MODUL II

TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS MODUL II

Mahasiswa diharapkan mampu :

1. Mengenal 3 unsur penting dalam operasi matematika

2. Menyelesaikan masalah matematis yang berkenan dengan pangkat, akar,

logaritma.

Daftar Isi :

T I K Modul II dan Daftar Pustaka

I. Pangkat

A. Kaidah Pemangkatan Bilangan

B. Kaidah Perkalian Bilangan Berpangkat

C. Kaidah Pembagian Bilangan Berpangkat

II. Akar

A. Kaidah Pengakaran Bilangan

B. Kaidah Penjumlahan (pengurangan) Bilangan Terakar

III. Logaritma

Latihan Soal

Daftar Pustaka :

Chiang, A.C. ( 1995). Dasar-dasar Matematika Ekonomi. Jilid 1. Ed. Ketiga. Erlangga. Jakarta.

Dumairy ( 1999). Matematika Terapan untuk Bisnis dan Ekonomi. Ed. Kedua. BPFE. Yogyakarta.

PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Dra. Yuni Astuti, MS.

MATEMATIKA EKONOMI 1

I. PANGKAT

- Pangkat dari sebuah bilangan adalah suatu indeks yang menunjukkan banyaknya

perkalian bilangan yang sama secara beruntun.

- Notasi berarti bahwa x harus dikalikan dengan x itu sendiri secara berturut-

turut sebanyak a kali.

Contoh : = 7 x 7 x 7 x 7 x 7

- Notasi pemangkatan berfaedah untuk meringkas bilangan-bilangan kelipatan

perkalian sepuluh yang nilainya sangat besar atau sangat kecil.

Contoh : 100.000 = 1.000.000.000 =

1/100.000 = 0,00001 = 5.000.000.000 = 5.

7.500.000.000 = 7,5. = 75. 0,000.000.034 = 34. = 3,4.

A. Kaidah Pemangkatan Bilangan

1. Bilangan bukan nol berpangkat nol adalah Satu

contoh :

2. Bilangan berpangkat satu adalah bilangan itu sendiri

contoh :

3. Nol berpangkat sebuah bilangan adalah tetap nol

contoh :

4. Bilangan berpangkat negative adalah balikan pengali (Multiplicative inverse)

dari bilangan itu sendiri.

contoh : ( )

5. Bilangan berpangkat pecahan adalah akar dari bilangan itu sendiri, dengan

suku pembagi dalam pecahan menjadi pangkat dari akarnya. Sedangkan

suku terbagi menjadi pangkat dari bilangan yang bersangkutan.

contoh :

6. Bilangan pecahan berpangkat adalah hasil bagi suku-suku berpangkatnya.

contoh :

7. Bilangan berpangkat dipangkatkan lagi adalah bilangan berpangkat hasil kali

pangkat-pangkatnya.

PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Dra. Yuni Astuti, MS.

MATEMATIKA EKONOMI 2

contoh :

8. Bilangan dipangkatkan pangkat berpangkat adalah bilangan berpangkat hasil

pemangkatan pangkatnya.

dimana contoh :

B. Kaidah Perkalian Bilangan Berpangkat

9. Hasil kali bilangan-bilangan berpangkat yang basisnya sama adalah bilangan

basis berpangkat jumlah pangkat-pangkatnya.

contoh :

10. Hasilkali bilangan-bilangan berpangkat yang pangkatnya sama, tetapi

basisnya berbeda, adalah perkalian basis-basisnya dalam pangkat yang

bersangkutan.

contoh :

C. Kaidah Pembagian Bilangan Berpangkat

11. Hasil bagi bilangan-bilangan berpangkat yang basisnya sama adalah

bilangan basis berpangkat selisih pangkat-pangkatnya

Xa : xb = xa – b contoh : 32 : 34 = 32 – 4 = 3-2 =

12. Hasil bagi bilangan-bilangan berpangkat yang pangkatnya sama, tetapi

basisnya berbeda, adalah pembagian basis-basisnya dalam pangkat yang

bersangkutan.

Xa : ya = contoh : 32 : 52 = =

II. Akar

- Akar merupakan bentuk lain untuk menyatakan bilangan berpangkat

- Misalkan xa = m, maka x dapat juga disebut sebagai akar pangkat a dari m

PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Dra. Yuni Astuti, MS.

MATEMATIKA EKONOMI 3

Apabila ditulis dalam bentuk akar menjadi :

X = atau = x sebab xa = m

Contoh : = 3

a disebut pangkat dari akar, sedangkan m disebut radikan.

- Pangkat 2 dari akar biasanya tidak dicantumkan dalam penulisan, sehingga tanda

akar yang tidak mencantumkan pangkat harus dibaca dan ditafsirkan sebagai

akar berpangkat dua. Contoh : =

- Apabila pangkat akarnya berupa bilangan genap, maka radikan positif akan

menghasilkan 2 macam akar yaitu positif dan negatif. Hal ini selaras dengan

kaidah perkalian dalam operasi tanda, bahwa baik bilangan positif maupun

negatif jika berpangkat genap akan menghasilkan bilangan positif

Contoh : = ± 3 (baca + 3 dan -3) sebab (+3)2 = 9 dan (-3)2 = 9

= ±5 = ± 2

- Apabila pangkat akarnya genap dan radikannya negatif, hasilnya berupa

bilangan khayal

Contoh : adalah bilangan khayal sebab baik +3 maupun -3 jika

dipangkatkan 2 tidak ada yang menghasilkan -9

- Apabila pangkat akarnya berupa bilangan ganjil, baik radikan + maupun – hanya

akan menghasilkan 1 macam akar yaitu radikan + menghasilkan akar +, radikan

– menghasilkan akar -

Contoh : sebab (+4) (+4) (+4) = 64

= -4 sebab (-4) (-4) (-4) = -64

A. Kaidah Pengakaran Bilangan

1 Akar dari sebuah bilangan adalah basis yang memenuhi bilangan tersebut

berkenaan dengan pangkat akarnya.

Berdasarkan : = x jika xa = m ( x adalah basis)

= sebab = = x1 = x = b

b

x = x1 = x

adalah basis

Contoh : = = 4

PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Dra. Yuni Astuti, MS.

MATEMATIKA EKONOMI 4

2 Akar dari sebuah bilangan berpangkat adalah bilangan itu sendiri berpangkat

pecahan, dengan pangkat dari bilangan bersangkutan menjadi suku terbagi

sedangkan pangkat dari akar menjadi suku pembagi

= = = 1,55

3 Akar dari suatu perkalian bilangan adalah perkalian dari akar-akarnya

4 Akar dari sebuah bilangan pecahan adalah pembagian dari akar suku-sukunya

B. Kaidah Penjumlahan (Pengurangan) Bilangan Terakar

Bilangan-bilangan terakar hanya dapat ditambahkan atau dikurangi apabila akar-

akarnya sejenis yaitu akar-akar yang pangkat dan radikalnya sama.

5. Jumlah (selisih) bilangan-bilangan terakar adalah jumlah (selisih) koefisien koefisian

Terakar.

m

Contoh : 5 = 7 = 7( 1,73 ) = 12,11

C.Kaidah Perkalian Bilangan Terakar

6. Hasilkali bilangan-bilangan terakar adalah akar dari hasilkali bilangan-bilangannya.

Perkalian dapat dilakukan apabila akar-akarnya berpangkat sama.

PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Dra. Yuni Astuti, MS.

MATEMATIKA EKONOMI 5

7. Akar ganda dari sebuah bilangan adalah akar pangkat baru dari bilangan

bersangkutan. Pangkat baru akarnya ialah hasil kali pangkat dari akar-akar

sebelumnya.

D. Kaidah Pembagian Bilangan Terakar

8. Hasilbagi bilangan-bilangan terakar adalah akar dari hasil bagi bilangan-bilangnnya.

Pembagian dapat dilakukan apabila akar-akarnya berpangkat sama.

LOGARITMA

- Logaritma merupakan kebalikan dari proses pemangkatan dan atau pengakaran.

- Dapat digunakan untuk menyederhanakan perkalian, pembagian, pencarian

pangkat dan penarikan akar.

xa = m dimana : x adalah basis dan a adalah pangkat

- Pangkat a disebut juga logaritma dari m terhadap basis x

a = atau a = logx m

- Contoh :

52 = 25; pangkat 2 adalah logaritma dari 25 terhadap basis 5 atau

43 = 64; pangkat 3 adalah logaritma dari 64 terhadap basis 4 atau

102 = 100; pangkat 2 adalah logaritma dari 100 terhadap basis 10 atau

Keeratan bentuk logaritma terhadap bentuk pangkat dan akar

xa = m = a

1). sebab 62 = 36 atau

2). sebab 54 = 625 atau

3). berarti x2 = 49 x=

4). berarti 310 = m m = 59.049

5). berarti 10a= 1000 10a= 103 a = 3

PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Dra. Yuni Astuti, MS.

MATEMATIKA EKONOMI 6

A. Basis Logaritma

- Basis logaritma selalu bilangan positif dan

- Basis log yang lazim digunakan adalah bilangan 10, maka umumnya tidak

dicantumkan dalam notasi logaritma.

Contoh : log m adalah , log 25 adalah

- Basis lain yang lazim digunakan dalam logaritma adalah bilangan e ( e = 2,718287

atau e = 2,72 )

- Jika notasi logaritma Briggs dilambangkan dengan log, maka logaritma Napier

dilambangkan dengan ln, maka : ln m berarti ; ln 24 =

B. Kaidah –Kaidah Logaritma

1). sebab x1 =x

Contoh :

2). sebab x0 = 1

Contoh :

3). sebab xa = xa

Contoh :

4).

Contoh :

5).

Contoh : 1010log 100 = 1010log 102 = 102 = 100

88log 512 = 88log 83 =83 = 512

6).

Contoh :

PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Dra. Yuni Astuti, MS.

MATEMATIKA EKONOMI 7

7).

Contoh :

8). sehingga

Contoh :

9).

Contoh :

C. Penyelesaian Persamaan dengan Logaritma

- Logaritma dapat digunakan untuk mencari bilanganyang belum diketahui( bilangan

anu ) dalam sebuah persamaan, khususnya persamaan eksponensial dan

persamaan logaritmik.

- Persamaan eksponensial ialah persamaan yang bilangan anunya berupa pangkat,

misalnya : 5x = 125 dan 3x+1 = 27

- Persamaan logaritmik ialah persamaan yang bilanagn anunya berupa bilangan

logaritmik, misalnya : log ( 3x + 298 ) =3

Contoh :

1). Hitung x untuk 3x+1 = 27

Penyelesaian :

Log 3x+1 = log 27

(x+1) log 3 = log 27 x + 1 = x = 3-1 = 2

Pembuktian :

3x+1 = 3 2+1 =33 = 27

PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Dra. Yuni Astuti, MS.

MATEMATIKA EKONOMI 8

2). Carilah x jika (0,32 + x ) 15 = 789

Jawab : ( 0,32 + x)15= 789

Log ( 0,32 + x)15 = log 789

15 log ( 0,32 + x ) = 2,8971

Log ( 0,32 + x ) = = 0,1931

( 0,32 + x ) = antilog 0,1931 = 1,56

X = 1,56 – 0,32 = 1,24

3). Selesaikan x untuk log ( 3x + 298 ) = 3

Jawab :

Dibuat dalam bentuk pangkat : ( 3x + 298 ) = 103

3x + 298 = 1000

3x = 1000- 298 = 702

X =

PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Dra. Yuni Astuti, MS.

MATEMATIKA EKONOMI 9