7/1/2008

1

Digunakan untuk mengetahui posisi  dalam representasi 3 dimensi› Posisi Lintang› Posisi Bujur› KetinggianDapat pula mengetahui kecepatan› Arah dan besar kecepatanTerdapat fasilitas tracking› Perjalanan tidak selamanya membentuk garis lurus› Kadang berbelok, menanjak dan menurun

3

Pergerakkan umumnya tidak seperti garis lurus melainkan dalam 2 atau 3 dimensi.

Posisi awal

Bergerak

4

Tanda panah adalah vektor kecepatan pelari di suatu titik di sepanjang jalanPada waktu sesaat, vektor kecepatan adalah tangen dari linatasan

5

Dua kali panah sebelumnya

Vektor digunakan untuk menganalisis gerak pada dua atau tiga dimensi

30 km/jam

60 km/jam

Panah menunjukkan  arah sedangkan panjangnya menunjukkan besar atau ukuran

6

Pada 1 Dimensi, petunjuk arah digunakan tanda  + atau ‐. Contoh, pada kasus jatuh bebas ay = ‐g.Pada 2 atau 3 dimensi, butuh selain tanda untuk menunjukkan arahContohContoh:  Dimanakan posisi  rr untuk Universitas Indonesia?› Pilih titik asal: MonasMonas› Pilih koordinat

jarak (km), danarah (N,S,E,W)

›› rr adalah suatu vektor yangmenunjukkan 20 km ke selatan.

Monas

UI

r r 

7/1/2008

2

7

Ada dua cara untuk menunjukkan  suatu besaran adalah vektor:

› Notasi tebal: AA

› Notasi “panah” :

A A = Ar

8

Jika suatu gerak terjadi pada beberapa dimensi, kita dapat memisahkan gerak pada suatu komponen yang  tegak lurus  dan penjumlahan dapat membuat 

suatu gerak yang berbeda

The net vector shows you the object’s actual direction of motion…

9

Komponen rr adalah koordinat (x,y,z)› rr = (rx ,ry ,rz )= (x,y,z)

Pada kasus 2‐D (paling mudah dibuat):› rx = x = r cos θ › ry = y = r sin θ

y

x

(x,y)

θ

rrθ = arctan( y / x )

10

11

Besar (panjang) rr didapatkan dengan teorema Pithagoras :

Panjang suatu vector tidaktidak tergantung dengan arahnya

22 yxr +==rrr

y

x

12

A Unit Vector Unit Vector is a vector having length 1 and no unitsIt is used to specify a directionUnit vector uu points in the direction of UU

› Often denoted with a “hat”: uu = û

Useful examples are the Cartesian unit vectors [ i, j, ki, j, k ] › point in the direction of the x, y and z axes

UU

x

y

zii

jj

kk

û û

7/1/2008

3

13

Misalkan vektor AA dan BB. Carilah AA + BB

We can arrange the vectors as we want, as long as we maintain their length and direction!!

AA

BB

AA BB AA BB

CC = AA + BB

14

Misalkan CC = AA + BB.(a) CC = (Ax ii + Ay jj) + (Bx i i + By jj) = (Ax + Bx)ii + (Ay + By)jj(b) CC = (Cx ii + Cy jj)

Menjumlahkan komponen  (a) dan (b):› Cx = Ax + Bx› Cy = Ay + By CC

BxAA

ByBB

Ax

Ay

15

Vector A = {0,2,1}Vector B = {3,0,2}Vector C = {1,‐4,2}

What is the resultant vector, D, from adding A + B + C ?

(a)(a) {3,5,{3,5,‐‐1}1} (b)(b) {4,{4,‐‐2,5}2,5} (c)(c) {5,{5,‐‐2,4}2,4}

16

D = (AXi + AYj + AZk) + (BXi + BYj + BZk) + (CXi + CYj + CZk)

= (AX + BX + CX)i + (AY + BY+ CY)j + (AZ + BZ + CZ)k

= (0 + 3 + 1)i + (2 + 0 ‐ 4)j + (1 + 2 + 2)k

= {4, ‐2, 5}

Adhi  Harmoko S

18

In free fall objects accelerate constantly toward Earth at the rate of g . Objects moving upward slow down until their direction is reversed, and then they accelerate downward.

At the top of their path the upward speed is zero. How long? Only instantaneously. A constant acceleration means the speed is changing all the time, so the speed only passes through the value of zero at the top of the path.

7/1/2008

4

19

A dropped ball:› Begins a rest, but soon acquires downward speed› Covers more and more distance each second

A tossed ball:› Rises to a certain height› Comes briefly to a stop› Begins to descend, much like a dropped ball

20

21

Falling Upward, then Downward, with a constant horizontal velocity component

22

Here two heavy balls begin “free fall” at the same time. 

The red one is dropped, so it moves straight downward. 

The yellow ball is given some speed in the horizontal direction as it is released.

23

The horizontal lines show that they keep pace with each other in the vertical direction. 

Why? 

They have the same acceleration, g, downward, and they both started with zero speed in the downward direction.

24

The yellow ball’s horizontal speed is not affected by gravity, which acts only in the vertical direction.

7/1/2008

5

25

Cannonballs  shot horizontally with different speeds  from the ship  travel different distances.

But each cannonball drops  the same distance in the same amount of time, since the vertical acceleration is the same for each.

26

A simulated strobe illustration of a plane flying horizontally with constant speed dropping package of food and medical supplies, ignoring air resistance. 

The package of food and medical supplies  initially has the same horizontal speed of the airplane.  Neglecting air resistance, it keeps that horizontal speed as it falls, so it stays beneath the airplane.

27

The position, velocity, and acceleration of a particle in 3 dimensions  can be expressed as:

rr=  x ii + y jj + z kkvv = vx ii + vy jj + vz kk (ii , jj , kk unit vectors )

aa = ax ii + ay jj + az kk

We have already seen the 1‐D kinematics equations:

2

2

dtxd

dtdv

a ==dtdx

v =)(txx =

28

For 3‐D, we simply apply the 1‐D equations  to each of the component equations

Which can be combined  into the vector equationsrr= rr(t) vv = drr / dt aa = d2rr / dt2

2

2

dtxd

ax =

dtdx

vx =

)(txx =

2

2

dtyd

ay =

dtdy

vy =

)(tyy =

2

2

dtzd

az =

dtdz

vz =

)(tzz =

29

So for constant acceleration we can integrate to get:›› aa = const›› vv = vv0 + a a t›› rr= rr0 + vv0 t + 1/2 aa t2

(where aa, vv, vv0, rr, rr0, are all vectors)

30

Most 3‐D problems can be reduced to 2‐D problems when acceleration is constant:› Choose y axis to be along direction of acceleration› Choose x axis to be along the “other” direction of motion

ExampleExample: Throwing a baseball  (neglecting air resistance)› Acceleration is constant (gravity)› Choose y axis up: ay = ‐g› Choose x axis along the ground in the direction of the throw

7/1/2008

6

31

A man on a train tosses a ball straight up in the air.› View this from two reference frames:

Reference frame 

on the moving train.

Reference frame 

on the ground.

32

Mark McGwire clobbers a fastball toward center‐field.  The ball is hit 1 m (yo ) above the plate, and its initial velocity is 36.5 m/s(v ) at an angle of 30o (θ) above horizontal.  The center‐field wall is 113 m (D) from the plate and is 3 m (h) high.› What time does  the ball reach the fence?› Does Mark get a home run?

θvv

h

D

y0

33

Choose y axis up.Choose x axis along the ground in the direction of the hit.Choose the origin (0,0) to be at the plate.

Say that the ball is hit at t = 0, x =  x0 = 0 

› Equations of motion are:

vx = v0x vy = v0y ‐ gtx = vxt   y = y0 + v0y t ‐ 1/ 2 gt2

34

Use geometry to figure out v0x and v0y :

y

x

g

θvv

v0xv0y

Find  v0x = |v| cos θ.and v0y = |v| sin θ.

y0

35

The time to reach the wall is:  t = D / vx (easy!)We have an equation  that tell us 

y(t) = y0 + v0y t + a t2/ 2

So, we’re done....now we just plug in the numbers:Find:› vox = 36.5 cos(30) m/s = 31.6 m/s› voy = 36.5 sin(30) m/s = 18.25 m/s› t = (113 m) / (31.6 m/s) = 3.58 s› y(t) = (1.0 m) + (18.25 m/s)(3.58 s) ‐ (0.5)(9.8 m/s2)(3.58 s)2

= (1.0  + 65.3  ‐ 62.8) m = 3.5 mm› Since the wall is 3 m high, Mark gets the homer!!

A long jumper leaves the ground at an angle of 20.0 to the horizontal and at a speed of 11.0 m/s. (a) How long does it take for him to reach maximum height? (b) What is the maximum height? (c) How far does he jump?  (Assume  that his motion  is equivalent to that of a particle, disregarding the motion of his arms and legs.) (d) Find the maximum height he reaches

7/1/2008

7

(a) Find  the time tmax taken to reach maximum height.› Set vy = 0 in and solve  for tmax:

Adhi  Harmoko S

Motion in a circle with:

› Constant Radius R› Constant Speed v = |vv|

R

vv

x

y

(x,y)

In general, one coordinate system is as good as any other:› Cartesian: 

(x,y) [position]

(vx ,vy) [velocity]› Polar:

(R,θ) [position](vR ,ω) [velocity]

In UCM:

› R is constant (hence vR = 0).› ω (angular velocity) is constant.›› Polar coordinates are a natural way to describe UCM!Polar coordinates are a natural way to describe UCM!

R

vv

x

y

(x,y)

The arc length s (distance along the circumference) is related to the angle in a simple way:› s = Rθ, where θ is the angular displacement.› units of θ are called radians.

For one complete revolution:› 2πR = Rθc› θc  = 2π› θ has period 2π.

R

vv

x

y

(x,y)

θ

1 revolution 1 revolution  = 2= 2ππ ��radiansradians

S

7/1/2008

8

x = R cos θy = R sin θ

π/2 π 3π /2 2π

‐1

1

0

sincos

R

vv

x

y

(x,y)

θ S

In Cartesian coordinates, we say velocity dx/dt = v.› x = vtIn polar coordinates, angular velocity dθ/dt = ω.› θ = ωt› ω has units of radians/second

Displacement s = vt.but s = Rθ = Rωt, so:

v = ωR

R

vv

x

y

(x,y)

θ S

Recall that 1 revolution = 2π radians› frequency (f) = revolutions  / second (a)› angular velocity (ω) = radians / second (b)By combining (a) and (b)› ω = 2π fRealize that:› period (T) = seconds  / revolution› So T = 1 / f = 2π/ω

ω = 2π / T = 2πf  

ωR

vv

x

y

(x,y)S

This is called This is called Centripetal Acceleration.Now let’s calculate the magnitude

v2

v1v2

Δv

R v1ΔR

R

R

v

v Δ=

ΔSimilar triangles:

But ΔR = vΔt for small Δt

So:R

v

t

v 2=

ΔΔ

R

tv

v

v Δ=

Δ

R

va

2

=

UCM results in acceleration:› Magnitude: a = v2 / R› Direction: circle)of  center (toward  r̂ ‐

aaR

ω

We know that v = ωR

Substituting for v we find that: 

a = ω2R

andRv

a2

=

( )R

Ra

2ω=

7/1/2008

9

A fighter pilot flying in a circular turn will pass out if the centripetal acceleration he experiences is more than about 9times the acceleration of gravity g.  If his F18 is moving with a speed of 300 m/s, what is the approximate diameter of the tightest turn this pilot can make and survive  to tell about it ?

gRv

a 92

==2

2

2

2

81.99

90000

9smsm

gv

R×

==

mmR 100081.9

10000≈= mRD 20002 ≈=

2 km 

See you  on monday