5

TEORI PELUANG

Teori peluang itu merupakan bagian yang erat kaitannya dengan ilmu statistik.

Dengan teori peluang dapat diperkirakan atau dihitung hasil pengamatan yang mungkin

diperoleh. Dengan menggunakan teori peluang, data statistik akan dapat berperan dalam

penentuan kesimpulan atau pengambilan keputusan. Penerapan teori peluang dalam

kenyataannya memerlukan pengumpulan dan pengolahan data yang merupakan bagian

ilmu statistik.

Peluang diperlukan untuk mengetahui ukuran atau derajat ketidakpastian suatu

peristiwa. Di dalam statistik, peluang dipakai antara lain terkait dengan cara pengambilan

sampel dari suatu populasi.

Mengundi dengan sebuah mata uang logam atau sebuah dadu, membaca temperatur

dengan termometer tiap hari, menghitung barang rusak yang dihasilkan tiap hari, mencatat

banyak kendaraan yang melalui pertigaan jalan tertentu setiap jam, dan masih banyak

contoh yang lain, merupakan eksperimen yang dapat diulangi. Semua hasil yang mungkin

terjadi bisa dicatat. Segala bagian yang mungkin didapat dari hasil ini dinamakan peristiwa.

1. BEBERAPA ISTILAH STATISTIK

Beberapa istilah yang lazim ditemui akan dijelaskan atau diberi definisinya yaitu :

Himpunan (set) adalah kumpulan benda-benda. Setiap benda yang menjadi anggota

himpunan itu disebut elemen.

Himpunan bagian (subset) dari suatu himpunan A, adalah suatu himpunan yang semua

elemennya adalah elemen himpunan A juga.

Himpunan nol atau himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mengandung

elemen.

Komplemen dari suatu himpunan bagian B, adalah himpunan bagian yang tidak

mengandung satupun elemen yang terdapat dalam B. Komplemen B dinyatakan

dengan .

Eksperimen adalah proses pengumpulan data yang berhubungan dengan suatu gejala

yang hasilnya bervariasi.

Ruang (space) atau semesta adalah himpunan induk yang besar.

Ruang sampel adalah ruang seluruh hasil yang saling berbeda dari suatu eksperimen.

6

Titik sampel (sample point) adalah elemen ruang sampel.

Peristiwa (event) adalah himpunan titik sampel yang dinyatakan memiliki sifat yang sama.

Percobaan adalah pelaksanaan tunggal sebuah eksperimen saling eksklusif , dua

himpunan A dan B saling eksklusif bila elemen masing-masingnya saling berbeda.

Peluang suatu peristiwa adalah bilangan perbandingan antara banyak kali munculnya

peristiwa tersebut terhadap banyak kalinya percobaan dalam eksperimen yang

berlanjut pada keadaan yang tetap sama.

Contoh 2.1

Pada percobaan melempar dua buah mata uang logam (koin) homogen yang bersisi angka

(A) dan gambar (G) sebanyak satu kali. Tentukan ruang sampel percobaan tersebut.

Contoh 2.2

Dua buah dadu homogen berbentuk kubus bermata 6 dilempar bersama-sama sebanyak

satu kali. Tentukan ruang sampel pada percobaan tersebut.

Contoh 2.3

Seperangkat kartu bridge dikocok, lalu diambil satu kartu secara acak. Tentukan ruang

sampel percobaan tersebut ?

2. PELUANG

Hasil yang saling berbeda dari suatu eksperimen merupakan elemen ruang sampel

S. Hasil suatu eksperimen yang telah didefinisikan dengan baik, haruslah terlebih dahulu

ditetapkan secara jelas pula. Himpunan bagian dari S disebut peristiwa (event). Ruang S

adalah peristiwa pasti, sedang himpunan kosong adalah peristiwa mustahil. Bila ruang S

terdiri atas n elemen, maka terdapat 2n himpunan bagian, tetapi tidak semuanya dapat

dinyatakan sebagai peristiwa. Suatu peristiwa yang terdiri atas satu elemen saja disebut

peristiwa elementer.

Percobaan (trial) adalah pelaksanaan tunggal sebuah eksperimen. Hasil suatu

percobaan, misalnya hi , adalah sebuah elemen dari ruang S yang juga elemen dari suatu

peristiwa katakanlah A. Pada suatu percobaan, peristiwa A akan terjadi bila salah satu

elemennya misalnya hi merupakan hasil percobaan tersebut. Semua peristiwa lainnya yang

7

mengandung hi sebagai elemennya juga terjadi. Jelas bahwa peristiwa S terjadi pada

setiap percobaan, dan bahwa peristiwa nol tidak pernah terjadi.

Untuk setiap peristiwa A dapat dituliskan sebagai bilangan P(A). Bila P(A)

memenuhi tiga syarat berikut ini, maka P(A) disebut peluang peristiwa A. Ketiga syarat itu

adalah :

1. P (A) > 0

2. P (S) = 1

3. Bila AB=0, maka P (A+B) = P(A) + P(B) ......................................(1)

Bila dua atau lebih peristiwa saling eksklusif maka kedua peristiwa tersebut tidak memiliki

titik sampel yang sama.

Peristiwa-peristiwa yang saling eksklusif dihubungkan dengan kata ATAU . Untuk itu

berlaku aturan: Jika k buah peristiwa E1, E2, E3, , Ek, saling eksklusif, maka peluang

untuk terjadinya E1 atau E2, atau atau Ek sama dengan jumlah peluang tiap peristiwa.

P(E1 atau E2 atau atau Ek) = P(E1 + E2 + E3 + + Ek).

Contoh 2.4

Sebuah kotak berisi 10 kelereng merah, 18 kelereng hijau, dan 22 kelereng kuning. Kecuali

warna, lain-lainnya identik. Bila semua kelereng dimasukkan ke dalam kotak dan diaduk-

aduk, maka berapakah peluang warna merah atau hijau yang terambil dari kotak jika

kelereng diambil secara acak dengan mata tertutup?

Selanjutnya dapat diperoleh :

P (0) = 0

P (A) + P( ) = 1

Contoh 2.5

a. Jika peluang muncul muka 6 pada pengundian dengan dadu adalah P(E) = P(6) = 1/6

maka peluang muncul bukan muka 6 adalah P(E) = ?

b. Jika peluang mendapat hadiah adalah P(Hadiah) = 0,61, maka peluang tidak mendapat

hadiah adalah P(Tidak dapat hadiah) =..?

8

Bila peristiwa A dan peristiwa B tidak saling eksklusif, B 0, maka:

P (A+B) = P(A) + P(B) P(A.B) ....................................................(2)

Hubungan yang ketiga adalah hubungan inklusif, yaitu atau A atau B atau kedua-

duanya terjadi.

Contoh 2.6:

Tumpukan kartu bridge ada 52 kartu terdiri dari 4 kartu hati, keriting, wajik, dan skop. Tiap

macam terdiri dari 13 kartu yang bernomor dari 2, 3, ..., 10, J, Q, K, dan AS. Peluang

menarik kartu hati, keriting, wajik, dan skop masing-masing 0,25. Tentukanlah Peluang

menarik kartu AS atau sebuah hati.

Supaya sesuai dengan pengertian sehari-hari, untuk bilangan penunjuk peluang tersebut

ditambahkan persyaratan, bahwa peluang peristiwa A kira-kira sama dengan frekuensi

relatif terjadinya, yaitu :

P (A) = nA / n .............................................................................(3)

nA adalah banyak kalinya peristiwa A terjadi dalam n kali percobaan.

Tidak terlalu sulit untuk menunjukkan bahwa dengan tambahan persyaratan ini, ketiga

persyaratan sebelumnya tetap terpenuhi.

Contoh 2.7

Sebuah kotak berisi 20 kelereng yang identik kecuali warnanya. Di dalam kotak tersebut

terdapat 5 kelereng warna merah, 12 warna kuning, dan sisanya warna hijau. Jika kelereng

dalam kotak di aduk-aduk dan diambil secara acak dengan mata tertutup, tentukanlah

peluang mengambil kelereng berwarna merah , peluang mengambil kelereng berwarna

kuning, dan peluang mengambil kelereng berwarna hijau.

3. PELUANG BERSYARAT

Peluang terjadinya kejadian B bila diketahui bahwa suatu kejadian lain A telah

terjadi disebut peluang bersyarat dan dilambangkan dengan P(B ). Lambang P(B )

9

dibaca peluang terjadinya B bila telah terjadi atau lebih singkat lagi peluang B bila

diketahui dituliskan :

P ( .B) = P ( ) . P(B ) .........................................................................(4)

4. PELUANG BEBAS

Bila peluang terjadi atau tidak terjadinya A tidak akan mempengaruhi peluang

terjadinya B, maka A dan B merupakan dua peristiwa yang independen atau bebas yang

dapat ditulis sbb :

P (A.B) = P (A) . P(B) ..................................................................(5)

dimana P( B) = P( ) dan P(B ) = P(B)

Contoh2.8

Jika dilakukan undian dengan sebuah mata uang sebanyak dua kali. Bila peristiwa A

adalah tampak muka dan peristiwa B juga tampak muka, maka peristiwa A dan B adalah

independen. Tentukanlah peluang peristiwa A dan peluang peristiwa B ?

Contoh2.9

A menyatakan si Y akan hidup dalam tempo 80 tahun, B menyatakan si Z akan hidup

dalam tempo juga 80 tahun. Jika diberikan P(A) = 0,65 dan P(B) = 0,52 ; Berapakah

peluang si Y dan si Z dua-duanya akan hidup dalam tempo 80 tahun?

5. PERMUTASI DAN KOMBINASI

Permutasi adalah banyaknya cara pengurutan atau pengaturan n benda yang

saling berbeda ke dalam himpunan yang terdiri atas r benda. Banyaknya permutasi r benda

dari n benda dinyatakan sebagai nPr. Rumus permutasi dituliskan sebagai :

( ) ( )

Kombinasi adalah banyaknya cara menghitung n benda yang saling berbeda ke

dalam himpunan yang terdiri atas r benda, tanpa memperhatikan urutan benda dalam

10

himpunan tersebut. Banyak kombinasi r benda dari n benda dinyatakan sebagai nCr .

Rumus kombinasi dituliskan sebagai :

( ) ( )

Contoh 2.10

Berapa banyaknya permutasi dari cara duduk yang dapat terjadi jika 8 orang disediakan 4

kursi, sedangkan salah seorang dari padanya selalu duduk di kursi tertentu.

Contoh 2.11

Suatu kelompok belajar yang beranggotakan empat orang (A, B, C dan D) akan memilih

ketua dan wakil ketua kelompok. Ada berapa alternative susunan ketua dan wakil ketua

dapat dipilih.

Contoh 2.12 Bila ada 4 mahasiswa melamar untuk mendapatkan beasiswa, sedangkan beasiswa yang tersedia

untuk 2 orang, berapa kombinasi yang mungkin ? (2 mahasiswa yang mendapatkan beasiswa dari

4 mahasiswa yang melamar) !

Contoh 2.13

a. Bila ada 3 fisikawan, berapa cara untuk memilih 1 fisikawan dari 3 fisikawan tersebut

b. Bila ada 4 kimiawan dan 3 fisikawan, ada berapa cara untuk membentuk panitia terdiri

dari 3 orang yang beranggotakan 2 kimiawan dan 1 fisikawan