25. PERSAMAAN.PERTIDAKSAMAAN LOGARITMA

25. PERSAMAAN/PERTIDAKSAMAAN LOGARITMA A. Persamaan Logaritma

Untuk a > 0, a ≠ 1; f(x) > 0, g(x) > 0

1. Jika alog f(x) = alog p, maka f(x) = p

2. Jika alog f(x) = alog g(x), maka f(x) = g(x)

B. Pertidaksamaan Logaritma

� Untuk a > 1

1. Jika alog f(x) > alog g(x), maka f(x) > g(x)

2. Jika alog f(x) < alog g(x), maka f(x) < g(x)

� Jika 0 < a < 1

1. Jika alog f(x) > alog g(x), maka f(x) < g(x)

2. Jika alog f(x) < alog g(x), maka f(x) > g(x)

Tanda Pertidaksamaan berubah

Tanda Pertidaksamaan tetap

Soal dan Pembahasan UN Matematika SMA Prog. IPA http://www.soalmatematik.com

Cermati secara seksama cara pengerjaannya lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e-book kumpulan soal UN

225

SOAL PENYELESAIAN 1. Untuk x yang memenuhi persamaan

4

122 16log

−x

= 8, maka 32 x = … a. 19 b. 32 c. 52 d. 144 e. 208

4

122 16log

−x

= 8

⇔ )

4

12(4

2 2log−x

= 2log 28

⇔ 122 2log −x = 2log 28

⇔ 2x – 1 = 8 ⇔ {2x = 9}× 16 ⇔ 32x = 144 ……………………(d)

2. Akar-akar persamaan logaritma 3log2x – 3 3log x + 2 = 3log 1 adalah x1 dan x2. nilai x1 + x2 = …. a. 2 b. 3 c. 6 d. 9 e. 12

3log2x – 3 3log x + 2 = 3log 1 ⇔ (3log x)2 – 3 (3log x) + 2 = 0 ⇔ (3log x – 1)(3log x – 2) = 0

(i) 3log x – 1= 0 3log x = 1

x = 31 = 3

(ii) 3log x – 2= 0 3log x = 2

x = 32 = 9

Jadi x1 + x2 = 3 + 9 = 12 ………………………(e)

3. Penyelesaian persamaan 2log(3x2 + 5x + 6) – 2log(3x + 1) = 2 adalah α dan β. Untuk α > β, nilai α – β = …

a. 31

b. 21

c. 132

d. 2 e. 3

2log(3x2 + 5x + 6) – 2log(3x + 1) = 2 ⇔ 2log(3x2 + 5x + 6) – 2log(3x + 1) = 2log22

⇔

+++

13

653log

22

x

xx= 2log 4

⇔ 13

653 2

+++

x

xx= 4

⇔ 3x2 + 5x + 6 = 4(3x + 1) ⇔ 3x2 + 5x + 6 = 12x + 4 ⇔ 3x2 + 5x – 12x + 6 – 4 = 0 ⇔ 3x2 – 7x + 2 = 0 ⇔ (3x – 1)(x – 2) = 0

(i) 3x – 1= 0

x = 31 = β

(ii) x – 2 = 0 x = 2 = α

Jadi: α – β = 2 – 31 = 1

32 ……………………(c)

4. Persamaan 4log(2x2 – 4x + 16) = 2log(x + 2) mempunyai penyelesaian p dan q. untuk p > q, maka nilai p – q = … a. 4

b. 3

c. 2

d. –1

e. –4

4log(2x2 – 4x + 16) = 2log(x + 2)

⇔ )1642log( 222+− xx = 2log(x + 2)

⇔ 21 2log(2x2 – 4x + 16) = 2log(x + 2)

⇔ 2log(2x2 – 4x + 16) = 2log(x + 2)2

⇔ 2x2 – 4x + 16 = x2 + 4x + 4 ⇔ 2x2 – x2 – 4x – 4x + 16 – 4 = 0 ⇔ x2 – 8x + 12 = 0 ⇔ (x – 6)(x – 2)= 0

(i) x – 6 = 0 x = 6 = p

(ii) x – 2 = 0 x = 2 = q

Jadi: p – q = 6 – 2= 4 …………………………(a)



226

SOAL PENYELESAIAN 5. Jika x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan

(3log x)2 – 3 3log x + 2 = 0, maka x1· x2 = … a. 2

b. 3

c. 8

d. 24

e. 27

(3log x)2 – 3 3log x + 2 = 0

⇔ (3log x)2 – 3(3log x) + 2 = 0 ⇔ (3log x – 1)(3log x – 2) = 0

(i) 3log x – 1= 0 3log x = 1

x = 31 = 3

(ii) 3log x – 2= 0 3log x = 2

x = 32 = 9

Jadi x1 · x2 = 3 · 9 = 27 ….……………………(e)

6. Himpunan penyelesaian dari persamaan logaritma 2x – 5log(3x – 4) = 2x – 5log(x + 2) adalah … a. {2}

b. {1}

c. {0}

d. {–1}

e. { }

2x – 5log(3x – 4) = 2x – 5log(x + 2) persamaan 3x – 4 = x + 2 3x – x = 2 + 4 2x = 6 x = 3

periksa bilangan pokok h(x) = 2x – 5 h(3) = 2(3) – 5 = 1 ………tidak memenuhi, karena syarat h(x) tidak boleh sama dengan 1

jadi: HP = {} ………………………………(e)

7. Akar-akar persamaan 4log(2x2 – 3x + 7) = 2 adalah x1 dan x2. Nilai 4x1· x2 = … a. –6

b. –18

c. 10

d. 18

e. 46

4log(2x2 – 3x + 7) = 2

⇔ )732log( 222+− xx = 2log 22

⇔ 21 )732log( 22 +− xx = 2log 4

⇔ )732log( 22 +− xx = 2log 42

⇔ 2x2 – 3x + 7 = 16 ⇔ 2x2 – 3x + 7 – 16 = 0 ⇔ 2x2 – 3x – 9 = 0

Bentuk akhir di atas adalah persamaan kuadrat, sehingga nilai 4x1· x2 dapat diketahui tanpa harus menyelesaikan persamaannya terlebih dahulu.

4x1· x2 =

a

c4 =

−2

94

= 2(– 9) = –18 ………………(b)



227

SOAL PENYELESAIAN

8. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan xlog9 < xlog x2 adalah … a. {x | x ≥ 3}

b. {x | 0 < x < 3}

c. {x | 1 < x < 3}

d. {x | x > 3}

e. {x | 1 < x ≤ 3}

xlog9 < xlog x2

(i) syarat numerus x > 0, x ≠ 1

(ii) pertidaksamaan 9 < x2

⇔ {9 – x2 < 0} × (–1) ⇔ x2 – 9 > 0 ⇔ (x + 3)(x – 3) > 0

Pembentuk nol x = {–3, 3}

berdasarkan persyaratan pada poin (i) maka HP = {x | x > 3}

9. Batas-batas nilai x yang memenuhi 3log(x2 – 2x + 1) ≤ 2 adalah … a. –2 ≤ x ≤ 4, x ≠ 1

b. 1 ≤ x ≤ 4

c. 1 < x ≤ 4

d. –4 ≤ x ≤ 1

e. –4 < x < 4, x ≠ 1

3log(x2 – 2x + 1) ≤ 2 ⇔ 3log(x2 – 2x + 1) ≤ 3log 32

⇔ 3log(x2 – 2x + 1) ≤ 3log 9

(i) pertidaksamaan x2 – 2x + 1 ≤ 9 x2 – 2x – 8 ≤ 0 (x + 2)(x – 4) ≤ 0

pembentuk nol • x + 2 = 0

x = –2 • x – 4 = 0

x = 4

x = {– 2, 4}

(ii) numerus x2 – 2x + 1 > 0

⇔ (x – 1)2 > 0 pembentuk nol x = {1}

grafik himpunan penyelesaian

berdasarkan bagan di atas, maka: HP = {–2 ≤ x ≤ 4, x ≠ 1} …………………..(a)



228

SOAL PENYELESAIAN 10. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan

9log(x2 + 2x) < ½ adalah … a. –3 < x < 1

b. –2 < x < 0

c. –3 < x < 0

d. –3 ≤ x ≤ 1 atau 0 < x < 2

e. –3 < x < –2 atau 0 < x <1

9log(x2 + 2x) < 21

⇔ )2log( 232xx + <

21

⇔ {21 )2log( 23 xx + <

21 }× 2

⇔ )2log( 23 xx + < 1

⇔ )2log( 23 xx + < 3log 3 i) pertidaksamaan

x2 + 2x < 3 x2 + 2x – 3 < 0 (x + 3)(x – 1) < 0

pembentuk nol • x + 3 = 0

x = –3 • x – 1 = 0

x = 1

x = {– 3, 1}

(ii) numerus x2 + 2x > 0

⇔ x(x + 2) > 0 pembentuk nol x = {0, – 2} Grafik himpunan penyelesaian

berdasarkan bagan di atas, maka: HP = {–3 < x < –2 atau 0 < x <1} …………..(e)



229

SOAL PENYELESAIAN 11. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan

0)8xlog( 221

>− adalah … a. {x | –3 < x < 3

b. {x | – 22 < x < 22 } c. {x | x < –3 atau x < 3

d. {x | x < – 22 atau x < 22 }

e. {x | –3 < x < – 22 atau 22 < x < 3}

0)8xlog( 221

>−

⇔ 1log)8log( 21

21

2 >−x

(i) pertidaksamaan

Karena bilangan pokok 21 < 1, maka tanda

pertidaksamaan berubah x2 – 8 < 1

⇔ x2 – 9 < 0 ⇔ (x + 3)(x – 3) < 0

pembentuk nol x = {– 3, 3}

(ii) numerus x2 – 8 > 0

pembentuk nol x2 = 8

x = 8±

x = 22±

berdasarkan bagan di atas, maka:

HP = {x | –3 < x < – 22 atau 22 < x < 3} ………………………………………..…..(e)



230

SOAL PENYELESAIAN 12. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan

)3xlog()xxlog( 21

21

2 +≥− adalah …

a. {x | –1≤ x ≤ 3, x ∈R

b. {x | –1≤ x < 0 atau 1< x ≤ 3, x ∈R

c. {x | x < 0 atau x > 1, x ∈R

d. {x | –1≤ x < 0 atau x ≥ 3, x ∈R

e. {x | x ≥ 0 atau –1 ≤ x ≤ 3, x ∈R

)3xlog()xxlog( 21

21

2 +≥− (i) pertidaksamaan

Karena bilangan pokok 21 < 1, maka tanda

pertidaksamaan berubah x2 – x ≤ x + 3

⇔ x2 – x – x – 3 ≤ 0 ⇔ x2 – 2x – 3 ≤ 0 ⇔ (x + 1)(x – 3) ≤ 0

pembentuk nol x = {– 1, 3}

(ii) numerus a) x2 – x > 0

x(x – 1)

pembentuk nol x = {0, 1}

b) x + 3 > 0 x > –3

berdasarkan bagan di atas, maka: HP = {x | –1≤ x < 0 atau 1< x ≤ 3, x ∈R}

……………………………………………..(b)

25. PERSAMAAN.PERTIDAKSAMAAN LOGARITMA

Documents

Transcript of 25. PERSAMAAN.PERTIDAKSAMAAN LOGARITMA