaitan dengan jaring-

jaring limas.

3. Siswa dapat memeriksa pernyataan berkaitan

dengan volume limas yang merupakan bagian dari

limas yang lain.

3. Mempertimbangkan validitas dari

argumen yang menggunakan

berpikir deduktif atau induktif

4. Siswa dapat merancang pola suatu masalah tertentu

berdasarkan kondisi yang berkaitan dengan volume

limas, kemudian dapat menunjukkan bukti

kebenaran dari jawaban yang diberikan.

5. Siswa dapat menunjukkan bukti

kebenaran/ketidakbenaran tentang selisih volume

limas sebelum dan sesudah mengalami

perpanjangan, jika panjang rusuk alas mengalami

perubahan.

4. Menggunakan data yang

mendukung untuk menjelaskan

mengapa cara yang digunakan serta

jawaban adalah benar; dan

memberikan penjelasan dengan

menggunakan model, fakta, sifat-

sifat, dan hubungan.

6. Siswa dapat menyajikan alasan dari pernyataan

tentang kesamaan volume dari 3 buah limas yang

diberikan.

Penskoran terhadap kemampuan penalaran matematis digunakan rubrik penilaian kemampuan

penalaran matematis yang dikembangkan oleh Thomson (2006):

Tabel 2. Kriteria Penilaian Penalaran Matematis

Skor Kriteria

4 Jawaban secara substansi benar dan lengkap

3 Jawaban memuat satu kesalahan atau kelalaian yang signifikan

2 Sebagian jawaban benar dengan satu atau lebih kesalahan atau kelalaian yang

signifikan

1 Sebagian besar jawaban tidak lengkap tetapi paling tidak memuat satu

argumen yang benar

0 Jawaban tidak benar berdasarkan proses atau argumen, atau tidak ada respon

sama sekali

Dalam memeriksa jawaban siswa peneliti menggunakan panduan jawaban yang dikembangkan

oleh peneliti dengan berkonsultasi kepada pakar dan disajikan dalam langkah-langkah seperti

pada tabel berikut ini.


208

Tabel 3. Langkah-langkah jawaban tes penalaran matematis luas dan volume limas Nomor

Soal

Aspek Penalaran

Matematis

Langkah

Jawaban Kriteria Deskripsi Langkah Jawaban

1

Siswa dapat menduga

volume air didalam kubus

yang didalamnya

dimasukkan piramida

dengan ukuran tertentu

1

Menentukan volume

piramida dengan alas 30 cm

dan tinggi 40 cm, dan

menentukan volume kubus

dengan rusuk 40 cm

Alternatif 1 Alternatif 2

Volume kubus

= rusuk x rusuk x rusuk

= 40 cm x 40 cm x 40 cm

= 64.000 cm3

Volume piramida

= 3

1x luas alas x tinggi

=3

1 x (30 cm x 30 cm ) x 40

cm

= 300 cm2 x 40 cm

= 12.000 cm3

Volume piramida

= 3

1x luas alas x tinggi

=3

1 x (30 cm x 30 cm ) x 40 cm

= 300 cm2 x 40 cm

= 12.000 cm3

Volume kubus

= rusuk x rusuk x rusuk

= 40 cm x 40 cm x 40 cm

= 64.000 cm3

2

Mencari kaitan bahwa air

yang ada didalam kubus

setelah piramida diambil

memiliki volume yang

merupakan selisih antara

kubus dengan piramida

Jadi, air yang ada di dalam kubus setelah piramida di dalamnya

dikeluarkan merupakan selisih antara volume kubus dengan volume

piramida, sehingga:

Volume air = volume kubus – volume piramida

= 64.000 cm3 - 12.000 cm

3

= 52.000 cm3

ISBN : 978 – 602 – 14432 – 2 – 4


209

Nomor

Soal

Aspek Penalaran

Matematis

Langkah


2

Siswa dapat memeriksa

jawaban atau pendapat atas

pernyataan yang berkaitan

dengan jaring-jaring limas.

1

Menjustifikasi benar atau

salah argumen pada soal

Salah, limas tersebut dapat digambarkan seperti berikut:

2

Mendeskripsikan posisi sisi-

sisi pada limas Alternatif 1 Alternatif 2

Karena sisi C merupakan sisi

samping dan berhadapan dengan

sisi A, sedangkan sisi B

merupakan alas limas.

Sisi yang belakang adalah D

3

Siswa dapat memeriksa

pernyataan berkaitan dengan

volume limas yang

merupakan bagian dari limas

yang lain

1

Menentukan volume limas

T.KLMN

Menunjukkan bahwa tinggi

limas S.KLMN adalah

setengah dari limas

T.KLMN dan menentukan

volume limas S.KLMN

Alternatif 1 Alternatif 2

Tinggi limas S.KLMN

= 2

1 x 12 cm

= 6 cm

Volume limas S.KLMN

= 3

1x 10 cm x 10 cm x 6 cm

= 200 cm 3

Volume limas T.KLMN

= 3

1x La x t

= 3

1x 10 cm x 10 cm x 12 cm

= 400 cm 3

B

D

C A

ISBN : 978 – 602 – 14432 – 2 – 4

ISBN : 978 – 602 – 14432 – 2 – 4


210

Nomor

Soal

Aspek Penalaran

Matematis

Langkah


Volume limas T.KLMN

= 3

1x La x t

= 3

1x 10 cm x 10 cm x 12 cm

= 400 cm 3

Tinggi limas S.KLMN

= 2

1 x 12 cm

= 6 cm

Volume limas S.KLMN

= 3

1x 10 cm x 10 cm x 6 cm

= 200 cm 3

2

Menghitung volume S.KNT

yang merupakan setengah

dari volume limas S.KNTM

Menjustifikasi benar atau

salah argumen pada soal

Volume limas S.KNT = 2

1 x (400 cm

3 - 200 cm

3)

= 100 cm 3

Benar

4

Siswa dapat merancang pola

suatu masalah tertentu

berdasarkan kondisi yang

berkaitan dengan volume

limas, kemudian dapat

menunjukkan bukti

kebenaran dari jawaban

yang diberikan

1

Menentukan volume

akuarium dengan alas 3m Volume akuarium = 3

1x La x t

= 3

1x 3 m x 3 m x 2 m

= 6 m3

2

Mengidentifikasi banyak air

yang tersisa di dalam

akuarium selama sehari

semalam dan mencari pola

yang berkaitan dengan

banyaknya hari dan

menentukan banyaknya hari

untuk pengisian akuarium

sampai penuh

Jika setiap pagi Akbar dapat mengisi akuarium yang berbentuk limas

sebanyak 1 m3 namun berkurang sebanyak 0,25 m

3 maka air yang

tersisa dalam akuarium setiap harinya adalah 0,75 m3. Dengan

demikian kita dapat menentukan banyak hari agar akuarium tersebut

penuh adalah:

hari ke-1 hari ke-2 hari ke-3 ... hari ke-n

0,75 m3 1,5 m

3 2,25 m

3 ... 6 m

3

Dari tabel di atas :

ISBN : 978 – 602 – 14432 – 2 – 4


211

Nomor

Soal

Aspek Penalaran

Matematis

Langkah


Pada hari ke-1 air yang masuk akuarium = 0,75 m3 diperoleh dari 1 x

0,75 m3


0,75 m3


0,75 m3

Sehingga untuk hari dimana akuarium penuh = 6 m3 diperoleh dari ...

x 0,75 m3

Dengan demikian, dapat diduga bahwa agar akuarium penuh banyak

hari yang dibutuhkan adalah

= 3

3

m75,0

m6 = 8 hari

3

Membuat hubungan dalam

persamaan antara jumlah

hari dan banyak air dengan

volume akuarium dan

volume air bocor

Jawaban di atas adalah benar, karena memenuhi persamaan di bawah

ini:

yaitu:

1 m3 x 8 = 6 m

3 + ( 0,25 m

3 x 8)

8 m3 = 6 m

3 + 2 m

3

8 m3 = 8 m

3

5

Siswa dapat menunjukkan

bukti

kebenaran/ketidakbenaran

tentang selisih volume limas

sebelum dan sesudah

mengalami perpanjangan,

jika panjang rusuk alas

mengalami perubahan

1

Menentukan volume awal

limas dengan panjang p,

lebar l dan tinggi t

Volume limas sebelum alas diperpanjang = 3

1x p x l x t

2

Menentukan luas alas limas

setelah alasnya diperpanjang

p+2 dan l+2 dan

menentukan volume limas

setelah ukuran alas

Luas alas limas setelah diperpanjang = )2)(2( lp

= 422 lppl

Volume limas setelah diperpanjang

Banyak air yang dimasukkan x jumlah hari

= Volume akuarium + (Banyak air bocor x jumlah hari)

ISBN : 978 – 602 – 14432 – 2 – 4


212

Nomor

Soal

Aspek Penalaran

Matematis

Langkah


diperpanjang = tlppl )422(

3

1

= )422(3

1tltptplt

= tltptplt3

4

3

2

3

2

3

1

3

Membuktikan selisih volume

limas sebelum dan setelah

ukuran diperpanjang adalah

)2(3

2tltpt

Selisih volume = )3

4

3

2

3

2

3

1( tltptplt plt

3

1

= tltpt3

4

3

2

3

2

= )2(3

2tltpt

TERBUKTI

6

Siswa dapat menyajikan

alasan dari pernyataan

tentang kesamaan volume

dari 3 buah limas yang

diberikan.

1

Menunjukkan bahwa volume

limas L.ABC = limas

A.KLM

Perhatikan limas L.ABC dan limas A.KLM

Limas L.ABC alasnya ABC dan tingginya LB

Limas A.KLM alasnya KLM dan tingginya AK

Karena alas ABC = alas KLM dan tinggi LB = AK maka:

Volume limas L.ABC = Volume limas A.KLM

2

Menunjukkan bahwa volume

limas L.AMK = volume

limas L.ACM

Perhatikan limas L.ACMK

Limas L.ACMK alasnya berbentuk persegi panjang dengan titik

puncak L.

Jika AM adalah diagonal persegi panjang ACMK maka

ACM = AMK

Karena limas L.AMK dan limas L.ACM mempunyai titik puncak

yang sama di L maka:

Volume limas L.AMK = Volume limas L.ACM


213

Nomor

Soal

Aspek Penalaran

Matematis

Langkah


3

Membuktikan bahwa

volume limas L.ABC =

Volume limas L.AMK =

Volume limas L.ACM.

Karena limas L.AMK = limas A.KLM

Dengan demikian,

Volume limas L.ABC = Volume limas L.AMK = Volume limas

L.ACM.

ISBN : 978 – 602 – 14432 – 2 – 4

ISBN : 978 – 602 – 14432 – 2 – 4

-------------------- PROCEEDING SEMINAR NASIONAL PENDIDIKAN STKIP SURYA Tangerang, 15 Februari 2014

214

HASIL DAN PEMBAHASAN

Hasil penelitian ini merupakan kesulitan-kesulitan yang dijumpai pada saat siswa

a. Kesulitan Siswa dalam Penalaran Matematis pada Luas dan Volume Limas

Analisis tentang kesulitan–kesulitan ini disajikan sesuai dengan indikator penalaran

matematis, diantaranya memperkirakan jawaban dan proses solusi, menganalisis pernyataan-

pernyataan dan memberikan penjelasan/alasan yang dapat mendukung atau bertolak

belakang, mempertimbangkan validitas argumen yang menggunakan berpikiri deduktif atau

induktif, dan menggunakan data yang mendukung untuk menjelaskan mengapa cara yang

digunakan serta jawaban adalah benar dan memberikan penjelasan dengan menggunakan

model, fakta, sifat-sifat, dan hubungan.

Berikut ini kesulitan–kesulitan yang dialami siswa dalam menyelesaikan soal

penalaran matematis pada materi luas dan volume limas.

1) Kemampuan dalam memperkirakan jawaban dan solusi

Soal Nomor 1

Sebuah benda padat berbentuk piramida mempunyai tinggi 40 cm dan alasnya berbentuk

persegi yang rusuknya 30 cm. Piramida tersebut dimasukkan ke dalam kubus berukuran

40 cm, kemudian kubus diisi air sampai penuh. Saat piramida dikeluarkan dari kubus, apa

yang terjadi dengan volume air didalamnya? Jelaskan!

Soal yang diberikan berkaitan dengan kemampuan memperkirakan jawaban dan

solusi volume limas. Terdapat dua langkah penyelesaian yang dianalisis, yaitu: (1)

menentukan volume piramida dengan alas 30 cm dan tinggi 40 cm dan menentukan volume

kubus, dan (2) mencari kaitan bahwa yang ada didalam kubus setelah piramida diambil

memiliki volume yang merupakan selisih antara kubus dengan piramida. Berikut ini adalah

contoh jawaban siswa yang mengalami kesulitan dalam menjawab.

Gambar 1. Jawaban siswa yang salah dalam memperkirakan jawaban dan solusi

Gambar 1 sebelah menunjukkan siswa memberikan jawaban yang kurang matematis, dan

tidak dapat melihat bahwa air yang ada di dalam kubus memiliki volume yang merupakan

selisih antara kubus dengan piramida. Gambar 1 sebelah kanan menunjukkan jawaban siswa

dapat memberikan alasan secara deskriptif tentang perubahan volume air, namun tidak

memberikan alasan secara matematis. Berikut ini adalah contoh siswa yang dapat menjawab

dengan benar.

Gambar 2. Jawaban siswa benar dan tidak sepenuhnya benar dalam

memperkirakan jawaban dan solusi

Gambar 2 sebelah kiri menunjukkan bahwa siswa dapat memahami soal dengan baik dan

dapat menjawab dengan benar, namun kurang dapat menuliskan dengan baik. Hal ini

berkaitan dengan kemampuan komunikasi matematis siswa yang kurang baik. Gambar 2

sebelah kanan terlihat bahwa siswa dapat memahami maksud soal, mengerjakan

jawaban namun melakukan kesalahan dalam perhitungan aljabar untuk volume kubus

dan volume piramida. Tabel di bawah ini adalah hasil tes siswa.

ISBN : 978 – 602 – 14432 – 2 – 4

PROCEEDING SEMINAR NASIONAL PENDIDIKAN STKIP SURYA -------------------- Tangerang, 15 Februari 2014

215

Tabel 4. Persentase Kesulitan Siswa pada Soal Nomor 1

Berdasarkan data dari tabel di atas dapat diperoleh informasi tentang kesulitan yang

dialami siswa. Langkah 1 diperoleh hasil siswa SMP sebanyak 82,86%, SMA sebanyak

53,66% dan STKIP sebanyak 83,67% tidak dapat menjawab langkah ini dengan benar . Hal

ini menunjukkan bahwa baik siswa SMP, SMA maupun STKIP mengalami kesulitan dalam

menentukan volume piramida dengan alas 30 cm dan tinggi 40 cm dan menentukan volume

kubus dengan rusuk 40 cm.

Untuk langkah 2 diperoleh hasil siswa SMP sebanyak 97,14%, SMA sebanyak

53,66%, dan STKIP sebanyak 87,76% tidak dapat menyelesaikan langkah ini dengan benar.

Hal ini menunjukkan bahwa baik siswa SMP, SMA maupun STKIP mengalami kesulitan

dalam mencari kaitan bahwa air yang ada di dalam kubus setelah piramida diambil memiliki

volume yang merupakan selisih antara volume kubus dengan volume piramida.

Dengan demikian dapat disimpulkan untuk kasus soal nomor 1 siswa mengalami

kesulitan dalam menduga volume air didalam kubus yang didalamnya dimasukkan piramida

dengan ukuran tertentu. Hal ini juga berarti siswa mengalami kesulitan dalam

memperkirakan jawaban dan solusi.

2) Kemampuan dalam Menganalisis Pernyataan-Pernyataan dan Memberikan

Penjelasan/Alasan yang dapat Mendukung atau Bertolak Belakang

Indikator penalaran matematis initerdiri dari dua soal, yaitu soal nomor 2 dan soal

nomor 3. Uraian untuk masing-masing soal disajikan sebagai berikut:

Soal Nomor 2

Perhatikan gambar di bawah ini!

Gambar 3. Jaring-jaring limas

Soal yang diberikan berkaitan dengan kemampuan siswa dalam menganalisis

pernyataan-pernyataan dan memberikan alasan yang dapat mendukung atau bertolak

belakang. Terdapat dua langkah penyelesaian yang dianalisis, yaitu: (1) menjustifikasi benar

atau salah argumen pada soal dan (2) mendeskripsikan posisi sisi-sisi pada limas. Berikut ini

adalah contoh jawaban siswa yang disajikan dalam dua alternatif jawaban.

Gambar 4. Siswa dapat menjawab soal dengan benar alternatif 1

Persentase Kesulitan Siswa pada Soal Nomor 1

%

Perhatikan gambar jaring-jaring limas segiempat di

samping, jika daerah yang diarsir adalah sisi depan

limas segiempat maka sisi belakangnya adalah C.

Benar atau salah pernyataan ini? Berikan alasan atas

jawaban Anda!

ISBN : 978 – 602 – 14432 – 2 – 4


216

Gambar 5. Siswa dapat menjawab soal dengan benar alternatif 2

Dari beberapa contoh jawaban sampel di atas, dapat dikatakan bahwa siswa sudah

menjawab dengan benar karena mampu memberikan deskripsi alasan untuk

memperkuat jawabannya. Selain itu juga dijumpai siswa yang tidak dapat memahami

maksud dari soal. Untuk kasus ini dilihat dari siswa yang tidak menuliskan jawaban

pada lembar jawaban, dengan artian lembar jawaban mereka kosong. Untuk lebih

lengkapnya dapat dilihat pada tabel di bawah ini




4,88% dan STKIP sebanyak 18,37% tidak dapat menjawab langkah ini dengan benar. Dari

sini dapat kita lihat bahwa hanya sebagian kecil siswa yang tidak dapat menyelesaikan

langkah ini, meskipun demikian masih terdapat siswa yang mengalami kesulitan untuk

menyelesaikan langkah 1 ini.

Untuk langkah 2 diperoleh hasil siswa sebanyak SMP 22,86%, SMA sebanyak


Sama halnya seperti langkah 1, hanya sebagian kecil siswa yang mengalami kesulitan dalam

menyelesaikan langkah 2 ini. Hal ini menujukkan bahwa siswa masih mengalami kesulitan

dalam menyelesaikan langkah 2. Sehingga kita dapat menyimpulkan juga bahwa sebagian

kecil siswa mengalami kesulitan dalam menyelesaikan soal nomor 2.

Soal Nomor 3

Gambar 6. Limas segiempat

Perhatikan gambar disamping!, diketahui sebuah limas

persegi T.KLMN, dengan panjang rusuk alas 10 cm

dan tinggi limas TO = 12 cm. Jika S adalah titik tengah

dari rusuk TL (lihat gambar), volume limas S.KNT

adalah 100 cm3. Benar atau salah pernyataan ini?

Uraikan jawaban Anda! S

O

T

N M

L K


%

ISBN : 978 – 602 – 14432 – 2 – 4


217

Soal yang diberikan masih berkaitan kemampuan siswa dalam menganalisis

pernyataan-pernyataan dan memberikan alasan yang dapat mendukung atau bertolak

belakang. Terdapat dua langkah penyelesaian yang dianalisis, yaitu: (1) menentukan

volume limas T.KLMN, menunjukkan bahwa tinggi limas S.KLMN adalah setengah

dari limas T.KLMN, dan menentukan volume limas S.KLMN dan (2) menghitung

volume S.KNT yang merupakan setengah dari volume limas S.KNTM dan

menjustifikasi benar atau salah argumen pada soal. Berikut ini adalah contoh

jawaban siswa.

Gambar 7. Siswa tidak memahami maksud soal sehingga melakukan

kesalahan terhadap ide yang harus dimunculkan

Dari jawaban di atas, siswa memahami bahwa volume limas S.KNT = 1/3 x

luas alas x tinggi, namun melakukan kesalahan dalam mengidentifikasi tinggi.

Sehingga menyebabkan perhitungan aljabar menjadi salah.

Gambar 8. Siswa dapat memahami soal namun melakukan kesalahan

untuk beberapa konsep tertentu

Jawaban di atas menunjukkan bahwa siswa melakukan kesalahan dalam penggunaan

rusuk alas limas S.KNT dan tingginya. Siswa menentukan rusuk alas limas S.KNT

merupakan ½ dari sisi alas persegi dan tinggi limas S.KNT = tinggi limas T.KLMN.

Hal ini menyebabkan alasan penghitungan volume menjadi salah, meskipun

justifikasi argumen pada soal benar. Untuk lebih lengkapnya dapat dilihat di bawah

ini .



dialami siswa. Langkah 1 didapatkan bahwa siswa SMP sebanyak 100%, SMA sebanyak

97,56% dan STKIP sebanyak 93,88% tidak dapat menjawab langkah ini dengan benar. Jelas

terlihat bahwa hampir semua siswa tidak dapat menyelesaikan langkah 1 dengan benar,


%

ISBN : 978 – 602 – 14432 – 2 – 4


218

sehingga dapat disimpulkan respon mengalami kesulitan dalam menentukan volume limas

T.KLMN dan volume limas S.KLMN.

Untuk langkah 2 diperoleh hasil bahwa siswa SMP sebanyak 100%, SMA sebanyak

97,56% dan STKIP sebanyak 93,88% tidak dapat menyelesaikan langkah ini dengan benar.

Sama seperti pada langkah 1, hampir semua siswa tidak dapat menyelesaikan langkah

penyelesaian yang kedua ini dengan benar, sehinga dapat dikatakan bahwa siswa mengalami

kesulitan dalam menghitung volume S.KNT yang merupakan setengahnya bangun ruang

S.KNTM. Oleh karena itu siswa tidak dapat menjustifikasi benar atau salahnya argumen

pada soal. Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa baik siswa SMP, SMA maupun

STKIP mengalami kesulitan dalam menyelesaikan kasus yang berkaitan dalam memeriksa

pernyataan berkaitan dengan volume limas yan merupakan bagian dari limas yang lain.

Dari deskripsi soal nomor 2 siswa masih memiliki kesulitan dalam memeriksa

jawaban atau pendapat atas pernyataan yang berkaitan dengan jaring-jaring limas. Selain itu,

untuk nomor 3 siswa mengalami kesulitan dalam memeriksa pernyataan berkaitan dengan

volume limas yang merupakan bagian limas yang lain. Dengan demikian dapat disimpulkan

bahwa siswa mengalami kesulitan dalam menganalisis pernyataan-pernyataan dan

memberikan penjelasan/alasan yang dapat mendukung atau bertolak belakang.

3) Kemampuan dalam Mempertimbangkan Validitas dari Argumen yang

Menggunakan Berpikir Deduktif atau Induktif

Soal Nomor 4

Akbar membeli sebuah akuarium baru yang berbentuk limas dengan alas persegi

berukuran 3 m sedangkan tingginya 3

2 dari ukuran alas, seperti pada gambar di bawah

ini:

Gambar 8. Limas segiempat

Setiap pagi Akbar mengisi akuarium tersebut. Akbar mengisi akuarium tersebut 1m3 dan

air yang bocor sebanyak 250 dm3

dalam sehari semalam. Pada pagi yang keberapa

akuarium tersebut akan penuh? Bagaimanakah hubungan antara volume air yang

dimasukkan ke dalam akuarium, volume akuarium, dan volume air yang bocor dengan

jumlah hari?

Soal yang diberikan berkaitan dengan kemampuan siswa dalam

mempertimbangkan validitas dari argumen yang menggunakan berpikir deduktif atau

induktif. Terdapat tiga langkah penyelesaian yang dianalisis, yaitu: (1) menentukan

volume akuarium dengan alas 3m, (2) mengidentifikasi banyak air yang tersisa di

dalam akuarium selama sehari semalam dan mencari pola yang berkaitan dengan

banyaknya hari dan menentukan banyaknya hari untuk pengisian akuarium sampai

penuh, dan (3) membuat hubungan dalam persamaan antara jumlah hari dan banyak

air dengan volume akuarium dan volume air bocor. Berikut ini adalah contoh

jawaban-jawaban siswa

ISBN : 978 – 602 – 14432 – 2 – 4


219

Gambar 9. Siswa tidak dapat memahami soal sepenuhnya

Dari jawaban di atas, siswa salah memahami volume air yang tersisa di dalam

akuarium, seharusnya volume air yang tersisa = 1000dm3 – 250dm

3 = 750dm

3.

Dengan demikian, pola yang berkaitan untuk menentukan banyaknya menjadi salah.

Untuk selanjutnya, siswa juga tidak dapat menemukan konsep antara banyaknya hari,

volume akuarium dengan volume air yang bocor.

Gambar 10. Siswa tidak dapat membuat konsep hubungan dalam persamaan antara

banyak hari, volume akuarium, dan volume air yang bocor Jawaban di atas menunjukkan siswa dapat menentukan volume akuarium, mengidentifikasi

banyak air yang tersisa di dalam akuarium, memahami pola yang berkaitan dengan

banyaknya hari, dan dapat menentukan banyaknya hari pengisian akuarium sampai penuh.

Namun, siswa tidak dapat menemukan hubungan dalam persamaan antara jumlah hari dan

banyak air dengan volume akuarium dan volume air yang bocor. Untuk lebih lengkapnya

dapat dilihat pada tabel di bawah ini.





Terlihat bahwa sebagian besar siswa SMP dan STKIP tidak dapat menyelesaikan langkah

ini dengan benar namun untuk siswa SMA hanya sebagain kecil. Akan tetapi dapat dilihat

bahwa sebagian besar siswa tidak dapat menyelesaikan langkah ini dengan benar sehingga


%

ISBN : 978 – 602 – 14432 – 2 – 4


220

dapat dikatakan siswa mengalami kesulitan dalam menentukan volume akuarium dengan

ukuran alas 3 meter.

Untuk langkah 2 diperoleh hasil siswa SMP sebanyak 97,14%, SMA sebanyak


Terlihat bahwa sebagian besar siswa SMP dan STKIP tidak dapat menyelesaikan langkah

ini dengan benar namun untuk siswa SMA hanya sebagain kecil. Akan tetapi dapat dikatakan

bahwa sebagian besar siswa tidak dapat menyelesaikan langkah ini dengan benar sehingga

dapat dikatakan siswa mengalami kesulitan dalam mengidentifikasi banyak air yang tersisa

di dalam akuarium selama sehari semalam, mencari pola yang berkaitan dengan banyaknya

hari, menentukan banyaknya hari untuk pengisian akuarium sampai penuh.

Untuk langkah 3 diperoleh hasil siswa SMP sebanyak 100%, SMA sebanyak 100%,

dan STKIP sebanyak 97,96% tidak dapat menyelesaikan langkah ini dengan benar. Hal ini

menunjukkan bahwa siswa mengalami kesulitan dalam membuat hubungan dalam

persamaan antara jumlah hari dan banyak air dengan volume akuarium dan volume air yang

bocor. Berdasarkan kesulitan yang dialami dari langkah 1 sampai langkah 3, kita dapat

menyimpulkan bahwa siswa mengalami kesulitan dalam merancang pola suatu masalah

tertentu berdasarkan kondisi yang berkaitan dengan volume limas, kemudian dapat

menunjukkan bukti kebenaran dari jawaban yang diberikan.

Soal Nomor 5

Sebuah limas tegak T.ABCD alasnya berbentuk persegi panjang dengan panjang p cm

dan lebar l cm, sedangkan tinggi limas t cm. Jika alas limas tersebut diperpanjang 2 cm,

tunjukkan bahwa selisih volume limas antara sebelum dan sesudah rusuk alasnya

diperpanjang adalah 3

2 (pt + lt + 2t)!

Soal yang diberikan masih berkaitan dengan kemampuan mempertimbangkan

validitas dari argumen yang menggunakan berpikir deduktif atau induktif. Terdapat tiga

langkah penyelesaian yang dianalisis, yaitu: (1) menentukan volume awal limas dengan

panjang p, lebar l dan tinggi t, (2) menentukan luas alas limas setelah alasnya diperpanjang

p+2 dan l+2 dan menentukan volume limas setelah ukuran alas diperpanjang, dan (3)

membuktikan selisih volume limas sebelum dan setelah ukuran diperpanjang adalah

)2(3

2tltpt . Berikut ini contoh jawaban-jawaban siswa.

Gambar 11. Siswa tidak dapat memahami maksud soal

Dari jawaban di atas tampak bahwa siswa tidak mengerti apa yang harus dikerjakan

sehingga tidak ada ide yang muncul.

Gambar 12. Siswa dapat memahami dan menjawab soal, namun mengalami kekeliruan

dalam perhitungan aljabar

ISBN : 978 – 602 – 14432 – 2 – 4


221

Dari gambar 12 sebelah kiri terlihat bahwa siswa mampu memahami maksud soal dengan

baik dan dapat menentukan volume limas awal (sebelum alas mengalami perpanjangan) dan

volume limas setelah mengalami perpanjangan. Akan tetapi pada saat pemfaktoran

persamaan volume setelah alas diperpanjang terdapat kekeliruan yaitu

menjadi . Meskipun jawaban akhir siswa benar

tetapi dapat dilihat siswa memiliki kelemahan dalam penghitungan aljabar. Pada gambar 12

sebelah kanan siswa mampu menentukan volume limas awal dan volume limas setelah

alasnya di perpanjang, setelah itu siswa tidak melakukan penghitungan lebih lanjut. Hal ini

dapat disebabkan siswa bingung tentang bagaimana harus mencari seleisih dari kedua

persamaan tersebut. Untuk lebih lengkapnya dapat dilihat pada tabel di bawah ini.





Hal ini menunjukkan bahwa sebagian besar siswa SMP dan STKIP mengalami kesulitan

dalam menentukan volume awal limas dengan panjang p, lebar l dan tinggi t, sedangkan

siswa SMA hanya sebagian kecil. Akan tetapi, dapat dilihat bahwa sebagian besar siswa

tidak dapat menyelesaikan langkah ini dengan benar sehingga dapat dikatakan siswa

mengalami kesulitan dalam dalam menentukan volume awal limas dengan panjang p, lebar l

dan tinggi t.

Untuk langkah 2 diperoleh hasil siswa SMP sebanyak 100%, SMA sebanyak


Data tersebut menunjukkan bahwa sebagian besar siswa SMP dan STKIP mengalami

kesulitan dalam menentukan luas alas limas setelah alasnya diperpanjang p+2 dan l+2 dan

menentukan volume limas setelah ukuran alas diperpanjang, sedangkan siswa SMA hanya

sebagian kecil. Namun, dapat dikatakan bahwa sebagian besar siswa mengalami kesulitan

dalam dalam menentukan menentukan luas alas limas setelah alasnya diperpanjang p+2 dan

l+2 dan menentukan volume limas setelah ukuran alas diperpanjang.

Untuk langkah 3 diperoleh hasil siswa SMP sebanyak 100%, SMA sebanyak


Hal ini menunjukkan bahwa siswa mengalami kesulitan dalam menyelesaikan langkah ini.

Dari kesulitan-kesulitan tersebut dapat disimpulkan bahwa siswa mengalami kesulitan dalam

menunjukkan bukti kebenaran/ketidakbenaran tentang selisih volume limas sebelum dan

setelah mengalami perpanjangan, jika panjang rusuk dan alas mengalami perubahan.

Dari analisis soal nomor 4 ternyata siswa mengalami kesulitan dalam

mempertimbangkan validitas dari argumen yang menggunakan berpikir deduktif atau

induktif, demikian juga untuk soal nomor 5. Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa,


%

ISBN : 978 – 602 – 14432 – 2 – 4


222

siswa mengalami kesulitan dalam mempertimbangkan validitas dari argumen yang

menggunakan berpikir deduktif atau induktif.

4) Kemampuan dalam Menggunakan Data yang Mendukung untuk Menjelaskan

Mengapa Cara yang Digunakan serta Jawaban adalah Benar dan Memberikan

Penjelasan dengan Menggunakan Model, Fakta, Sifat-Sifat dan Hubungan.

Soal Nomor 6

Perhatikan gambar di bawah ini!

.

Gambar 13. Prisma segitiga

Soal yang diberikan berkaitan dengan kemampuan dalam menggunakan data yang

mendukung untuk menjelaskan mengapa cara yang digunakan serta jawaban adalah benar

dan memberikan penjelasan dengan menggunakan model, fakta, sifat-sifat dan hubungan.

Terdapat tiga langkah penyelesaian yang dianalisis, yaitu: (1) menunjukkan bahwa

volume limas L.ABC = limas A.KLM, (2) menunjukkan bahwa volume limas

L.AMK = volume limas L.ACM dan menentukan volume limas setelah ukuran alas

diperpanjang, dan (3) membuktikan bahwa volume limas L.ABC = volume limas

L.AMK = volume limas L.ACM. Berikut adalah contoh jawaban-jawaban siswa.

Gambar 14. Siswa tidak memahami maksud soal dan menyajikan jawaban salah

Dari jawaban di atas, terlihat bahwa siswa tidak memahami maksud soal

dengan baik karena tidak menjawab pertanyaan yang diminta dengan argumen

bahwa tidak ditunjukkan bahwa volume ketiga limas tersebut sama. Padahal dari

perintah sudah jelas diminta untuk menunjukkan bahwa ketiga limas L.ABC, limas

L.AKM, dan limas L.ACM memiliki volume yang sama.

Gambar 15. Siswa tidak dapat mendeksripsikan jawaban secara deduktif

K M

L

C

B

A

Sebuah prisma segitiga ABC.KLM dibagi

sedemikian rupa sehingga terbentuk 3 limas yaitu

limas L.ABC, limas L.AKM, dan limas L.ACM.

Tunjukkan bahwa ketiga volume limas tersebut

sama!

ISBN : 978 – 602 – 14432 – 2 – 4


223

Dari jawaban di atas terlihat siswa tidak dapat memberikan alasan-alan yang

cukup untuk menjelaskan ketiga gambar limas yang diberikan sehingga dapat diduga

bahwa siswa tidak dapat mendeskripsikan argumen secara deduktif.

Gambar 16. Siswa dapat mendeskripsikan jawaban namun argumen yang diberikan salah

Gambar 16 sebelah kiri memperlihatkan bahwa siswa memandang semua rusuk alas pada

ketiga limas adalah sama. Hal ini tidak dapat dibenarkan karena segitiga ABC segitiga

AKM segitiga ACM. Untuk limas L.ABC dan A.KLM seharusnya dapat melihat alas yang

sama adalah segitiga ABC dengan segitiga KLM. Dengan demikikan argumen yang

diberikan menjadi salah. Gambar 16 sebelah kanan menunjukkan siswa melakukan

kekeliruan dalam menunjukkan tinggi limas L.ABC, A.KLM dan L.ACM, dan juga tidak

mejelaskan alas-alas dari ketiga bangun limas tersebut. Dari sini dapat diduga siswa kurang

mampu mengidentifikasi usur-unsur limas dengan baik, sehingga menyebabkan argumen

yang diberikan menjadi salah. Tabel di bawah ini adalah hasil jawaban siswa.



dialami siswa. Langkah 1 diperoleh hasil siswa SMP sebanyak 100%, SMA sebanyak

90,24%, dan STKIP sebanyak 100% tidak dapat menyelesaikan langkah ini dengan benar.

Hal ini menunjukkan bahwa sebagian besar siswa SMP, SMA dan STKIP mengalami

kesulitan dalam menunjukkan bahwa volume limas L.ABC = limas A.KLM.

Untuk langkah 2, diperoleh hasil siswa SMP sebanyak 100%, SMA sebanyak 100%,

dan STKIP sebanyak 100% tidak dapat menyelesaikan langkah ini dengan benar. Hal ini

menunjukkan bahwa sebagian besar siswa mengalami kesulitan dalam menunjukkan bahwa

volume limas L.AMK = volume limas L.ACM.

Untuk langkah 3 diperoleh bahwa siswa SMP sebanyak 100%, SMA sebanyak

100%, dan STKIP sebanyak 100% tidak dapat menyelesaikan langkah ini dengan benar. Hal

ini menunjukkan siswa mengalami kesulitan dalam menunjukkan bahwa volume limas

L.ABC = volume limas L.AMK = volume limas L.ACM. Dari kesulitan-kesulitan ini dapat

disimpulkan bahwa siswa mengalami kesulitan dalam menyajikan alasan dari pernyataan


%

ISBN : 978 – 602 – 14432 – 2 – 4


224

tentang kesamaan volume dari tiga buah limas yang diberikan pada sebuah prisma. Hal ini

juga berarti bahwa siswa mengalami kesulitan dalam menggunakan data yang mendukung

untuk menjelaskan mengapa cara yang digunakan serta jawaban adalah benar, dan

memebrikan penejelasan dengan menggunakan model, fakta, sifat-sifat, dan hubungan.

SIMPULAN DAN SARAN Kesalahan jawaban siswa pada soal-soal di atas kebanyakan salah dalam

menentukan langkah-langkah pengerjaan sehingga berakibat pada jawaban yang dihasilkan

menjadi salah. Hal ini disebabkan siswa kurang terbiasa mengerjakan soal-soal penalaran

matematis, terlebih lagi untuk soal-soal bangun ruang seperti limas.

Tabel 10. Persentase Kesulitan Belajar Siswa pada Penalaran Matematis

Materi Luas dan Volume Limas

No. Soal Langkah Persentase Kesulitan (%)

Rata-rata Persentase

Kesulitan

SMP SMA STKIP Per-langkah Per-nomor

1 1 82,86 53,66 83,67 73,40

76,46 2 97,14 53,66 87,76 79,52

2 1 2,86 4,88 18,37 8,70

14,14 2 5,71 9,76 22,45 19,58

3 1 100,00 97,56 93,88 97,15

97,15 2 100,00 97,56 93,88 97,15

4

1 91,43 36,59 75,51 67,84

79,24 2 97,14 39,02 75,51 70,56

3 100,00 100,00 97,96 99,32

5

1 91,43 31,71 63,27 62,14

77,16 2 100,00 48,78 81,63 76,80

3 100,00 87,80 89,80 96,75

6

1 100,00 90,24 100,00 96,75

98,92 2 100,00 100,00 100,00 100,00

3 100,00 100,00 100,00 100,00

Rata-rata 85,71 63,25 79,32 76,10

Dari tabel di atas terlihat bahwa siswa baik siswa SMP, siswa SMA, maupun

mahasiswa masih memiliki kesulitan dalam mengerjakan soal-soal penalaran matematis

terkait luas dan volume limas. Rata-rata kesulitan yang dialami siswa dalam mengerjakan

soal-soal yang diberikan untuk tingkat SMP sebesar 85,71%, tingkat SMA sebesar 63,25%,

dan tingkat PT sebesar 79,32%. Persentase kesulitan belajar yang muncul ternyata masih

cukup besar. Rata-rata keseluruhan siswa yang mampu menjawab soal-soal penalaran

matematis berkaitan dengan luas dan volume limas dengan benar adalah sebesar 23,90%.

Dari pemaparan di atas dapat simpulkan bahwa siswa masih memiliki kesulitan

belajar dalam kemampuan penalaran matematis pada materi luas dan volume limas. Untuk

mengatasi kesulitan-kesulitan yang dialami oleh siswa kiranya perlu dikembangkan

metode/strategi/model pembelajaran atau bahan ajar yang dapat mengatasi kesulitan-

kesulitan dalam geometri terutama dalam materi luas permukaan dan volume limas.

ISBN : 978 – 602 – 14432 – 2 – 4


225

DAFTAR PUSTAKA

Brueckner, Cooney, dkk. (1975). Dynamics of Teaching Secondary School

Mathematics. Boston: Hougton Mifflin Company

Burger, W.F & Shaugnessy, J.M. (1986). Characterizing the van Hiele Levels of

Development in Geometry. Journal for Research in Mathematics Education,

Vol. 17, No.1. (Jan., 1986, pp. 31-48)

Halat, E. (2008). Reform-Based Curriculum and Motivation in Geometry. Eurasia

Journal of Mathematics, Science & Tecnology Education, 2008, 4(3), 285-

292

Herman, T. (2007). Pembelajaran Berbasis Masalah untuk Meningkatkan

Kemampuan Berpikir Matematis Tingkat Tinggi Siswa Sekolah Menengah

Pertama. Jurnal Educationist, Vol. 1 No.1 Januari 2007.

Natawijaya, R. (1991). Psikologi Pendidikan. Jakarta: Depdikbud

Rofingatun, S. (2006). Penggunaan Metode penemuan dalam Pembelajaran

Matematika untuk Meningkatkan Pemahaman Konsep Matematika Siswa

SMP. Skripsi UPI Bandung: tidak dipublikasikan

Sumarmo, U. (1987). Kemampuan Pemahaman dan Penalaran Matematis Siswa

SMA dikaitkan dengan Kemampuan Penalaran Logis Siswa dan Beberapa

Unsur Proses Belajar Mengajar. Disertasi PPs IKIP Bandung: tidak

dipublikasikan

Sutiarso, S.(2000). Problem Posing, Strategi Efektif Meningkatkan Aktivitas Siswa

dalam Pembelajaran Matematika. Makalah pada Seminar di Bandung: tidak

diterbitkan

Suwaji, U.T. (2008). Permasalahan Pembelajaran Geometri Ruang SMP dan

Alternatif Pemecahannya. P4TKM Yogyakarta: Depdiknas

Thompson, J. 2006. Assesing Mathematical Reasoning; An Action Research Project.

http://www.msu.edu/ thomp603/asses%20reasoning.pdf. diakses pada tanggal

13 Desember 2011.

http://www.msu.edu/

Analisis kesulitan belajara kemampuan penalaran matematis siswa smp pada limas

Education

Transcript of Analisis kesulitan belajara kemampuan penalaran matematis siswa smp pada limas