ANALISA STRUKTUR LANJUTAN
-
Upload
ariecivil071528 -
Category
Documents
-
view
572 -
download
5
Transcript of ANALISA STRUKTUR LANJUTAN
Prof. Dr.Ing.Johannes Tarigan Semester B
DEPARTEMEN TEKNIK SIPIL FT USU
ANALISA STRUKTUR LANJUTANPROF DR.-ING JOHANNES TARIGAN
Analisa Struktur Lanjutan
1
Prof. Dr.Ing.Johannes Tarigan Semester B
Bab 1: Pendahuluan 1.1 Pengenalan Torsi Dalam analisa struktur selain Momen, Gaya Lintang dan Normal, maka Torsi akan menjadi salah satu yang menentukan dalam disain struktur bangunan. Dalam buku ini akan dibahas khusus hanya Torsi saja. Torsi pasti akan terjadi pada konstruksi portal tiga dimensi atau pada konstruksi grid. Untuk itu dalam buku ini akan dipaparkan bagaimana perletakan Torsi, Bidang torsi, sudut puntir akibat torsi dan tegangan torsi. Tegangan torsi secara umum dibagi 3 yakni sbb: 1. Tampang tebal, seperti tampang Lingkaran, persegi, segitiga.
2. Tampang tipis terbuka, seperti profil I, WF, canal, dll
3. Tampang tipis tertutup, seperti tampang hollow, box, dll
Dalam buku ini akan dibahas tentang tegangan torsi untuk ketiga jenis tampang ini. 1.2 Sistem Koordinat Dalam perhitungan di buku ini system koordinat searah sumbu batang secara umum dinamakan sumbu Z sedangkan kearah lainnya adalah sumbu X dan Y. Sedangkan untuk perpindahan (displacement) searah sumbu X adalah u dan searah sumbu Y, Z adalah v, w.
X u Y Z v w
Analisa Struktur Lanjutan
2
Prof. Dr.Ing.Johannes Tarigan Semester B
Untuk perputaran sudut dengan sumbu putar x, y dan z adalah , dan . Khusus torsi putaran sudut yang diakibatkan Torsi disebut juga sudut puntir (twist) . 1.3 Perletakan Torsi Pada jenis perletakan tanpa torsi dikenal dengan rol lihat gambar 1 dimana Y = 0 yang berarti pada perletakan tidak diperbolehkan bergerak kearah sb y sedangkan kesumbu x boleh.Y
Z 0
Gambar 1 : perletakan rol
Kemudian perletakan selanjutnya adalah sendi yang dapat dilihat digambar 2 dimana X = 0 dan Z = 0 yang berarti pada perletakan tidak diperbolehkan bergerak ke sumbu x dan sb y.YY
Z 0
Z
Gambar 2: perletakan sendi
Gambar 3: perletakan jepit
Pada gambar 3 perletakan jepit berlaku X = 0 , Z = 0 dan = 0 yang berarti pada perletakan tidak diperbolehkan bergerak kearah sb x dan sb y, demikian juga perputaran sudut pada perletakan sama dengan nol
Khusus pada torsi maka diadakan simbol perletakan seperti pada gambar 4 yang mana pada perletakan jeit torsi ataupun sudut puntir = 0 dan gambar 5 adalah perletakan yang bebas Torsi.
Analisa Struktur Lanjutan
3
Prof. Dr.Ing.Johannes Tarigan Semester B
YY
Z Gambar 4 : perletakan jepit pada torsiGambar 5
Z:Perletakan bebas pada torsi
I.3. Penggambaran bidang Torsi
Momen torsi terpusat Mt dapat dibuat dengan simbol seperti pada gambar 6, yakni Momen Torsi dengan dua tanda panah dapat dibuat dengan seperti 1 tanda panah dengan rotasi 90 derajat dengan menambah 1 garis ditengah tanda panah tersebut. Sedangkan untuk momen Torsi terbagi rata mt dapat dibuat seperti gambar 7.
Mt
Mt
Mt
L G ambar 6: Torsi terpusat
Gambar 7 Torsi terbagi rata
Dalam penggambaran bidang torsi dapat dilakukan sama seperti menggambarkan gaya lintang seperti pada gambar 8 a , b dan c. ` aL MT c b MT
LMT
L +
-
-
Analisa Struktur Lanjutan
4
Prof. Dr.Ing.Johannes Tarigan Semester B
mT
A+
B
Gambar 8 : a. Bidang Torsi Terpusat pada overhang, b. Bidang Torsi Terpusat pada balok diatas 2 perletakan dan c. Bidang Torsi terbagi rata pada balok.
` Penggambaran tanda bidang momen sama seperti menutup dan membuka skrup. Kalau arah Momen Torsi kearah menutup maka digambarkan negatif dan kalau kearah membuka maka digambar positif.I.4. Analogi antara Torsi dengan Normal
Pada Tabel 1 dapat dilihat analogi antara Torsi dan Normal seperti pada Hukum Hooke yang mana regangan adalah N = EF dimana regangan sangat tergantung kepada Normal. Sedangkan regangan geser adalah M = T GJ T dan regangan geser sangat tergantung kepada Torsi.
Analisa Struktur Lanjutan
5
Prof. Dr.Ing.Johannes Tarigan Semester B
Normal Elemen dengan Gaya N n N+dN Mt
Torsi mt Mt +dMt
dz
dz
Persyaratan keseimbangan
dN = n dzw+dwdz dw
dMt = mT dz
Deformasi pada ele- w men
dz
+d
dw N = = dz EFDeformasi pada batang dw = dw =
M d == T dz GJ T
N dz + c EF
==
MT dz + c GJ T
N z = .z EF
MT z = .z GJ T
Tabel 1: Analogi antara Normal dan Torsi.
Analisa Struktur Lanjutan
6
Prof. Dr.Ing.Johannes Tarigan Semester B
BAB II: TORSI PADA TAMPANG BULAT
II.1 Umum Suatu tampang bulat jika mengalami Torsi permukaan tampang tidak berubah bentuk seperti gambar dibawah. Tidak berubah bentuk dalam arti kata bahwa tampang mempunyai luas dan bentuk yang sama baik sebelum dan sesudah terjadi Torsi. Ada istilah yang digunakan dalam Torsi yakni tidak terjadi Warping (perubahan bentuk pada tampang).
Gambar II.1 :Torsi pada tampang bulat.
II.2.
Menghitung Inertia Polar, Tegangan geser dan sudut puntir akibat Momen Torsi
Untuk menghitung Inertia Polar (centroidal polar momen of Inertia), dapat dilihat ilustrasi dari gambar II.1 dimana ada Momen Torsi bekerja sebesar Mt. Maka berlaku persamaan sbb:Mt dA
MT = . dv
r
Dimana dv = . dA dv = Tegangan Torsi seluas da. dA = Luas = tegangan geser
: jarak dari pusat lingkaran ke titik tertentu r : radius
Gambar II.1 : penampang bulat mengalami Torsi.
Analisa Struktur Lanjutan
7
Prof. Dr.Ing.Johannes Tarigan Semester B
Maka
MT = . . dA
Untuk mendapat hubungan regangan geser ( ) dan sudut puntir () maka dapat dilihat digambar II. 2. Maka berlaku persamaanmax.L
=r.
L max.
max. =
r. Lmax.
r
r =
. r = . max. = max. . r
Gambar II. 2 : hubungan antara sudut puntir dengan regangan geser Dari Hukum Hooke berlaku persamaan = G . = G . max. .
r
MT = .G. max MT = Gmax Dimana J =
r
. dA
2r
dA =
maxr
2
dA =
maxr
J
1 r 4 2
adalah Inertia Polar untuk tampang bulat.
= 2 . dA = x2 . dA + y2 . dA= Ix + Iy = Ix + Iy= 1 r4 + 1 r4 4 4 8
Hanya untuk tampang bulat (lingkaran)
Analisa Struktur Lanjutan
Prof. Dr.Ing.Johannes Tarigan Semester B
=
1 r4 2
Sedangkan tegangan geser didapatmax = MT .r
max =
r. L sedangkan,
max =
MT . r
maxmaka :
= G . max = G. r. L MT =G. L
dari persamaan diatas didapat sudut puntir (angle of twist)MT . L
= Kesimpulan :
G.
- Tampang lingkaran : = r4
max
=
MT . r
MT
MT . L = G.
max
Gambar tegangan geser akibat momen torsi dapat dilihat di gambar II.3.
max
max
a
b
c
Gambar II. 3 : a.diagram tegangan pada tampang bulat, b. Trayektori tegangan dan c. Tampang yang tidak mengalami warpingAnalisa Struktur Lanjutan 9
Prof. Dr.Ing.Johannes Tarigan Semester B
Inertia Torsi tampang Ring
JT =
32
(D 4 d 4 )
d D
Contoh soal :
L=2m A P=2t C B
L1=1.5 m
Ditanya: a. Tentukan Bidang Torsi pada AB b. Tentukan sudut puntir pada titik B, jika batang AB adalah tampang bulat dengan r = 15 cm dan E=26000 MN/m2, =0.2 c. Hitunglah lendutan pada titik C d. Hitunglah tegangan yang terjadi akibat torsi pada batang AB, kemudian hitunglah tegangan maximum akibat Torsi dan Gaya Lintang Jawab: a.A Mt=3tm B
Bidang Torsi
3tm
Analisa Struktur Lanjutan
10
Prof. Dr.Ing.Johannes Tarigan Semester B
b. sudut puntir =
MtL GJ
Mt = 3 t m= 300.000 kgcm= 3.000.000 Ncm L = 2 m = 200 cm J = r4 = 79481.25 cm4G= E =10833.33 MN/m2 = 10833.33 x 1000000/10000 =1083333.33 N/cm2 2(1 + ) 360 0 = 0,3990 2
Maka = 0,006968 radial = 0,006968 *
c.
3 PL1 Lendutan pada titik C jika pada B di jepit 1 = 3EI
P= 2 ton = 2000 kg=20.000 N L1= 1,5 m =150 cm E=26.000 MN/m2= 2.600.000 N/cm I = r4= 39740.625 cm4
1 = 0,218 cmLendutan pada titik c jika dilepas P= 2 ton = 2000 kg=20.000 N L2= 2 m =200 cm E=26.000 MN/m2= 2.600.000 N/cm I = r4= 39740.625 cm4
2 =
PL3 3EI
2 = 0.516 cmLendutan akibat adanya Torsi
3 = L1 * tg = 150*0,006968=1.0452 cmDengan demikian lendutan dititik c adalah = 1 + 2 + 3 = 1.7792 cm
Analisa Struktur Lanjutan
11
Prof. Dr.Ing.Johannes Tarigan Semester B
e. Tegangan Torsi ZX = ZY =
Mt 3000000 r = 15 =566,17 N/cm2 J 79481.25
ZY = 566,17 N / cm 2
ZX = 566,17 N / cm 2
Akibat Gaya Lintang ZY =
2 4 Q a 1 3 r 2 r
ZY max(a =0) =
N 4 Q 4 20000 = =37,745 2 3 A 3 15 cm 2
ZY = 37,745
N cm 2
Maka tegangan geser ZY = ZY (torsi ) ZY (L int ang ) =603,915
N cm 2
Analisa Struktur Lanjutan
12
Prof. Dr.Ing.Johannes Tarigan Semester B
BAB III Persamaan pada TorsiIII.1 Fungsi Torsi
Fungsi torsi gunanya adalah untuk dapat menghitung tegangan pada tampang tebal, tampang tipis tertutup dan terbuka. Untuk menentukan fungsi torsi digunakan persamaan keseimbangan pada elemen tiga dimensi seperti gambar III.1.Z
z zy yzZ
zx = xzX
zxY
zy = yz yx = xy
xz x
y
yx xy
y X
Gambar III.1:keseimbangan tegangan pada sebuah elemen
Dari gambar III.1 diseberangnya secara keseluruhan terdapat pada sumbu x ada tegangan x + x, xz+xz dan xy+xy, demikian pada seberang arah sumbu y ada y + y, yz+yz dan yx+yx dan pada arah sumbu z ada z + z, zy+zy dan zx + zy Dengan merubah tegangan menjadi gaya dimana gaya adalah tegangan dikali luas, maka dengan membuat persamaan keseimbangan gaya kearah diperoleh sbb: X = 0( X + X X ).y.z + ( ZX + ZX ZX ).y.x + ( YX + YX XY ).x.z X .x.y.z = 0
X, Y dan Z maka
Analisa Struktur Lanjutan
13
Prof. Dr.Ing.Johannes Tarigan Semester B
X ZX YX + + +X =0 X Z yY = 0( Y + Y Y ).x.z + ( ZY + ZY ZY ).x.y + ( XY + XY XY ).z.y Y .x.y.z = 0
Y ZY XY + + +Y = 0 Y Z XZ = 0( Z + Z Z ).x.y + ( YZ + YZ YZ ).x.z + ( XZ + XZ XZ ).y.z X .x.y.z = 0
Z YZ XZ + + +Z =0 Z Y XBerdasarkan teori St. Venannt bahwa jika ada torsi maka yang tegangan yang bekerja adalah zx dan zy saja. Maka x = y = z = xy = 0, zx = xz , zy = yz , yx = xy dan X=Y=Z=0
ZX = 0 .........................................( a ) Z ZY =0 Z..( b )
ZY ZY + =0 Y X
..( c )
Dengan persamaan cauchy.
ZX =
( x, y ) y ( x, y ) x
ZY =
Memenuhi persamaan c.
Analisa Struktur Lanjutan
14
Prof. Dr.Ing.Johannes Tarigan Semester B
Dari hukum Hooke diketahui
X = Y = Z =
u 1 = [ X ( Y + Z )] x E v 1 = [ Y ( Z + X )] y E w 1 = [ Z ( X + Y )] x Eu y XY + = y x G u w ZX + = z x G
XY = ZX =
ZY =
v w ZY + = z y G
Khusus Torsi :
X = Y = Z = 0 XY = 0 u w ZX = G + z x y w ZY = G + z y
Lihat gambar dibawah :Y,v i
- ui i vi ri ri yi
X,u xi Analisa Struktur Lanjutan 15
Prof. Dr.Ing.Johannes Tarigan Semester B
u i y i ri .i = = vi xi ri
y ( x, z ) = x. ( z )u ( y, z ) = y. ( z )Dari
w =0 z
maka w (x,y,z) = . (x,y) dimana (x,y) = fungsi Warping
maka :
u w ZX = G + z x
dimana
u ( y, z ) = y. ( z ) dan w (x,y,z) = . (x,y)
= (regangan sama dengan turunan pertama sudut puntir)
ZX = G y. ' + '
( x, y ) ' = G x y x
ZX = G ' 1 y x.y 2 = G ' 1 2 y x.y v w ZY = G + z y
dimana
ZX =
y
dimana v = x . (z) dan w = (x,y) = . (x,y)
ZY = G x. ' + ' = G ' x + y y ' = G x. ' + ' = G x + y x y 2 = G ' 1 + 2 x x.y
dimana ZY =
x
Persamaan (1) dan persamaan (2) dikurangkan :
Analisa Struktur Lanjutan
16
Prof. Dr.Ing.Johannes Tarigan Semester B
2 = G ' 1 + 2 x.y y 2 = G ' 1 + 2 x x.y -
2 2 + 2 = 2G ' 2 x y
fungsi torsi disebut fungsi Torsi.
III. 2. Soap Film Analogi
Berdasarkan teori Prandl bahwa persamaan membran/soap film analogi (persamaan kulit sabun). Dimana jika ada gaya p(x,y) seperti gambar dibawah maka akan terjadi perpindahan sebesar w.P (x,y) H H
w
Z
X dy dx
Y Analisa Struktur Lanjutan 17
Prof. Dr.Ing.Johannes Tarigan Semester B
Dari teori Prandl maka persamaan perpindahan adalah
P 2w 2w + 2 = 2 H x y
Penyelesaian persamaan ini dapat diselesaikan dengan deret forrier.
III.3 Fungsi torsi pada Tampang empat persegi.
s s
t
t
Fungsi perpindahan untuk tampang membran persegi dengan ukuran 2s x 2t menurut [Thimosenko and Goodier,1986] adalah:
w=
n n =1, 3, 5,.......
b
cos
nx Yn 2t
dimana bn adalah bilangan konstanta, sedangkan Yn adalah fungsi y. n nx w = bn sin Yn 2t x n =1, 3, 5.... 2t
2w n 2 2 nx = bn cos Yn 2 2 2t x 4t n =1, 3, 5...
Sedangkan nx ' w = bn cos Yn 2t y n =1,3,5.... nx '' 2w = bn cos Yn 2 2t y n =1, 3, 5...
Analisa Struktur Lanjutan
18
Prof. Dr.Ing.Johannes Tarigan Semester B
Sedangkan
P P 4 ( 1)( n1) / 2 cos nx = H 2t n =1, 3, 5.. H n
Maka diperoleh
n =1, 3, 5...
bn
nx '' P 4 n 2 2 nx ( 1)( n1) / 2 cos nx Yn = cos Yn + bn cos 2 2t 2t 2t 4t n =1, 3, 5... n =1, 3, 5.. H n nx '' P 4 n 2 2 nx ( 1)( n1) / 2 cos nx Yn bn cos Yn = 2 2t 2t 2t 4t n =1, 3, 5.. H n n =1, 3, 5...
n =1, 3, 5...
bn cos
Yn''
P 4 n 2 2 ( 1)( n1) / 2 Yn = 2 H bn n 4t
Penyelesaian umum adalah
Yn = A sinh
ny 16 Pt 2 ny + B cosh + (1) ( n 1) / 2 3 3 2t 2t Hn bn
Jika penampang simetri maka A = 0.
Yn = B cosh
ny 16 Pt 2 + (1) ( n 1) / 2 2t Hn 3 3 bn ns 16 Pt 2 0 = B cosh + (1) ( n 1) / 2 3 3 2t Hn bn
Untuk
( Yn ) y = s
= 0 maka
ny cosh 2t 16 Pt (1) ( n 1) / 2 1 Yn = 3 3 Hn bn cosh ns 2t 2
Maka dengan dapatnya Yn maka persamaan lendutan membran pada tampang persegi akan menjadi ny cosh 2t nx 16 Pt (1) ( n 1) / 2 1 w = bn cos 3 3 2t Hn bn n =1, 3, 5,....... cosh ns 2t 2
Analisa Struktur Lanjutan
19
Prof. Dr.Ing.Johannes Tarigan Semester B
ny cosh 2t 16 Pt 1 nx w= cos ,....... n 3 (1) ( n1) / 2 1 3 2t H n =1,3,5 cosh ns 2t 2
Dihubungkan dengan persamaan Torsi diatas maka menyelesaikan persamaan torsi digunakanlah teori membran berdasarkan Prandl. Maka hubungan antara w dengan fungsi torsi dapat dikatakan setara seperti ditunjukan ditabel dibawah.
Apabila fungsi diketahui maka akan dapat dicari tegangan, dimana tegangan geser
sama dengan turunan pertama dari fungsi Torsi.Prandl W Syarat batas W = 0 (sisi luas) Torsi Syarat batas = 0 (sisi luas)
w yw x
= ZX y = ZY y
Dengan menggunakan rumus perpindahan (displacement pada membran pada teori soap film analogi maka didapat hubungan antara pada tampang persegi akan didapat 32Gt 2 ny cosh 2t 1 nx cos ,....... n 3 (1) ( n1) / 2 1 2t n =1, 3, 5 cosh ns 2t
P = 2G , maka fungsi torsi H
=
3
Analisa Struktur Lanjutan
20
Prof. Dr.Ing.Johannes Tarigan Semester B
III. 4 Hubungan antara Momen Torsi dan Fungsi TorsiY x zy z zx y X
M T = ( ZY . y ZX .x)dF M T = (
y .x)dF = y.dx.dy x.dx.dy x y x y
Integral Partial :Xr
Xl
y xdx = .x .1.dxY
XL
XR X
y x.dx.dy = .x.dy .dx.dy y x.dx.dy = .dx.dyanalog :
pada xr dan xl (sisi luar), maka = 0
x x.dx.dy = .dx.dy
maka
M T = 2 .dx.dy = 2 .dA
Analisa Struktur Lanjutan
21
Prof. Dr.Ing.Johannes Tarigan Semester B
Hubungan momen torsi dengan fungsi Torsi adalah sbb Mt = 2 dA
Dari persamaan tersebut diatas menyatakan bahwa Momen Torsi dua kali volume membran.
III.5 Pemakaian fungsi pada tampang lingkaran
Pada tampang lingkaran berlaku 2 dimana = 0 1 r
M t = 2V dimana V = * 2 * d
2 maka M t = 2 0 1 * 2 * d r M t = 0 * r 2 dan dari sini 0 =Mt r 2
Dengan demikian fungsi torsi pada tampang lingkaran menjadi2 Mt = 1 r 2 r
Analisa Struktur Lanjutan
22
Prof. Dr.Ing.Johannes Tarigan Semester B
Bab 4 Torsi pada tampang Tebal
4. 1. Menentukan Inertia Torsi
Jika sesuatu tampang prismatik mengalami Torsi maka akan terjadi perubahan bentuk pada penampangnya atau disebut juga warping. Hal itu dapat dilihat digambar IV.1Gambar IV.1: Tampang prismatik yang mengalami warping pada saat ada Torsi
Dengan bantuan teori soap film analogi maka Inergia torsi tampang sembarang dapat diturunkan dari rumus : 2 2 + 2 = 2G ' ( z ) 2 y x Kemudian =MT M analog dengan = dimana = kelengkungan GJ EI d = dz = MT dz GJ
MakaM T 2 dF = G G
=0
L
M MT dz = T L GJ GJ
J=
dengan bantuan penyelesaian memakai teori Prandl maka : J= 4 .dx.dy 2 2 + y 2 y 2
Analisa Struktur Lanjutan
23
Prof. Dr.Ing.Johannes Tarigan Semester B
4.2 Tegangan torsi pada tampang lingkaranFungsi torsi pada tampang lingkaran menjadi =2 Mt 1 r 2 r
=
d d
= 2M t
r4
=Mt
1 r 4 2
=Mt
J
dimana J = 1 r 4 2
max = M t
r J
4.3 Tegangan torsi pada tampang persegi
Jika pada tampang bulat tegangan torsi linier maka pada tampang persegi tegangan torsi berbentuk parabola.
s s
t
t
Tegangan torsi :
ZX = G ' ZY = G '
y y
+ x x
Analisa Struktur Lanjutan
24
Prof. Dr.Ing.Johannes Tarigan Semester B
Dengan methode soap film analogi maka zy dan zx dapat dihitung dari persamaan torsi 2 2 = 2G ' ( z ) + y 2 x 2 Jika fungsi diketahui maka tegangan torsi akan dapat dicari dengan dan ZX = x y
ZY =
Fungsi Torsi pada tampang persegi [Thimosenko and Goodier,1986]ny cosh 2t 32Gt 1 nx = cos ,....... n 3 (1) ( n1) / 2 1 3 ns 2t n =1, 3, 5 cosh 2t 2
Maka didapat zy
ny cosh 2t 32Gt nx 1 = = sin ,5... n 2 (1) ( n1) / 2 1 3 ns 2t n =1,3 x 2t cosh 2t 2
zy
ny cosh 2t 16Gt nx 1 = = sin ,5... n 2 (1) ( n1) / 2 1 2 2t x n =1,3 cosh ns 2t
Jika x = s dan y = 0, maka didapat
max =
16Gt
2
16Gt 1 1 1 1 1 1 * 1 + 2 + 2 + .. 2 = 1 ,5... n 2 2 5 cosh ns 3 n =1,3,5.. n cosh ns n =1, 3 2t 2t
max
max
16Gt 16G 1 1 = * 8 2 2 n =1,3,5.. n 2 cosh ns 2t 16G 1 1 = 2Gt 2 n=1,3,5.. n 2 cosh ns 2t 2
Analisa Struktur Lanjutan
25
Prof. Dr.Ing.Johannes Tarigan Semester B
Jika s>t, maka deret yang kanan bisa diabaikan sehingga diperoleh
max = 2GtJika s=t
max
1 8 1 = 2Gt 1 2 + + ..... = 1,351Gs cosh 9. cosh 3 2 2
zy
zy
ny 1 cosh 2a 16Gt nx ( n 1) / 2 = = cos 1 dx.dy 2 (1) 2 n=1,3,5... n nb 2a x cosh 2a 3 4 32G(2s ) (2t ) 1 64G(2a) 1 nb == ,5... n 4 4 n=,5... n 5 tanh 2s 4 n =1, 3 1, 3 b
max.
a
Gambar IV.3: Tampang persegi mengalami tegangan akibat Torsi
b
a
b
c
Analisa Struktur Lanjutan
26
Prof. Dr.Ing.Johannes Tarigan Semester B
Secara umum khusus untuk tampang persegi maka Inersia torsi :J = . a . b3
Jika a/b 2, maka J dihitung dengan rumus J =
ab 3 b (1 0,630 ) a 3
max = . MT dimana = Sedangkan
ab 2
b = . max dimana b adalah tegangan pada sisi terpendek
Dimana , dan dapat dilihat pada tabel IV.2 berdasrakan perbandingan a dan b:
a
b
a b 1 1.5 2 2.5 3 4 5 6 8 10 ~
0,141 0,196 0,229 0,249 0,263 0,281 0,291 0,299 0,307 0,312 0,333
4.81 4.33 4.06 3.88 3.74 3.55 3.43 3.35 3.26 3.20 3.00
1.000 0.853 0.796 0.768 0.753 0.745 0.744 0.743 0.743 0.743 0.743
Tabel IV.2. Koefisien untuk mencari J , max, b pada tampang persegi
Analisa Struktur Lanjutan
27
Prof. Dr.Ing.Johannes Tarigan Semester B
4.4 Tampang Elips M t x2 y2 2 + 2 1 a ab b
Pada tampang berdasarkan [..] elips fungsi torsi =
Dengan demikian tegangan yang terjadi
zx =
M = T2 y y abM = 2T x x a b
zy =
y
a
x b
max =Untuk tampang elip didapat sbb: 2 MT ab 2
2M T ab 2
max =
J =
a 3b 3 a2 + b2
4. 5 Tampang Segitiga
Pada tampang segitiga maka fungsi torsi adalah
2 = G [1 (x 2 + y 2 ) 21a (x 2 3xy 2 ) 27 a 2 ] 2
Analisa Struktur Lanjutan
28
Prof. Dr.Ing.Johannes Tarigan Semester B
zx =
= 0 sedangkan zy = = +G ( x + y x
1 2a
6y
Contoh Soal: Suatu tampang persegi dengan tampang seperti dibawah dimana luas tampang sama seperti contoh soal pada tampang bulata
L=2m A P=2t C B L1=1.5 m b
Ditanya: Tentukan sudut puntir pada titik B, jika batang AB adalah tampang persegi dimana a/b=0,5 dan E=26000 MN/m2, =0.2 Hitunglah lendutan pada titik C Hitunglah tegangan yang terjadi akibat torsi pada batang AB, kemudian hitunglah tegangan maximum akibat Torsi dan Gaya Lintang Jawab: a.A Mt=3tm B
Bidang Torsi
3tm
. sudut puntir =
MtL GJ
Mt = 3 t m= 300.000 kgcm= 3.000.000 NcmAnalisa Struktur Lanjutan 29
Prof. Dr.Ing.Johannes Tarigan Semester B
L = 2 m = 200 cm ALingkaran= *r2= 3,14*(15)2=706,50 cm2 APersegi = a*b = 2b*b= 2 b2 Dengan demikian didapat b= 18.79 cm dan a:37,58 cm J= a b3, dari tabel dengan Maka Jpersegi = 57091,65 cm4 Jlingkaran = r4 = 79481.25 cm4 Dengan a/b=2 maka Jlingkaran= 1,39 x Jpersegi G = 1083333.33 N/cm2 3000000 * 200 =0,0097 1083333,33 * 57091,65 a = 2 maka = 0,229, maka J = 0,229*37,58*18,793 b
Besar sudut puntir =
b. Lendutan pada titik C jika pada B di jepit 1 = P= 2 ton = 2000 kg=20.000 N L1= 1,5 m =150 cm E=26.000 MN/m2= 2.600.000 N/cm I=
3 PL1 3EI
1 3 1 bh = 18,79 * 37,583 = 83. 102, 84 cm4 12 12Io 0,218 cm = 0,104 cm I
Sedangkan tampang lingkaran Io = 39740.625 cm4
1 =
Lendutan pada titik c jika dilepas
2 =
PL3 3EI
P= 2 ton = 2000 kg=20.000 N L2= 2 m =200 cm E=26.000 MN/m2= 2.600.000 N/cm Io = r4= 39740.625 cm4Io 0.516 cm = 0,247 cm I
2 =
Lendutan akibat adanya Torsi
3 = L1 * tg = 150* 0,0097=1.455 cm
Analisa Struktur Lanjutan
30
Prof. Dr.Ing.Johannes Tarigan Semester B
Dengan demikian lendutan dititik c adalah = 1 + 2 + 3 = 1,806 cm Tegangan Torsi max = ZX = M T b= 18.79 cm dan a:37,58 cm Dari tabel jika a/b = 2, = 4,06 maka =-4
c.
ab2
= 3,05 x 10-4
Maka max = ZX = M T = 3,05 x 10 *3000000= 917,99 N/cm2
b = max dimana =0,796, maka b = 730,72 N/cm2730,72
917,99
Akibat gaya Lintang =
N QS 3Q 3 20000 , max = = =42,48 bI 2 A 2 18,79 * 37,58 cm 2 N cm 2
Torsi + Gaya Lintang max= 917,99+42,48 = 960,47
Analisa Struktur Lanjutan
31
Prof. Dr.Ing.Johannes Tarigan Semester B
Tampang Lingkaran
Tampang persegi a =2 b
Perbanding Lingkaran Persegi
Tampang dibagi
R=15 cm A=705,60 cm2
a=37,58cm, b=18,79cm A=705,60 cm2 J=57091,65 cm4 Jo = 1,39 J pp
J = 79481.25 cm4
= 0,006968 radAkibat Torsi
= 0,009700 radAkibat Torsi
0 = 0,718 pp o = 0,62 pp o = 0,89 pp
max = 566,17 N / cm 2Akibat Gaya Lintang N 4Q =37,745 3A cm 2
max = 917,99 N/cm2Akibat Gaya Lintang N 3Q =42,48 2A cm 2
max =
max =
Akibat Torsi dan Lintang
Akibat Torsi dan Lintang
max = 603,915
N cm 2
max = 960,47
N cm 2
o = 0,63 pp
Analisa Struktur Lanjutan
32
Prof. Dr.Ing.Johannes Tarigan Semester B
V. Torsi pada tampang tipis terbuka V.1 Tampang tipis
Pada tampang tipis fungsi dapat dilihat seperti digambarkan dibawah, fungsi torsi seperti sebuah setengah silinder`y a I-I z x
x
b
Pada tampang tipis berlaku =0 y = cx x dimana zx = 0 = G ' ( y) = 0 x + x) y
dimana zy = cx = G ' (
Pada gambar dibawah fungsi warping adalah = x. yx y i
Dengan demikian
ZY =
= G ' 2 x x
maka fugsi torsi didapat
= G ' [x 2 c ]2
b b Pada sisi luar x= maka = 0 , maka didapat c= 2 2
Analisa Struktur Lanjutan
33
Prof. Dr.Ing.Johannes Tarigan Semester B
2 b 2 Fungsi torsi akan menjadi = G x 2 '
b 2 Pada x=0 maka 0 = G ' 2
2 2 ' b 2 dF 2ab 3 0 2ab 3 G 2 = 1 ab 3 Maka J = = = ' ' ' 3 G G G Dengan demikian didapat bahwa Inertia Torsi pada tampang tipis adalah 1 J = ab 3 3 Untuk mengitung tegangan torsi diambil adri persamaan M = G ' 2 x , dimana G ' = T x JT
2
ZY =
Maka didapat
ZY =
6M T MT x , dari sini dapat diartikan abhawa tegangan 2x = JT ab 3
pada tampang tipis adalah linear. Pada x =M 3M T b , tegangan geser maximum max = T b = 2 JT ab 2
max
Gambar V.4: Diagram tegangan geser pada tampang tipis
Analisa Struktur Lanjutan
34
Prof. Dr.Ing.Johannes Tarigan Semester B
Dalam menghitung sudut puntir dapat dijabarkan dari Hukum Hooke dan tegangan torsi dengan =MT L J .G
V.2. Tampang tipis terbuka dengan bermacam bentuk
Pada struktur bangunan banyak tampang tipis yang terbuka seperti bentuk kanal, INP, WF. Untuk menghindari kesalahan hitung maka secara umum profil tersebut dapat dipecah dalam berbagai bentuk seperti dibawah inis1 t1 dipisah
t2
s2 dipisah
t2
s3
Maka Inertia Torsi dapat dihitung dengan J =
1 si t ii 3 i
Sedangkan untung tegangan geser max =
MT max t i JT
Analisa Struktur Lanjutan
35
Prof. Dr.Ing.Johannes Tarigan Semester B
V.3
Tegangan Warping pada Tampang I
Suatu tampang I dapat dilihat digambar dibawah, dimana dimensinya dengan ketebalan flens atas dan bawah b1 dan b3 sedangkan ketebalan stegnya b2 .
a1 b1
b2
a2
b3 a3 Gambar V.1 Inertia torsi tampang I
Inertia torsi pada tampang I adalah :n 1 3 1 1 1 3 3 J = a n bn = a1b13 + a 2 b2 + a3 b3 3 3 3 3 i =1
Jika suatu konstruksi dengan profil dibebani dengan MT seperti pada gambar V.1.a, maka bidang torsinya adalah paa gambar V.1.b, 2 MT B C
a. A b. MT
GIT
(-) (+)
MT
L/2
L/2
Gambar V.1. Bidang torsi Pada konstruksi diatas, diperhatikan batang AB, yang mana batang tersebut mengalami momen torsi MT. Karena profil adalah I maka perhatikan gambar V.2
Analisa Struktur Lanjutan
36
Prof. Dr.Ing.Johannes Tarigan Semester B
MT
M Tfl = +
M TP
Yang menyebabkan warping adalah M Tfl M Tfl
Pf1
=t b Gambar V.2 Torsi pada tampang I Pada gambar V.2 diatas maka Pfl = M Tfl h
t1
h
Jika diperhatikan pada flens saja maka akan terjadi deformasi seperti gambar V.3 :
Analisa Struktur Lanjutan
37
Prof. Dr.Ing.Johannes Tarigan Semester B
a. b x,u
MT Pf1 = h z,w
fl
b.
Qf1
(+)
zx max. = Qf1
3.Q fl 2.t.b
c.
M
fl
z max. =
Mfl . b Jfl . 2
d.W
fl
W=
b . fl 2
v= e. v h =
u fl h/2 2u h
ufl Pada gambar V.3, ada beberapa deformasi dan tegangan pada flens, yakni pada gambar V.3.b : tegangan geser, gambar V.3.c : tegangan lentur, sedangkan pada gambar V.3.c dan V.3.d terjadi putaran sudut dan lenturan. Secara umum pada flens berlaku : y" = Iy M Tfl dimana I fl = EI fl 2
Analisa Struktur Lanjutan
38
Prof. Dr.Ing.Johannes Tarigan Semester B
dari persamaan diatas maka berlaku : y ''' =
Pfl QTfl = EI fl EI fl
M Tfl = h Iy E 2
atau
2M Tfl d 3u = EI y h dx 3
dengan penulisan yang lain M fl =
EI y h d 3 u . 2 dx 3
EI y h h "" h jika u fl = seperti pada gambar V.3.e maka : M Tfl = . 2 2 2EI y h 2
atau M Tfl =
4
. ""
dimana M Tfl disebut Momen Sekunder. Momen sekunder
hanya berperan untuk flens saja. Pada gambar V.3, solah-olah hubungan antara flens dan steg terputus, padahal tidak. Untuk itu maka perubahan bentuk profil I menjadi gambar V.4 Maka pada gambar V.4 akan berlaku M TP = G.J . MP disebut sebagai Momen Primer akibat torsi. M T = M Tfl + M TP
maka akan berlaku
EI y h 2
4
. "" + G.J . = M T
Persamaan tersebut adalah persamaan differential momen sekunder dan primer akibat torsi.Analisa Struktur Lanjutan 39
Prof. Dr.Ing.Johannes Tarigan Semester B
V.3.
Penyelesaian Persamaan Torsi
2 MT L
Y
L
Z
X
M1 MT
_M2 +
M1 : Momen Sekunder M2: Momen Primer
X
Gambar 1: Bidang Torsi (Momen Sekunder dan Momen Primer)
MT = MS + Mp
EI y h 2
4
. "" + G.J . = M T dapat ditulis dengan EC w . "" + G.J . = M TI yh2
dimana C w =
4
disebut juga sebagai konstanta warping
Persamaan diatas dijadikan
. ""
M M GJ . = T dapat ditulis dengan . "" 2 . = T EC w EC w EC w
Dimana
2 =
GJ EC w
Analisa Struktur Lanjutan
40
Prof. Dr.Ing.Johannes Tarigan Semester B Kondisi perletakan :
Penyelesaian umum : = A. sinh z + B. cosh z + C + z
MT GJ
Mencari koefisien A, B dan C dengan boundary condition Pada z =0 maka sudut puntir = 0 0 = A. sinh 0 + B. cosh 0 + C + 0 0=B+C Pada z = 0 maka Momen lentur sama dengan nol dan = 0 = A sinh z + B cosh z 0 =B Dengan demikian C = 0 juga Pada z=l/2 , =0 MT GJ
' = A. . cosh z + B. . sinh z +
MT GJ
0 = A.. cosh
L MT + 2 GJMT GJ 1 cosh L 2
Maka didapat A =
Dengan didapatnya koefisien A, B dan C maka persamaan sudut puntir menjadi
Analisa Struktur Lanjutan
41
Prof. Dr.Ing.Johannes Tarigan Semester B
MT MT sinh z z = A. sinh z + z = L GJ GJ cosh 2 MT sinh z z Sehingga didapat persamaan sudut puntir adalah = L GJ cosh 2
Akibat M1 : (Tegangan Warping)2 M1 = - E y . h 4
.
2 P = -EIy . h 4
. . .
1 h
b P = M1 h tf
Q = P = - E Iy . h 4 lintang
x=
b 4
h
w=
Q.S b.I
Q = -E Iy . S=A.X b . tf = 2 . b 2 tf = 8 I = Iy
h 4 .
b 4
b 2t f h EI Y . . 2 4 8 = E b h Maka didapat w = Iy 16 tf . 2 MT . cosh z = L GJ cosh 2
Analisa Struktur Lanjutan
42
Prof. Dr.Ing.Johannes Tarigan Semester B
M = T GJ
sinh z cosh L 2 2 cosh z cosh L 2
M = T GJ
Diagram tegangan w
wTegangan lentur (W)M1 h
w =
Mf W
=
Mf M f .x = If If x
Mf EC w h d 2u h = dan u = maka M f = EI f = 2 h 2 2 dx EI f
Analisa Struktur Lanjutan
43
Prof. Dr.Ing.Johannes Tarigan Semester B
max pada x
=
b maka max = 2
Mf
EC w b b h 2 2 = If If
max =
Ebh 4 sinh z cosh L 2
M Dimana : = T GJ
Gambar diagram w
max = -
. Ebh 4
Akibat M2 : = maka : dimana = = M2 . t dimana M2 = G J. J ( G J. ) t = G. .t J MT GJ 1Cosh x Cosh L/2
Analisa Struktur Lanjutan
44
Prof. Dr.Ing.Johannes Tarigan Semester B Diagram :
= G. .t
Catatan :
Sinh x = (ex e-x) . Cosh x = (ex + e-x) .
Analisa Struktur Lanjutan
45
Prof. Dr.Ing.Johannes Tarigan Semester B
VI Torsi pada tampang tipis tertutup :Tegangan geser
r ds
dF = q.ds
dA m q q = .t t dimana : t = tebal q = shear flow = Tegangan geser dA dM0 = t . ds = dF . (r) = ( . dA) (r) = ( . t . ds) r = q . ds . r dAm dM0 MT = . r . ds =q. ds = 2 dAm r
2 dAm. r = 2 . q . dAm r
= dM0 = 2q . dAm
MT = 2 q Am MT 2 Am
q =
=
q =.t
MT 2 . Am . t
Analisa Struktur Lanjutan
46
Prof. Dr.Ing.Johannes Tarigan Semester B
Inertia Bred
ds
=
.L r
v
Elemen ds d = d = d=
.L =G. r G.r MT . L 2 Am . t . G. r
=
G
= dv . dAm = Am
MT. L . 2 Am . t . G. r r . ds 2 Am
d Am Am
=
MT. L . 2 Am . t . G. r
=
MT 4 . Am2 . G
ds t
= maka : J Bred =
4 A2m ds t
Analisa Struktur Lanjutan
47
Prof. Dr.Ing.Johannes Tarigan Semester B
Literatur: 1. 2. 3. Boresi, Arthur dkk :Advanced Mechanics of Materials, 1992 Salmon, Charles G. dkk :Struktur Baja, 1992 Daryl L. Logan :Mechanics of Materials, 1991 Thimoshenko S.P., Goodier.J.N, 1986 :Teori Elastisitas (terjemahan Sebayang Darwin), Penerbit Airlangga, Jakarta. 4. Bornsheuer :Vorlesungen In Baustatik Einfuehrung in die Torsion Universitas Stutgart, 1980 6. Basler, Konrad, Torsion in Structure, Springler Verlag, Berlin, 1966
Analisa Struktur Lanjutan
48