STRUKTUR ALJABAR

ANAK GELANGGANG (SUBRING)

Kita telah membahas anak grup (subgrup), yaitu suatu grup di dalam grup terhadap operasi yang sama dengan operasi grup semula. Seperti halnya grup, suatu gelanggang ada yang mempunyai himpunan bagian berupa gelanggang pula. Himpunan bagian dari gelanggang yang merupakan gelanggang disebut anak gelanggang (subring).Misalkan ( R, +, .) suatu gelanggang. Apabila S

, S

R dan (S, +, .) adalah suatu gelanggang, maka dikatakan bahwa S adalah subring (anak gelanggang) dari R. Perhatikan bahwa operasi-operasi pada R dan S harus sama.

Contoh 1

1. (B, +, () merupakan subring dari (Q, +, (), sekaligus juga merupakan subring dari (R, +, () dan (K, +, ()

2. (Q, +, () merupakan subring dari (R, +, () dan (K, +, ()

3. (R, +, () merupakan subring dari (K, +, ()

Contoh 2

Himpunan semua matriks diagonal berordo n n yang elemen-elemennya bilangan rasional adalah anak gelangang dari himpunan semua matriks berordo n n yang elemen-elemennya bilangan rasional.

Berikut ini adalah teorema-teorema yang berkenaan dengan anak gelangang:

1. Teorema 1

Misalkan R suatu gelanggang dan S

, S

R. S adalah anak gelanggang dari R jika dan hanya jika S berlaku: (i). a - b

S dan (ii). ab

S.2. Teorema 2

Misalkan R suatu gelanggang tanpa elemen kesatuan dan S suatu anak gelanggang dari R. Jika S mempunyai elemen kesatuan, maka elemen kesatuan tersebut adalah elemen pembagi nol kiri atau elemen pembagi nol kanan.

3. Teorema 3

Misalkan R suatu gelanggang dengan elemen kesatuan uR dan S anak gelanggang dari R. Jika S mempunyai elemen kesatuan uS dan uS uR, maka uS adalah elemen pembagi nol dari R.4. Teorema 4

Apabila S dan T masing-masing adalah anak gelanggang dari gelanggang R, maka S(T adalah anak gelanggang dari R pula.

Contoh 3

B adalah gelanggang bilangan bulat terhadap penjumlahan dan perkalian. Jika K = {5n(n(B}, yaitu semua bilangan bulat kelipatan 5, maka (K, +, () adalah suatu gelanggang dan karena K ( B, maka K anak gelanggang (subring) dari B. Secara umum jika m suatu bilangan bulat dan Bm = {km(k(B}, yaitu himpunan semua bilangan bulat kelipatan m, maka (Bm, +, () adalah subring dari B. Hal ini dapat dibuktikan dengan menggunakan teorema 1, yaitu dengan menunjukkan bahwa Bm berlaku: (i). a - b

Bm dan (ii). ab

BmPembuktian

Ambil a, b ( Bm, maka a = k1m, untuk suatu k1 ( Bmdan b = k2m, untuk suatu k2 ( Bm(i) a b = k1m k2m = (k1 k2)m

Karena k1, k2 ( Bm, maka (k1 k2) ( Bm, sehingga a b = (k1 k2)m ( Bm

(ii) ab = (k1m)(k2m) = (k1k2m)m

Karena k1, k2, m ( Bm, maka (k1k2m) ( Bm, sehingga ab = (k1k2m)m ( Bm

Contoh 4

M =. M dengan penjumlahan dan perkalian matriks adalah suatu gelanggang.

Perhatikan himpunan M1 = . Buktikan bahwa M1 merupakan anak gelanggang M.

Bukti

M1 adalah subgrup dari M. Jelas bahwa M1 ( dan M1 ( M. Dengan menggunakan teorema 1 akan dibuktikan bahwa (A, B ( M1 berlaku: (i). A B ( M1 dan (ii). AB ( M1

Misalkan A, B ( M, dengan A = , B = , maka

(i) A B = = , yaitu (A B) ( M1.

(ii)AB =

EMBED Equation.3 = , yaitu AB ( M1.

Jadi M1 adalah anak gelanggang dari M.

Pada contoh ini, M adalah gelanggang dengan elemen kesatuan , tidak komutatif, mempunyai banyak elemen pembagi nol dan unit-unitnya adalah elemen-elemen M yang nonsingular (determinannya tidak sama dengan nol).

HYPERLINK "Materi.doc" Kembali ke menu materi

PAGE 23

_1143014657.unknown

_1143021129.unknown

_1195869511.unknown

_1215682329.unknown

_1195869406.unknown

_1143021477.unknown

_1143020931.unknown

_1143021013.unknown

_1003041891.unknown

_1137589844.unknown

_1137603311.unknown

_1137599176.unknown

_1003042021.unknown

_1003042062.unknown

_1003041449.unknown

_1003041890.unknown

_1003041424.unknown