MODUL I

MODUL TATAP MUKA IIDISTRIBUSI TEORETISDistribusi teoretis merupakan alat bagi kita untuk menentukan apa yang dapat kita harapkan, apabila asumsi-asumsi yang kita buat benar. Distribusi frekuensi dapat digunakan sebagai dasar pembanding dari suatu hasil observasi/eksperimen dan sering juga digunakan sebgaai pengganti distribusi sebenarnya. Hal ini penting sekali oleh karena distribusi sebenarnya yang harus diperoleh melalui eksperimen biasanya selain sangat mahal juga karena sesuatu hal seringkali tidak dapat dilakukan. Distribusi teoretis memungkinkan para pembuat keputusan memperoleh dasar logika yang kuat dalam membuat keputusan, dan sangat berguna sebagai dasar pembuatan ramalan (forecasting/prediction) berdasarkan informasi yang terbatas atau pertimbangan-pertimbangan teoretis, dan berguna pula untuk menghitung probabilitas terjadinya suatu kejadian.

Pengertian mengenai beberapa distribusi yang utama akan meningkatkan kemampuan seseorang untuk membaca dan mengartikan hasil karya ilmiah di semua bidang. Setiap kejadian yang dapat dinyatakan sebagai perubahan nilai suatu variabel umumnya mengikuti suatu distribusi teoretis tertentu dan apabila sudah diketahui dengan jelas jenis distribusinya, kita akan dapat dengan mudah berapa probabilitas kejadian tersebut. Misalnya: berapa probabilitas bahwa seorang calon presiden RI akan terpilih menggantikan presiden yang lama. Kita hanya akan membahas beberapa distribusi teoretis yang penting, antara lain: distribusi binomial, distribusi poisson, distribusi hipergeometrik, distribusi multinomial. Distribusi normal sebagai satu teoretis penting akan dibahas pada modul berikutnya. 1. DISTRIBUSI BINOMIALDistribusi Binomial digunakan untuk data diskrit (bukan data kontinu) yang dihasilkan dari eksperimen Bernouli, mengacu kepada matematikawan Jacob Bernouli. Peristiwa pelemparan mata uang (koin) yang dilakukan beberapa kali adalah contoh dari proses bernouli, dan hasil (outcomes) dari tiap-tap pengocokan dapat dinyatakan sebagai distribusi probabilitas binomial. Kejadian sukses atau gagal calon pegawai dalam psikotest merupakan contoh lain dari proses Bernouli. Sebaliknya distribusi frekuensi hidupnya lampu neon di pabrik anda harus diukur dengan skala kontinu dan bukan dianggap sebagai distribusi binomial. Secara formal, suatu eksperimen dapat dikatakan eksperimen binomial jika memenuhi empat persyaratan:1. Banyaknya eksperimen merupakan bilangan tetap (fixed number of trial)

2. Setiap ekperimen selalu mempunyai dua hasil Sukses dan Gagal. Tidak ada daerah abu-abu. Dalam praktiknya, sukses dan gagal harus didefinisikan sesuai keperluan, Misal:

Lulus (sukses), tidak lulus (gagal)

Setuju (sukses), tidak setuju (gagal)

Barang bagus (sukses), barang sortiran (gagal)

Puas (sukses), tidak puas (gagal)

3. Probabilitas sukses harus sama pada setiap eksperimen.

4. Eksperimen tersebut harus bebas satu sama lain, artinya satu eksperimen tidak boleh berpengaruh pada hasil eksperimen lainnya.

Contoh 1:

Perhatikan suatu proses bernoulli (eksperimen binomial) yang terdiri dari pengambilan satu bola acak (random) dari kotak yang berisi 50 bola merah (M=50) dan 50 bola putih (P=50). Y adalah variabel acak dengan nilai sebagai berikut:

P(M) = p = probabilitas untuk mendapat bola merah (sukses) = 05P(P) = q = (1-p) = probabilitas untuk mendapat bola putih (gagal) = 0,5Jika kita menginginkan tiga kali pengambilan secara acak dengan hasil sukses 2 bola merah terambil dalam sekali pengambilan. Kita dapat menjabarkan pernyataan ini dengan simbol matematis:

.r = jumlah hasil sukses yang diinginkan (number of successes desired) = 2

.n = jumlah percobaan yang dilaksanakan (number of trials undertaken) = 3Berapa probabilitas dari r sukses dalam n percobaan (trial)?

Untuk menjawab pertanyaan ini kita dapat menggunakan Formula Binomial:

Probalility of r successes in n trials = n! p r q n 1

r! (n r)! Probabilitas 2 sukses dari 3 percobaan = 3! (0,5) 2 (0,5)1

2! (3-2)!

= 3 x 2 x 1 (0,5) 2 (0,5)

(2x1)(1x1)

= 6/2 (0,25) (0,5)

= 0,375

Jadi, probabilitas mendapatkan dua bola merah dalam tiga kali percobaan adalah 0,375.

Contoh 2:Sekarang mari kita bahas contoh yang lebih serius. Anda adalah manajer sebuah perusahaan pasta gigi ODOL IDOL. Anda mempunyai mesin yang didesain bekerja efisien dan beroperasi dengan akurasi tinggi. Mesin seperti ini dapat mengisi tube pasta gigi sampai 0,1 ons dengan level of desired 80%. Seorang inspector pabrik anda bertanya berapa kemungkinan bahwa setengah karton dari tube tersebut (1 karton = 6 tube) akan berisi tepat 0,1 ons pada desired level?

Jawab:Berdasarkan catatan perusahaan, 8 dari 10 tubes akan secara tepat terisi dengan 0,1 ons pasta gigi (kejadian sukses). Jika kita ingin menghitung probabilitas mendapatkan 3 tube yang tepat terisi dari 6 tube, kita dapat menyimbolkan sebagai berikut:

p = 0,8 q = 1 0,8 = 0,2 r = 3

n = 6Kemudian kita gunakan formula binomial sebagai berikut:Probabilitas 3 sukses dari 6 = 6! (0,8) 3 (0,2) 6 3

3! (6-3)!

= 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 (0,8) 3 (0,2) 3 (3x2x1) (3x2x1)

= 720/6 (0,8) 3 (0,2) 3 = 0,0891922. DISTRIBUSI POISSONSeperti distribusi binomial, distribusi poisson juga menggunakan data diskrit, bukan data kontinu. Penamaan distribusi poisson (Baca: po-a-song) dilakukan untuk menghormati sang penemu yaitu Simeon Dennis Poisson, ahli matematika berkebangsaan perancis yang menghabiskan sisa hidupnya untuk mengembangkan distribusi ini dari riset-risetnya.Distribusi poisson digunakan untuk menjelaskan jumlah proses, sebagai contoh distribusi panggilan telepon melalui sistem switch, permintaan (demand) pasien terhadap jasa kesehatan, kedatangan kendaraan pada pintu toll, dan jumlah kecelakaan pada persimpangan jalan. Contoh-contoh diatas semuanya punya karakteristik umum yang terlihat: mereka dapat didijelaskan dengan variabel acak diskrit ( random dicreate variable) yang mengikuti aturan bilangan integer (0,1,2,3,4, dst). Jumlah pasien pada praktek dokter yang datang dalam interval waktu tertentu adalah 0,1,2,3,4, atau bilangan integer lainnya.

Karakteristik dan Proses Distribusi Poisson

Jumlah kendaraan yang melintas pintu tol tunggal di jalan bebas hambatan pada waktu jam sibuk dapat digambarkan dengan distribusi poisson, sebagai berikut:

1. Rata-rata kendaraan (mean) kendaraan yang lewat pada jam sibuk dapat diketahui dari data-data lalu lintas terdahulu (past data)

2. Kalau jam-jam sibuk itu kita bagi kedalam detik, maka kita akan memperoleh:

a. Kemungkinan mendapatkan tepat sebuah kendaraan akan lewat setiap satu detik, dan seterusnya selang satu detik.

b. Kemungkinan dua atau lebih kendaraan akan lewat dalam tiap interval satu detik adalah begitu kecil sehingga kita dapat menganggap sebagai nilai 0.c. Banyaknya kendaraan yang lewat pada suatu detik tertentu tidak ada hubungannya dengan kendaraan yang lewat pada tiap detik saat jam sibukd. Banyaknya kendaraan yang lewat pada suatu detik tidak tegantung pada banyaknya kendaraan yang lewat pada detik yang lainnya.Sehingga secara umum kondisi di atas dapat terjadi pada setiap proses. Apabila kondisi di atas ditemui pada suatu kasus, maka kita dapat menggunakan rumus distribusi poisson sbb:P (x) = x e -

x!Dimana:P(x) = probabilitas tepat terjadinya x

= rata-rata distribusi = 0,1,2,3, dste = konstanta Naperian = 2,71828 x = kejadian yang akan dihitung (diminta soal)Contoh 3:

Misalkan kita akan menginvestigasi tingkat keselamatan persimpangan yang berbahaya, Berdasarkan data masa lalu yang dimiliki kepolisian mengindikasikan terjadinya rata-rata (mean) 5 kecelakaan setiap bulan pada persimpangan tersebut. Jumlah kecelekaan didistribusikan menurut distribusi poisson, dan Divisi Keselamatan Jalan Raya ingin menghitung probabilitas pada bulan apa saja bahwa tepat terjadi 0,1,2,3 atau 4 kecelakaanJawab:

P (0) = (5) 0 (e - 5) = 1 . (0,00674) = 0,00674

0!

1Distribusi Poisson sebagai aproksimasi (pendekatan) untuk Distribusi Binomial.Kadang kala, kita menginginkan menghindari penggunaan rumus matematis distribusi binomial, kita dapat menggunakan rumus poisson sebagai penggantinya, tapi hanya dalam kondisi tertentu. Kondisi tersebut adalah apabila n adalah besar, dan p adalah kecil, yaitu ketika number of trial (jumlah percobaan) besar, dan probabilitas sukses kecil. Aturan yang paling banyak dipakai oleh para ahli statistik adalah bahwa poisson adalah aproksimasi yang baik untuk distribusi binomial ketika n lebih besar atau sama dengan 20, dan p lebih kecil atau sama dengan 0,05. Dalam kondisi ini kita dapat mensubstitusi mean (rata-rata) dari distribusi binomial yaitu (np) sebagai pengganti rata-rata distribusi poisson yaitu lamda. Sehingga rumusnya adalah:P(x) = (np)x e -np

x!Catatan Penting:Penggunaan satu distribusi sebagai aproksimasi untuk distribusi lainnya adalah hal yang biasa dalam statistik. Ide dasarnya adalah ketika satu distribusi (seperti poisson) yang lebih mudah dihitung hasilnya, sementara itu hasil tersebut nilainya mendekati distribusi lainnya (seperti distribusi binomial) yang lebih sukar dihitung secara matematis. Kita menukar akurasi perhitungan dengan kemudahan perhitungan. Contoh lainnya adalah distribusi normal dapat dipakai sebagai aproksimasi untuk distribusi binomial.

3. DISTRIBUSI HIPERGEOMETRIK

Distribusi hipergeometrik sangat erat kaitannya dengan distribusi binomial. Perbedaan distribusi hipergeometrik dengan distribusi binomial adalah bahwa pada distribusi hipergeometrik percobaan atau eksperimen tidak bersifat bebas, artinya antara percobaan satu dengan yang lain saling terkait. Selain itu probabilitas Sukses berubah (tidak sama) dari satu percobaan ke percobaan lainnya. Notasi yang biasa digunakan dalam distribusi hipergeometrik adalahr : menyatakan jumlah unit/ elemen dalam populasi berukuran N yang dikategorikan atau diberi label SUKSESN r : menyatakan jumlah unit/ elemen dalam populasi yang dikategorikan atau diberi label GAGAL.N : ukuran sample yang diambil dari populasi secara acak tanpa pengembalian (without replacement).x : jumlah unit/ elemen berlabel GAGAL di antara n unit/elemen

Untuk mencari probabilitas x sukses dalam ukuran sample n, kita harus memperoleh r sukses dalam populasi, dan n x gagal dari N r gagal. Sehingga fungsi probabilitas hipergeometrik dapat dituliskan sebagai berikut:

p (x) = r Cx N r C n x , 0 x r

N C nDi mana,

p (x) = probabilitas x sukses (jumlah sukses sebanyak x) dalam n percobaann = jumlah percobaan

N = jumlah elemen dalam populasir = jumlah elemen dalam populasi berlabel SUKSESPerhatikan bahwa terdapat dua persyaratan yang harus dipenuhi oleh sebuah distribusi hipergeometrik:

1. Percobaan diambil dari suatu populasi yang terbatas dan percobaan dilakukan tanpa pengembalian (without replacement).

2. Ukuran sample n harus lebih besar dari 5% dari populasi N (5% dari N)Contoh 4:

Sebuah anggota komite terdiri dari 5 orang, dimana 3 adalah wanita dan 2 pria. Misalkan 2 orang dari 5 anggoat tersebut dipilih untuk mewakili delegasi dalam sebuah konvensi atau pertemuan.

a. Berapa probabilitas bahwa dari pemilihan secara acak didapat 2 orang wanita?

b. Berapa probabilitas dari 2 orang yang terpilih adalah 1 pria dan 1 wanita?Jawab:

Untuk menjawab pertanyaan di atas, kita dapat menggunakan distribusi hipergeometrik, dengan n = 2, N = 5, r = 3, x = 2 (jumlah wanita terpilih)

p (x) = r Cx N r C n x

N C n

a.

p (x) = 3 C2 5 3 C 2 2 = (3!/2!.1!) (2!/2!. 0!) = 3/10 = 0,3

5 C 2

(5!/2!. 3!)

Jadi probabilitas 2 orang wanita terpilih = 0,3

b.

p (x) = 3 C1 5 3 C 2 2 = (3!/1!.2!) (2!/2!. 0!) = 3 x 2 /10 = 0,6

5 C 2

(5!/2!. 3!)

Jadi probabilitas terpilih 1 orang wanita dan 1 pria = 0,64. DISTRIBUSI MULTINOMIALKalau pada distribusi binomial hasil sebuah percobaan hanya dikategorikan 2 macam yaitu SUKSES dan GAGAL, maka dalam distribusi multinomial, sebuah percobaan akan menghasikan beberapa kejadian (lebih dari 2) yang saling meniadakan atau saling lepas (mutually exclusive) . Misalkan ada sebanyak k kejadian dalam sebuah percobaan, katakan B1,B2,B3,...,B4. Jika percobaan diulang sebanyak n kali dan peluang terjadinya setiap kejadian B konstan/tetap dari setiap percobaan dengan P(Bi) = Pi untuk i = 1,2,3, ... k, dan X1, X2, X3,..., Xk menyatakan jumlah terjadinya kejadian Bi (i = 1,2, ..., k) dalam n percobaan, maka fungsi distribusi multinomial ditulis sebagai berikut:

p(x1, x2, x3, ....xk) = n! p1x1 p2 x2 p3 x3 .... pkxk

x1!, x2!, x3!, ...., xk!Contoh 5:

Proses pembuatan pensil dalam sebuah pabrik melibatkan banyak buruh dan proses tersebut terjadi berulang-ulang. Pada suatu pemeriksaan terakhir yang dilakukan telah memperlihatkan bahwa 85% produksinya baik, 10% tidak baik tetapi masih bisa diperbaiki, dan 5% tidak baik dan rusak. Jika sebuah sample acak dengan 20 unit dipilih. Berapa peluang jumlah unit baik sebanyak 18, unit tidak baik tetapi bisa diperbaiki sebanyak 2 dan unit rusak tidak ada.

Jawab: Proses tersebut merupakan proses dari distribusi multinomial karena suatu percobaan menghasilkan lebih dari 2 kejadian (dalam hal ini 3 kejadian).Kita misalkan:X1 = banyaknya unit baik = 18X2 = banyaknya unit tidak baik tetapi bisa diperbaiki = 2X1 = banyaknya unit yang rusak dan harus dibuang = 0 Dimana : p1 = 0,85, p2 = 0,1, p3 = 0,05, maka:p(18, 2,0) = 20! (0,85)18 (0,1)2 (0,05)0 18!, 2!, 0!

= 190 (0,85)18 (0,01) = 0,102HAYUNING ANGGRAHITA081387717274 / 93660292

hayuning_a@yahoo.com

PAGE PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Hayuning Anggrahita, M.S.M. STATISTIKA II 8