11

GERAK ROTASIGERAK ROTASI

Elda Rayhana M.Si Elda Rayhana M.Si

Jurusan Teknik MesinJurusan Teknik Mesin

ISTN JAKARTA ISTN JAKARTA

22

Rotasi Benda TegarRotasi Benda Tegar

Benda tegar adalah benda dengan bentuk Benda tegar adalah benda dengan bentuk tertentu yang tidak berubah, sehingga partikel-tertentu yang tidak berubah, sehingga partikel-partikel pembentuknya berada pada posisi partikel pembentuknya berada pada posisi yang tetap relatif satu sama lain.yang tetap relatif satu sama lain.

Benda tegar bergerak rotasi murni jika setiap Benda tegar bergerak rotasi murni jika setiap partikel pada benda tersebut bergerak dalam partikel pada benda tersebut bergerak dalam lingkaran yang pusatnya terletak pada garis lingkaran yang pusatnya terletak pada garis lurus yang disebut sumbu rotasi.lurus yang disebut sumbu rotasi.

33

Ukuran SudutUkuran Sudut

Sudut biasanya dinyata-Sudut biasanya dinyata-kan dalam derajat, tetapi kan dalam derajat, tetapi pada gerak melingkar pada gerak melingkar ukuran sudut dinyatakan ukuran sudut dinyatakan dengan radian.dengan radian.

1 radian adalah sudut yg 1 radian adalah sudut yg ujung-ujungnya ujung-ujungnya dihubung kan oleh busur dihubung kan oleh busur yang panjangnya sama yang panjangnya sama dengan jari-jari.dengan jari-jari.

1 radian = 3601 radian = 360oo/2/2=57,3=57,3oo

r

s●

r

s

= 1 radian jika s = rPada lingkaran penuh = 360o

S= 2r s = panjang busur

2

2

r

r

r

sradian

44

Perbandingan Gerak Perbandingan Gerak Lurus Lurus dengan Gerak Rotasidengan Gerak Rotasi

Gerak Lurus Gerak Rotasi

1.

s

m

dt

dxv ,

2 dt

d

dt

dva

2

2

x

Untuk a tetap

3.v= vo + a t

4. x=vot + ½ a t2

5. v2 = vo2 + 2 a x

s

rad

dt

d,

1.

dt

d

dt

d

2

2

2.

= o + t

4. = ot + ½ t2

5. 2 = o2 + 2

55

Hubungan Kinematika Hubungan Kinematika LinearLineardan Kinematika Sudutdan Kinematika Sudut

x

y

P

v

s

r

o

w

w

Pada setiap saat, hubungan sudut (dalam radian) dan panjang busur S Dinyatakan dengan : s = r Bila dideferensialkan terhadap waktu :

rardt

d

dt

dv

rvrdt

d

dt

ds

t ..

..

66

Arah perc. Tangensial Arah perc. Tangensial dandan perc. Radial perc. Radial

rwr

var .

P

at

ar

aat = .r

Perc. tangensial

Perc. radial

Percepatan total :

a = at2 + ar

2

o

22

.rr

var

77

Hubungan kec.sudut Hubungan kec.sudut dengandenganfrekuensi rotasi.frekuensi rotasi.

Frekuensi = jml putaran/sekonFrekuensi = jml putaran/sekon Satu putaran (mis dari sebuah roda) Satu putaran (mis dari sebuah roda)

berhubungan dengan sudut 2berhubungan dengan sudut 2 radian. radian. 1 putaran / sekon = 2 1 putaran / sekon = 2 rad/sekon. rad/sekon. Frekuensi : f = Frekuensi : f = / 2 / 2 atau atau = 2 = 2 f. f. Satuan utk frekunsi = Hz (put/s)Satuan utk frekunsi = Hz (put/s) Waktu yang dibutuhkan utk 1 putaran Waktu yang dibutuhkan utk 1 putaran

penuh disebut periode ( T ) = 1/fpenuh disebut periode ( T ) = 1/f

88

Energi pada Gerak RotasiEnergi pada Gerak Rotasi

Sebuah benda melakukan gerak rotasi Sebuah benda melakukan gerak rotasi terhadap sumbu tetap. Bila kita perhatikan n terhadap sumbu tetap. Bila kita perhatikan n buah partikel pada benda tersebut, maka buah partikel pada benda tersebut, maka energi kinetik dari n buah pertikel tersebut energi kinetik dari n buah pertikel tersebut adalah : adalah :

EK = ½ mEK = ½ m11vv1122 + ½ m + ½ m22vv22

22 + …+ ½ m + …+ ½ mnnvvnn22, karena , karena

v = v = r : r : EK = ½ mEK = ½ m11 22rr11

2 2 + ½ m+ ½ m22 22rr2222 + …+ ½ m + …+ ½ mnn 22rrnn

22 EK = ½ (EK = ½ ( m mnnrrnn

22) ) 22

( mnrn2) = I = momen Inersia

EK = ½ I 2

Energi Kinetik benda tegar yang berotasi

99

Momen Inersia beberapa Momen Inersia beberapa BendaBenda

J E N I S B E N D A MOMEN INERSIA

1. Batang ramping, sumbu melalui pusatnya I = 1/12 ML2

2. Batang ramping, sumbu melalui salah satu ujungnya I = 1/3 ML2

3. Pelat persegiempat, sumbu melalui pusatnya I = 1/12 M(a2 + b2)4. Pelat persegiempat tipis, sumbu sepanjang ujungnya I = 1/3 M a2

5. Silinder Berlubang I = ½ (MR12 + R2

2)6. Silinder Pejal I = ½ MR2

7. Silinder berlubang yang berdinding tipis I = MR2

8. Bola Pejal I = 2/5 MR2

9. Bola berlubang yang berdinding tipis I = 2/3 MR2

1010

T o r s iT o r s i

Torsi menggambarkan usaha memutar Torsi menggambarkan usaha memutar atau melingkar dari suatu gaya.atau melingkar dari suatu gaya.

Torsi adalah ukuran kuantitatif dari Torsi adalah ukuran kuantitatif dari kecenderungan sebuah gaya untuk kecenderungan sebuah gaya untuk menyebabkan atau mengubah gerak menyebabkan atau mengubah gerak rotasi dari suatu benda. rotasi dari suatu benda.

Torsi total yang bekerja pada suatu benda Torsi total yang bekerja pada suatu benda tegar menentukan percepatan sudutnyategar menentukan percepatan sudutnya

1111

Torsi (lanjutan)Torsi (lanjutan)

Torsi (momen) merupakan hasil kali Torsi (momen) merupakan hasil kali antara gaya dengan lengan.antara gaya dengan lengan.

Lengan adalah jarak tegak lurus anatara Lengan adalah jarak tegak lurus anatara garis kerja gaya dengan titik yang ditinjau.garis kerja gaya dengan titik yang ditinjau.

LA B

l1 l2

Garis kerjaF

A = F x l1

F

l2

l1

A B

A = F x l3

B = F x l2

A B

F

L

A = F x L

1212

Torsi LanjutanTorsi Lanjutan

LA B

A = 0

l1

l2

A

B

o

F1

F2

Grs kerja gaya F1

l1 = lengan momen F1

Grs kerja gaya F2

l2 = lengan momen F2

Efek gaya F1 adalah rotasi yang berlawanan dengan arah putaran jarum jam.Efek gaya F2 adalah rotasi yang searah Dengan arah putaran jarum jam

Untuk membedakan arah-arah rotasi ini kitaPakai perjanjian :

BAHWA MOMEN YANG BERLAWANAN DENGAN ARAH PUTARAN JARUM JAMDIANGGAP POSITIF DAN YANG SEARAHNEGATIF.

1 = + F1 l1

2 = - F2 l2

1313

Torsi (secara analitis)Torsi (secara analitis)

F

F cos

F sin

AB A = - F sin x a

B = - F sin ( l – a)

a

l

A = - Fsin x l lA B

F sin

F cos

1414

Momentum SudutMomentum Sudut

Momentum sudut (L) : hasilkali besarnya Momentum sudut (L) : hasilkali besarnya momentum linear dan jari-jari r.momentum linear dan jari-jari r.

L = mv.r = m(r L = mv.r = m(r )r=mr )r=mr22. . = I. = I. Arah L sama dengan arah Arah L sama dengan arah . Untuk . Untuk

gera-kan yang berlawanan dengan arah gera-kan yang berlawanan dengan arah jarum jam, jarum jam, dan L biasanya diambil dan L biasanya diambil positif, dan sebaliknya negatif untuk yang positif, dan sebaliknya negatif untuk yang searah dengan jarum jam.searah dengan jarum jam.

1515

Dinamika Rotasi Benda Dinamika Rotasi Benda TegarTegar

Hukum II Newton utk rotasi dapat dinyatakan Hukum II Newton utk rotasi dapat dinyatakan dalam : dalam :

Idt

dI

dt

Id

dt

dL

dt

dp

)(

I = Momen Inersia = percepatan sudut

1616

Perbandingan Gerak Perbandingan Gerak Lurus Lurus dengan Gerak Rotasidengan Gerak Rotasi

Gerak Lurus Gerak Rotasi

Perpindahan : X Perpindahan sudut :

Massa : m Momen Inersia : I

Momentum : p = mv Momentum sudut : L = I

Gaya : F Torsi :

Energi Kinetik : EK = ½ mv2 Energi Kinetik : EK = ½ I 2

Daya : P = F.v Daya : P =

HK. II Newton : F = m.a Hk. II Newton : = I

1717

Syarat Keseimbangan StatikSyarat Keseimbangan Statikuntuk Benda Tegaruntuk Benda Tegar

1.1. Gaya eksternal yang bekerja pada Gaya eksternal yang bekerja pada benda benda

tersebut harus nol.tersebut harus nol. F = 0F = 0

2.2. Torsi eksternal terhadap setiap titik Torsi eksternal terhadap setiap titik harus nol.harus nol.

= 0= 0

1818

Contoh SoalContoh Soal

1. 1. 10 m

6 m

Berat balok penopang = 40 N dan pusat beratNya ditengahnya. Tentukan :a) Gaya tegangan dalam kabelb) Komponen horizontal dan komponen ver- tikal gaya yang bekerja pada balok peno- pang di dinding.

8 m

60 N

= 0, T sin x 8 – 60 x 8 – 40 x 4 = 08 T( 3/5 ) = 480 + 160 T = 133,33 N

Fx = 0, H – T cos = 0 H = T cos = = 133,33 x 4/5 = 106,7NFy = 0, V – 40 N – 60 N + T sin V = 100 – 133,33 x 3/5 V = 20 N

H

V

40 N 60 N

T Sin

T Cos

1919

Contoh SoalContoh Soal

2. 2.

L/2 L/4 L/4

F1 F2

450 N200 N

A B

Tentukan besarnya gaya yang diakukan penyangga pada batang (F1 dan F2)

= 0 , F2 x L – 450 ( ¾ L) – 200 ( ½ L) = 0 F2 L – 337,5 L – 100 L = 0 F2 = 437,5 N

Fy = 0, F1 + F2 – 450 – 200 = 0 F1 = 212 N

2020

Contoh SoalContoh Soal

3.3.

F2x

F2y

F2

F1

0,6 L

0,4 L

Berat tangga 300 N, titik pusat beratnya 0,4 L, L = panjang tanggaTentukan :Besarnya gaya F2y , F2x dan F2

(ambil poros perputaran di titik A)

= 0, F1 x L sin 50o – 200(0,4 L cos 50o

0,766 L x F1 – 51,42 L = 0 F1 = 67 N

Fx = 0, F2x – F1 = 0 F2x = F1 = 67 N

Fy = 0, F2y – 200 = 0 F2y = 200 N

AB

50o NF

F

FFF yx

210

)200()67(

2

222

22

22

22

2121

Contoh SoalContoh Soal

4.4.

r2

r1

a1

a2

w1 w2

Sebuah Sistem katrol mempunyai momen inersiaI = 1,7 kg m2 dan jari-jari : r1 = 0,5 m, r2 = 0,2 mM1 = 2 kg, m2 = 1,8 kg.Berapa percepatan sudut sistem katrol ( ) ?Berapa tegangan tali T1 dan T2..

•Dari rumus : a = r didapat persamaan : a1 = r1 = 0,5 ; a2 = r2= 0,2 ; •Untuk gerak translasi : F = m.a m1g – T1 = m1a1

2.( 9,8) – T1 = 2 (0,5 ) 19,6 – T1 = T1 = 19,6 - .....(1)

T2 – m2g = m2 a2

T2 – 1,8 (9,8) = 1,8 ( 0,2 ) T2 – 17,6 = 0,36 T2= 0,36 + 17,6............ (2)

T1

T1T2

T2

2222

Contoh SoalContoh Soal

* Untuk Sistem katrol : = I T1. r1 – T2 . r2 = I 0,5 T1 – 0,2 T2 = 1,7 ....... (3)

Dari pers (1) : T1 = 19,6 – Pers ini di subs ke pers (3)0,5 (19,6 - ) – 0,2 T2 = 1,7 T2 = 49 – 11 ........ (4)

Pers (2) di subs ke pers (4)0,36 + 17,6 = 49 – 11 = 2,76 rad/s2

Dari pers (1) : T1 = 19,6 – T1 = 19,6 – 2,76 = 16,8 N

Dari pers (2) : T2 = 0,36 + 17,6 = 0,36 (2,76) + 17,6 = 18,6 N