TUGAS INDIVIDUWORKSHOP

NAMA : HAFIZHUL WAHYUDI

NPM : 201013500304

KELAS : R 5 C

HIMPUNAN VEKTOR

TeoremaSuatu himpunan S dengan dua atau

lebih vektor disebut :Tak bebas secara linier jika dan hanya jikapaling tidak salah satu vektor dalam S dapatdinyatakan sebagai suatu kombinasi linier dari vektor-vektor lainnya dalam S.Bebas secara linier jika dan hanya jika adavektor dalam S yang dapat dinyatakansebagai suatu kombinasi linier dari vektor-vektor lain dalam S.

Definisi. Jika V adalah sembarang ruang vektor dan S = { v1, v2, …, vn}

adalah suatu himpunan vector-vektor dalam V, maka S disebut suatu basis

untuk V jika dua syarat berikut ini terpenuhi.

•S bebas secara linear

•S merentangkan VSuatu basis adalah generalisasi ruang vector dari suatu system

koordinat dalam ruang berdimensi dua dan ruang berdimensi tiga. Teorema

berikut akan membantu kita mengapa hal tersebut demikian

BTeorema 5.4.1. jika S = { v1, v2, …, vn} adalahsuatu basis untuk suatu ruang vector V, maka setiapvector v dalam V dapat dinyatakan dalam bentuk

v = c1 v1 + c2 v2 + ...... + cn vn

dalam tepat satu cara. Bukti karena S merentangkan V, maka dari definisi suatu himpunanrentang kita dapatkan bahwa setiap vector dalam V dapatdinyatakan dalam kombinasi linear dari vector-vektordalam S. untuk melihat bahwa hanya ada satu cara untukmenyatakan suatu vector sebagai suatu linear dari vector-vektor dalam S, anggap bahwa suatu vector v dapat ditulissebagai

v = c1 v1 + c2 v2 + ...... + cn vn

dapat juga sebagaiv = k1 v1 + k2 v2 + ...... + kn vn

dengan megurangkan persamaan kedua dari persamaanpertama akan didapatkan

0 = (c1 - k1) v1 + (c2 – k2) v2 + …… + (cn – kn) vn

Karena ruas kanan dari persamaan ini adalah suatu kombinasilinear dari vector-vektor dalam S, maka kebebasan linear dariS mengimplikasikan bahwa

c1 - k1 = 0, c2 – k2 = 0, …… cn – kn = 0yaitu

c1 = k1, c2 = k2, …….. cn = kn,jadi kedua ekspresi untuk v adalah sama.

Jika S = { v1, v2, …, vn} adalah suatu basis untuk suatu ruang vector V, dan

v = c1 v1 + c2 v2 + ...... + cn vn

adalah ekspresi untuk suatu vector v dalambentuk S, maka skalar c1, c2, …, cn disebut koordinat v relative terhadap basis S.

Vector (c1, c2, …, cn) dalam Rn yang tersusundari koordinat-koordinat ini disebut koordinat darivector v relative terhadap S. dinyatakan dengan

(v)s = (c1, c2, …, cn)

DimensiDefinisi. Suatu ruang vector tak nol disebut

berdimensi terhingga jika V berisi suatu himpunan vector terhingga { v1, v2, …, vn} yang membentuk suatu basis. Jikatidak ada himpunan yang seperti itu, maka v disebutberdimensi tak hingga. Di samping itu, kita akanmenganggap ruang vector nol sebagai berdimensiterhingga.

Teorema 5.4.2. jika V adalah suatu ruang vector berdimensi terhingga dan { v1, v2, …, vn} adalah sembarangbasis, maka :

Setiap himpunan dengan lebih dari n vector adalah tak bebas secara linear

Tidak ada himpunan dengan vector yang kurangdari n yang merentang V.

Bukti (a) anggap S’ = { w1, w2, …, wn} adalah sembaranghimpunan m vector dalam V, dimana m > n. kita inginmenunjukkan bahwa S’ tak bebas secara linear. Karena S { v1, v2, …, vn} adalah suatu basis, maka setiap w, dapat dinyatakansebagai kombinasi linear dari vector-vektor dalam S, misalkan

w1 = a11v1 + a21v2 + … + an1vn

w2 = a12v1 + a22v2 + … + an2vn

wm= a1mv1 + a2mv2 + … + anmvn

untuk menunjukan bahwa S’ tak bebas secara linear, kitaharus mencari scalar k1, k2, …km, yang tidak semuanya nolsedemikian sehingga

k1 w1 + k2 w2 + … + km wm = 0Dengan menggunakan persamaan dalam (6), kita dapat

menulis ulang (7) sebagai(k1a11 + k2a12 + … + kma1m)v1

+(k1a21 + k2a22 + … + kma2m)v2

+(k1an1 + k2an2 + … + kmanm)vn=0

Jadi, dari kebebasan linear S, masalahmembuktikan bahwan S’ adalah suatu himpunan yang tak bebas secara linear berubah menjadi menunjukanbahwa ada scalar

k1,k2 ,…..km, yang tidak semuanya nol, yang memenuhi

Dasar-dasar Aljabar Lineara11k1 + a12k2 + … + a1mkm = 0a21k1 + a22k2 + … + a2mkm = 0

: : : :

an1k1 + an2k2 + … + ammkm = 0

Akan tetapi, (8) mempunyai perubahanyang lebih banyak daripersamaannya, sehinggabukti ini menjadi lengkapkarena Teorema 1.2.1 menjamin adanyapenyelesaian yang takrival.

TRANSFORMASI LINEARPada subbab ini kita akan memulai penelaahan

fungsi berbentuk w = F(x). dimana perubahan bebas x adalah suatu vector dalam Rn dan perubahan takbebas w adalah suatu vector dalam Rm.

Kami akan berkonsentrasi pada bagian khususdari fungsi-fungsi seperti itu yang disebut“transformasi linear” Transformasi linear merupakandasar dalam telaah aljabar linear dan mempunyaibanyak penerapan penting dalam fisika, teknik, ilmu-ilmu sosial, dan berbagai cabang matematika.

FUNGSI-FUNGSI DARI Rn KE RIngat bahwa sebuah fungsi adalah suatuaturan f yang menghubungkan setiapunsure dalam himpunan A ke satu danhanya satu unsur dalam himpunan B. Jika f menghubungkan unsure b dengan unsure a. maka kita tulis b = f(a) dan kita katakana bahwa b adalah bayangan dari a dibawah f atau bahwa f(a) adalah nilai dari f di a.

Himpunan A disebut daerah asal dari f danhimpunan B disebut daerah kawan dari f. Himpunan bagiandari B yang terdiri dari semua nilai yang mungkin untuk f ketika a berubah-ubah dalam A disebut daerah hasil dari f. Untuk fungsi-fungsi yang paling umum . A dan B adalahhimpunan bilangan real, di mana f disebut fungsi bernilaireal dari suatu variable. Fungsi-fungsi umum lainnya terjadiketika B adalah himpunan bilangan real dan A adalahhimpunan vector dalam R2, R3, atau secara lebih umum, dalam Rn. Beberapa contoh ditunjukan dalam Tabel 1.

Rumus Contoh Klasifikasi Uraian

f(x) f(x) = x2 Fungsi bernilai real

dari suatu variable

real

Fungsi dari

R ke R

f(x,y) f(x,y)=x2 + y2 Fungsi bernilai real

dari dua variable

real

Fungsi dari

R2 ke R

f(x,y, z) F(x,y, )= x2 + y2 +

z2

Fungsi bernilai real

dari tiga variable

real

Fungsi R3

ke R

F(x1, x2,…. Xn F(x1, x2,…, xn)=

+ + …. +

Fungsi bernilai real

dari n variable real

Fungsi dari

Rn ke R

Dua fungsi f1 dan f2 dianggap sama, ditulisf1 = f2, jika kedua fungsi tersebiut mempinyaidaerah asal yang sama danf1(a) = f2(a) untuk semua a dalam daerah asaltersebut.

TERIMA KASIH