5.3 RECURSIVE DEFINITIONS AND STRUCTURAL INDUCTION

Rekursif

Ada kalanya kita mengalamikesulitan untuk mendefinisikansuatu obyek secara eksplisit.

Mungkin lebih mudah untukmendefinisikan obyek tersebutdengan menggunakan dirinyasendiri. Ini merupakan prosesrekursif.

Kita dapat mendefinisikanbarisan, fungsi dan himpunansecara rekursif.

Fungsi yang Didefinisikan secara Rekursif

Langkah-langkah untuk mendefinisikan fungsidengan domain bilangan cacah secara rekursif:

1.Langkah basis: Definisikan nilai fungsi padasaat nol.

2.Langkah rekursif: Berikan aturan untukmencari nilai fungsi untuk setiap bilanganbulat berdasarkan nilai fungsi pada bilanganbulat yang lebih kecil

f(0) = 3

f(n + 1) = 2f(n) + 3

Maka

f(0) = 3

f(1) = 2f(0) + 3 = 23 + 3 = 9

f(2) = 2f(1) + 3 = 29 + 3 = 21

f(3) = 2f(2) + 3 = 221 + 3 = 45

f(4) = 2f(3) + 3 = 245 + 3 = 93

Contoh 1

Bagaimana kita dapat mendefinisikan fungsi faktorialf(n) = n! secara rekursif?

f(0) = 1

Karena (n+1)! = n! (n+1) maka

f(n + 1) = (n + 1)f(n)

f(0) = 1

f(1) = 1 f(0) = 1 1 = 1

f(2) = 2 f(1) = 2 1 = 2

f(3) = 3 f(2) = 3 2 = 6

f(4) = 4 f(3) = 4 6 = 24

Contoh 2

Soal 1

Bagaimana kita dapat mendefinisikan fungsi

secara rekursif?

n

k

kanf0

)(

Barisan Yang Didefinisikan Secara Rekursif

Contoh 3.

Barisan bilangan pangkat dari 2

an = 2n untuk n = 0, 1, 2, … .

Barisan ini dapat didefinisikan secara rekursif:

a0 = 1

an+1 = 2an untuk n = 0, 1, 2, …

Langkah-langkah untuk mendefinisikan barisan secara rekursif:

1. Langkah basis: Spesifikasi anggota awal.

2. Langkah rekursif: Berikan aturan untuk membangun anggotabaru dari anggota yang telah ada.

Berikan definisi rekursif dari an=rn, dengan rN,

r≠0 dan n bilangan bulat positif.

Solusi.

Definisikan a0=r0=1

dan an+1=r . an untuk n = 0, 1, 2, …

Contoh 4

Contoh 5

Barisan Hanoi0, 1, 3, 7, 15, 31, ...

h0 = 0hn = 2hn−1 + 1 untuk n ≥ 1

Barisan Fibonacci0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, …

f0 = 0, f1 = 1fn = fn-1+ fn-2, untuk n ≥ 2

Tunjukkan bahwa untuk n 3, fn > n-2 dengan = (1+√5)/2.

Kompleksitas Algoritma gcd(a,b)

procedure gcd(a,b: bulat)

x := a; y := b;

while y ≠ 0

r := x mod y

x := y

y := r

return x (x = gcd(a,b))

Misalkan a,b dan a ≥ b.

Misalkan r0 = a dan r1= b. Diperoleh:

r0 = r1 q1 + r2 0 ≤ r2 < r1 ,

r1 = r2 q2 + r3 0 ≤ r3 < r2 ,

:

:

rn -2 = rn -1 qn -1 + rn 0 ≤ rn < rn-1,

rn-1 = rn qn .

Algoritma ini didasarkan pada Lemma berikut:Lemma Misalkan a = bq + r, dengan a, b, q, dan r bilangan bulat. Maka, gcd(a,b) = gcd(b,r).

Kompleksitas Algoritma gcd(a,b)

Lemma Misalkan a = bq + r, dengan a, b, q, dan r bilanganbulat. Maka, gcd(a,b) = gcd(b,r).

Bukti

• Misalkan d|a dan d|b. Maka, d|r, karena r = a – bq. Jadi, setiap pembagi bersama dari a dan b juga pembagibersama bagi b dan r.

• Misalkan d|b dan d|r. Maka, d|a, karena a = bq + r. Jadi, setiap pembagi bersama dari b dan r juga pembagibersama bagi a dan b.

• Jadi, gcd(a,b)=gcd(b,r).

Kompleksitas Algoritma gcd(a,b)Teorema Lame. Misalkan a, b bulat. Maka, banyaknya pembagianyang digunakan dalam Algoritma Euclid gcd(a,b) lebih kecil atausama dengan 5 kali banyaknya digit desimal dari b.

Algoritma Euclid

r0 = r1 q1 + r2 0 ≤ r2 < r1 ,

r1 = r2 q2 + r3 0 ≤ r3 < r2 ,

:

:

rn -2 = rn -1 qn -1 + rn 0 ≤ rn < rn-1,

rn-1 = rn qn .

Terdapat n pembagian.

Bilangan q1 , q2 , … , qn - 1 ≥ 1. Dan, qn ≥ 2 karena rn < rn -1 .

rn ≥ 1 = f2 ,

rn-1 ≥ 2rn ≥ 2f2 = f3 ,

rn-2 ≥ rn-1 + rn ≥ f3 + f2 = f4 ,

:

:

r2 ≥ r3 + r4 ≥ fn-1 + fn-2 = fn ,

b = r1 ≥ r2 + r3 ≥ fn + fn-1 = fn+1 .

fn adalah barisan Fibonacci, dan telahditunjukkan bahwa:fn > n-2 dengan = (1+√5)/2.

Kompleksitas Algoritma gcd(a,b)

Karena, b = r1 ≥ r2 + r3 ≥ fn + fn-1 = fn+1 , danfn > n-2 dengan = (1+√5)/2, maka, b ≥ fn+1 > n-1.

Ini berarti bahwa log10 b > (n-1) log10 > (n-1)/5, karena log10 ≈ 0.208 > 1/5.

Sehingga, n < 1+ 5log10 b.

Maka, banyaknya pembagian lebih kecil atausama dengan 5 kali banyak digit dari b.

Himpunan yang Didefinisikan secara Rekursif

Langkah-langkah dalam mendefinisikan suatuhimpunan secara rekursif:

1.Langkah basis:

Spesifikasi koleksi awal dari anggota

2.Langkah rekursif:

Mendefinisikan aturan konstruksi anggotabaru dari anggota yang telah diketahui

Contoh 6

Misalkan S didefinisikan secara rekursif oleh:3 S(x+y) S jika x S dan y S

Maka S adalah himpunan bilangan bulat positif yang habis dibagi 3.

BuktiMisalkan A himpunan yang beranggotakan semuabilangan bulat positif yang habis dibagi 3.Untuk membuktikan bahwa A = S, harus ditunjukkan

A S and S A.

Bagian I:

Akan dibuktikan A S, yaitu menunjukkan bahwa setiap bilanganbulat positif yang habis dibagi 3 ada di S (dengan menggunakaninduksi matematika).

Misalkan P(n): proposisi “3n anggota S” untuk setiap n bilangan asli.

1. Langkah basis: P(1) benar, karena 3 S.

2. Langkah induktif:

Asumsikan P(k) benar, yaitu 3k S.

Akan ditunjukkan P(k+1) juga benar, yaitu 3(k+1) S

Karena 3k S dan 3 S, berdasarkan definisi rekursif dari S, 3k+3 = 3(k+1) juga ada di S.

3. Konklusi:

Jadi, setiap bilangan bulat positif yang habis dibagi 3 anggota S.

Jadi, A S.

Contoh 6 (2)

Bagian II:

Akan ditunjukkan S A dengan menggunakan definisi rekursif dari S.

Langkah basis:

Akan ditunjukkan setiap anggota awal S ada di A.

Karena 3 habis dibagi 3 maka 3 A.

Langkah rekursif:

Akan ditunjukkan bahwa setiap bilangan bulat yang dibangun dengan mengunakan langkah rekursif juga merupakan anggota A, yaitu

(x+y) A jika x,y S (yang diasumsikan A).

Jika x dan y keduanya di A, maka 3|x dan 3|y. Akibatnya, 3|(x+y).

Jadi, S A.

Dengan demikian, secara keseluruhan, berlaku A = S.

Contoh 6 (3)

Induksi Struktural

Dalam membuktikan hasil-hasil yang berkaitan denganhimpunan yang didefinisikan secara rekursif, akan lebih mudahapabila digunakan suatu bentuk induksi matematika yang disebut induksi struktural.

Langkah-langkah dalam induksi struktural:

1. Langkah basis:

Menunjukkan bahwa hasil yang akan dibuktikan berlakuuntuk semua anggota awal.

2. Langkah rekursif:

Menunjukkan bahwa jika hasil yang akan dibuktikan berlakuuntuk anggota-anggota yang digunakan untuk membangunanggota baru, maka hasil tersebut juga berlaku untukanggota yang baru dibangun.

Definisi Circular

Definisi 1.

Suatu “definisi” rekursif dikatakan circular jika looping tidak dapat dihentikan.

Contoh 7.

Definisi circular dari Index and Glossary of Knuth, Vol 1.

Circular Definition, 260

see Definition, circular

Definition, circular,

see Circular definition

Himpunan String atas Alfabet

Himpunan string * atas alfabet dapat didefinisikan secararekursif oleh:

1.Langkah basis:

* ( adalah string kosong yang tidak memuat simbol)

2.Langkah rekursif:

Jika w * dan x , maka wx *

Contoh 8.

Jika = {0,1} maka string yang merupakan anggota * adalah:

• yang didefinisikan sebagai anggota * dalam langkah basis,

• 0 dan 1 yang dibentuk dalam langkah rekursif pertama,

• 00, 01, 10, dan 11 yang dibentuk dalam langkah rekursifkedua, dst

Sebagai operasi dari dua string, konkatenasi didefinisikan secararekursif sebagai:1. Langkah basis:

Jika w *, maka w. = w, dengan string kosong2. Langkah rekursif:

Jika w1 * dan w2 * dan x , makaw1 . (w2 x) = (w1 . w2) x

Konkatenasi Dua String

w1 . w2 seringkali ditulis sebagai w1 w2

Contoh 9.

Konkatenasi dari w1 = meng dan w2 = apa adalah

w1 w2 = mengapa

Panjang dari string w, l (w) dapat didefinisikan secara

rekursif oleh:

l () = 0,

l (w x) = l (w) + 1 jika w * dan x .

Panjang String

Soal 2.

Gunakan induksi struktural untuk membuktikan

l (x y) = l (x) + l (y).

Induksi yang DiperluasInduksi matematika dapat diperluas untuk membuktikanhasil-hasil mengenai himpunan yang memiliki sifatterurut dengan baik.

Contoh 10.

Pandang himpunan N x N di mana (x1, y1) < (x2, y2) jika x1

< x2, atau x1 = x2 dan y1 < y2.

Setiap subhimpunan dari N x N memiliki elemen terkecil.

Jadi, N x N merupakan himpunan yang terurut denganbaik.

Soal 3

Misalkan didefinisikan secara rekursifuntuk (m,n) N x N oleh

dan

nma ,

0 jika,

0dan 0 jika,1

1,

,1

,nna

mnaa

nm

nm

nm

Tunjukkan bahwa

untuk setiap (m,n) N x N.

00,0 a

2/)1(, nnma nm

Bahan Test I

• Logika– Proposisi– Predikat dan Kuantifikasi– Kuantifikasi Bersusun– Aturan Inferensi

• Bukti– Metoda Pembuktian– Strategi Pembuktian

• Struktur Diskrit– Himpunan– Fungsi– Barisan

• Algoritma– Algoritma– Pertumbuhan Fungsi– Kompleksitas Algoritma

• Induksi– Induksi Matematika– Induksi Kuat

• Rekursi– Fungsi, Himpunan, Barisan

yang Didefinisikan secaraRekursif

– Induksi Struktural– Induksi yang Diperluas

Latihan Soal (1)

1. Misalkan kedua asumsi berikut benar:

1. “Logika itu sulit atau tidak banyak mahasiswa yang menyukai logika.”

2. “Jika matematika mudah, maka logika tidak sulit.”

Berikan alasan mengapa kesimpulan berikut valid berdasarkan dua asumsi di atas.

1. Bahwa matematika tidak mudah, jika banyak mahasiswa yang menyukailogika.

2. Bahwa jika tidak banyak mahasiswa menyukai logika, maka matematika tidakmudah atau logika tidak sulit.

2. Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan ”∃x∀y(x ≤ y2)” jika domain adalah

a) himpunan bilangan real positif.

b) himpunan bilangan bulat.

c) himpunan bilangan real tak nol.

Latihan Soal (2)

3. Buktikan pernyataan berikut.

Jika x dan y bilangan real, maka max(x, y) + min(x, y) = x + y.

4. Buktikan bahwa persamaan n2 + n3 = 100 tidak memiliki solusi bilanganbulat positif.

5. (a) Tunjukkan bahwa (x3 + 2x)/(2x + 1) adalah O(x2).

(b) Periksa apakah fungsi log(n+1) adalah O(log n).

6. Berikan estimasi big-O untuk banyaknya operasi (penjumlahan atauperkalian) yang digunakan dalam algoritma berikut.

t := 0

for i := 1 to n

for j := 1 to n

t := t + ij

Latihan Soal (3)

7. Buktikan bahwa n2 − 7n + 12 adalah bilangantak negatif untuk n bilangan bulat dengan n ≥ 3.

8. Apakah papan catur dengan ukuran 6 x 2n, untuk setiap bulat positif n, dapat ditutupidengan ubin berbentuk L?