Ahmad Basyir Najwan Jln. Mr. Cokrokusumo No.54 … Gerak adalah ilmu yang mempelajari gerakan suatu...

Basyir Al Banjari

0896-5985-6821

mechtermlighlisfism

DC3BCE5B

[email protected]

www.basyiralbanjari.wordpress.com

Ahmad Basyir Najwan Jln. Mr. Cokrokusumo No.54 RT.015/005, Kel. Cempaka, Kec. Cempaka, Kota

Banjarbaru, Kalimantan Selatan, Kode Pos 70733 Contact Person : 0896-5985-6821

Follow my Instagram @basyir.elphisic.elbanjari

Hal | 1

Kinematika Gerak

Kinematika Gerak adalah ilmu yang mempelajari gerakan suatu benda/partikel atau

sistem tanpa mempedulikan sebab bagaimana gerakan tersebut terjadi.

Kinematika Gerak dapat dibagi menjadi dua yaitu

1. Kinematika Gerak Lurus : arah gerakan konstan atau tidak berubah

2. Kinematika Gerak Melingkar : jarak partikel relatif poros konstan

Secara umum gerakan bisa dinyatakan dalam gerak melingkar.

Berikut perbandingan besaran-besaran yang ada dalam kinematika gerak lurus dan

gerak melingkar

Kinematika Gerak Lurus Kinematika Gerak Melingkar

Posisi (𝑟) Posisi Sudut (�⃗�)

Perpindahan (Δ𝑟) Perpindahan Sudut (Δ�⃗�)

Kecepatan (�⃗�) Kecepatan Sudut (�⃗⃗⃗�)

Percepatan (�⃗�) Percepatan Sudut (�⃗�)

Penting : Maksud dari notasi Delta (Δ) adalah kondisi akhir dikurang kondisi awal.

Sebagai contoh Δ𝑟, maksudnya adalah posisi akhir dikurang posisi awal atau secara

matematis menjadi

Δ𝑟 = 𝑟akhir − 𝑟awal

Definisi masing-masing besaran

Kinematika Gerak Lurus

1. Posisi adalah kedudukan titik relatif terhadap titik lain yang dijadikan acuan. Pada

umumnya, titik yang dijadikan sebagai titik acuan adalah titik asal pada sistem

koordinat yang digunakan.

2. Perpindahan adalah perubahan posisi

Δ𝑟 = 𝑟akhir − 𝑟awal

𝑥

𝑦

𝑟

�⃗� �⃗�r �⃗�t

𝑥

𝑦

𝑟

Basyir Al Banjari

0896-5985-6821

mechtermlighlisfism

DC3BCE5B

[email protected]





Hal | 2

3. Kecepatan adalah perubahan posisi tiap satuan waktu

�⃗� =Δ𝑟

Δ𝑡 atau �⃗� = lim

Δ𝑡→0

Δ𝑟

Δ𝑡=

𝑑𝑟

𝑑𝑡

4. Percepatan adalah perubahan kecepatan tiap satuan waktu

�⃗� =Δ�⃗�


Δ𝑡→0

Δ�⃗�

Δ𝑡=

𝑑�⃗�

𝑑𝑡

Kinematika Gerak Melingkar

1. Posisi sudut adalah sudut yang dibentuk oleh garis yang menghubungkan titik yang

diamati dan titik acuan dengan garis lain yang dijadikan acuan. Pada umumnya, garis

yang dijadikan sebagai acuan adalah sumbu 𝑥 positif (untuk sistem koordinat

kartesius dua dimensi).

Arah 𝜃 bisa didapatkan menggunakan aturan tangan kanan. Putarlah keempat jari

kecuali jari jempol tangan anda dari garis acuan ke garis yang menghubungkan titik

yang diamati dan titik acuan. Arah jari jempol adalah arah dari 𝜃 yang

mengorientasikan arah putarannya. Arah 𝜃 masuk bidang kertas (−�̂�) artinya 𝜃

dihitung dengan putaran searah jarum jam atau clockwise (CW) dari garis acuan

sedangkan arah 𝜃 masuk keluar bidang kertas (�̂�) artinya 𝜃 dihitung dengan putaran

berlawanan arah jarum jam atau counter-clockwise (CCW).

2. Perpindahan sudut adalah perubahan posisi sudut

Δ�⃗� = �⃗�akhir − �⃗�awal

𝑥

𝑦

𝑟awal

𝑟akhir

Δ𝑟

𝑥

𝑦

𝜃 �⃗� = 𝜃�̂�

𝑥

𝑦

𝜃1 �⃗�awal = 𝜃1�̂� 𝜃2 �⃗�akhir = 𝜃2�̂�

Δ�⃗� = (𝜃2 − 𝜃1)�̂�

Basyir Al Banjari

0896-5985-6821

mechtermlighlisfism

DC3BCE5B

[email protected]





Hal | 3

3. Kecepatan sudut adalah perubahan posisi sudut tiap satuan waktu

�⃗⃗⃗� =Δ�⃗�

Δ𝑡 atau �⃗⃗⃗� = lim

Δ𝑡→0

Δ�⃗�

Δ𝑡=

𝑑�⃗�

𝑑𝑡

4. Percepatan sudut adalah perubahan kecepatan sudut tiap satuan waktu

�⃗� =Δ�⃗⃗⃗�


Δ𝑡→0

Δ�⃗⃗⃗�

Δ𝑡=

𝑑�⃗⃗⃗�

𝑑𝑡

Gerak Relatif

Untuk gerak relatif atau gerakan yang diamati oleh pengamat

yang berbeda akan berlaku

𝑟CA = 𝑟CB + 𝑟BA

𝑟CA = posisi C menurut pengamat A

𝑟CB = posisi C menurut pengamat B

𝑟BA = posisi B menurut pengamat A

karena �⃗� =𝑑𝑟

𝑑𝑡 dan �⃗� =

𝑑�⃗�

𝑑𝑡, maka akan kita dapatkan pula hubungan

kecepatan relatif ⟹𝑑𝑟CA

𝑑𝑡=

𝑑

𝑑𝑡(𝑟CB + 𝑟BA) ⟹ �⃗�CA = �⃗�CB + �⃗�BA

percepatan relatif ⟹𝑑�⃗�CA

𝑑𝑡=

𝑑

𝑑𝑡(�⃗�CB + �⃗�BA) ⟹ �⃗�CA = �⃗�CB + �⃗�BA

Pada gerak relatif juga berlaku posisi benda C menurut pengamat B sama dengan

negatif dari posisi pengamat C menurut benda C atau

𝑟CB = −𝑟BC sehingga berlaku pula �⃗�CB = −�⃗�BC dan �⃗�CB = −�⃗�BC

Contoh 1 :

Sebuah bisa bergerak dengan kecepatan 𝑣0 terhadap tanah. Di atas bis tersebut, Agen 007

atau yang akrab kita kenal dengan nama James Bond, berlari dengan kecepatan 3𝑣0 relatif

terhadap bis searah dengan gerakan bis. Ternyata, Agen James Bond dikejar seorang

penjahat yang menaiki motor dengan kecepatan motor terhadap tanah adalah 2𝑣0. Tuan

Krab yang sedang diam di pinggir jalan sambil menghitung uang mengamati kejadian

tersebut. Jika bis, Agen James Bond, dan si penjahat bergerak dengan kecepatan konstan,

tentukanlah kecepetan Agen 007 menurut si penjahat dan menurut tuan Krab!

𝑥

𝑦

𝑟CA

𝑟BA

C

𝐴

𝑟CB

B

�⃗�pt

�⃗�jb

�⃗�bt �⃗�kt = 0

Basyir Al Banjari

0896-5985-6821

mechtermlighlisfism

DC3BCE5B

[email protected]





Hal | 4

Pembahasan :

Kecepatan bis relatif tanah = �⃗�bt = 𝑣0𝑖̂

Kecepatan James Bond relatif bis = �⃗�jb = 3𝑣0𝑖̂

Kecepatan penjahat relatif tanah = �⃗�pt = 2𝑣0𝑖̂

Kecepatan tuan Krab relatif tanah = �⃗�kt = 0

Kecepatan James Bond relatif = �⃗�jt

�⃗�jt = �⃗�jb + �⃗�bt = 3𝑣0𝑖̂ + 𝑣0𝑖̂ ⟹ �⃗�jt = 4𝑣0𝑖̂

Kecepatan James Bond relatif penjahat = �⃗�jp

�⃗�jp = �⃗�jt + �⃗�tp = �⃗�jt − �⃗�pt = 4𝑣0𝑖̂ − 2𝑣0𝑖̂ ⟹ �⃗�jp = 2𝑣0𝑖̂

Kecepatan James Bond relatif tuan Krab = �⃗�jk

�⃗�jk = �⃗�jt + �⃗�tk = �⃗�jt − �⃗�kt = 4𝑣0𝑖̂ − 0 ⟹ �⃗�jk = 4𝑣0𝑖̂

Dari kasus di atas kita ketahui bahwa kecepatan suatu benda menurut pengamat yang

diam terhadap suatu acuan lain yang diam akan sama dengan kecepatan benda tersebut

terhadap acuan yang lain tadi. Dalam hal ini, acuan lain adalah tanah dan pengamat yang

diam terhadap acuan lain ini adalah tuan Krab yang diam terhadap tanah. Maka

kecepatan Agen 007 menurut tuan Krab akan sama dengan kecepatan Agen 007 terhadap

tanah.

Contoh 2 :

Seorang pengamat A berada di dalam sebuah Bianglala yang bergerak dengan kecepatan

sudut konstan �⃗⃗⃗�1 = 𝜔1𝑖̂. Kemudian seorang pengamat B bermain komidi putar dimana

komidi putar ini berputar dengan kecepatan sudut konstan �⃗⃗⃗�2 = 𝜔2�̂�. Tentukan vektor

kecepatan sudut pengamat A dan besarnya yang diamati oleh pengamat B!

Pembahasan :

Sesuai dengan definisi gerak relatif, maka

�⃗⃗⃗�AB = �⃗⃗⃗�1 − �⃗⃗⃗�2 = 𝜔1𝑖̂ − 𝜔2�̂�

Besar kecepatan sudut tersebut adalah |�⃗⃗⃗�AB| = √𝜔12 + 𝜔2

2. Bentuk lintasan pengamat

A menurut pengamat B memang sedikit susah di bayangkan namun itu masih termasuk

ke dalam gerak melingkar.

Hubungan Gerak Tangensial dan Gerak Angular

�⃗⃗⃗�1 = 𝜔1𝑖̂ �⃗⃗⃗�2 = 𝜔2�̂�

𝑥

𝑦

𝑧

Basyir Al Banjari

0896-5985-6821

mechtermlighlisfism

DC3BCE5B

[email protected]





Hal | 5

Hubungan 𝑠, 𝑅, dan 𝜃 adalah

𝑠 = 𝑅𝜃

Dimana 𝜃 dalam satuan Radian.

Jika diturunkan satu kali dan dua kali terhadap waktu akan

kita dapatkan 𝑑𝑠

𝑠𝑡= 𝑅

𝑑𝜃

𝑑𝑡⟹ 𝑣 = 𝑅𝜔 dan

𝑑𝑣

𝑠𝑡= 𝑅

𝑑𝜔

𝑑𝑡⟹ 𝑎 = 𝑅𝛼

Ini hanya berlaku untuk nilai 𝑅 yang konstan.

Gerak Menggelinding

Gerak Menggelinding dapat saya katakan sebagai gerak rotasi sambil berotasi, untuk

definisi pastinya saya lupa mohon maaf. Pada gerak menggelinding bisa terjadi slip atau

tidak slip. Umumnya gerak ini terjadi pada roda, bola, silinder, dan benda-benda yang

memiliki dimensi lingkaran. Tapi bisa jadi juga terjadi pada benda yang berdimensi elips

atau benda lengkung lainnya.

Contoh 1 :

Tinjau suatu gerak menggelinding sebuah silinder berjari-jari 𝑅 seperti gambar di bawah

ini!

Diketahui silinder berotasi dengan kecepatan sudut 𝜔

dan kecepatan pusat massa 𝑣0 dimana 𝑣0 ≠ 𝜔𝑅.

Kecepatan pusat masssa 𝑣0 dan kecepatan sudut 𝜔

diamati oleh seorang pengamat yang diam di atas tanah

dan nilainya konstan. Terdapat suatu titik 𝑃 pada

silinder yang berjarak 𝑟 dari pusat silinder. Tentukan

vektor kecepatan dan besar kecepatan titik 𝑃 sebagai

fungsi waktu terhadap tanah! Saat 𝑡 = 0, 𝜃 = 0.

Pembahasan :

Vektor kecepatan pusat massa silinder adalah

�⃗�pm,t = 𝑣0𝑖̂

Sekarang perhatikan titik 𝑃. Relatif terhadap pusat massa silinder, titik 𝑃 memiliki

kecepatan tangensial 𝜔𝑅 yang arahnya tegak lurus vektor 𝑟 atau pada arah vektor satuan

𝜃.

𝑅

𝜃 𝑂

𝑃

𝑃′

𝑠

𝑥

𝑦

𝜔

𝑣0

𝑃. 𝑟

𝜃

𝑃. 𝑟 = 𝑟�̂� 𝜃

𝜔𝑅

𝑥

𝑦

�⃗�t = 𝜔𝑅𝜃

𝜃 �̂�

𝜃

𝜃 𝜃

Basyir Al Banjari

0896-5985-6821

mechtermlighlisfism

DC3BCE5B

[email protected]





Hal | 6

Arah vektor satuan �̂� dan 𝜃 dapat kita proyeksikan pada sumbu 𝑥 dan 𝑦 menjadi

�̂� = − cos 𝜃 𝑖̂ + sin 𝜃 𝑗̂

𝜃 = sin 𝜃 𝑖̂ + cos 𝜃 𝑗̂

Dengan 𝑖̂ dan 𝑗̂ adalah vektor satuan pada sumbu 𝑥 dan 𝑦. Maka vektor kecepatan titik 𝑃

terhadap pusat massa silinder adalah

�⃗�p,pm = �⃗�t = 𝜔𝑅𝜃 = 𝜔𝑅(sin 𝜃 𝑖̂ + cos 𝜃 𝑗̂)

�⃗�p,pm = 𝜔𝑅 sin 𝜃 𝑖̂ + 𝜔𝑅 cos 𝜃 𝑗̂

Sehingga vektor kecepatan titik 𝑃 terhadap tanah menurut prinsip gerak relatif akan

menjadi

�⃗�pt = �⃗�p,pm + �⃗�pm,t

�⃗�pt = 𝜔𝑅 sin 𝜃 𝑖̂ + 𝜔𝑅 cos 𝜃 𝑗̂ + 𝑣0𝑖̂

�⃗�pt = (𝑣0 + 𝜔𝑅 sin 𝜃)𝑖̂ + 𝜔𝑅 cos 𝜃 𝑗̂

|�⃗�pt| = 𝑣pt = √(𝑣0 + 𝜔𝑅 sin 𝜃)2 + (𝜔𝑅 cos 𝜃)2

𝑣pt = √𝑣02 + 𝜔2𝑅2 + 2𝑣0𝜔𝑅 sin 𝜃

Kita tahu bahwa saat 𝑡 = 0, 𝜃 = 0. Karena 𝜔 konstan, akan kita dapatkan bahwa

𝜃 = 𝜔𝑡

Maka vektor kecepatan dan besar kecepatan titik 𝑃 sebagai fungsi waktu terhadap tanah

adalah

�⃗�pt = (𝑣0 + 𝜔𝑅 sin 𝜔𝑡)𝑖̂ + 𝜔𝑅 cos 𝜔𝑡 𝑗̂

𝑣pt = √𝑣02 + 𝜔2𝑅2 + 2𝑣0𝜔𝑅 sin 𝜔𝑡

Contoh 2 :

Buktikan bahwa pada gerak menggelinding tanpa slip suatu silinder berjari-jari 𝑅 yang

bergerak dengan kecepatan pusat massa 𝑣0 dan kecepatan sudut 𝜔 di atas permukaan

mendatar akan berlaku

𝑣0 = 𝜔𝑅

Pembahasan :

Berdasarkan gambar di atas dapat kita peroleh bahwa

𝑃1𝑃1′ = 𝑠 = 𝑃1

′𝑃2

𝑠 = 𝑅𝜙

Karena 𝑅 konstan, jik kita turunkan kedua ruas satu kali terhadap waktu akan diperoleh

𝜔

𝑣0

𝑃1

𝑃1′𝑃2 = 𝑠

𝑃1′

𝑃2

𝑃1𝑃1′ = 𝑠

𝜙

Basyir Al Banjari

0896-5985-6821

mechtermlighlisfism

DC3BCE5B

[email protected]





Hal | 7

𝑣0 = 𝑅𝜔

Contoh 3 :

Sekarang silinder yang ada pada contoh 2 melakukan gerak menggelinding tanpa slip di

atas permukaan silinder lain dengan jari-jari 𝑟 dimana 𝑟 > 𝑅. Tentukan perbandingan

antara kecepatan pusat massa silinder (𝑣0) dan kecepatan sudutnya (𝜔)!

Pembahasan :

Perhatikan gambar di bawah ini.

Secara geometri akan kita peroleh

𝑃1𝑃1′ = 𝑟𝜃 = 𝑃2𝑃2

′ = 𝑅𝜑 = 𝑅(𝜙 − 𝜃) ⟹ (𝑅 + 𝑟)𝜃 = 𝑅𝜙

𝑃3𝑃3′ = 𝑠 = (𝑅 + 𝑟)𝜃 = 𝑅𝜙

𝑠 = 𝑅𝜙

Untuk 𝑟 dan 𝑅 yang konstan, penurunan satu kali terhadap waktu untuk kedua ruas akan

kita peroleh

𝑣0 = 𝑅𝜔 ⟹𝑣0

𝜔= 𝑅

Dan kita dapatkan pula

𝑣0 = (𝑅 + 𝑟)𝜔𝜃

𝜔

𝑣0

𝑃1 𝑃1′

𝑃2′

𝑃1𝑃1′

𝜑

𝑃2

𝑃3 𝑃3′

𝜃

𝑟 𝑟

𝑠

𝜃 𝜙

Basyir Al Banjari

0896-5985-6821

mechtermlighlisfism

DC3BCE5B

[email protected]





Hal | 8

Sistem Koordinat

Sistem Koordinat dapat dibagi menjadi sistem koordinat dua dimensi dan sistem

koordinat tiga dimensi.

Sistem Koordinat Dua Dimensi

Sistem Koordinat Kartesian

Koordinat titik 𝑃 menurut sistem koordinat kartesian dua dimensi

adalah 𝑃(𝑥, 𝑦)

Vektor posisi 𝑃 dapat dinyatakan sebagai

�⃗⃗� = 𝑟 = 𝑥𝑖̂ + 𝑦𝑗̂

Sistem Koordinat Polar

Koordinat titik 𝑃 menurut sistem koordinat polar dua dimensi

adalah 𝑃(𝑟, 𝜃). Notasi 𝜃 dan �̂� menyatakan arah tangensial dan

arah radial.


�⃗⃗� = 𝑟 = 𝑟�̂�

Sebagai contoh, perhatikan tiga titik berikut yaitu titik 𝑃1, 𝑃2, dan 𝑃3 yang

mempunyai vektor posisi 𝑟1, 𝑟2, dan 𝑟3.

Posisi ketiga titik tersebut dalam sistem koordinat kartesian adalah

𝑟1 = 𝑥1𝑖1̂ + 𝑦1𝑗1̂

𝑟2 = 𝑥2𝑖̂2 + 𝑦2𝑗2̂

𝑟3 = 𝑥3𝑖̂3 + 𝑦3𝑗3̂

Disini, vektor satuan pada arah sumbu 𝑥 dan 𝑦 nilainya sama atau

𝜃2

�̂�1 𝜃1

𝑥

𝑦

𝑃1 𝑟

𝑖̂

𝑗̂

𝜃1

�̂�2

𝜃2

𝑃2

𝜃3

�̂�3

𝜃3

𝑃3

𝑥

𝑦

𝑃

𝑟

𝑖̂

𝑗̂

�̂� 𝜃

𝑥

𝑦

𝑃 𝑟

𝑖̂

𝑗̂

𝜃

Basyir Al Banjari

0896-5985-6821

mechtermlighlisfism

DC3BCE5B

[email protected]





Hal | 9

𝑖1̂ = 𝑖̂2 = 𝑖̂3 = 𝑖̂

𝑗1̂ = 𝑗2̂ = 𝑗3̂ = 𝑗̂

Namun, pada sistem koordinat polar, vektor satuan pada setiap titik arahnya berbeda

�̂�1 ≠ �̂�2 ≠ �̂�3

𝜃1 ≠ 𝜃2 ≠ 𝜃3

Hubungan antara vektor satuan �̂� dan 𝜃 dengan 𝑖̂ dan 𝑗̂

Arah �̂� dan 𝜃 dapat di proyeksikan pada arah 𝑖̂ dan 𝑗̂ menjadi

�̂� = cos 𝜃 𝑖̂ + sin 𝜃 𝑗̂

𝜃 = −sin 𝜃 𝑖̂ + cos 𝜃 𝑗̂

Posisi titik 𝑃 dapat dinyatakan sebagai

𝑟 = 𝑟�̂�

Kecepatan partikel secara umum dalam koordinat polar dapat dinyatakan sebagai

�⃗� =𝑑𝑟

𝑑𝑡=

𝑑

𝑑𝑡(𝑟�̂�) = �̂�

𝑑𝑟

𝑑𝑡+ 𝑟

𝑑�̂�

𝑑𝑡

Sekarang saya kenalkan suatu notasi baru,𝑑𝑟

𝑑𝑡= �̇�.

Notasi titik menyatakan turunan terhadap waktu, jika terdapat dua titik berarti turunan

kedua terhdap waktu dan seterusnya. 𝑑�̂�

𝑑𝑡=

𝑑

𝑑𝑡(cos 𝜃 𝑖̂ + sin 𝜃 𝑗̂) =

𝑑 cos 𝜃

𝑑𝑡𝑖̂ +

𝑑 sin 𝜃

𝑑𝑡𝑗̂ = − sin 𝜃

𝑑𝜃

𝑑𝑡𝑖̂ + cos 𝜃

𝑑𝜃

𝑑𝑡𝑗̂

𝑑�̂�

𝑑𝑡= −�̇� sin 𝜃 𝑖̂ + �̇� cos 𝜃 𝑗̂ = �̇�(−sin 𝜃 𝑖̂ + cos 𝜃 𝑗̂) = �̇�𝜃

𝑑𝜃

𝑑𝑡=

𝑑

𝑑𝑡(−sin 𝜃 𝑖̂ + cos 𝜃 𝑗̂) = −

𝑑 sin 𝜃

𝑑𝑡𝑖̂ +

𝑑 cos 𝜃

𝑑𝑡𝑗̂ = − cos 𝜃

𝑑𝜃

𝑑𝑡𝑖̂ − sin 𝜃

𝑑𝜃

𝑑𝑡𝑗̂

𝑑𝜃

𝑑𝑡= −�̇� cos 𝜃 𝑖̂ − �̇� sin 𝜃 𝑗̂ = −�̇�(cos 𝜃 𝑖̂ + sin 𝜃 𝑗̂) = −�̇��̂�

Maka

�⃗� = �̇��̂� + 𝑟�̇�𝜃

Suku �̇� adalah kecepatan radial dan 𝑟�̇� adalah kecepatan tangensial.

Percepatan partikel secara umum dalam koordinat polar dapat dinyatakan sebagai

�⃗� =𝑑�⃗�

𝑑𝑡=

𝑑

𝑑𝑡(�̇��̂� + 𝑟�̇�𝜃) = �̂�

𝑑�̇�

𝑑𝑡+ �̇�

𝑑�̂�

𝑑𝑡+ 𝑟

𝑑

𝑑𝑡(�̇�𝜃) + �̇�𝜃

𝑑𝑟

𝑑𝑡

�̂� 𝜃

𝑥

𝑦

𝑃 𝑟

𝑖̂

𝑗̂

𝜃

𝜃 𝜃

𝜃

Basyir Al Banjari

0896-5985-6821

mechtermlighlisfism

DC3BCE5B

[email protected]





Hal | 10

�⃗� = �̂�𝑑�̇�

𝑑𝑡+ �̇�

𝑑�̂�

𝑑𝑡+ 𝑟 (𝜃

𝑑�̇�

𝑑𝑡+ �̇�

𝑑𝜃

𝑑𝑡) + �̇�𝜃

𝑑𝑟

𝑑𝑡= �̂�

𝑑�̇�

𝑑𝑡+ �̇�

𝑑�̂�

𝑑𝑡+ 𝑟𝜃

𝑑�̇�

𝑑𝑡+ 𝑟�̇�

𝑑𝜃

𝑑𝑡+ �̇�𝜃

𝑑𝑟

𝑑𝑡

�⃗� = �̈��̂� + �̇��̇�𝜃 + 𝑟�̈�𝜃 − 𝑟�̇�2�̂� + +�̇��̇�𝜃

�⃗� = �̈��̂� − 𝑟�̇�2�̂� + 2�̇��̇�𝜃 + 𝑟�̈�𝜃

�̈� = percepatan radial

𝑟�̇�2 = percepatan sentripetal

2�̇��̇� = percepatan koriolis

𝑟�̈� = percepatan tangensial

Definisi masing-masing percepatan

1. Percepatan Radial adalah percepatan yang menyebabkan perubahan kecepatan radial

partikel.

2. Percepatan Sentripetal adalah percepatan yang mengubah arah gerak partikel tapi

tidak mengubah percepatan partikel, arahnya selalu pada arah −�̂� (menuju pusat

rotasi).

3. Percepatan Koriolis adalah percepatan yang menyebabkan perubahan jarak dari

pusat rotasi.

4. Percepatan tangensial adalah percepatan yang menyebabkan perubahan kecepatan

tangensial partikel.

Contoh 1 :

Suatu cincin 𝐶2 dirotasikan pada sumbu 𝑥𝑥 dimana sumbunya diam tidak bertranslasi

terhadap tanah. Kemudian cincin 𝐶1 ikut berotasi bersama cincin 𝐶2 dimana titik

kontaknya menempel. Pada saat 𝑡 = 0 sumbu rotasi cincin 𝐶1 adalah sumbu 𝑧𝑧. Jari-jari

cincin 𝐶1 dan 𝐶2 adalah 𝑅1 dan 𝑅2. Berikut diagram sistem dua cincin ini.

𝑦

𝑧

𝑥

𝑧

𝑅2

𝑧

𝜔2 𝑂

𝜔1

𝐴

𝐶2

𝐶1 𝑅1

𝑃

Basyir Al Banjari

0896-5985-6821

mechtermlighlisfism

DC3BCE5B

[email protected]





Hal | 11

Kecepatan sudut 𝜔1 dan 𝜔2 bernilai konstan. Pada saat 𝑡 = 0 posisi titik 𝑃 ada di

koordinat (0, 𝑅1, 𝑅1 + 𝑅2).

a. Hitung kecepatan titik 𝑃 sebagai fungsi waktu!

b. Hitung percepatan titik 𝑃 sebagai fungsi waktu!

Pembasahan :

a. Kita lihat pada dunia tiga dimensi seperti gambar di bawah. Misalkan pada saat 𝑡,

terhadap masing-masing pusat rotasinya, cincin 𝐶1 dan 𝐶2 telah menempuh sudut

sejauh 𝜃1 dan 𝜃2 dengan 𝜃1 = 𝜔1𝑡 dan 𝜃2 = 𝜔2𝑡.

Vektor kecepatan titik 𝐴 relatif titik 𝑂 yang diam

terhadap tanah adalah

�⃗�AO = 𝜔2(𝑅1 + 𝑅2)𝜃2

Kita lihat cincin 𝐶2 pada bidang 𝑦𝑧

�̂�2 = − sin 𝜃2 𝑗̂ + cos 𝜃2 �̂�

𝜃2 = − cos 𝜃2 𝑗̂ − sin 𝜃2 �̂�

Maka

�⃗�𝐴𝑂 = −𝜔2(𝑅1 + 𝑅2)(cos 𝜃2 𝑗̂ + sin 𝜃2 �̂�)

Berikutnya kita tinjau kecepatan titik 𝑃 relatif

terhadap titik 𝐴. Kecepatan titik 𝑃 relatif A adalah

�⃗�PA = 𝜔1𝑅1𝜃1

Perhatikan lintasan melingkar titik 𝑃 pada bidang

𝑦′𝑧′

�̂�1 = − sin 𝜃1 𝑖̂′ + cos 𝜃1 𝑗̂′

𝜃1 = − cos 𝜃1 𝑖̂′ − sin 𝜃1 𝑗̂′

Dari gambar sebelumnya, kita bisa dapatkan bahwa

arah 𝑖̂′ searah dengan 𝑖̂ sedangkan 𝑗̂′ berlawanan arah

dengan 𝜃2, maka

𝑖̂′ = 𝑖̂ dan 𝑗̂′ = cos 𝜃2 𝑗̂ + sin 𝜃2 �̂�

sehingga

𝑅1 𝜃1

𝐴 𝑅2

𝜃2

𝑂

𝑦′ 𝑧′

𝑥′

𝑦 𝑧

𝑥

𝜃2

�̂�2

𝜃2

𝜃2

𝜃2

𝑗̂

�̂�

𝜃1

�̂�1

𝜃1

𝜃1

𝜃1

𝑖̂′

𝑗̂′

Basyir Al Banjari

0896-5985-6821

mechtermlighlisfism

DC3BCE5B

[email protected]





Hal | 12

𝜃1 = − cos 𝜃1 𝑖̂ + sin 𝜃1 𝜃2

�⃗�PA = 𝜔1𝑅1(− cos 𝜃1 𝑖̂ + sin 𝜃1 𝜃2)

Menurut prinsip gerak relatif

�⃗�PO = �⃗�PA + �⃗�AO

�⃗�PO = 𝜔1𝑅1(− cos 𝜃1 𝑖̂ + sin 𝜃1 𝜃2) + 𝜔2(𝑅1 + 𝑅2)𝜃2

�⃗�PO = −𝜔1𝑅1 cos 𝜃1 𝑖̂ + [𝜔1𝑅1 sin 𝜃1 + 𝜔2(𝑅1 + 𝑅2)]𝜃2

Kita tahu bahwa 𝑖̂ dan 𝜃2 tegak lurus karena berada di bidang yang berbeda.

Kecepatan titik 𝑃 sebagai fungsi waktu menjadi

𝑣PO = √(−𝜔1𝑅1 cos 𝜃1)2 + [𝜔1𝑅1 sin 𝜃1 + 𝜔2(𝑅1 + 𝑅2)]2

𝑣PO = √𝜔12𝑅1

2 + 𝜔22(𝑅1 + 𝑅2)2 + 𝜔1𝜔2𝑅1(𝑅1 + 𝑅2) sin 𝜔1𝑡

b. Vektor percepatan titik 𝑃 adalah turunan pertama vektor kecepatan titik 𝑃 terhadap

waktu

�⃗�PO =𝑑�⃗�PO

𝑑𝑡= −𝜔1𝑅1

𝑑 cos 𝜃1

𝑑𝑡𝑖̂ + [𝜔1𝑅1 sin 𝜃1 + 𝜔2(𝑅1 + 𝑅2)]

𝑑𝜃2

𝑑𝑡+ 𝜃2𝜔1𝑅1

𝑑 sin 𝜃1

𝑑𝑡

Dari sebelumnya kita tahu bahwa 𝜃2 = − cos 𝜃2 𝑗̂ − sin 𝜃2 �̂�, maka

𝑑𝜃2

𝑑𝑡= −

𝑑 cos 𝜃2

𝑑𝑡𝑗̂ −

𝑑 sin 𝜃2

𝑑𝑡�̂� =

𝑑𝜃2

𝑑𝑡sin 𝜃2 𝑗̂ −

𝑑𝜃2

𝑑𝑡cos 𝜃2 �̂�

𝑑𝜃2

𝑑𝑡= −𝜔2(− sin 𝜃2 𝑗̂ + cos 𝜃2 �̂�) = −𝜔2�̂�2

Dan juga 𝑑 cos 𝜃1

𝑑𝑡= −

𝑑𝜃1

𝑑𝑡sin 𝜃1 = −𝜔1 sin 𝜃1

𝑑 sin 𝜃1

𝑑𝑡=

𝑑𝜃1

𝑑𝑡cos 𝜃1 = −𝜔1 cos 𝜃1

Maka

�⃗�PO = 𝜔12𝑅1 sin 𝜃1 𝑖̂ − 𝜔2[𝜔1𝑅1 sin 𝜃1 + 𝜔2(𝑅1 + 𝑅2)]�̂�2 + 𝜔1

2𝑅1 cos 𝜃1 𝜃2

Ketiga vektor arah 𝑖̂, �̂�2 dan 𝜃2 tegak lurus, maka percepatan titik 𝑃 sebagai fungsi

waktu menjadi

𝑣PO = √(𝜔12𝑅1 sin 𝜃1)2 + 𝜔2

2[𝜔1𝑅1 sin 𝜃1 + 𝜔2(𝑅1 + 𝑅2)]2 + (𝜔12𝑅1 cos 𝜃1)2

𝑣PO = √𝜔14𝑅1

2 + 𝜔22[𝜔1𝑅1 sin 𝜔1𝑡 + 𝜔2(𝑅1 + 𝑅2)]2

Basyir Al Banjari

0896-5985-6821

mechtermlighlisfism

DC3BCE5B

[email protected]





Hal | 13

Sistem Koordinat Tiga Dimensi

Sistem Koordinat Kartesian

Koordinat titik 𝑃 menurut sistem koordinat kartesian dua

dimensi adalah 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧)


�⃗⃗� = 𝑟 = 𝑥𝑖̂ + 𝑦𝑗̂ + 𝑧�̂�

Sistem Koordinat Silinder

Koordinat titik 𝑃 menurut sistem koordinat silinder adalah

𝑃(𝜌, 𝜑, 𝑧). Notasi �̂� dan �̂� menyatakan arah tangensial dan

arah radial yang analog dengan 𝜃 dan �̂� pada sistem

koordinat polar dua dimensi.


�⃗⃗� = 𝑟 = 𝜌�̂� + 𝑧�̂�

�̂� = cos 𝜑 𝑖̂ + sin 𝜑 𝑗̂

�̂� = − sin 𝜑 𝑖̂ + cos 𝜑 𝑗̂

Kecepatan dan percepatan partikel secara umum pada sistem koordinat silinder adalah

�⃗� =𝑑𝑟

𝑑𝑡=

𝑑

𝑑𝑡(𝜌�̂� + 𝑧�̂�) = �̂�

𝑑𝜌

𝑑𝑡+ 𝜌

𝑑�̂�

𝑑𝑡+ �̂�

𝑑𝑧

𝑑𝑡

�⃗� = �̇��̂� + 𝜌�̇�𝜃 + �̇��̂�

�⃗� =𝑑�⃗�

𝑑𝑡=

𝑑

𝑑𝑡(�̇��̂� + 𝜌�̇�𝜃 + �̇��̂�)

�⃗� = �̈��̂� − 𝜌�̇�2�̂� + 2�̇��̇�𝜃 + 𝑟�̈�𝜃 + �̈��̂�

𝑦

𝑧

𝑃

𝑟 𝑗̂

�̂�

𝑥

𝑖̂

𝑃

𝑦

𝑧

𝑟

𝑗̂

�̂�

𝑥

𝑖̂

𝜑 𝜌

�̂�

�̂�

Basyir Al Banjari

0896-5985-6821

mechtermlighlisfism

DC3BCE5B

[email protected]





Hal | 14

Contoh 1 :

Suatu pipa fleksibel di lilitkan pada sebuah silinder besar dengan

jari-jari 𝑅 seperti gambar di samping. Pipa fleksibel tersebut

dibuat sangat licin sehingga gaya gesek di dalamnya dapat di

abaikan. Pada 𝑡 = 0, suatu partikel di lepaskan tanpa kecepatan

awal dari titik A dan suatu ketika pada 𝑡 > 0 dia sampai di titik B.

Jika jarak vertikal titik A dan B adalah 𝑧, tentukan kecepatan

partikel tersebut di titik B!

Pembahasan :

Lintasan gerak partikel analog dengan sebuah bidang miring misal dengan sudut

kemiringan 𝜃.

Beradasarkan geometri kita peroleh

𝑠 = √𝑧2 + 4𝜋2𝑅2

sin 𝜃 =𝑧

𝑠

cos 𝜃 =2𝜋𝑅

𝑠

Berdasarkan persamaan gerak GLBB, besar kecepatan partikel di titik B adalah

𝑣𝐵2 = 𝑣𝐴

2 + 2𝑎𝑠 ⟹ 𝑣𝐵 = √2𝑔𝑧

Secara vektor, kecepatan partikel di B menjadi

�⃗�𝐵 = √2𝑔𝑧(cos 𝜃 �̂� − sin 𝜃 �̂�)

𝑣Bφ = √2𝑔𝑧 cos 𝜃 dan 𝑣Bz = −√2𝑔𝑧 sin 𝜃

Percepatan partikel di titik B adalah percepatan sentripetal dan percepatan tangensial

�⃗�𝐵 = �⃗�s + �⃗�t

�⃗�𝐵 = −𝑣Bφ

2

𝑅�̂� + 𝑔 sin 𝜃 (cos 𝜃 �̂� − sin 𝜃 �̂�)

�⃗�𝐵 = −2𝑔𝑧

𝑅cos2 𝜃 �̂� + 𝑔 sin 𝜃 cos 𝜃 �̂� − 𝑔 sin2 𝜃 �̂�

�⃗�𝐵 = −8𝜋2𝑅𝑔𝑧

𝑠2�̂� +

2𝜋𝑅𝑔𝑧

𝑠2�̂� −

𝑔𝑧2

𝑠2�̂�

Dan besarnya adalah

𝑎𝐵 = √(−8𝜋2𝑅𝑔𝑧

𝑠2)

2

+ (2𝜋𝑅𝑔𝑧

𝑠2)

2

+ (−𝑔𝑧2

𝑠2)

2

𝑎𝐵 =𝑔𝑧

𝑧2 + 4𝜋2𝑅2√4𝜋2𝑅2(16𝜋2 + 1) + 𝑧2

𝑅

𝑧

𝐴

𝐵

𝑧

2𝜋𝑅

𝑠

𝐴

𝐵 𝜃

𝑎 = 𝑔 sin 𝜃

partikel

𝑣𝐵

�̂�

�̂�

Basyir Al Banjari

0896-5985-6821

mechtermlighlisfism

DC3BCE5B

[email protected]





Hal | 15

Sistem Koordinat Bola

Koordinat titik 𝑃 menurut sistem koordinat bola adalah

𝑃(𝑟, 𝜑, 𝜃). Pada koordinat bola arah yang digunakan adalah

arah �̂�, �̂�, dan 𝜃.


�⃗⃗� = 𝑟 = 𝑟�̂�

Hubungan koordinat �̂�, �̂�, dan 𝜃 dengan vektor satuan pada

koordinat kartesian adalah

�̂� = sin 𝜃 cos 𝜑 𝑖̂ + sin 𝜃 sin 𝜑 𝑗̂ + cos 𝜃 �̂�

𝜃 = cos 𝜃 cos 𝜑 𝑖̂ + cos 𝜃 sin 𝜑 𝑗̂ − sin 𝜃 �̂�

�̂� = − sin 𝜑 𝑖̂ + cos 𝜑 𝑗̂

Sekarang kita coba turunkan kecepatan dan percepatan partikel secara umum pada

sistem koordinat bola.

�⃗� =𝑑𝑟

𝑑𝑡=

𝑑

𝑑𝑡(𝑟�̂�) = �̂�

𝑑𝑟

𝑑𝑡+ 𝑟

𝑑�̂�

𝑑𝑡

Kita cari dulu turunan masing-masing arah terhadap waktu

Untuk arah �̂� 𝑑�̂�

𝑑𝑡=

𝑑

𝑑𝑡(sin 𝜃 cos 𝜑)𝑖̂ +

𝑑

𝑑𝑡(sin 𝜃 sin 𝜑)𝑗̂ +

𝑑

𝑑𝑡cos 𝜃 �̂�

𝑑�̂�

𝑑𝑡= (�̇� cos 𝜃 cos 𝜑 − �̇� sin 𝜃 sin 𝜑)𝑖̂ + (�̇� cos 𝜃 sin 𝜑 + �̇� sin 𝜃 cos 𝜑)𝑗̂ − �̇� sin 𝜃 �̂�

𝑑�̂�

𝑑𝑡= �̇�(cos 𝜃 cos 𝜑 𝑖̂ + cos 𝜃 sin 𝜑 𝑗̂ − sin 𝜃 �̂�) + �̇� sin 𝜃 (− sin 𝜑 𝑖̂ + cos 𝜑 𝑗̂)

𝑑�̂�

𝑑𝑡= �̇�𝜃 + �̇� sin 𝜃 �̂�

Untuk arah 𝜃

𝑑𝜃

𝑑𝑡=

𝑑

𝑑𝑡(cos 𝜃 cos 𝜑)𝑖̂ +

𝑑

𝑑𝑡(cos 𝜃 sin 𝜑)𝑗̂ −

𝑑

𝑑𝑡sin 𝜃 �̂�

𝑑𝜃

𝑑𝑡= (−�̇� sin 𝜃 cos 𝜑 − �̇� cos 𝜃 sin 𝜑)𝑖̂ + (−�̇� sin 𝜃 sin 𝜑 + �̇� cos 𝜃 cos 𝜑)𝑗̂ − �̇� cos 𝜃 �̂�

𝑑𝜃

𝑑𝑡= −�̇�(sin 𝜃 cos 𝜑 𝑖̂ + sin 𝜃 sin 𝜑 𝑗̂ + cos 𝜃 �̂�) + �̇� cos 𝜃 (− sin 𝜑 𝑖̂ + cos 𝜑 𝑗̂)

𝑑𝜃

𝑑𝑡= −�̇��̂� + �̇� cos 𝜃 �̂�

Untuk arah �̂� 𝑑�̂�

𝑑𝑡=

𝑑

𝑑𝑡(− sin 𝜑)𝑖̂ +

𝑑

𝑑𝑡(cos 𝜑)𝑗̂

𝑑�̂�

𝑑𝑡= −�̇�(cos 𝜑 𝑖̂ + sin 𝜑 𝑗̂)

𝑃

𝑦

𝑧

𝑟 𝑗̂

�̂�

𝑥

𝑖̂

𝜑 𝜌

�̂�

�̂�

𝜃 𝜃

�̂�

Basyir Al Banjari

0896-5985-6821

mechtermlighlisfism

DC3BCE5B

[email protected]





Hal | 16

𝑑�̂�

𝑑𝑡= −�̇��̂�

Arah �̂� dapat kita uraikan pada arah �̂� dan 𝜃 menjadi �̂� = sin 𝜃 �̂� + cos 𝜃 𝜃 sehingga 𝑑�̂�

𝑑𝑡= −�̇� sin 𝜃 �̂� − �̇� cos 𝜃 𝜃

Maka kecepatan umum partikel dapat dinyatakan sebagai

�⃗� = �̇��̂� + 𝑟�̇�𝜃 + 𝑟�̇� sin 𝜃 �̂�

Untuk percepatan umum partikel

�⃗� =𝑑�⃗�

𝑑𝑡=

𝑑

𝑑𝑡(�̇��̂� + 𝑟�̇�𝜃 + 𝑟�̇� sin 𝜃 �̂�)

�⃗� =𝑑

𝑑𝑡(�̇��̂� + 𝑟�̇�𝜃) +

𝑑

𝑑𝑡(𝑟�̇� sin 𝜃 �̂�)

Untuk suku 𝑑

𝑑𝑡(�̇��̂� + 𝑟�̇�𝜃)

𝑑

𝑑𝑡(�̇��̂� + 𝑟�̇�𝜃) = �̂�

𝑑�̇�

𝑑𝑡+ �̇�

𝑑�̂�

𝑑𝑡+ 𝑟𝜃

𝑑�̇�

𝑑𝑡+ 𝑟�̇�

𝑑𝜃

𝑑𝑡+ �̇�𝜃

𝑑𝑟

𝑑𝑡

𝑑

𝑑𝑡(�̇��̂� + 𝑟�̇�𝜃) = �̈��̂� + �̇��̇�𝜃 + �̇��̇� sin 𝜃 �̂� + 𝑟�̈�𝜃 − 𝑟�̇�2�̂� + 𝑟�̇��̇� cos 𝜃 �̂� + �̇��̇�𝜃

𝑑

𝑑𝑡(�̇��̂� + 𝑟�̇�𝜃) = (�̈��̂� − 𝑟�̇�2)�̂� + (2�̇��̇� + 𝑟�̈�)𝜃 + (�̇��̇� sin 𝜃 + 𝑟�̇��̇� cos 𝜃)�̂�

Untuk suku 𝑑

𝑑𝑡(𝑟�̇� sin 𝜃 �̂�)

𝑑

𝑑𝑡(𝑟�̇� sin 𝜃 �̂�) = 𝑟�̇�

𝑑

𝑑𝑡(sin 𝜃 �̂�) + sin 𝜃 �̂�

𝑑

𝑑𝑡(𝑟�̇�)

𝑑

𝑑𝑡(𝑟�̇� sin 𝜃 �̂�) = 𝑟�̇� (�̂�

𝑑 sin 𝜃

𝑑𝑡+ sin 𝜃

𝑑�̂�

𝑑𝑡) + sin 𝜃 �̂� (�̇�

𝑑𝑟

𝑑𝑡+ 𝑟

𝑑�̇�

𝑑𝑡)

𝑑

𝑑𝑡(𝑟�̇� sin 𝜃 �̂�) = 𝑟�̇�(�̇� cos 𝜃 �̂� − �̇� sin2 𝜃 �̂� − �̇� sin 𝜃 cos 𝜃 𝜃) + (�̇��̇� + 𝑟�̈�) sin 𝜃 �̂�

𝑑

𝑑𝑡(𝑟�̇� sin 𝜃 �̂�) = −𝑟�̇�2 sin2 𝜃 �̂� − 𝑟�̇�2 sin 𝜃 cos 𝜃 𝜃 + (𝑟�̇��̇� cos 𝜃 + (�̇��̇� + 𝑟�̈�) sin 𝜃)�̂�

Sehingga

�⃗� = (�̈��̂� − 𝑟�̇�2)�̂� + (2�̇��̇� + 𝑟�̈�)𝜃 + (�̇��̇� sin 𝜃 + 𝑟�̇��̇� cos 𝜃)�̂� − 𝑟�̇�2 sin2 𝜃 �̂�

− 𝑟�̇�2 sin 𝜃 cos 𝜃 𝜃 + (𝑟�̇��̇� cos 𝜃 + (�̇��̇� + 𝑟�̈�) sin 𝜃)�̂�

�⃗� = (�̈��̂� − 𝑟�̇�2 − 𝑟�̇�2 sin2 𝜃)�̂� + (2�̇��̇� + 𝑟�̈� − 𝑟�̇�2 sin 𝜃 cos 𝜃)𝜃

+ (2�̇��̇� sin 𝜃 + 2𝑟�̇��̇� cos 𝜃 + 𝑟�̈� sin 𝜃)�̂�

Atau bisa kita sederhanakan komponen percepatan pada arah masing-masing menjadi

𝑎𝑟 = �̈��̂� − 𝑟�̇�2 − 𝑟�̇�2 sin2 𝜃

𝑎𝜃 = 𝑟�̈� + 2�̇��̇� − 𝑟�̇�2 sin 𝜃 cos 𝜃

𝑎𝜑 = 𝑟�̈� sin 𝜃 + 2�̇��̇� sin 𝜃 + 2𝑟�̇��̇� cos 𝜃

Ahmad Basyir Najwan Jln. Mr. Cokrokusumo No.54 … Gerak adalah ilmu yang mempelajari gerakan suatu...

Documents

Transcript of Ahmad Basyir Najwan Jln. Mr. Cokrokusumo No.54 … Gerak adalah ilmu yang mempelajari gerakan suatu...