2541680pengantar_kalkulus.pdf

8/14/2019 2541680pengantar_kalkulus.pdf

1/40

PENGANTAR KALKULUS

ERIDANIDEPARTEMEN MATEMATIKA

UNIVERSITAS AIRLANGGA, SURABAYA

1. Uji Diagnosa

Sebelum mempelajari Kalkulus, akan kita ukur, seberapa kuat dasar penge-

tahuan matematika anda. Yang dimaksud dengan dasar matematika adalah

beberapa pengetahuan dasar meliputi topik-topik: aljabar, geometri analitik,

pengertian fungsi, dan trigonometri.

Aljabar

(1) Tanpa menggunakan kalkulator, sederhanakan:

(3)4,34, 34, 523

521,

2

3

2

, 163/4.

(2) Sederhanakan ungkapan berikut (hilangkan eksponen negatif dalam

jawab anda):

200

32, (3 a3b3)(4 ab2)2,

3 x3/2y3

x2y1/2

2

.

(3) Ekspansikan dalam bentuk yang paling sederhana.

3(x + 6) + 4(2x 5),dan (x + 3)(4x 5), (a +b)(ab), (2x + 3)2,dan (x+ 2)3.

(4) Faktorkan

4x2 25, dan 2x2 + 5x 12, x3 3x2 4x + 12, dan x4 + 27x, 3x3/2 9x1/2 + 6x1/2,danx3y 4xy.

1


2/40

(5) Sederhanakan

x2 + 3x + 2

x2 x 2 , 2x2 x 1

x2 9 x+ 3

2x + 1,

x2

x2 4x + 1

x + 2,

yx x

y

1

y 1

x

.

(6) Rasionalkan dan sederhanakan.

105 2 ,4 +h 2

h .

(7) Tuliskan kembali ungkapan berikut dengan cara melengkapkan bentuk

kuadrat.

x2 +x+ 1, 2x2 12x + 11.(8) Tentukan bilangan real x yang memenuhi persamaan berikut.

x + 5 = 14 12

x, 2x

x+ 1=

2x 1x

, x2 x 12 = 0,

2x2 + 4x+ 1 = 0, x4 3x2 + 2 = 0, 3|x 4| = 10,2x(4 x)1/2 34 x= 0.

(9) Tentukan bilangan real x yang memenuhi pertaksamaan berikut. Tuliskan

jawab anda menggunakan notasi interval.

4< 5 3x 17, x2 0, |x 4|


3/40

(3) Tentukan persamaan garis yang melalui titik (2,5), dan mempunyai gradien3. sejajar sumbu-x. sejajar sumbu-y.

sejajar dengan garis 2x

4y= 3.

(4) Misalkan diberikan titik-titikA(7, 4) danB (5,12). Tentukan gradien garis yang melalui A danB. Tentukan persamaan garis yang memuat A dan B.Tentukan titik

potong garis tersebut dengan sumbu-sumbu koordinat.

Tentukan panjang dan titik tengah ruas garis AB . Tentukan garis yang memotong (tegaklurus) tepat di tengah AB .

Tentukan persamaan lingkaran dengan AB adalah diameternya.

(5) Sketsalah daerah di bidang koordinat yang memenuhi

(a). 1 y 3; (b). |x|


4/40

(3) Tentukan daerah asal fungsi-fungsi berikut.

f(x) := 2x+ 1

x2 +x 2 , g(x) :=3

x

x2 + 1, h(x) :=

4 x

x2 1.

(4) Bagaimana cara mensketsa grafik fungsi-fungsi berikut

g(x) := x2, h(x) :=x2 + 1, j(x) := (x 2)2,

jika sketsa grafikf(x) :=x2 telah diketahui?

(5) Sketsalah grafik fungsi-fungsi berikut.

f1(x) := x3, f2(x) := (x+ 1)

3, f3(x) := (x 2)3 + 3,

g1(x) := 4 x2, g2(x) :=

x, g3(x) := 2

x,

h1(x) := 2x, h2(x) := 1 + x1.(6) Misalkanf(x) :=x2 + 2x

1,dan g(x) := 2x

3.Tentukan

g f, f g, g g g.

Trigonometri

(1) Konversikan 300, dan18 ke dalam radian. Konversikan 5/3, dan2 ke dalam derajat.

(2) Suatu daerah berbentuk seperempat lingkaran (berjari-jari 12 centime-

ter) akan ditutup dengan pagar. Berapa panjang pagar yang diper-

lukan?

(3) Tentukan nilai eksak tan(/3), sin(7/6),dan sec(5/3).

(4) Misalkan a,b,c adalah sisi-sisi suatu segitiga. Sketsalah segitiga yang

sisi-sisinya memenuhi a2 +b2 =c2.

Jika (0, 90) adalah salah satu sudut segitiga, dan c = 24, ten-tukana, bjika diketahui.

(5) Misalkan csc x = 3, dan cos y = 4/5. Jika 0 < x,y < /2, hitunglah

sin(x +y).

(6) Buktikan identitas berikut.4


5/40

tan sin + cos = sec , 2tan x= sin 2x(1 + tan2 x).

(7) Tentukan xyang memenuhi sin 2x= sin x, 0 x 2.(8) Sketsalah grafik fungsiy= 1 + sin 2x.

2. Pendahuluan

2.1. Mengenal Bilangan. Pada awalnya, perhitungan (meliputi penjumla-

han, pengurangan, perkalian, dan pembagian) yang biasa dilakukan di tingkat

sekolah dasar selalu melibatkanbilangan alam. Kita perkenalkan notasi N yang

menyatakan himpunan bilangan alam, yaitu

N := {1, 2, 3, 4, . . .}.

Sebagai perluasan dari N kita punyai himpunan bilangan bulat yang kita

notasikan dengan Z.Tepatnya kita punyai

Z := {0,1,2,3, . . .}.

Keunggulan Z bila dibandingkan dengan N salah satunya adalah fakta bahwa

persamaan6 + x = 4 tidak mempunyai jawabdi N, tetapi mempunyai jawab

di Z.

Ini berarti tidak mungkin bisa ditemukan bilangan alam x yang bersifat

6 + x= 4,tetapi dapat dengan mudah ditemukan bilangan bulat x, dalam hal

inix= 2, yang memenuhi 6 + x= 4.Dari verifikasi terhadap unsur-unsur, baik di N maupun di Z, cukup jelas

bahwa

N Z.

Dengan kata lain, Nmerupakan himpunan bagian sejatidari Z.

Selanjutnya, karena persamaan 2 x = 3 (baca: 2 kali x sama dengan3) tidak mempunyai jawab di Z, maka kita perlu memperkenalkan himpunan

bilangan rasional(yang dinotasikan dengan Q), sedemikian hingga persamaan5


6/40

dimaksud mempunyai jawab. Himpunan ini didefinisikan sebagai

Q :=

a

b :a, b Z, b = 0

.

Untuk kesederhanaan, persamaan 2 x= 3 biasa dituliskan sebagai 2 x= 3.Perlu dicatat di sini, unsur Q biasa kita sebut pecahan. Kesamaan antara

dua pecahan didefinisikan melalui rumusa

b =

c

d setara dengan a d= b c, asalkan b = 0 =d.

Dengan demikian pernyataan 3/6 = 1/2 jelas benar karena alasan

3 2 = 6 = 6 1.

Pernyataan 3/6 = 1/2 biasa diverifikasi dengan notasi

3

6=

3 13

2

=3

31

2= 1 1

2=

1

2.

Lebih rumit daripada contoh di atas, adalah

12

36=

6 26 6=

6

62

6= 1 1 2

3 2= 1 2

21

3= 1 1 1

3=

1

3.

Kita ingat kembali operasi jumlahan, pengurangan, perkalian, maupun pem-

bagian di Q melalui contoh-contoh di bawah ini.

3

4+

5

7=

3 7 + 5 44 7 =

21 + 20

28 =

41

28,

5

22

5

=5

2

+2

5

=5 5 + (2) 2

2 5 =

25 410

=21

10

,

2

35

4=

2

35

4=

2 53 4=

10

12=

5

6,

2

3 8

15=

2

315

8 =

2 153 8 =

2 3 52 3 4=

5

4.

Bila kita tuliskan 3 sebagai 3/1, atau tepatnya

3 :=3

1,

maka seluruh bilangan bulat, termasuk 0, yang dapat kita tuliskan sebagai

0 := 0/1,

adalah unsur Q. Dengan demikian kita punyai

Z Q.6


7/40

Oleh karena

2 := 1, 4142 . . . bukan bilangan rasional (buktinya ditunda,

dan akan dibahas dalam perkuliahan Dasar-dasar Matematika), maka gabun-

gan bilangan rasional dan takrasional biasa dinotasikan dengan R.Notasi yang

terakhir ini mewakili himpunan bilangan real.

Pada akhirnya, hubungan berikut

N Z Q R,

dapat dimengerti. Untuk lebih mengenal operasi jumlahan dan perkalian

dalam sistem bilangan real, ada baiknya latihan di bawah ini dicoba.

Misalkan a, b, c R.(1) Jika a +b= a, maka b = 0.

(2) Jika c = 0,dan ac = c, maka a = 1.(3) Untuk setiap a R, selalu berlakua 0 = 0.(4) Jika ab= 1, dan a = 0,maka b= 1/a.(5) Jika ab= 0, maka a = 0 atau b = 0.

(6) Untuka, b R, selalu berlaku (a)(b) =ab.

Misalkana, b, c R.Diketahui bahwa untukbilangan positifa danb, yangkita notasikan dengana >0,danb >0,mempunyai sifatab >0,dana +b >0.

Untuk setiapa R selalu berlaku salah satu daria >0, a= 0,atau a > 0.Situasi yang terakhir biasa dinotasikan dengan a 0 atau a = 0.(1) Jika a b,dana b,maka a = b.(2) Jika a > b, dan b > c, makaa > c.

(3) Jikaa > b,dan c >0,makaa + c > b + c,dan ac > bc. Apa yang terjadi

jika c 0, maka

a >0 dan b >0,atau7


8/40

a


9/40

dengan panjang takhingga.

(a,) := {x R :a < x}, [a,) := {x R :a x},(, b] := {x R :x b}, (, b) := {x R :x < b}.

Kita tekankan di sini bahwa lambang bukan merupakan salah satu bilanganreal, dan kita juga mendefinisikan

R := (,).

Selesaikan 3x 10< 8.

Tambahkan 10 pada kedua ruas, bagi kedua ruas dengan 3, untuk mem-peroleh x


10/40

Jika x HP, maka x= 0, dan x2 >0. Jika kedua pertaksamaan dikalikanx2 >0,maka akan diperoleh x 0, 2x 1> 0, atau x 0.Jika kedua ruas dalam pertaksamaan dikalikan x2(x+ 2)2 > 0, maka akan

diperoleh

x3

(x + 2) x(x+ 2)2

, atau x(x+ 2)(x+ 1)(x 2) 0.Dengan menerapkan uji tanda, kita akan sampai pada

HP = (,2) [1, 0) [2,).

2.3. Nilai Mutlak. Secara geometris, R bisa disajikan sebagai suatu garis

lurus yang dinamakan garis bilangan real. Untuk sebarangx R, maka kitabisa meletakkan x pada salah satu titik/posisi di garis (bilangan real). Tentu

saja, untuk alasan kemudahan, yang pertama kali kita tetapkan posisinya pada

garis real adalah titik 0, kemudian dilanjutkan dengan menata posisi semua

unsur Npada garis real.10


11/40

Nilai mutlak darix, yang dinotasikan sebagai |x|,didefinisikan sebagai jaraktitikx ke 0 yang diukur pada garis real. Sebagai contoh,|3| = 3, | 7|= 7,dan|0| = 0.

Dengan demikian, kita akan punyai definisi

|x| := x, x

0,

x, x 0,maka

(c.1).|x| < a a < x < a,(c.2).|x| > a x < a atau x > a.

Selesaikan|2x 5|


12/40

(3) Misalkan diberikan bilangan positif a,b,c,d, yang bersifat a/b < c/d.

Tunjukkan bahwa

a

b 0 menyatakan tinggi dan V menyatakanvolume kotak yang dimaksud, cukup jelas bahwa

V :=V(x) = 2x(15 2x)(10 x), 0< x 0. Bayangkan ABCdengan A(0, 0), B(r, 0), dan C(0, r).

Misalkan 0 < x,y < r. Untuk persegipanjang APQR dengan titik-titik

sudutnya P(x, 0), Q(0, y), dan R(x, y), akan kita punyai luas APQR, yang

dinotasikan dengan L,

L:= xy, 0< x, y < r.

Oleh karena CQRsebangun dengan ABC,maka

|QC||QR| =|AC||AB| , atau y= r x.

16


17/40

Dengan demikian akan kita punyai

L:= L(x) =x(r x), 0< x < r.

Akan kita tinjau situasi dimana posisi persegipanjang (dalam segitiga)sedikit berbeda daripada sebelumnya.

Misalkan untuk r > 0, kita punyai ABC dengan A(r, 0), B(0, r), danC(r, 0). Misalkan 0 < x , y < r . Konstruksikan PQRS dengan titik-titik

sudutnya P(x, 0), Q(x, 0), R(x, y), dan S(x, y). Ini berarti luas PQRS,yang kita notasikan dengan L,adalah

L:= 2 xy, 0< x, y < r.

Dengan mengingat bahwa BOCdan RQCsebangun (di siniO menyatakan

pusat koordinat), maka kita akan sampai pada fakta bahwa y = r

x.

Dengan demikian, seperti pada penjelasan sebelumnya,

L:= L(x) = 2 x(r x), 0< x < r.

Kita lihat (dengan memberikan B(0, a), untuk sebarang a >0.) bahwa penje-

lasan yang kedua dapat diperluas untuk menangani permasalahan menemukan

luas persegipanjang dalam sebarang segitiga samakaki.

Sajikan luas permukaan kubus sebagai fungsi dari volumenya.

Misalkan suatu kerucut mempunyai tinggi 5 centimeter, dan jari-jari alas2 centimeter. Misalkan dibuat tabung di dalamnya sedemikian hingga alas

tabung berimpit dengan alas kerucut dan tutup tabung berimpit dengan se-

limut tabung. Tentukan volume tabung yang terjadi.

Misalkan untuk x R diberikan aturan pengaitan antara x dan f(x),sebagai berikut.

f(x) = 4 x, f(x) = 9 x2, f(x) = 1x2 16 , f(x) =

2x 13x + 7

,

f(x) =

2x 13x+ 7

, f(x) = 1

2x + 7, f(x) =

3x 22x + 7

, f(x) =x2 19 x2 ,

17


18/40

f(x) = x 1

x2 3x+ 2 , f(x) =x2 5x + 6

x 2 .

Tentukan himpunan terbesarA, B R, agarf :A B mendefinisikan suatufungsi.

Misalkan diberikan fungsi f :A B. Fungsifdikatakan naikjika

t1, t2 A, t1 < t2 f(t1) f(t2).

Tentukan selang A, agar

f(s) := 4s 3, f(s) := 1 s2, f(s) :=s2 9, f(t) := cos t, f(t) := sin t,

merupakan fungsi naik.

Misalkan diberikan fungsi g : A B. Fungsig dikatakan turunjika

t1, t2 A, t1 < t2 f(t2) f(t1).

Tentukan selang A, agar

g(s) := 4 3s, g(s) := 1 s2, g(s) := s2 9, g(t) := cos 2t, g(t) := sin 3t,

merupakan fungsi turun.

Misalkan diberikan fungsi h : A B. Fungsi h dikatakan genapjika

h(t) =h(t), untuk setiap t A.

Apakah fungsi berikut

h(t) := 4t2, h(t) :=t3, h(t) := |t|, h(t) := |t|1, h(t) := cos 2t, h(t) := sin 3t,

merupakan fungsi genap? Berikan penjelasan.

Suatu fungsih: A B. dikatakan gasaljika

h(t) +h(

t) = 0, untuk setiap t

A.

Apakah fungsi-fungsi di atas merupakan fungsi gasal? Berikan penjelasan.

Berikan interpretasi geometris terkait pengertian fungsi genap dan gasal.18


19/40

3.1. Fungsi Linier. Dari geometri telah diketahui bahwa persamaan

y= mx+c, atau Ax+By +C= 0,

dengan m, c, A, B, dan C adalah suatu konstanta, menyatakan suatu garis

lurus pada bidang koordinat. Kita akan menentukan persamaan suatu garis

(lurus) dalam hal garis tersebut memenuhi beberapa syarat tertentu.

Misalkan adalah garis (takvertikal) yang melalui titik-titik A(x1, y1) dan

B(x2, y2).

Gradiengaris , yang kita notasikan denganm,didefinisikan sebagai

m := y2 y1x2 x1 .

Ini berarti, gradien suatu garis adalah laju perubahandari y terhadap x.

Dengan demikian, suatu garis yang lurus bisa juga diartikan mempunyailaju perubahan konstan (ingat kembali pengertian kesebangunan atau konsep

tangen suatu segitiga).

Beberapa situasi penting terkait persamaan garis dan sifat-sifat lainnya adalah

Persamaan garis yang melalui (x1, y1) dan (x2, y2) adalahy y1y2 y1 =

x x1x2 x1 .

Persamaan garis yang melalui (x0, y0) dan mempunyai gradien m0adalahy y0= m0(x x0).

Misalkan 1, 2 adalah dua garis dengan persamaan y =m1x+c1 dany = m2x+c2. Jika 1, 2 membentuk sudut sebesar , maka

tan := m1 m21 +m1 m2

.

Keadaan m1 = m2 berarti 1, 2 sejajar atau berimpit. Sedangkan

1 +m1 m2 = 0 berarti1 tegaklurus 2.

Ilustrasi di bawah ini dapat digunakan untuk lebih memantapkan penge-

tahuan anda tentang sifat-sifat penting garis pada bidang koordinat.19


20/40


21/40

Misalkan1dan 2berpotongan di (1, 2).Jika keduanya membentuk sudut45, dan 1 mempunyai gradien 2,tentukan (persamaan) 2.

Misalkan r >0. Jika diberikan A(r, 0), B(0, r), dan C(r, 0), tunjukkanbahwa ABC adalah segitiga siku-siku.

Soal ini bisa dijawab dengan dua cara berbeda. Yang pertama meng-gunakan konvers teorema Pythagoras, sedangkan yang kedua menggunakan

pengukuran sudut-sudut dalam segitiga yang dimaksud.

Tunjukkan bahwaA(1, 1), B(11, 3), C(10, 8), dan D(0, 6) menyatakan titik-titik sudut suatu persegipanjang.

Misalkanf(t) := 2t+3, menyatakan posisi benda (pada lintasan berbentuk

garis) setelah detik ke-t.Tentukan kecepatan rata-rata benda setelah bergerak

2 detik.

Sebuah pabrik menjual arloji Rp. 50.000, 00 per buah. Biaya tetap yangdikeluarkan untuk produksi adalah Rp. 10.000.000, 00 per bulan, sedangkan

biaya variabel adalah Rp. 30.000, 00 per arloji.

(a). Tuliskan persamaan fungsi pendapatan dan biaya per bulan.

(b). Berapa banyak arloji harus diproduksi dan dijual untuk mencapai titik

balik pokok (Break Event Point)?

Sebuah buldozer bernilai Rp. 120.000.000, 00 dan setiap tahun mengalamidepresiasi sebesar 8% dari nilai awalnya.

(a). Tentukan rumus untuk nilai buldozer setelah t tahun, sebutlah V(t).

(b). Gambarkan V(t) pada bidang koordinat, dengan sumbu-tsebagai sumbu

datar, dan sumbu-V sebagai sumbu tegak.

(c). Tentukan titik-titik potong dengan sumbu koordinat, lalu tafsirkan arti

titik-titik potong itu.21


22/40

Mengapa 3x + 2y 1 = 0 d an 3x + 2y + 3 = 0 sejajar? Mengapa3x + 2y1 = 0 dan 6x + 4y2 = 0 berimpit? Berikan penjelasan secukupnya.

Tentukan jarak titikP(2, 6) ke garis1 dengan persamaan 2x y + 1 = 0.

Tentukan garis2yang melaluiPdan tegaklurus1.Tentukan titik potong1 dan 2. Jika Q adalah titik potong kedua garis, maka jarak P ke1 adalah

|P Q|.

3.2. Fungsi Kuadrat. Yang dimaksud dengan fungsi kuadratadalah

y= f(x), dengan f(x) :=ax2 +bx+c.

Grafik fungsi kuadrat y = x2 adalah parabola yang menghadap ke atas

dan mempunyai dasar lembah di (0, 0).Perhatikan bahwa parabola tersebut juga melalui titik-titik (2, 4) dan (2, 4).

Umumnya semua titik dengan koordinat (a, a2) dan (a, a2),dilalui parabola.Oleh karena kedua titik tersebut dipisahkan oleh titik (0, a2),maka parabola

tersebut simetris terhadap sumbu-y.

Sketsalah grafik y = 5 + 6x x2.

Misalkan f(x) :=5 + 6x x2. Berikut adalah langkah-langkah untukmensketsa grafik fungsi yang dimaksud.

(1) Titik potong dengan sumbu-y akan diperoleh saat kita mengambil x =

0. Dengan demikian akan diperoleh titik (0,5) sebagai titik potonggrafik dengan sumbu-y.

(2) Titik potong dengan sumbu-x didapat saat y = 0,atau

0 = 5 + 6x x2

= (x 1)(5 x).Ini berarti titik-titik (1, 0), dan (5, 0) merupakan titik potong grafik

dengan sumbu-x.22


23/40

(3) Oleh karena y = 5 + 6x x2 = 4 (x 3)2 4 =f(3), maka (3, 4)adalah puncak parabola. Ini berarti sketsa grafik tidak mungkin

melampaui garisy = 4.

(4) Oleh karena f(3 a) = f(3 +a), untuk setiap a R, maka x = 3adalah sumbu simetri parabola.

Sebagai pelengkap, kita bisa lihat bahwa grafik yang dimaksud adalah parabola

yang menghadap ke bawah dengan puncak (3, 4), dan sumbu simetri garis

x= 3.

Sketsalah grafiky = x2 + 3x4, y= x210x +31,dan y = 7 + 2xx2.

(Komputer). Misalkan telah diketahui sketsa grafik y = x2.Sketsalah (dengan menggunakan software penggambar kurva yang telah terse-

dia) grafik

y = (x 3)2,dan y = (x+ 5)2, y = x2 4,dan y= x2 + 1, y = (x 3)2 4, dan y = (x 3)2 + 1.

Kesimpulan apa yang dapat diambil?

3.3. Fungsi Kuasa dan Fungsi Akar. Misalkan a > 0. Pandang fungsi

y= xa,yang didefinisikan untukx 0.Jikaa >1 makay = xa disebut fungsikuasa. Sedangkan y = xa disebut fungsi akar, jika 0 < a < 1.

Untuk mendapatkan gambaran secara jelas (walau tidak terlalu detil), lati-

han berikut dapat dicoba untuk diimplementasikan.

(Komputer). Misalkanx R.Sketsalah grafik y = x3, dany = x4, y = x3 8, y= x3 + 8,dan y = x4 16, y= x4 + 1, y = (x1)38, y= (x+2)3+8,dany = (x3)416, y= (x+2)4+1.

Berikan komentar.23


24/40

(Komputer). Misalkanx 0. Sketsalah grafik y = x, y = x 1, y= x + 5, dan y = 4 x, y = 2 +x 1, y= 3x 5,dan y= 26 x.

Berikan penjelasan secukupnya terkait hasil yang sudah anda peroleh.

3.4. Fungsi Rasional. Di sini kita hanya akan meninjau fungsi rasional y =

f(x), dalam hal

f(x) :=a1x

2 +a2x +a3b1x2 +b2x+b3

atau f(x) :=ax+b

cx+d.

Untuk fungsi rasional yang melibatkan hasil bagi fungsi kuadrat, penjelasan

tentang sketsa grafiknya ditunda sampai dengan penjelasan tentang nilai ek-

strim fungsipada topik tentang penerapan turunan fungsi. Sedangkan untuk

fungsi yang berbentuk hasil bagi fungsi linier, kita mulai dengan penjelasanberikut.

(Komputer) Sketsalah grafik fungsi berikut.

y=5x 15

x 2 .

Agar pecahan tersebut bermakna, maka haruslah x 2= 0. Ini berartidaerah asal fungsi meliputi semua bilangan real kecuali 2. Dengan demikian

daerah asalnya adalah R \ {2}.Dengan mengambil x = 0, maka akan kita punyai y = 15/2. Sedangkan

y = 0 akan mengakibatkan x = 3. Ini berarti titik-titik potong grafik dengan

sumbu koordinat, berturut-turut adalah (0, 15/2) dan (3, 0).

Jika x membesar menuju, maka dapat terlihat bahwa 1/x akan semakinkecil menuju 0, dengan demikian,

y=5 15x

1 2

x

akan semakin dekat ke 5.

Misalkan x = 2. Oleh karena

y 5 = 5x 2 ,

24


25/40

maka x > 2, akan mengakibatkan y < 5. Sedangkan x < 2 akan berakibat

y >5.Dari penjelasan tersebut, kita lihat bahwa grafik fungsi terdistribusi di

dua tempat, yaitu di

A := {(x, y) : 2< x, y


26/40

yang diperlukan untuk menggelembungkan balon sedemikian rupa se-

hingga jejarinya bertambah 1 inci.

(5) Suatu kawat, berukuran 8 meter, dipotong menjadi dua bagian (yang

tidak sama panjang). Jika masing-masing bagian disusun menjadi se-

gitiga samasisi dan persegi, tentukan jumlahan luas keduanya sebagai

fungsi panjang salah satu potongan kawat.

(6) Misalkan f(t) :=t2 + 6t8 menyatakan posisi benda (bergerak)pada garis lurus saat detik ke-t.Tentukan kecepatannya, sebagai fungsi

waktu, jika benda tersebut bergerak dengan waktu tempuh 2 detik.

3.5. Fungsi Trigonometri. Untuk sebarang x R, kita definisikan hubun-gan y := sin x. Secara faktual, x biasa mempunyai satuan radian.

Fungsi sinusmerupakan salah satu contoh fungsi periodik(dengan periode

2). Ini berarti definisi berikut, untuk suatu bilangan real terkecil t0,

f(x +t0) =f(x), x R,

dipenuhi oleh fungsi sinus (dalam hal ini kita punyai t0 := 2, dengan

didefinisikan sebagai suatu konstanta positif yang menyatakan luas lingkaran

berjari-jari 1). Dengan demikian, penyelidikan terkait fungsi ini cukup di-

lakukan hanya di selang (0, 2 ).

Kita mulai dengan fakta bahwa y = sin x, 0 x 2, memotong sumbu-xdi 3 titik, yaitu di (0, 0), (, 0),dan (2, 0), hal ini dikarenakan

sin x= 0 x {0, , 2}.

Diketahui bahwa y = sin x naik pada selang [0, /2), dan [3/2, 2], turun

pada selang [/2, 3/2). Oleh karena sin(/2 ) = 1, dan sin(3/2) = 1,maka y = sin x mempunyai puncak dan lembah berturut-turut di (/2, 1),

dan (3/2,1).26


27/40


28/40

demikian grafik y = ax bergerak mulai dari (,) menuju ke (0, 1), laludilanjutkan ke (, 0).

Misalkan a > 1.Kita definisikan logaritma(dengan basis a) sebagai

y= alog x ay =x.

Perlu kita catat di sini bahwa 0 < x


29/40

(f). f(t) :=t/(1 +t), g(t) := sin2t.

Tentukan f g h, untuk(a). f(t) :=t + 1, g(t) := 2t, h(t) :=t 1,(b). f(t) := 2t 1, g(t) :=t2, h(t) := 1 t,(c). f(t) := t 3, g(t) :=t2, h(t) :=t3 + 2,(d). f(t) := tan t, g(t) :=x/(x 1), h(t) := 3t.

Tentukan fungsi-fungsif dan g yang bersifat F =f g, untuk(a). F(t) := (t2 + 1)10,

(b). F(t) := 3

t/(1 + 3

t), F(s) := 3

s/(1 +s)

(c). F(t) :=

cos t, F(t) := sin

t, F(t) := (tan t)/(1 + tan t).

Tentukan fungsi-fungsif,g,dan hyang bersifat F =f g h, untuk

F(t) := 1 3t2, F(t) := 8

2 + |t|, atau F(t) := sec4

t

Misalkan diberikan fungsi linier f(t) := m1t+c1, dan g(t) := m2t+c2.Apakahf g linier? Jelaskan jawaban anda.

Misalkan diberikang(t) := 2t + 1,dan h(t) := 4t2 + 4t + 7.Carilahfyang

bersifat f g = h.Misalkan f(t) := 3t+ 5, dan h(t) := 3t2 + 3t+ 2. Carilah g yang bersifat

f g= h.Untukf(s) :=s + 4,dan h(s) := 4s 1,carilahg yang memenuhig f=h.

3.8. Balikan Fungsi. Untuka >1, didefinisikanf(t) :=at,dang(t) := alog t.

Kita ingat kembali hubungan antara fungsi eksponen dan logaritma, yaitu

(f g)(t) = t, dan (g f)(s) =s, untuk setiap 0 < t


30/40

Jika untuk suatu fungsi a : A B, dan b : B Aberlaku

(b a)(t) =t, dan (a b)(s) =s, untuk setiap t A, s B,

maka b disebut fungsi balikandaria.

Misalkan diberikan g(t) := t2

,untukt 0. Carilah h yang bersifat(h g)(t) =t, untuk setiap t 0.

Diketahui bahwa g : [0,) [0,). Dengan demikian, kita harus men-cari h : [0,) [0,) yang memenuhi (h g)(t) = t. Setelah melakukanpengamatan, kita sampai pada kesimpulan bahwa h(t) :=

t adalah fungsi

yang dimaksud. Lebih jauh, kita juga punyai fakta

h g= g h.

Untukhyang seperti ini, kita biasa menotasikan h:= g1.Ini berarti

g g1 =g1 g.

Carilah f1, untuk f(s) := 2s 3, dengan1 s


31/40

Berikan penjelasan terkait balikan fungsi-fungsi berikut.

f(t) :=t3+2, g(t) :=1 t, h(t) :=

t(t+ 1), 1/2 t


32/40

Keadaan di atas kita notasikan dengan

limt1

f(t) = 7, dan limt1+

f(t) = 7.

Jika kedua hal di atas kita gabung, maka dapat kita simpulkan bahwaf(t) 7,pada saatt 1,dan hal ini kita notasikan dengan

limt1

f(t) = limt1

(3t + 4) = 7 = f(1).

Kita lihat dari penjelasan di atas bahwa t 1, akan berakibat f(t) 7.Apa yang harus kita lakukan terhadap t, bila kita menginginkan f(t) cukup

dekat ke 7? Tentu kita juga harus membuat t cukup dekat ke 1. Seberapa

dekat?

Misalkan f(t) := 3t + 4.Tentukan kebenaran implikasi berikut:(1)|t 1| < 1

10 |f(t) 7| < 3

10,

(2)|t 1| < 115 |f(t) 7| < 1

6.

Tentukan >0 agar implikasi berikut

|t 1| < |f(t) 7| < 130

bernilai benar. Berapa banyak yang anda peroleh?

Misalkan 0 > 0 diketahui. Tentukan >0 agar implikasi berikut

|t 1| < |f(t) 7| < 0

bernilai benar. Berapa banyak yang anda peroleh? Berikan interpretasi

geometris terkait penjelasan di atas.

Jika pada soal sebelumnya kita memberikan bukti geometris (dan dikuatkan

dengan penjelasan analitis) tentang pengertian limit, maka soal di bawah ini

hanya akan memberikan penjelasan analitis saja terkait konsep limit.

Misalkan diberikan fungsih(t) := t, 1 t


33/40


|t 4| < |h(t) 2| < 130

bernilai benar.

Oleh karena 1 t,maka 3 t+ 2. Dengan demikian

|t 4| < |h(t) 2| =|t 4|t + 2|t 4|

3 < 1

3.

Detil selanjutnya diserahkan sebagai latihan.

Untukg(s) :=s2,dugalah nilai lims3

g(s).

Dari tabel berikut,s 3.1 3.08 3.06 3.04 3.02 2.96 2.94 2.92 2.9

g(s) 9.610 9.486 9.363 9.241 9.120 8.761 8.643 8.526 8.410dapat kita simpulkan bahwa lim

s3

g(s) = 9 =g(3).

Misalkan diberikan g(s) :=s2, 0 s 5. Akan dijelaskan (secara anali-tis) tentang kebenaran

lims3

g(s) = 9.


|s 3| < |g(s) 9| < 140

bernilai benar.

Oleh karena 0 s 5, maka 3 s + 3 8.Dengan demikian

|s 3| < |g(s) 9| = (s + 3)|s 3| 8|s 3| 2, dan diberikan h(t) := 1/t, 2t 0 agar implikasi berikut

|s a| < |h(t) h(a)| < 140

33


34/40

bernilai benar.

Oleh karena 2 t,maka 1/t 1/2.Dengan demikian

|s 3| < |h(t) h(a)| =

1

t 1

a

= 1

t a|t a| < 1

2a.

Detil selanjutnya diserahkan sebagai latihan.

Contoh-contoh di atas menimbulkan pertanyaan: Jika secara geometris kita

sudah tahu bahwa (pada contoh pertama) f(t) 7, untuk t 1, mengapakita perlu menghitung nilai fungsi disekitar 1?

Contoh berikut menggambarkan bahwa tidak selalu terjadi (untuk fungsih),

bahwa limsa

h(s) =h(a),untuk suatu a di daerah asal.

Untuk fungsi berikut,

h(t) :=

(t2

4)/(t 2) , t = 2,3 , t= 2,

dugalah nilai limt2

h(t).

Jelas bahwa t2 tidak harus berarti t = 2. Dengan demikian kita bisamemandang nilai-nilai t di sekitar 2,tetapi t = 2.Sementara kita tahu bahwah(t) =t + 2,untukt = 2.

Penjelasan di atas mengarahkan kita pada kesimpulan

limt2

h(t) = 4 = 3 =h(2).

Secara operasional, kita biasa menghitung nilai limitnya dengan cara

limt2

t2 4t 2 = limt2

(t 2)(t + 2)t 2 = lims2 (t + 2) = 4.

Hitunglah

lims2

s2 4

s

2

, lims1

s 1

3

s

1, lim

s1

s3 1s

1, lim

s2

s5 32s3

8

, lims0

s2 + 9 3

s2 .

Misalkan a >0.Untuk masing-masing

f(k) :=k3 + 2k2 + 4, f(k) :=

k+ 2, f(k) := 3

k+ 1,34


35/40

hitunglah

limka

f(k) f(a)k a .

Misalkan diberikan fungsi f : R Rdengan ketentuan

f(s) :=

4 s, s


36/40

Dengan tabel berikut,s 5.1 5.01 5.001 5.0001

h(s) 10 100 1000 10000

kita lihat bahwah(s) membesar takhingga saat s 5+, dan ini dinotasikandengan

lims5+

h(s) = .Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa

lims5

h(s) tidak ada.

4.2. Penjelasan Konsep Limit dan Kekontinuan Fungsi. Dari contoh-

contoh di atas, kita sampai pada penjelasan berikut. Misalkan diberikan fungsi-

fungsi

g: R R, f : R R, dan a R.(1) Jika lim

sa+g(s) = L = lim

sag(s), maka

limsa

g(s) = L.

(2) Jika limsa+

g(s) = limsa

g(s), maka

limsa

g(s) tidak dapat ditentukan.

(3) Jika salah satu dari limsa+ g(s) atau limsa g(s) tidak ada (atau bernilai), maka

limsa

g(s) tidak dapat ditentukan.

(4) Bisa saja terjadi limsa

g(s) = g(a). Jika hal tersebut terjadi, maka dikatakan

bahwa fungsi g kontinudi s = a.

(5) Memanfaatkan informasi sebelumnya, fungsi g dikatakan takkontinudi

s= a, jika salah satu dari situasi berikut

(a). limsa

g(s) tidak ada, atau

(b). limsa

g(s) ada, tetapi limsa

g(s) =g(a),dipenuhi.

36


37/40

(6) Misalkan R.Jika limsa

g(s) = L, dan limsa

f(s) = M, maka

limsa

(g(s) f(s)) = L M, limsa

g(s) = L,

limsa

g(s) f(s) = L M, dan limsa

g(s)

f(s)=

L

M.

Tentu saja, rumus terakhir hanya berlaku saat M= 0.

Berikan penjelasan tentang kekontinuan fungsi f(t) := 3t + 7, di t = 2.Misalkan t0 R. Selidiki kekontinuan f dit0 R.

Misalkan a R, dan diketahui limta

t = a. Dengan menggunakan rumus-

rumus untuk menghitung limit fungsi, tunjukkan bahwa

limta

(3t2

4t + 5) = 3a2

4a + 5.

Dari sini simpulkan bahwa h(t) := 3t2 4t + 5 kontinu di seluruh R.

Misalkan diberikan fungsi

f(t) :=

at +b, t 1,ct +d, t >1,

yang sketsa grafiknya melalui titik (0, 4).Tentukan syarat untuk a,b, c,dand,

agar fkontinu di R.

Tentukan syarat untuk a danb agar

f(t) :=

(4 t2)/(2 t), t


38/40

Perhatikan bahwa fungsi

f(t) :=

|t|, t = 0,4, t= 0,

takkontinu di t = 0. Dapatkah fungsi tersebut dimodifikasi (khususnya untuk

situasi di t = 0), agar menjadi fungsi kontinu? Jelaskan jawaban anda.

4.3. Mencari akar. Misalkan f : [a, b]R kontinu. Salah satu hal pentingterkait f, adalah kenyataan bahwa dengan mengetahui tanda f(a) dan f(b),

kita dapat menunjukkan keujudanakardarif. Ini berarti kita bisa menemukan

(a, b) yang memenuhi f() = 0.

Teorema 1. (Teorema Nilai Antara). Misalkanf : [a, b] R adalah fungsikontinu yang bersifat

f(a)< 0 < f(b), atau f(b)


39/40

Misalkan f : [1, 5] R kontinu, dan f(t) = 6 hanya dipenuhi oleht {1, 4}.Jikaf(2) = 8,jelaskan mengapa f(3)>6?

Apakah f : [2, 4] Rdengan ketentuan di bawah ini

f(t) := 9 t2, 2 t 0,t2

4, 0< t

4,

memenuhi Teorema Nilai Antara? Berikan penjelasan.

Misalkan a, b >0.Tunjukkan bahwaa

x3 + 2x2 1+ b

x3 +x 2= 0,

mempunyai setidaknya satu solusi di interval (1, 1).

4.4. Limit di Takhingga. Jika kita amati sketsa grafik f(x) := 1/x, x >0,

dan g(x) := (2x + 3)/(x + 1), x >0,maka akan tampak bahwa

x 10 50 100 400 1000 3000 10,000 25,000 50,000f(x) 0.1 0.02 0.01 0.0025 0.001 0.0033 0.0001 0.00004 0.00002

x 9 99 999 9999g(x) 2.1 2.01 2.001 2.0001

Secara intuitif tampak bahwa dengan semakin membesarnya x, maka secara

bersamaan akan diperoleh f(x) 0, dan g(x) 2. Hal ini kita notasikandengan

limx

f(x) = 0, dan limx

g(x) = 2.

Secara lebih teliti kita lihat bahwa

|g(x) 2| = 1x+ 1

< 1

x.

Ini berarti, dengan semakin membesarnya x, maka jarak g(x) ke 2 juga akan

semakin dekat. Sebagai contoh, posisi g(1000) dibandingkan dengan g(100)terhadap 2 jelas amat sangat berbeda, kalau kita amati fakta di bawah ini.

|g(1000) 2| = 11001

> 1

101= |g(100) 2|.

39


40/40

2541680pengantar_kalkulus.pdf

Documents

Transcript of 2541680pengantar_kalkulus.pdf