1. Soal

a. 𝑥2𝑦′′ + 2𝑥𝑦′ − 1 = 0 , 𝑥 > 0

Dimisalkan :

𝑣 = 𝑦′

𝑣′ = 𝑦′′

Maka, 𝑥2𝑦′′ + 2𝑥𝑦′ − 1 = 0 akan menjadi

𝑥2𝑣′ + 2𝑥𝑣 − 1 = 0

𝑥2𝑣′ + 2𝑥𝑣 = 1 ......(1)

Persamaan pertama masing-masing ruas dikalikan dengan (1

𝑥2)

Maka, persamaan pertama akan berubah

𝑣′ +2

𝑥𝑣 =

1

𝑥2 .......(2)

Bentuk umum dari persamaan diferensial ordo pertama adalah

𝑦′ + 𝑝(𝑥)𝑦 = 𝑔(𝑥)

Dimana :

𝜇(𝑥) = 𝑒∫𝑝(𝑥)𝑑𝑥 dan 𝑦 =1

𝜇(𝑥) [∫ 𝜇(𝑥) 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 + 𝑐]

Dari persamaan (2) diketahui :

𝑝(𝑥) =2

𝑥 dan 𝑔(𝑥) =

1

𝑥2

Sehingga

𝜇(𝑥) = 𝑒∫𝑝(𝑥)𝑑𝑥

= 𝑒∫𝑝(2𝑥)

= 𝑒2 ln𝑥2

𝜇(𝑥) = 𝑥2

𝑣 =1

𝜇(𝑥)[∫ 𝜇(𝑥) 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 + 𝑐]

=1

𝑥2 [∫ 𝑥2

1

𝑥2 𝑑𝑥 + 𝑐]

=1

𝑥2[∫𝑑𝑥 + 𝑐]

=1

𝑥2[∫ 𝑥 + 𝑐]

𝑣 =1

𝑥+𝑐

𝑥2

b. Subtitusikan nilai 𝑣 =1

𝑥+

𝑐

𝑥2 ke pemisahan awal, yaitu :

𝑣 = 𝑦′

𝑦 = ∫𝑣

= ∫ (1

𝑥+𝑐

𝑥2) 𝑑𝑥

= ln 𝑥 − 𝑥−1𝑐

Maka didapatkan persamaan umumsebagai berikut

𝑦 = ln 𝑥 −𝑐

𝑥

c. 𝑦′′ + (𝑦′)2 = 0

𝑑2𝑦

𝑑𝑥2+ 𝑥 (

𝑑𝑦

𝑑𝑥)2

= 0

Misalkan : 𝑣 =𝑑𝑦

𝑑𝑥 , maka :

𝑑2𝑦

𝑑𝑥2=𝑑

𝑑𝑥[𝑑𝑦

𝑑𝑥] =

𝑑𝑣

𝑑𝑥

=𝑑𝑦

𝑑𝑥

𝑑𝑣

𝑑𝑦

𝑑2𝑦

𝑑𝑥2= 𝑣

𝑑𝑣

𝑑𝑦

Sehingga persmaan pertama akan menjadi

𝑣𝑑𝑣

𝑑𝑦+ 𝑥 𝑣2 = 0

Kalikan masing-masing ruas dengan (1

𝑥) , maka :

𝑣

𝑥

𝑑𝑣

𝑑𝑦+ 𝑣2 = 0

atau

𝑣2 +1

𝑥 𝑣𝑑𝑣

𝑑𝑦= 0

𝑣 [𝑣 +1

𝑥

𝑑𝑣

𝑑𝑦] = 0 ..........(2)

Persamaan kedua merupakan bentuk umum dari persmaan linear yang penyelesaiannya adalah

𝑣 = 0

dan

𝑣 +1

𝑥

𝑑𝑣

𝑑𝑦= 0 dikalikan dengan (𝑥)

𝑥𝑣 +𝑑𝑣

𝑑𝑦= 0

𝑑𝑣

𝑑𝑦= −𝑥𝑣

𝑑𝑣

𝑣= −𝑥 𝑑𝑦

∫1

𝑣 𝑑𝑣 = − ∫𝑥(𝑦) 𝑑𝑦

ln 𝑣 = −1

2𝑥(𝑦)2 + 𝑐

𝑒ln 𝑣 = 𝑒−12𝑥(𝑦)2+𝑐

𝑣 = 𝑒−12𝑥(𝑦)2+𝑐

dengan pemisalan awal 𝑣 =𝑑𝑦

𝑑𝑥 , maka :

𝑣 = 0 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 0 ∫𝑑𝑦 = ∫ 0 𝑑𝑥

𝑦 = 𝑐

𝑣 = 𝑒−1

2𝑥(𝑦)2+𝑐

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑒−

12𝑥(𝑦)2+𝑐1

𝑑𝑦 = 𝑒−12𝑥(𝑦)2+𝑐1

𝑦 = ∫𝑒−12𝑥(𝑦)2 𝑒𝑐1𝑑𝑥

𝑦 = 𝑒𝑐1 (−2 𝑒12𝑥(𝑦)2)

𝑦 = −2 𝑒1

2𝑥(𝑦)2+𝑐1

2. Soal

𝑦′′ − 𝑦 = 0 ; 𝑦1(𝑥) = 𝑒𝑥 dan 𝑦2 (𝑥) = 𝑒

−𝑥

𝑦1(𝑥) = sinh 𝑥

=1

2 (𝑒𝑥 − 𝑒−𝑥)

dan 𝑦2(𝑥) = cosh 𝑥

=1

2 (𝑒2 + 𝑒−𝑥)

Pembuktiannya

Untuk ; 𝑦1(𝑥) = 𝑒𝑥

𝑦 = 𝑒𝑥

𝑦′ = 𝑒𝑥

𝑦′′ = 𝑒𝑥}

𝑦′′ − 𝑦 = 0

𝑒𝑥 − 𝑒𝑥 = 0 (terbukti)

Untuk ; 𝑦2 (𝑥) = 𝑒−𝑥

𝑦 = 𝑒−𝑥

𝑦′ = −𝑒−𝑥

𝑦′′ = 𝑒−𝑥}

𝑦′′ − 𝑦 = 0

𝑒−𝑥 − 𝑒−𝑥 = 0 (terbukti)

Sehingga terbukti bahwa 𝑦1(𝑥) = 𝑒𝑥 dan 𝑦2(𝑥) = 𝑒

−𝑥 merupakan jawaban dari 𝑦′′ − 𝑦 = 0

Untuk : 𝑦1(𝑥) = sinh 𝑥 =1

2 (𝑒𝑥 − 𝑒−𝑥)

𝑦 =1

2 (𝑒𝑥 − 𝑒−𝑥)

𝑦′ =1

2 (𝑒𝑥 + 𝑒−𝑥)

𝑦′′ =1

2 (𝑒𝑥 − 𝑒−𝑥)}

𝑦′′ − 𝑦 = 0

(𝑒𝑥 − 𝑒−𝑥) −1

2 (𝑒𝑥 − 𝑒−𝑥) = 0 (terbukti)

Untuk ; 𝑦2(𝑥) = cosh 𝑥 =1

2 (𝑒𝑥 + 𝑒−𝑥)

𝑦 =1

2 (𝑒𝑥 + 𝑒−𝑥)

𝑦′ =1

2 (𝑒𝑥 − 𝑒−𝑥)

𝑦′′ =1

2 (𝑒𝑥 + 𝑒−𝑥)}

𝑦′′ − 𝑦 = 0

(𝑒𝑥 + 𝑒−𝑥) − (𝑒𝑥 + 𝑒−𝑥) = 0 (terbukti)

Seingga terbukti bahwa 𝑦1(𝑥) = sinh 𝑥 =1

2 (𝑒𝑥 − 𝑒−𝑥) dan 𝑦2(𝑥) = cosh 𝑥 =

1

2 (𝑒𝑥 + 𝑒−𝑥)

merupakan jawabn dari 𝑦′′ − 𝑦 = 0.

3. Carilah wronskian dari pasangan fungsi-fungsi berikut

d. 𝑒𝑥 sin 𝑥 , 𝑒𝑥 cos 𝑥

Penyelesaian :

𝑦1 = 𝑒𝑥 sin 𝑥

𝑦1′ = 𝑒𝑥 sin 𝑥 + 𝑒𝑥 cos 𝑥

= 𝑒𝑥(sin 𝑥 + cos 𝑥)

𝑦2 = 𝑒𝑥 cos 𝑥

𝑦2′ = 𝑒𝑥 cos 𝑥 − 𝑒𝑥 sin 𝑥

= 𝑒𝑥(cos 𝑥 − sin 𝑥)

𝑊(𝑦1, 𝑦2) = |𝑦1 𝑦2𝑦1′ 𝑦2

′ | = 𝑦1 𝑦2′ − 𝑦2 𝑦1

′

𝑊(𝑒𝑥 sin 𝑥 , 𝑒𝑥 cos 𝑥) = |𝑒𝑥 sin 𝑥 𝑒𝑥 cos 𝑥

𝑒𝑥(sin 𝑥 + cos 𝑥) 𝑒𝑥(cos 𝑥 − sin 𝑥)|

= 𝑒𝑥 sin 𝑥 𝑒𝑥(cos 𝑥 − sin 𝑥) − 𝑒𝑥 cos 𝑥 𝑒𝑥(sin 𝑥 + cos 𝑥)

= −𝑒2𝑥 sin 𝑥 cos 𝑥 − 𝑒2𝑥 sin2 𝑥 − 𝑒2𝑥 sin 𝑥 cos 𝑥 − 𝑒2𝑥 cos2 𝑥

= −𝑒−2𝑥 sin2 𝑥 − 𝑒2𝑥 cos2 𝑥

= 𝑒−2𝑥(sin2 𝑥 + cos2 𝑥)

= 𝑒−2𝑥

c. 𝑥 , 𝑥𝑒𝑥

𝑦1 = 𝑥 𝑦1′ = 1

𝑦2 = 𝑥𝑒𝑥

𝑦2′ = 𝑒𝑥 + 𝑥𝑒𝑥

𝑊(𝑦1 , 𝑦2) = |𝑦1 𝑦2𝑦1′ 𝑦2

′ | = 𝑦1 𝑦2′ − 𝑦2 𝑦1

′

= 𝑥(𝑒𝑥 + 𝑥𝑒𝑥) − 𝑥𝑒𝑥(1)

= 𝑥𝑒2 + 𝑥2𝑒𝑥 − 𝑥𝑒𝑥

= 𝑥2𝑒𝑥

5. 𝑥2𝑦′′+ 3𝑥𝑦′ + 𝑦 = 0 , 𝑥 > 0 , 𝑦1(𝑥) = 𝑥

−1

Penyelesaian :

𝑦1 = 𝑥−1

𝑦1′ = −𝑥−2

𝑦2′ = 2𝑥−3

Jadi :

𝑥2𝑦′′ + 3𝑥𝑦′ + 𝑦 = 0

𝑥2(2𝑥−3) + 3𝑥 (−𝑥−2) + 𝑥−1 = 0

2𝑥−1 − 3𝑥−1 + 𝑥−2 = 0

Untuk mencari jawaban kedua maka, akan dimisalkan

𝑦2(𝑥) = 𝑦1(𝑥) 𝑣(𝑥) = 𝑥−1 𝑣(𝑥)

𝑦 = 𝑢𝑣

𝑦′ = 𝑢′𝑣 + 𝑣′𝑢

Jadi;

𝑦2′ = 𝑥−1 𝑣′ − 𝑥−2 𝑣

𝑦2′′ = 𝑥−1 𝑣′′𝑥−2𝑣′ − 𝑥−2𝑣′ + 2𝑥−3 𝑣

= 𝑥−1𝑣′′ − 2𝑥−2 𝑣′ + 2𝑥−3 𝑣

Maka ;

𝑥2𝑦′′ + 3𝑥𝑦′ + 𝑦 = 0

𝑥2(𝑥−1𝑣′′ − 2𝑥−2𝑣′ + 2𝑥−3) + 3𝑥 (𝑥−1 𝑣′ − 𝑥−2 𝑣) + 𝑥−1𝑣 = 0

𝑥𝑣′′ − 2𝑣′ + 2𝑥−1𝑣 + 3𝑣′ − 3𝑥−1 + 𝑥−1𝑣 = 0

𝑥𝑣′′ + 𝑣′ = 0

Jika dikalikan masing masing ruas dengan (1

𝑥) maka hasilnya menjadi

𝑣′′ +1

𝑥𝑣′ = 0

.......(2)

Misalkan : 𝑢 = 𝑣′

𝑢′ = 𝑣′′

Sehingga persamaan kedua menjadi;

𝑢′ +1

𝑥𝑢 = 0

Dimana : 𝑝(𝑥) =1

𝑥 dan 𝑔(𝑥) = 0

𝜇(𝑥) = 𝑒∫𝑝(𝑥)𝑑𝑥

= 𝑒∫1𝑥𝑑𝑥

= 𝑒ln 𝑥

= 𝑥

𝑢 =1

𝜇(𝑥)[∫𝜇(𝑥) 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 + 𝑐]

=1

𝑥 [∫

1

𝑥 (0)𝑑𝑥 + 𝑐]

=1

𝑥 [𝑐 + 𝑐]

=2𝑐

𝑥

Dengan pemisahan awal bahwa ;

𝑢 = 𝑣′

Jadi,

𝑣 = ∫𝑢 𝑑𝑥

= ∫2𝑐

𝑥 𝑑𝑥

𝑣 = 2𝑐1 ln 𝑥 + 𝑐2

Dimana,

𝑦2(𝑥) = 𝑦1(𝑥) 𝑣(𝑥)

sehingga

𝑦2(𝑥) = 𝑥−1(2𝑐1 ln 𝑥 + 𝑐2)

=2𝑐1𝑥ln 𝑥 +

𝑐2𝑥

6. 𝑦′′ + 4𝑦′ + 5𝑦 = 0 , 𝑦(0) = 1 , 𝑦′(0) = 0

Penyelesaian :

Telah diketahui bahwa 𝑏2 − 4𝑎𝑐 < 0 , maka akar-akanr dari 𝑟1 dan 𝑟2 , merupakan bilangan

kompleks, dimana :

𝑦′′ + 4𝑦′ + 5𝑦 = 0

𝑟2 + 4𝑟 + 5 = 0

𝑎 = 1 , 𝑏 = 4 , 𝑐 = 5

𝑟1,2 = −𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎= −4 ± √16 − 4(1)5

2(1)

= −4 ± √16 − 20

2

= −4 ± √−4

2

= −4 ± 2𝑖

2

𝑟1 = −2 + 𝑖

𝑟1 = −2 − 𝑖

Sehingga solusi umumnya adalah

𝑦 = 𝑒𝑖𝑥 (𝑐1 cos 𝜇𝑥 + 𝑐2 sin 𝜇(𝑥))

= 𝑒−2𝑥(−𝑐1 cos 𝑥 + 𝑐2 sin 𝑥)

Untuk memenuhi kondisi awal, dimana 𝑥 = 0 𝑦(0) = 1 dan 𝑦′(0) = 0 , maka solusi tersebut

akan menjadi :

𝑦(0) = 1 = 𝑒−2(0) (𝑐1 cos 0 + 𝑐2 sin 0)

1 = 𝑒0 (𝑐1 + 0)

1 = 𝑐1

𝑦′(0) = 0 = 𝑒−2(0)(−𝑐1 sin 0 + 𝑐2 cos 0) − 2𝑒2(0)(𝑐1 cos 0 + 𝑐2 sin 0)

0 = 𝑒0 (0 + 𝑐2) − 2𝑒0(𝑐1 + 0)

0 = 𝑐2 − 2𝑐1

𝑐2 = 2𝑐1

𝑐2 = 2(1)

𝑐2 = 2

Jadi solusi khususnya adalah

𝑦 = 𝑒−2𝑥(cos 𝑥 + 2 sin 𝑥)