ALJABAR MATRIKSpertemuan 2

Oleh :L1153

Halim Agung,S.Kom

Sistem Persamaan Linear.

Misalkan kita mempunyai persamaan linear sebagai berikut :

2x + 3y = 7

3x – 2y = 4

Maka penyelesaian nya dilakukan dengan mengubah persamaan diatas ke dalam

bentuk Matriks , yaitu :

Bentuk matriks ini dinamakan Matriks Lengkap

dengan disebut sebagai matriks koefisien

4

7

23

32

23

32

Invers Matriks.

Matriks tidak bisa dibagi dengan matriks lainnya. Sebagai analogi, digunakan INVERS dari matriks tersebut.

Matriks bujur sangkar yang tidak punya invers disebut matriks singular Matriks yang nilai determinannya 0 tidak mempunyai invers Inverse dari matriks [A] biasa ditulis [A]-1

Apabila [A] dan [B] adalah matriks bujur sangkar, dan [A] [B] = [I] = [B] [A],

dimana :

[B] adalah invers dari matriks [A]

[I] adalah matriks identitas Untuk mencari inverse suatu matrix dapat dipakai beberapa

metoda, antara lain : metode ad-joint, metode pemisahan, metode Gauss-Jordan, metode Cholesky, dsb.

Invers Matriks Adjoint.

Pandang matriks A = aij. Kita sebut kofaktor dari elemen aij sebagai Aij, maka

transpose dari matriks (Aij) disebut matriks Adjoin A.

Contoh :

A

adjAA

det1

32/446/532/2

32/232/732/1

32/546/1132/9

46

854

4142

101118

511

240

432

1A

A

Latihan

Tentukan determinan dan invers dari matriks berikut (gunakan

eliminasi gauss dan eliminasi gauss-jordan:

21

32A

223

112

121

B

Invers Matriks dengan OBE (Operasi Baris Elementer).

*berujung dengan metode Gauss dan Gauss-Jordan*

Contoh :

x – 2y + z = 5

-2x + y + 3z = 3

3x + y – z = 0

Metode penyelesaian :

1. Mengalikan suatu baris dengan bilangan tak nol

2. Mempertukarkan tempat 2 baris

3. Menambahi suatu baris dengan konstanta kali baris lain

Note : Operasi pengerjaan baris elementer tidak diwajibkan menggunakan step

pengerjaan yang sama

Invers Matriks dengan OBE (Operasi Baris Elementer).

*berujung dengan metode Gauss dan Gauss-Jordan*

Metode Gauss :

Dalam pengerjaan OBE nanti diteruskan dengan substitusi mundur

Metode Gauss – Jordan :

Dalam pengerjaan OBE diharuskan menyelesaikan OBE sampai terbentuk bagian

matriks persegi berbentuk matriks identitas

Latihan

Tentukan invers dari persamaan berikut menggunakan OBE:

1. 2x + 3y – 5z = 7

x + 2y – 3z = 4

3x – 3y + z = 4

2. x + 2y – 3z + 4u = 8

2x – 4y + 3z – u = 1

x – 3y + 2z + 2u = 1

3x + y – z + 3u = 16

Matriks Eselon.

Matriks Eselon adalah matriks yang memenuhi tiga sifat berikut :

1. Pada baris yang memuat unsur tak nol , unsur tak nol yang terletak paling kiri adalah 1

2. Untuk baris yang memuat unsur tak nol , unsur tak nol terkiri baris yang posisinya lebih kebawah juga berposisi lebih ke kanan

3. Dibawah baris nol , tak ada baris yang memuat unsur tak nol

* unsur 1 yang terletak paling kiri pada suatu baris matriks eselon disebut unsur 1 utama baris itu

Contoh :

0000

1000

1100

0121

A

Matriks Eselon Tereduksi.

Matriks Eselon Terduksi adalah matriks eselon yang memenuhi sifat berikut :

Pada kolom yang memuat unsur 1 utama dari suatu baris , tak ada unsur tak nol diatas

unsur 1 utama itu.

* Matriks eselon tereduksi adalah matriks eselon dan matriks yang bukan matriks eselon , pastilah bukan matriks eselon tereduksi

Contoh :

Matriks diatas bukan matriks eselon tereduksi

0000

1000

1100

0121

A

Latihan

Tentukan apakah matriks berikut termasuk dalam matriks eselon

atau matriks eselon tereduksi

10000

50100

02100

50231

A

000000

000000

210000

302110

907011

B

100000

010000

092100

015011

C

END

Quiz

1. Hitunglah a jika setelah penambahan baris kedua dengan -2 kali baris pertama dilanjutkan menambah baris ketiga dengan 1/3 kali baris kedua matriks

2. Lakukan eliminasi gauss – jordan untuk mencari persamaan berikut ini

3x + y - 2z = 7

5x – 2y – 3z = 4

2x + 2y + 3z = 3

001

330

121

11

112

121

menjadi

a

Quiz

3. Carilah nilai p yang menyebabkan matriks berikut tak punya invers

232

2111

0212

1101

p