Paradigma Mekanika Newtonian vs Lagrangian:

Reduksionisme vs Holisme

Rachmad Resmiyanto

09/291449/PPA/2933

S2 Ilmu Fisika Universitas Gadjah Mada

Tugas Ujian Akhir Mekanika Klasik - Semester Ganjil 2009/2010

http://rachmadresmi.blogspot.com

19 Januari 2010

1 Pendahuluan

Untuk dapat membuat perbandingan antara mekanika Newtonian dan mekanikaLagrangian dengan baik, maka perlu dilakukan telisik secara mendasar terhadapcara pandang keduanya. Perbandingan yang baik tidak dapat dicapai hanyadengan menyajikan contoh-contoh penyelesaian atas kasus fisis yang sama yangcoba diselesaikan dengan cara ala Newton dan ala Lagrange. Cara pandang ked-uanya perlu diungkap sebab cara pandang inilah yang menuntun bagaimana se-buah fenomena fisis seharusnya dipandang dan akhirnya dengan cara bagaimanaharus diselesaikan. Cara pandang ini oleh Thomas S. Kuhn disebut sebagaiparadigma (Kuhn , 2002). Upaya telisik akan dimulai dari objek kajian fisika.

Fisika memiliki objek kajian yang amat luas, mulai dari skala jagad gu-mulung (microcospics scale, mikroskopis), tempat bagi atom dan zarah-zarahdasariah hidup, sampai skala jagad gumelar(macroscopics scale, makroskopis),tempat bagi tata surya, bintang dan galaksi bertebaran.

Dalam kajiannya, objek yang sedang diamati disebut sebagai sistem fisis.Untuk mempelajari kaitan sebab akibat di alam semesta ini, tentu amatlahsukar bagi fisikawan ketika harus berhadapan langsung dengan sistem fisis yangsedemikian besar. Maka diambillah satu jalan keluar yang diharap merupakanupaya win-win solution, sistem fisis itu hanya merupakan suatu cuplikan kecilsaja dari keseluruhan. Cuplikan sudah dianggap mewakili keseluruhan, orangbilang ini namanya pars prototo. Dari sini perdebatan mulai berkembang. Adayang bersuara bahwa semua sistem yang ada ini saling kait mengait. Ibarat

Rachmad Resmiyanto (291449) Mekanika Klasik

jaring-jaring, satu simpul ditarik, yang lain akan merasakan getarannya. Pa-ham yang percaya bahwa semua sistem saling mempengaruhi merupakan pahamholisme (holistik).

Sebaliknya, ada yang berpendapat bahwa cuplikan itu tidak akan sedikitpunmempengaruhi sistem yang lain. Perubahan satu sistem tidak akan memberidampak pada sistem yang lain. Karenanya, ini disebut sebagai sistem. Pahamini dikenal sebagai reduksionisme. Dengan kata lain, reduksionisme percayabahwa suatu sistem yang besar dapat dipecah menjadi sistem kecil-sistem kecil.

Cara pandang Newton adalah cara pandang yang reduksionis. Cara pandangini berakar dari metode Descartes yang bersifat analitik. Metode itu terdiri ataspemecahan masalah menjadi potongan-potongan kecil dan penyusunan kembalipotongan-potongan itu dalam tatanan logisnya. Descartes sering disebut-sebutsebagai orang pertama yang berhasil mencari hubungan antara persamaan al-jabar dengan geometri. Descartes membangunnya melalui sebuah sistem koor-dinat yang kemudian disebut koordinat Kartesian.

Newton memandang bahwa alam semesta, tempat di mana semua fenomenafisis ini terjadi, merupakan ruang berdimensi 3 dari geometri Euclid klasik.Bagi Newton ruang adalah absolut. Seluruh perubahan dalam fenomena fisisitu digambarkan dalam dimensi yang terpisah, yakni waktu, yang juga bersifatabsolut. Dalam pandangan Newton, unsur-unsur dunia yang bergerak dalamruang absolut dan waktu absolut ini adalah partikel-partikel materi. Gerakpartikel disebabkan oleh kekuatan gravitasi yang dalam pandangan Newton,bergerak secara serempak dalam suatu rentang jarak tertentu.

Dalam pandangan Newton, semua fenomena fisis dapat direduksi menjadigerak partikel benda, yang disebabkan oleh kekuatan tarik-menarik, gaya grav-itasi. Pengaruh gaya ini pada partikel atau benda lain digambarkan secaramatematis oleh persamaan gerak Newton, yang kemudian menjadi dasar bagiseluruh mekanika klasik. Persamaan ini dianggap yang ”bertanggungjawab”atas semua perubahan yang teramati dalam dunia fisik.

Secara sederhana, pandangan Newton dapat diringkas, bahwa alam semestaterdiri dari partikel-partikel benda. Antar partikel-partikel ini terjadi interaksimelalui apa ayang disebut sebagai kekuatan antarpartikel atau gaya. Adanyakekuatan partikel ini akhirnya menciptakan hukum gerak. Dalam kaitannyadengan makalah ini, maka hukum gerak tersebut merupakan hukum kedua New-ton, yakni

ΣF =dp

dt= ma (1)

dengan F adalah gaya, m adalah massa partikel benda dan a adalah percepatansistem. Pada dasarnya, hampir semua interaksi dalam mekanika klasik dapatdisederhanakan dan diselesaikan dengan persamaan ini. Oleh karena itu, salah

S2 Ilmu Fisika UGM 2

Rachmad Resmiyanto (291449) Mekanika Klasik

ciri khas mekanika Newtonian selain reduksionis adalah adanya gaya-gaya yangbekerja dalam sistem tersebut.

Pandangan Newton bahwa sebuah sistem fisis dapat diselesaikan persamaangeraknya dengan melakukan reduksi sebagai titik-titik materi kemudian dikem-bangkan oleh Bernoulli melalui konsep usaha maya dan d’Alembert yang terke-nal sebagai asas d’Alembert. Dalam pandangan ini, sistem fisis tidak dipandangsebagai sistem titik-titik materi lagi, tetapi sebagai sistem mekanik, yakni sis-tem dimana gerakan bagian-bagiannya saling berkaitan, tak bebas satu samalain. Upaya yang dilakukan oleh Lagrange bersandar pada hasil kerja Bernoullidan d’Alembert.

Untuk menyelesaikan sistem fisis yang dipandang sebagai sistem mekanikini, Lagrange tetap menggunakan hukum kedua Newton sebagai pijakan awal,kemudian dilakukan perumuman sampai didapat persamaan Lagrange

d

dt

∂L

∂x− ∂L

∂x= 0 (2)

denganL = T − V. (3)

Penurunan persamaan Lagrange sudah banyak disajikan dalam berbagai pusta-ka seperti (Goldstein , 1980), (Fowles , 2002) dan (Soedojo , 2002). Berdasarkanpersamaan (2) dan (3) dapat dikenali dengan mudah bahwa mekanika Lagrangememiliki beberapa ciri yakni tidak lagi mengindahkan gaya-gaya yang beker-ja dalam sistem mekanik, hanya berkepentingan dengan besaran skalar tenaga(kinetik dan potensial), memandang sistem mekanik sebagai satu kesatuan se-hingga untuk menyelesaikannya tidak dipecah menjadi kepingan-kepingan ke-cil seperti dalam mekanika Newtonian. Karena itu, cara pandang Lagrangianmerupakan cara pandang yang holistik terhadap suatu sistem mekanik (holisme).

2 Pembahasan

Untuk melihat bagaimana perbedaan cara pandang Newtonian dan Lagrangandalam mencari penyelesaian persamaan gerak suatu sistem akan dilakukan melaluicontoh kasus, yakni sistem katrol sederhana (mesin Atwood) seperti gambar 1.

2.1 Penyelesaian dengan cara Newtonian

Menurut paradigma Newtonian, maka untuk bisa menyelesaikan sistem ka-trol tersebut, sistem harus dipecah menjadi potongan-potongan kecil. Setelahmasing-masing potongan dapat diselesaikan, maka potongan-potongan tersebutdirangkai ulang sebagai sistem semula. Oleh karena itu, berdasarkan sistem ka-

S2 Ilmu Fisika UGM 3

Rachmad Resmiyanto (291449) Mekanika Klasik

Gambar 1: Sketsa sistem katrol sederhana.

trol sederhana gambar 1, sistem dapat dibagi menjadi 2 potongan yaitu bendam1 dan benda m2. Di sini diasumsikan pengaruh katrol dapat diabaikan.

Untuk dapat menyelesaikan persoalan dalam benda m1 dan m2, perlu di-lakukan pemotongan kembali menurut sumbu mendatar x dan sumbu tegak y.Pada masing-masing sumbu ini, hukum kedua Newton ΣF = ma baru diber-lakukan.

Untuk benda m1, gaya-gaya yang bekerja hanya dalam sumbu tegak y se-hingga ΣFx = 0 dan

ΣFy = m1a = m1g − T. (4)

Pada benda m2, gaya-gaya yang bekerja juga hanya dalam sumbu tegak y se-hingga ΣFx = 0 dan

ΣFy = m2a = −m2g + T. (5)

Persamaan (4) dan (5) merupakan persamaan-persamaan gerak bagi benda m1

dan m2. Persamaan gerak ini masih merupakan persamaan gerak yang par-sial. Oleh karena itu, untuk mendapatkan persamaan gerak dari sistem yangmengandung m1 dan m2, persamaan (4) dan (5) perlu dirangkai sebagai satukesatuan. Upaya merangkai ini merupakan upaya untuk menyatukan kembalipotongan-potongan kecil dari sistem menjadi bangunan sistem yang utuh seper-ti semula. Dengan melakukan penjumlahan terhadap persamaan (4) dan (5),

S2 Ilmu Fisika UGM 4

Rachmad Resmiyanto (291449) Mekanika Klasik

maka akan didapat persamaan

(m1 + m2)a = m1g −m2g = (m1 −m2)g, (6)

atau dapat ditulis dalam bentuk persamaan

a =(m1 −m2)(m1 + m2)

g. (7)

Persamaan (7) merupakan persamaan gerak dari sistem.

2.2 Penyelesaian dengan cara Lagrangian

Sekarang hendak dibahas bagaimana paradigma Lagrangian dalam memandangsistem tersebut dan kemudian menyelesaikannya.

Dalam cara pandanga Lagrangian, gaya-gaya yang bekerja dalam sistemtidak lagi menjadi perhatian. Sistem katrol sederhana itu pun tidak perludipecah menjadi potongan-potongan kecil sistem benda m1 dan sistem bendam2 seperti dalam Newtonian. Sistem katrol dipandang secara utuh dan tidakdipecah (dipandang secara holistik). Besaran yang menjadi perhatian adalahtenaga kinetik dan tenaga potensialnya.

Sesuai dengan gambar 1, maka tenaga kinetik sistem disumbang oleh tenagakinetik m1 dan m2, sehingga dapat ditulis sebagai

T =12m1v

2 +12m2v

2 =12m1x

2 +12m2x

2. (8)

Tenaga potensial yang dimiliki sistem juga disumbang oleh tenaga potensialkedua benda, yakni sebesar

V = −m1gx + (−m2g(`− x)) = −m1gx−m2g(`− x). (9)

Maka fungsi Lagrangenya akan bernilai

L = T − V =12m1x

2 +12m2x

2 + m1gx + m2g(`− x) (10)

dengand

dt

∂L

∂x= m1x + m2x = (m1 + m2)x

dan∂L

∂x= m1g −m2g = (m1 −m2)g

S2 Ilmu Fisika UGM 5

Rachmad Resmiyanto (291449) Mekanika Klasik

sehingga jika dimasukkan dalam persamaan Lagrange

d

dt

∂L

∂x− ∂L

∂x= 0

akan diperoleh(m1 + m2)x− (m1 −m2)g = 0, (11)

atau dapat ditulis sebagai

x =(m1 −m2)(m1 + m2)

g. (12)

Nilai x merupakan nilai percepatan sistem katrol tersebut.Nampak bahwa penyelesaian dengan Lagrage (pers. (12)) juga menunjukkan

hasil yang sama dengan penyelesaian Newtonian (pers. (7)) .

2.3 Perbandingan Newtonian dan Lagrangian

Sebenarnya, persamaan Newton saja sudah cukup untuk dapat menyelesaikanpersamaan gerak suatu sistem mekanik. Dengan mengenali gaya-gaya yang bek-erja dalam sistem mekanik itu, maka dengan menyusun persamaan hukum keduaNewton, secara prinsip persamaan gerak akan didapatkan. Namun demikian,justru di sinilah letak kelemahan metode Newtonian. Hukum Newton hanyadapat digunakan apabila gaya-gaya yang bekerja dalam sistem diketahui. Dalambanyak situasi, macam gaya apa saja yang bekerja dalam sistem justru sulit un-tuk dikenali dan diurai. Seandainya macam gayanya sudah didapat, maka masihada hambatan yaitu penggunaan sistem koordinat, apakah Kartesan atau yanglain. Ini mengingat bahwa gaya merupakan besaran vektor.

Sesuai dengan kasus fisis di atas, maka langkah-langkah penyelesaian dalammekanika Newtonian adalah sebagai berikut:

1. Sistem dipecah menjadi potongan-potongan sistem yang lebih kecil

2. Gaya-gaya yang bekerja dalam potongan sistem itu diurai berdasarkansistem koordinat yang dipakai

3. Setelah potongan-potongan sistem dapat diselesaikan, maka potongan-potongan sistem ini dirangkai kembali menjadi sistem yang utuh

Kebetulan dalam kasus fisis di atas, sistem mekaniknya masih sederhana. Se-makin rumit sistem mekanik yang ditinjau maka pemecahan sistem menjadipotongan-potongan sistem yang lebih kecil akan juga kian rumit. Kemudianmasih harus mengenali dan menguraikan gaya-gaya yang bekerja dalam semuapotongan-potongan sistem tersebut. Meskipun secara prinsip ini dapat disele-saikan, tetapi dalam kenyataan ini akan rumit dilakukan terutama identifikasigaya-gaya yang bekerja.

S2 Ilmu Fisika UGM 6

Rachmad Resmiyanto (291449) Mekanika Klasik

Kesulitan-kesulitan dalam mekanika Newtonian ini, diatasi oleh mekanikaLagrangian. Dalam kasus di atas, beberapa langkah yang dilakukan adalahsebagai berikut:

1. Dipilih seperangkat koordinat umum untuk menunjukkan konfigurasi sis-tem. Disini sistem tidak perlu dipecah menjadi potongan-potongan sistemyang lebih kecil. Sistem dipandang sebagai satu kesatuan yang utuh secaraholistik

2. Tenaga kinetik T dari sistem dinyatakan dalam suku koordinat umum dankecepatan

3. Tenaga potensial V dinyatakan sebagai fungsi koordinat umum

4. Persamaan Lagrange dinyatakan dalam T dan V dan diselesaikan

Dalam mekanika Lagrangian, peran gaya menjadi tidak kelihatan. Ini sangatmenguntungkan sebab memang sangat sulit untuk menentukan gaya-gaya yangbekerja dalam suatu sistem. Peran gaya ini digantikan oleh besaran skalar yaknitenaga kinetik dan tenaga potensial. Karena keduanya merupakan besaranskalar, maka keduanya akan invarian terhadap transfromasi koordinat apapun.Dalam kasus fisis di atas, gaya-gaya yang bekerja tidak perlu diuraikan, cukuphanya dengan menghitung tenaga kinetik dan potensial dan keduanya diny-atakan dalam posisi dan kecepatan, maka persamaan Lagrange sudah dapatdiselesaikan.

3 Kesimpulan

Berdasarkan uraian yang sudah dibahas di muka, nampak bahwa sebenarnyaseluruh sistem mekanik dapat diselesaikan dengan mekanika Newtonian asalkanseluruh gaya-gaya yang bekerja padanya dapat dikenali dan diuraikan. Tapi,justru identifikasi gaya-gaya yang bekerja inilah yang kemudian membuat sulit.Kesulitan ini dapat diatasi dengan mekanika Lagrangian yang analisisnya tidakberbasiskan pada gaya tetapi pada besaran skalar tenaga kinetik dan tenagapotensial.

Kasus fisis yang sama apabila dicoba diselesaikan dengan mekanika Newto-nian dan Lagrangian dapat saja akan menhasilkan langkah-langkah pengerjaanyang berbeda panjangnya. Perbedaan keduanya bukanlah pada poin ini. Perbe-daan keduanya adalah pada identifikasi gaya-gaya yang bekerja dan identifikasitenaga dari sistem. Yang paling mudah adalah identifikasi tenaga. Dan inilahyang tidak dimiliki oleh mekanika Newtonian.

Ditinjau dari cara pandang terhadap suatu sistem mekanik, mekanika New-tonia merupakan cara pandang yang reduksionis sedangkan mekanika Lagrange

S2 Ilmu Fisika UGM 7

Rachmad Resmiyanto (291449) Mekanika Klasik

merupakan cara pandang yang holistik. Sekarang, dengan melihat perkem-bangan mekanika kuantum, cara pandang yang selaras adalah cara pandangholisme.

Pustaka

Fowles, Grant R., 1986, Analitycal Mechanics, Ed.4th, CBS College Publishing,Philadelphia

Goldstein, Herbert, 1980, Analitycal Mechanics, Ed.2nd, Addison-Wesley Pub-lishing Company, Phillipines

Kuhn, Thomas S., 2002, The Structure of Scientific Revolutions: Peran Paradig-ma dalam Revolusi Sains, Remaja Rosdakarya, Bandung

Soedojo, Peter, 2000, Azas-azas Mekanika Analitik, Cet.1, Gadjah Mada Uni-versity Press, Yogyakarta

S2 Ilmu Fisika UGM 8