2.PERSAMAANPERTIDAKSAMAAN_DAN_FUNGSI_KUADRAT

2. PERSAMAAN, PERTIDAKSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT

A. Persamaan Kuadrat

1. Bentuk umum persamaan kuadrat : ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0

2. Nilai determinan persamaan kuadrat : D = b2 – 4ac

3. Akar–akar persamaan kuadrat dapat dicari dengan memfaktorkan ataupun dengan rumus:

a2

Dbx 2,1

±−=

4. Pengaruh determinan terhadap sifat akar:

a. Bila D > 0, maka persamaan kuadrat memiliki 2 akar real yang berbeda b. Bila D = 0, maka persamaan kuadrat memiliki 2 akar real yang kembar dan rasional c. Bila D < 0, maka akar persamaan kuadrat imajiner (tidak memiliki akar–akar)

5. Jumlah akar–akar persamaan kuadrat : ab

21 xx −=+

6. Selisih akar–akar persamaan kuadrat : a

Dxx =− 21 , x1 > x2

7. Hasil kali akar–akar persamaan kuadrat : ac

21 xx =⋅

8. Persamaan kuadrat baru disusun dengan rumus : x2 – (x1 +x2)x + x1·x2 = 0

9. Beberapa rumus yang biasa digunakan saat menentukan persamaan kuadrat baru

a. 22

21 xx + = )(2)( 21

221 xxxx ⋅−+

b. 32

31 xx + = ))((3)( 2121

321 xxxxxx +⋅−+

B. Pertidaksamaan Kuadrat

Bentuk BAKU pertidaksamaan kuadrat adalah

ax2 + bx + c ≤ 0, ax2 + bx + c ≥ 0, ax2 + bx + c < 0, dan ax2 + bx + c > 0

Adapun langkah penyelesaian Pertidaksamaan kuadrat adalah sebagai berikut: 1. Ubah bentuk pertidaksamaan ke dalam bentuk baku (jika bentuknya belum baku) 2. Cari nilai pembentuk nolnya yaitu x1 dan x2 (cari nilai akar–akar persamaan kuadratnya) 3. Simpulkan daerah himpunan penyelesaiannya:

No Pertidaksamaan Daerah penyelesaian Notasi Himpunan Penyelsaian

a ≥ atau >

HP ada di tepi, menggunakan

kata hubung atau

Hp = {x | x ≤ x1 atau x ≥ x1} atau

Hp = {x | x < x1 atau x > x1}

b ≤ atau <

HP ada tengah

Hp = {x | x1 ≤ x ≤ x2} atau

Hp = {x | x1 < x < x2} atau

Soal Pembahasan UN Matematika SMA Prog. IPA EDISI 2 http://www.soalmatematik.com

Cermati secara seksama cara pengerjaannya lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e–book kumpulan soal UN

11

C. Fungsi kuadrat

1. Bentuk umum fungsi kuadrat : y = ax2 + bx + c, a ≠ 0

2. Pengaruh determinan terhadap bentuk grafik fungsi kuadrat adalah: D a > 0 (fungsi minimum) a < 0 (fungsi maksimum)

D > 0

Grafik memotong sumbu X di dua titik

Grafik memotong sumbu X di dua titik

D = 0

Grafik menyinggung sumbu X

Grafik menyinggung sumbu X

D < 0

Grafik tidak menyinggung sumbu X

Grafik tidak menyinggung sumbu X

3. Bagian–bagian grafik fungsi kuadrat

a) Persamaan sumbu simetri : a

bex

2−=

b) Nilai ekstrim fungsi : a

Dey

4−=

c) Koordinat titik balik/ekstrim : (a

b

2− ,

a

D

4− )

4. Menenetukan persamaan grafik fungsi kuadrat a) Grafik fungsi kuadrat yang melalui titik balik (xe, ye) dan sebuah titik tertentu (x, y):

y = a(x – xe)2 + ye

b) Grafik fungsi kuadrat yang memotong sumbu X di dua titik (x1, 0), (x2, 0), dan melalui sebuah titik tertentu (x, y):

y = a(x – x1) (x – x2)



12

D. Kedudukan Garis Terhadap Kurva Parabola

Kedudukan garis g : y = mx + n dan parabola h : y = ax2 + bx + c ada tiga kemungkinan seperti pada gambar berikut ini.

Keterangan Gambar:

1. Gambar a : Garis g memotong parabola h di dua titik yang berbeda di A(x1, y1) dan B(x2, y2)

2. Gambar b : Garis g menyinggung parabola h di satu titik yaitu di A(x1, y1).

3. Gambar c : Garis g tidak memotong dan tidak menyinggung parabola h

TEOREMA

Dimisalkan garis g : y = mx + n dan parabola h : y = ax2 + bx + c.

Apabila persamaan garis g disubstitusikan ke persamaan parabola h, maka akan diperoleh sebuah persamaan kuadrat baru yaitu:

yh = yg

ax2 + bx + c = mx + n

ax2 + bx – mx+ c – n = 0

ax2 + (b – m)x + (c – n) = 0………….Persamaan kuadrat baru

Determinan dari persamaan kuadrat baru tersebut adalah:

D = (b – m)2 – 4a(c – n)

Dengan melihat nilai deskriminan persamaan kuadrat baru tersebut akan dapat diketahui kedudukan garis g terhadap parabola h tanpa harus digambar grafiknya terlebih dahulu yaitu:

1. Jika D > 0, maka persamaan kuadrat memiliki dua akar real, sehingga garis g memotong parabola h di dua titik berlainan

2. Jika D = 0, maka persamaan kuadrat memiliki dua akar yang kembar, sehingga garis g menyinggung parabola h

3. Jika D < 0, maka persamaan kuadrat tidak memiliki akar real, sehingga garis g tidak memotong ataupun menyinggung parabola h.



13

SOAL PENYELESAIAN 1. Akar–akar persamaan kuadrat

x2 + (a – 1)x + 2 = 0 adalah α dan β. Jika α = 2β dan a > 0 maka nilai a = … a. 2 b. 3 c. 4 d. 6 e. 8

α = 2β

(i) α ⋅ β = a

c

2β⋅β = 1

2

2β2 = 2 β2 = 1

β = ± 1 β = 1 atau β = –1

α + β = a

b−

2β + β = 1

)1a( −−

3β = 1 – a 3(–1) = 1 – a

a = 1 + 3 = 4 ……...(c)

2. Persamaan kuadrat yang akar–akarnya – 2 dan ½ adalah … a. 2x2 – 3x – 2 = 0 b. 2x2 + 3x – 2 = 0 c. 2x2 – 3x + 2 = 0 d. 2x2 + 3x + 2 = 0 e. 2x2 – 5x + 2 = 0

Rumus persamaan kuadrat baru adalah : x2 – (x1 + x2)x + (x1 · x2) = 0

⇔ x2 – (– 2 + ½ )x + (– 2 · ½ ) = 0 ⇔ x2 – (–1½ )x + (– 1 ) = 0

⇔ {x 2 – ( 23− )x – 1 = 0}x 2

⇔ 2x2 + 3x – 2 = 0 ……………………….(b) 3. Diketahui akar–akar persamaan kuadrat

2x2 – 4x + 1 = 0 adalah α dan β. Persamaan

kuadrat baru yang akar–akarnya βα

dan αβ

adalah … a. x2 – 6x + 1 = 0 b. x2 + 6x + 1 = 0 c. x2 – 3x + 1 = 0 d. x2 + 6x – 1 = 0 e. x2 – 8x – 1 = 0

(i) x1 + x2 = βα

+ αβ

= αβ

βα 22 +

= αβ

βαβα )(2)( 2 ⋅−+

= 21

212

24 )(2)( −

= { }12 416 − = 2(4 – 1) = 6

(ii) x1 · x2 = βα

· αβ

= 1

Jadi, persamaan kuadrat barunya adalah x2 – (x1 + x2)x + (x1 · x2) = 0

⇔ x2 – 6x + 1 = 0 ………………………..(a)

Untuk soal model ini hanya bisa dengan 1 cara karena akar–akarnya beda atau x1 ≠ x2 Pers kuadrat lama : 2x2 – 4x + 1 = 0, a = 2, b = – 4, c = 1 Akar–akar persamaan kuadrat baru

x1 = βα

dan x2 = αβ



14

SOAL PENYELESAIAN 4. Persamaan kuadrat 2x2 + 3x – 5 = 0,

mempunyai akar–akar x1 dan x2. Persamaan kuadrat baru yang akar–akarnya (2x1 – 3) dan (2x2 – 3) adalah … a. 2x2 + 9x + 8 = 0 b. x2 + 9x + 8 = 0 c. x2 – 9x – 8 = 0 d. 2x2 – 9x + 8 = 0 e. x2 + 9x – 8 = 0

Cara II. Misal akar–akar persamaan kuadrat baru adalah: α = β = 2x – 3 α = 2x – 3, maka 2x = α + 3

x = 2

3+α

Substitusikan nilai x ke pers. Kuadrat lama 2x2 + 3x – 5 = 0

⇔ ( ) ( )2

32

23 32 ++ + aa – 5 = 0

⇔ 4052

93

4

)96(2 2

×

=−++++ aaa

⇔ 2(a2 + 6a + 9) + 2(3a + 9) – 20 = 0 ⇔ 2a2 + 12a + 18 + 6a + 18 – 20 = 0 ⇔ 2a2 + 18a + 16 = 0 ⇔ a2 + 9a + 8 = 0 ⇔ x2 + 9x + 8 = 0 ………………………(b)

Pers kuadrat lama : 2x2 + 3x – 5 = 0, a = 2, b= 3, c = – 5 Cara I Akar–akar persamaan kuadrat baru α = 2x1 – 3 dan β = 2x2 – 3 (i) α + β = 2x1 – 3 + 2x2 – 3

= 2(x1 + x2) – 6

= 2 )(ab− – 6 = 2 )( 2

3− – 6 = – 3 – 6 = – 9

(ii) α · β = (2x1 – 3) (2x2 – 3) = 4(x1·x2) – 6x1– 6x2 + 9 = 4(x1·x2) – 6(x1+x2) + 9

= 4 )(ac – 6 )(

ab− + 9

= 4 )( 25− – 6 )( 2

3− + 9

= – 10 + 9 + 9 = 8

Jadi, persamaan kuadrat barunya adalah

x2 – (α + β)x + (α · β) = 0 ⇔ x2 – (– 9)x + 8 = 0 ⇔ x2 + 9x + 8 = 0 …………………………(b) PILIH CARA YANG KAMU SUKAI

5. Jika x1 dan x2 akar–akar persamaan x2 + px + 1 = 0, maka persamaan kuadrat

yang akar–akarnya 21

22

xx+ dan x1 + x2

adalah … a. x2 – 2p2x + 3p = 0 b. x2 + 2px + 3p2 = 0 c. x2 + 3px + 2p2 = 0 d. x2 – 3p2x + p2 = 0 e. x2 + p2x + p = 0

Untuk soal model ini hanya bisa dengan cara I karena akar–akarnya beda atau α ≠ β Pers kuadrat lama : x2 + px + 1 = 0, a = 1, b = p, c = 1 Akar–akar persamaan kuadrat baru

α = 21

22

xx+ dan β = x1 + x2

(i) α + β = 21

22

xx+ + (x1 + x2)

= 21

21 22

xx

xx

⋅+

+ (x1 + x2)

= 21

21 )(2

xx

xx

⋅+

+ (x1 + x2)

= 11

)(2 pp −+− = – 3p

Persamaan kuadrat barunya adalah x2 – (α + β)x + (α · β) = 0

Dengan melihat hasil α + β maka jawaban yang benar sudah dapat diketahui yaitu ….(c) karena nilai dari : – (α + β)x = – (–3p)x = 3px untuk meyakinkan perhitungan, silahkan dicari pula nilai dari

(ii) α · β = ….. ? SOAL PENYELESAIAN



15

6. Kedua akar persamaan x2 – 2px + 3p = 0 mempunyai perbandingan 1 : 3. Nilai dari 2p adalah … a. –4 b. –2 c. 2 d. 4 e. 8

Perbandingan akar–akarnya 1 : 3, maka

3

1

2

1 =x

x

x2 = 3x1

(i) x1 + x2 = a

b−

x1 + 3x1 = –(– 2p) 4 x1 = 2p

x1 = ½ p

(ii) x1 · x2 = a

c

x1 · 3x1 = 3p

2

3

2

pp × = 3p

3p2 = 12p 3p2 – 12p = 0 3p(p – 4) = 0 p = {0, 4}

Jadi, nilai 2p = 0 atau 8 ……………….(e)

7. Persamaan kuadrat (k + 2)x2 – (2k – 1)x + k – 1 = 0 mempunyai akar–akar nyata dan sama. Jumlah kedua akar persamaan tersebut adalah…

a. 8

9

b. 9

8

c. 2

5

d. 5

2

e. 5

1

Akar–akarnya nyata dan sama, maka x1 = x2 dan D = 0 (i) D = b2 – 4ac

0 = (2k – 1)2 – 4(k + 2) (k – 1) 0 = (4k2 – 4k + 1) – 4(k2 +k – 2) 0 = 4k2 – 4k + 1– 4k2 – 4k + 8 0 = –8k + 9 8k = 9

k = 89

(ii) x1 + x2 = a

b− =

2

12

+−

k

k =

( )2

12

8989

+

−

= 825

88

818 −

= 258

810 × =

52 ….(d)

8. Persamaan kuadrat mx2 + (m – 5)x – 20 = 0, akar–akarnya saling berlawanan. Nilai m = … a. 4 b. 5 c. 6 d. 8 e. 12

Akar–akar nya saling berlawanan, maka: x1 = – x2

x1 + x2 = a

b−

– x2 + x2 = m

m )5( −−

0 = m

m 5+−, maka diperoleh

– m + 5 = 0 m = 5 ………………………….(b)

SOAL PENYELESAIAN



16

9. Grafik fungsi kuadrat f(x) = x2 + bx + 4 menyinggung garis y = 3x + 4. nilai b yang memenuhi adalah … a. – 4 b. – 3 c. 0 d. 3 e. 4

Cara I. Tentukan Persamaan kuadrat baru

f(x) = y

x2 + bx + 4 = 3x + 4 x2 + bx – 3x = 0 x2 + (b – 3)x = 0 ……..pers. kuadrat baru

Agar f(x) menyinggung y maka determinan persamaan kuadrat baru sama dengan nol D = 0 D = (b–3)2 – 4(1)(0) 0 = (b–3)2 0 = b – 3 b = 3 …………………………………….(d)

Cara II

Samakan koefisien dari variabel yang berderajat sama

f(x) = y f(x) = y sama

x2 + bx + 4 = 3x + 4

b = 3 Dengan menyamakan koefisien dari variabel yang berderajat sama bisa langsung di lihat jika b = 3 …………………………..…….(d)

10. Grafik fungsi f(x) = x – 2 memotong grafik

fungsi g(x) = x2 – 3x + 1 di titik–titik … a. (2, –1) dan (–2, 1) b. (–1, –1) dan (1, 3) c. (–1, 1) dan (1, 3) d. (1, –1) dan (3, 1) e. (1, –1) dan (1, 3)

Tentukan Persamaan kuadrat baru g(x) = f(x)

x2 – 3x + 1 = x – 2 x2 – 3x – x + 1 +2 = 0

x2 – 4 x + 3 = 0 ……..pers. kuadrat baru

(x – 1)(x – 3) = 0, maka diperoleh x = {1 , 3}

dengan mensubstitusikan nilai x tersebut ke f(x) maka akan diperoleh nilai y

(i) Jika x = 1, maka y = f(1) = 1 – 2

= –1 (ii) Jika x = 3, maka y = f(3) = 3 – 2

= 1 Jadi titik potong kedua grafik tersebut adalah di : (1, –1) dan (3, 1) …………………………..(d)

SOAL PENYELESAIAN

11. Agar garis y = 3x + a menyinggung parabola y = x2 – 2x – 8, sehingga a harus …

Tentukan Persamaan kuadrat baru y1 = y2

x2 – 2x – 8 = 3x + a



17

a. 4117−

b. 4116−

c. 4115−

d. 4114−

e. 4113−

x2 – 2x – 3x – 8 – a = 0 x2 – 5x – (8 + a) = 0 ……..pers. kuadrat baru

Agar y2 menyinggung y1 maka determinan persamaan kuadrat baru sama dengan nol D = 0 D = (–5)2 – 4(1){– (8+a)} 0 = 25 + 4(8 + a) 0 = 25 + 32 + 4a 0 = 57 + 4a

{4a = –57} × 41

a = 4114− ……………………………(d)

12. Agar Garis y = mx – 9 tidak memotong

dan tidak menyinggung parabola y = x2 , maka … a. m < – 6 atau m > 6 b. m < –3 atau m > 9 c. –9 < m < 9 d. –3 < m < 3 e. –6 < m < 6

Tentukan Persamaan kuadrat baru y1 = y2

x2 = mx – 9 x2 – mx + 9 = 0 ……..pers. kuadrat baru

Agar y2 tidak menyinggung dan tidak memotong y1 maka determinan persamaan kuadrat baru lebih besar dari nol D > 0 (–m)2 – 4(1)(9) > 0 m2 – 36 > 0 (m + 6)(m – 6) > 0, maka pembentuk nol m = {– 6, 6}

Karena tanda pertidaksamaan > maka

himpunan penyelesaian menggunakan kata atau dan batas m = {– 6, 6} ……………..(a)

Jika bingung lihat materi 2.B di atas

2.PERSAMAANPERTIDAKSAMAAN_DAN_FUNGSI_KUADRAT

Documents

Transcript of 2.PERSAMAANPERTIDAKSAMAAN_DAN_FUNGSI_KUADRAT

2.__PERSAMAAN__PERTIDAKSAMAAN_DAN_FUNGSI_KUADRAT

Documents

Transcript of 2.__PERSAMAAN__PERTIDAKSAMAAN_DAN_FUNGSI_KUADRAT

2.PERSAMAANPERTIDAKSAMAAN_DAN_FUNGSI_KUADRAT

Transcript of 2.PERSAMAANPERTIDAKSAMAAN_DAN_FUNGSI_KUADRAT