METODE KUADRAT TERKECIL

(A-2)

I. Tujuan Percobaan

Tujuan dari percobaan ini adalah :

1. Menentukan garis lurus terbaik dari sejumlah pasangan data yang secara

teoritis memiliki hubungan linier

2. Menentukan fungsi linier dari fungsi kuadratis.

3. Menentukan koefisien korelasi dari beberapa pasangan data

II. Alat-Alat Percobaan dan Fungsinya

Kalkulator : berfungsi untuk menghitung angka secera cepat

Seperangkat komputer : untuk mengolah angka yang telah disediakan

III. Tinjauan Pustaka

Tabel yang diperoleh dari percobaan fisika biasanya besaran tabel

mengandung kesalahan inherent. Terlebih lagi, kesalahan inherent ini

biasanya tidak akan dapat dinyatakan dengan derajat ketidaktentuan; yaitu

dikatakan bahwa kesalahan inherent didistribusikan menurut pola statistik

tertentu, dan ada kemungkinan yang wajar bila beberapa kesalahan akan

cukup besar.

Pertimbangan inilah yang mendasari kita untuk mencari metode pengolahan

data bagi tabel data percobaan untuk memperoleh formula yang

menghubungkan y dan x. Diharapkan bahwa formula ini cukup sederhana.

Hal pertama yang harus diperhatikan adalah bagaimana dapat disimpulkan

bahwa suatu formula merupakan pendekatan yang baik dari tabel data. Dalam

hal grafis, pertanyaan diterjemahkan sebagai: Bagaimana dapat diputuskan

bahwa kurva tersebut merupakan kurva yang paling “tepat” pada titik-titik

data.

Salah satu metode yang digunakan untuk dapat menanggulangi terjadi adanya

kesalahan yaitu dengan penerapan Metode Kuadrat Terkecil (Least Squares).

1

Sebagai contoh, misalkan dari pengamatan kecenderungan umum data, dapat

kita pilih y merupakan fungsi linier :

y = ax + b

dengan x dan y merupakan variabel bebas, sedangkan a dan b merupakan

parameter. Jika kita mempunyai sekumpulan data pasangan (x,y), dan data

tersebut digambarkan dalam bentuk grafik linear, maka akan diperoleh suatu

garis lurus.

Dengan menganggap bahwa x memiliki sesatan yang lebih kecil dari pada

sesatan pada y, maka garis lurus terbaik dapat diperoleh berdasarkan metode

kuadrat terkecil (regresi terhadap y). Nilai a terbaik dituliskan dengan notasi a t

sedangkan nilai b terbaik dituliskan dengan notasi bt dengan:

N x yi )- i i

at =

N i2 - i

2

Dan

i2 i - i i yi )

bt=

N i2 - i

2

Sesatan pada nilai statistik a dan b bersifat statistik dan diperoleh:

t = N

N i2 - i

2

2

t= i2

N i2 - i

2

Dengan:

Sy = i – (atxibt ) 2

Sebaran titik-titik data dari garis lurus dapat diukur berdasarkan nilai

koefisien korelasinya (r) berdasarkan rumus :

N i yi ) - i i

i2 - 2 i

2 - i 2

dengan nilai -1 Jika berarti titik-titik datanya dekat dengan garis

terbaik. Sedangkan jika titik-titik datanya berjauhan dari garis lurus

terbaik.

Beberapa fungsi yang tidak linier, dalam batas-batas tertentu data dilinierkan.

Setelah diperoleh fungsi linier dapat digunakan metode kuadrat terkecil untuk

menentukan parameter terbaiknya.

IV. Prosedur Percobaan

a) Amati selembar data yang akan dibagikan oleh asisten

3

b) Urutkan ketiga kelompok data tersebut,tentukan

parameter a dan b berikut sesatannya jika diperkirakan data tersebut

memenuhi fungsi :

Y = ax + b

Y = ax2 + bx

Y = ax2 + b

c) Tentukan koefisien korelasi untuk ketiga fungsi

perkiraan pada tugas no 2 diatas. Berdasarkan nilai koefisien korelasi

tersebut tentukan fungsi mana yang paling memenuhi data yang tersedia.

d) Kerjakan seperti pada tugas 2 dan 3 diatas untuk ketiga

pasangan data yang diberikan asisten.

4

V. Tugas Pendahuluan

1. Buktikan bahwa :

2. Suatu fumgsi secara teoritis dinyatakan sebagai y = ax2 + bx. Dalam

hal ini x dan y merupakan variabel sedangkan a dan b merupakan

parameter. Bagaimanakah kita harus memilih sumbu koordinat agar

diperoleh fungsi garis lurus.

3. Kerjakan seperti soal nomor 2 untuk fungsi y = ax2 + b

Jawaban :

1. Misal didapat suatu data sebagai berikut :

X = 20/4 = 5

(2-5)2 + (4-5)2 + (6-5)2+ (8-5)2

20

120

Terbukti bahwa adalah sama yaitu 20.

2. - Dengan mencari titik sentroid

- Metoda Least Square

x x2

2 4

4 16

6 36

8 64

20 120

5

Caranya :

1. Mencaari titik sentriod

2. Melalui titik sentriod ini kita tarik garis lurus sedemikian sehingga jumlah itik yang terdapat diatas lebih kurang sama dngan jumlah dibawahnya (jumlah rata-rata jarak titik-titik percobaan terhadap garis lurus yang… titik sentriod sama panjangnya yang diatas dan dibawah ini dapat kita putar-putar dengan titik sentriod sebagai poros putaran) dari grafik ini dapat ditentukan kemiringan gari dan titik potong terhadap sumbu b (y=ax+b).

=

Jadi

Dari garis didapat dari diperoleh dan dari diperoleh

Maka

Jadi

6

DAFTAR PUSTAKA

Jones.Dr,Edwin and Dr.Richard Childers.Contemporary College Physics.Mc

Graw Hill,2001:Columbia SC

Sears,Zemansky.Fisika Untuk Universitas 1.Bina Cipta.1985:Jakarta-New York.

6