BAB III

ANALISIS DIMENSIONAL ( THE BUCKINGHAM PI THEOREM )

1. Pengantar. Gaya dan momen aerodinamika pada benda yang dinyatakan

sebagai koefisien gaya dan momen aerodinamika telah disampaikan pada bab

sebelumnya. Pada bab ini akan dibahas besaran fisik apa saja yang mempengaruhi

gaya dan momen aerodinamika dan bagaimana besaran tersebut membentuk gaya dan

momen aerodinamika. Besaran-besaran ini akan dibahas dengan menggunakan

analisis dimensional.

2. Parameter-parameter dasar. Ditentukan bentuk benda yang tetap misal airfoil

dengan sudut serang tertentu seperti gambar 3.1. Gaya aerodinamika yang dihasilkan

sebesar R. Parameter-parameter dasar yang mempengaruhi besarnya gaya

aerodinamika, R adalah :

a. Kecepatan aliran udara di freestream, V

b. Kerapatan udara di freestream,

c. Viscositas fluida di freestream,

d. Ukuran benda, c

e. Kompresibilitas fluida, kompresibilitas ini berhubungan pada kecepatan suara di freestream, a

Gambar 3.1 : Airfoil

Berdasarkan faktor-faktor di atas gaya aerodinamika dapat ditulis sebagai fungsi berikut

(3.1)

Persamaan (3.1) adalah hubungan fungsi-fungsi secara umum, hal ini tidak sangat

praktis untuk menghitung secara langsung gaya aerodinamika, R. Pada dasarnya

akan dihitung gaya aerodinamika benda diterowongan angin dengan penambahan

sudut serang maka secara sistimatik gaya aerodinamika juga akan berubah.

Perubahan gaya aerodinamika ini akan dipengaruhi oleh , V, c, dan a pada satu

waktu tertentu. Namun demikian pekerjaan ini akan memerlukan waktu yang sangat

banyak dan tenaga yang banyak pula. Untuk itu dapat disederhanakan masalah

tersebut dengan mengunakan analisis dimensi (satuan) yang didasarkan pada ide

bahwa persamaan yang memuat besaran fisik nyata, masing-masing suku harus

memiliki dimensi yang sama. Sebagai contoh jika :

Ini adalah hubungan fisik, maka , , dan harus mempunyai dimensi yang sama.

Persamaan di atas dapat dibuat tak berdimensi dengan membagi salah satu parameter

misalkan sehingga :

Gagasan ini yang mendasari pengunaan theorema Buckingham Pi.

3. Teorema Buckingham Pi. Tentukan sebanyak K persamaan dimensi dasar

untuk menyatakan variabel fisik (dalam ilmu teknik semua variabel dinyatakan dalam

bentuk dimensi massa, panjang dan waktu, sehingga terdapat K = 3). Tentukan pula

P1, P2, P3, … , PN untuk menyatakan N variabel fisik dan hubungan fisiknya adalah :

(3.2)

Maka hubungan fisik persamaan (3.2) dapat dinyatakan dengan sebanyak (N-K) hasil

tak berdimensi yang disebut Product (hasil ) sebagai berikut :

(3.3)

22

di mana masing-masing product adalah hasil tak berdimensi yang ditentukan dari K

variabel fisik ditambah satu variabel fisik lainnya. Ditentukan P1, P2, P3, … , PK yang

telah dipilih sebanyak K variabel fisik, maka :

(3.4)

…………………………………………….

Pemilihan pengulangan variabel P1, P2, P3, … , PK agar semua K dimensi akan masuk

dalam semua variabel tersebut. Dan juga pemilihan variabel tambahan PK+1 sampai

PK+N hanya dipilih sekali yang merupakan hasil .

4. Kita perhatikan lagi gaya aerodinamika pada airfoil dengan sudut serang

tertentu, dari persamaan (3.1) dapat ditulis dalam bentuk persamaan (3.2) sebagai

berikut :

(3.5)

Menurut theorema Buckingham Pi dimensi dasar yang digunakan adalah :

m = dimensi untuk massa

l = dimensi untuk panjang

t = dimensi untuk waktu

sehingga terdapat K = 3. Variabel fisik dari persamaan (3.5) mempunyai dimensi

sebagai berikut :

[ R ] = m.l.t -2

[ ] = m.l -3

[ V ] = l.t -1

[ c ] = l

[ ] = m.l -1.t -1

[ a ] = l.t -1

Sehingga terdapat N = 6. Dimensi-dimensi di atas untuk gaya aerodinamika diperoleh

dari hukum Newton II, gaya = massa x percepatan, di mana [R] = m.l.t -2, untuk dimensi

diperoleh dari definisi = /(u/y) dan hukum Newton II sehingga [ ]= m.l -1.t -1.

Pemilihan , V dan c sebagai variabel bebas yang dipilih secara acak. Sehingga

23

persamaan (3.5) dapat dinyatakan kembali dalam bentuk N – K = 6 – 3 = 3 hasil

nondimensional (tak berdimensi) dalam bentuk seperti persamaan (3.3) :

(3.6)

Dari persamaan (3.4) hasil ini adalah :

(3.7a)

(3.7b)

(3.7c)

5. Dari persamaan (3.7a) diasumsikan bahwa persamaan dapat disusun sebagai

berikut :

(3.8)

di mana d, b dan e adalah pangkat yang akan dicari. Dalam bentuk dimensi

persamaan (3.8) adalah :

(3.9)

Karena 1 adalah nondimensional maka persamaan (3.9) sebelah kanan harus juga

nondimensional. Hal ini berarti pangkat dari dimensi m, l dan t semua harus sama

dengan nol, sehingga diperoleh :

untuk pangkat m : d + 1 = 0

untuk pangkat l : 3d + b + e +1 = 0

untuk pangkat t : b – 2 = 0

Penyelesaian dari persamaan diatas diperoleh hasil d = 1, b = 2 dan e = 2, bila

dimasukkan dalam persamaan (3.8) diperoleh :

(3.10)

24

Harga R/(, V2, c2) adalah parameter nondimensional, yang mana c2 adalah dimensi

dari luas, sehingga bisa diganti dengan referensi luas (misal luas sayap, S) dan 1

tetap nondimesional selanjutnya persamaan (3.10) dapat dinyatakan kembali sebagai :

(3.11)

Terlihat disini 1 adalah merupakan koefisien gaya aerodinamika, CR.

6. Dari persamaan (3. 7b) diasumsikan bahwa persamaan dapat disusun sebagai

berikut :

(3.12)

Dalam bentuk dimensi diperoleh :

(3.13)

Sama dengan 1, 2 persamaan (3.13) juga nondimensional sehingga dapat ditulis

Semua pangkat harus sama dengan nol sehingga diperoleh :

Untuk pangkat m : 1 + j = 0

untuk pangkat l : -3 + h + i +j = 0

untuk pangkat t : -h – j = 0

Selanjutnya penyelesaian persamaan di atas diperoleh hasil j = -1, h = 1 dan i = 1,

dimasukan ke persamaan (3.12) diperoleh

(3.14)

Kombinasi nondimensional persamaan (3.14) dinyatakan sebagai angka Reynolds di

freestream, Re = (, V, c)/. Angka Reynolds secara nyata diukur sebagai

perbandingan gaya inersia terhadap gaya viscous dalam aliran suatu parameter

dinamika fluida.

7. Dari persamaan (3. 7c) diasumsikan bahwa persamaan dapat disusun sebagai

berikut :

25

dalam bentuk dimensi ditulis :

(3.15)

Karena 3 adalah nondimensional maka pangkatnya harus sama dengan nol sehingga

Untuk pangkat : k = 0

untuk pangkat l : -1 – 3k + r +s = 0

untuk pangkat t : -1 – s = 0

Penyelesaian persamaan di atas diperoleh k = 0, s = -1 dan r =0, bila dimasukkan

dalam persamaan (3.15) maka diperoleh bentuk :

(3.16)

Bentuk persamaan nondimensional persamaan (3.16) didefinisikan sebagai angka

Mach (Mach number) di freestream, M = V/a. Angka Mach adalah perbandingan

antara kecepatan aliran udara terhadap kecepatan suara.

8. Hasil analisis nondimensional dapat dinyatakan dengan memasukkan

persamaan (3.10), (3.14) dan (3.16) ke dalam persamaan (3.6) diperoleh

atau

atau

(3.17)

Dengan membandingkan persamaan (3.1) dengan persamaan (3.17), persamaan (3.1),

R dinyatakan sebagai fungsi umum dari 5 variabel bebas. Tetapi menggunakan analisis

dimensional diperoleh bahwa :

a. R dapat dinyatakan dalam bentuk koefisien nondimensional gaya

aerodinamika, CR = R/( ½ .V2.S )

b. CR hanya merupakan fungsi Re dan M dari persamaan (3.17).

26

Karena itu dengan menggunakan teorema Buckingham PI dapat menggunakan 5

variabel bebas dari persamaan (3.1) menjadi 2 variabel dalam persamaan (3.17). Jika

diinginkan menjalankan pengujian terowongan angin untuk airfoil dengan sudut serang

tertentu, dibutuhkan harga variasi angka Reynolds dan angka Mach untuk memperoleh

data secara langsung rumus R menggunakan persamaan (3.17). sehingga akan bisa

menghemat biaya dan waktu. Parameter Re dan M disebut sebagai parameter

similaritas karena dengan parameter tersebut dapat mewakili semua parameter.

9. Jika komponen lift (gaya angkat) dan drag (gaya hambat) dihasilkan seperti yang

ditunjukkan dari persamaan (3.17) maka :

(3.18)

(3.19)

Hubungan yang sama untuk persamaan (3.1) digunakan untuk momen aerodinamika

dangan analisis dimensional :

(3.20)

Kita perhatikan lagi bahwa analisis di atas digunakan untuk airfoil dengan sudut serang

tertentu, . Jika bervariasi maka CL, CD, dan CM akan bergantung juga pada harga .

Sehingga persamaan (3.18), (3.19) dan (3.20) dapat ditulis :

(3.21)

(3.22)

(3.23)

Persamaan (3.21), (3.22) dan (3.23) diasumsikan untuk airfoil tertentu. Beberapa teori

dan pengujian aerodinamika difokuskan untuk memperoleh persamaan (3.21), (3.22)

dan (3.23) untuk bentuk-bentuk benda tertentu.

10. Untuk permasalahan mekanika, thermodinamika dan perpindahan panas

temperatur dari permukaan benda harus dimasukkan dalam variabel fisik untuk analisis

dimensionalnya dan satuan temperatur bisa dalam Kelvin atau derajat Celcius atau

Rankine. Temperatur ini harus masuk dalam dimensi dasar. Untuk beberapa kasus

analisis dimensional memberikan penambahan hasil nondimensioal seperti koefisien

perpindahan panas sehingga menambah pula parameter similaritas. Parameter

27

similaritas tersebut misalnya rasio panas spesifik pada tekanan konstan dan volume

konstan cp/cv, perbandingan temperatur dinding benda dengan temperatur freestream

Tw/T dan angka Prandtl, Pr = .cp/k, di mana k adalah konduktifitas thermal di

freestream.

11. Latihan Soal.

a. Mulai persamaan (3.5), turunkan persamaan (3.21), (3.2) dan (3.23)

dengan menggunakan Buckingham Pi Theorem ?

b. Gaya hambat bagian depan (hull) kapal laut dipengaruhi oleh bagian

ketinggian gelombang air yang dihasilkan oleh hull kapal. Energi potensial

diasosiasikan dengan gelombang dan dipengaruhi oleh percepatan gravitasi, g.

Kita dapat menentukan bahwa gaya hambat gelombang pada bagian depan

adalah D = f(, V, c, g) dimana c panjang maksimum bagian depan kapal.

Didefinisikan koefisien gaya hambat sebagai CD = D/q c2. Juga didefinisikan

parameter keserupaan yang disebut Angka Froude, . Dengan

menggunakan theorema Buckingham Pi buktikan bahwa CD = f(Fr) ?

c. Gelombang kejut benda terbang dalam penerbangan supersonic

menyebabkan gaya hambat yang disebut gelombang gaya hambat supersonik

(supersonic wave drag), Dw. Didefinisikan koefisien gelombang gaya hambat

sebagai CD,W = DW/q.S, di mana S adalah luas area benda. Dalam

penerbangan supersonic aliran udara ditentukan dalam bagian sifat-sifat

thermodinamika yang diberikan dengan panas spesifik pada tekanan konstan, cp

dan konstan volume, cv. Didefinisikan perbandingan cp/cv . Menggunakan

theorema Buckingham Pi tunjukkan bahwa CD,W = f(M, ), dengan

mengabaikan pengaruh gaya gesekan benda.

28