Seminar Nasional Sistem dan Informatika 2006; Bali, November 17, 2006 SNSI06-039

241

PERBANDINGAN PENGGUNAAN METODE MULTIPLIERS DENGAN METODE STEPPING STONE

DALAM MEMECAHKAN MASALAH TRANSPORTASI

Felicia Soedjianto1) Sukanto Tedjokusuma2) Dimas Andryanto3) Jurusan Teknik Informatika, Fakultas Teknologi Industri, Universitas Kristen Petra, Surabaya

felis@peter.petra.ac.id1)

ABSTRACT The industrial sector needs computer as its supporting tools. Computerised systems can make the process conducted within an industry performed easier. An example of that is material delivery. Using a computerised system, such process can be performed with a minimum cost and on time. In this case the transportation cost involved in the material delivery problem can be solved using Multipliers and Stepping Stone methods. In this research, comparison between the two methods are perfomed. Output of the application is in the form of the route chosen for delivering the material as well as the number of material delivered. The application also estimates whether the delivery can be finished on time or not. Experiment results show that Multipliers method performed better than the Stepping Stone method. Keywords: On Time Material Delivery, Minimum Cost, Warehouse Capacity, Stepping Stone, Multipliers. 1. Pendahuluan Dalam perusahaan yang sudah memiliki banyak cabang, pengiriman barang dari suatu tempat ke tempat lain perlu dilakukan dengan biaya minimum. Demikian pula cabang perusahaan juga memerlukan supaya barang ada di gudang tepat waktu untuk dapat dipasarkan sesuai rencana. Agar biaya minimum serta ketepatan waktu bisa dicapai, maka penggunaan sistem komputerisasi diharapkan bisa membantu mengambil keputusan. Masalah yang dihadapi dalam pengiriman barang dari satu tempat ke tempat lainnya diantaranya adalah sebagai berikut: a. Berapa banyak barang yang dikirim dari tiap sumber ke tiap tujuan agar dapat memenuhi permintaan tiap tujuan? b. Rute manakah yang dapat ditempuh oleh tiap sumber untuk sampai ke tujuan dengan biaya transport minimum? c. Apakah barang yang dikirimkan bisa diterima sesuai dengan waktu permintaan? Tujuan dari penelitian ini adalah memilih metode yang terbaik dalam memecahkan masalah pengiriman barang, penentuan kota-kota mana saja yang ditempuh serta alokasi barang ke gudang agar barang-barang bisa mencapai daerah tujuan tepat waktu dengan biaya minimum.

2. Landasan Teori Model yang digunakan dalam mengerjakan penelitian ini adalah model transportasi. Model ini berkaitan dengan penentuan rencana dengan biaya terendah untuk mengirimkan barang dari sejumlah sumber (daerah asal pengiriman) ke sejumlah tujuan. Model ini mencakup: a. Jumlah persediaan setiap sumber dan jumlah permintaan di setiap tujuan. b. Biaya transportasi per unit barang dari setiap sumber ke setiap tujuan. Batasan dalam model yang digunakan bahwa jumlah dari permintaan dan persediaan diasumsikan sama. Untuk memecahkan masalah dalam model transportasi ini dilakukan langkah-langkah sebagai berikut: a. Menentukan solusi basis awal yang dilakukan dengan metode Northwest Corner, Least Cost atau Vogel. b. Menentukan variabel masuk dari varabel-variabel bukan basis yang ada (variabel nonbasis yang akan menjadi

variabel basis). Bila semua variabel sudah memenuhi kondisi optimum, maka proses dihentikan. Bila belum lanjutkan ke langkah selanjutnya.

c. Menentukan variabel keluar diantara variabel-variabel basis yang ada (variabel basis yang akan meninggalkan basis), kemudian menghitung solusi baru.

Untuk langkah yang kedua dan ketiga dilakukan menggunakan metode Multipliers atau Stepping Stone.

2.1 Penentuan Solusi Basis Awal Saat semua input yang dibutuhkan telah dipenuhi dari tiap–tiap sumber, tiap–tiap transit dan tiap–tiap tujuan baik dalam hal kapasitas, biaya yang diperlukan, serta waktu yang dibutuhkan untuk menempuh jarak dari satu tempat ke tempat lainnya, maka ditentukan solusi basis awal dimana solusi ini masih bersifat sementara yang merupakan alokasi awal dari sumber ke tujuan. Dikatakan solusi sementara karena nantinya akan dicari solusi optimal dengan membandingkan solusi yang telah didapat sebelumnya. Penentuan solusi basis awal dapat dilakukan menggunakan 3 metode, antara lain : 2.1.1 Metode Northwest Corner Dalam metode ini dilakukan pengalokasian sebesar mungkin sesuai dengan persediaan dan permintaan pada kolom yang paling kiri atas. Bila masih tersisa dialokasikan ke kolom sebelah kanannya. Bila kolom sudah tidak mencukupi, maka dialokasikan ke kolom di bawahnya kemudian ke kolom di sebelah kanannya kemudian ke kolom di sebelah bawahnya lagi begitu seterusnya sampai pengalokasian selesai. Gambar 1 menunjukkan proses tersebut.

Seminar Nasional Sistem dan Informatika 2006; Bali, November 17, 2006 SNSI06-039

242

3 2 X

3 2 1 X

2 X

X X X X Gambar 1. Contoh Tahap-tahap Penyelesaian Metode Northwest Corner

2.1.2 Metode Least Cost Rule Dalam metode ini, prioritas pengalokasian sebesar mungkin diberikan pada tempat yang mempunyai satuan ongkos terkecil. Barulah kemudian dialokasikan pada tempat yang mempunyai ongkos terkecil setelahnya begitu seterusnya sampai pengalokasian habis. Bila terdapat 2 tempat dengan ongkos terkecil yang sama, maka pengalokasian dapat dilakukan dimana saja yang ditentukan secara random. Gambar 2 menunjukkan proses tersebut.

Gambar 2. Contoh Tahap-tahap Penyelesaian Metode Least Cost Rule

Supply Row Penalty

6 7 8

15 80 78

Demand

Column Penalty 15-6=9 80-7=73 78-8=70

7-6=1

78-15=63

15 5 5

10

15

Supply Row Penalty

6 7 8

5

15 80 78

Demand

Column Penalty 15-6=9 _ 78-8=70

8-6=2

78-15=63

15 X 5

5

15

Supply Row Penalty

6 7 8

5 5

15 80 78

Demand

Column Penalty 15-6=9 _ _

_

_

15 X X

0

15

Supply Row Penalty

6 7 8

0 5 5

15 80 78

Demand

Column Penalty _ _ _

_

_

15 X X

X

15

Supply Row Penalty

6 7 8

0 5 5

15 80 78

15

Demand

Column Penalty _ _ _

_

_

X X X

X

X

Gambar 3. Contoh Tahap-tahap Penyelesaian Metode Vogel

5

6

2

3 5 2 3

3 2

6

2

X 5 2 3

3 2 X

3 3

2

X X 2 3

3 2 X

6

2

X 3 2 3

3 2 X

3 2 1

2

X X X 3

3 2 X

3 2 1 X

2

X X X 2

2 3 5 6

2 1 3 5

3 8 4 6

5

10

15

12 8 4 6

2 3 5 6

2 1 3 5

8

3 8 4 6

12 X 4 6

5

2

15

2 3 5 6

2 1 3 5

2 8

3 8 4 6

10 X 4 6

5

X

15

2 3 5 6

5

2 1 3 5

2 8

3 8 4 6

5 X 4 6

X

X

15

2 3 5 6

5

2 1 3 5

2 8

3 8 4 6

5

X X 4 6

X

X

10

2 3 5 6

5

2 1 3 5

2 8

3 8 4 6

5 4

X X X 6

X

X

6

2 3 5 6

5

2 1 3 5

2 8

3 8 4 6

5 4 6

X X X X

X

X

X

Seminar Nasional Sistem dan Informatika 2006; Bali, November 17, 2006 SNSI06-039

243

2.1.3 Metode Vogel Metode Vogel ini merupakan cara terbaik untuk menemukan solusi basis awal. Tetapi langkah-langkah pengerjaannya cukup rumit. Pertama-tama tentukan penalty baris dan penalty kolom dengan cara mengurangkan 2 elemen ongkos terkecil dari tiap-tiap baris dan kolom. Kemudian dari seluruh penalty baris dan penalty kolom diambil baris atau kolom yang nilai penalty-nya terbesar. Alokasikan sebesar mungkin pada variabel dengan nilai terkecil. Kemudian lakukan kembali penalty baris dan penalty kolom, tetapi baris atau kolom yang telah dipilih pada penalty sebelumnya tidak diikutkan dalam penalty ini. Lakukan proses tersebut sampai pengalokasian selesai. Gambar 3 menjelaskan proses ini dengan lebih detail.

2.2 Penentuan Solusi Optimal Dalam penentuan solusi optimal 2 metode dapat digunakan yaitu Metode Multipliers dan Stepping Stone. 2.2.1 Metode Multipliers Dalam metode ini digunakan beberapa faktor pengali yang bentuknya antara lain:

Up : untuk baris p dan Vq : untuk kolom q Langkah pertama yang dilakukan adalah dengan menentukan variabel masuk. Cara menentukan variabel masuk dalam metode ini adalah:

• Up + Vq = Cpq untuk setiap variabel dasar Xpq • C’pq = Up + Vq – Cpq untuk setiap variabel non dasar Xpq

Pada saat perhitungan Up + Vq = Cpq untuk setiap variabel dasar Xpq, nilai Up = 0. Untuk menentukan nilai faktor pengali lainnya, variabel basis harus berjumlah minimal p+q-1. Kemudian untuk variabel nonbasis, bila bernilai negatif, kondisi proses sudah bisa dikatakan optimum. Jika ada yang positif maka variabel tersebut dipilih sebagai variabel masuk. Langkah berikutnya membuat loop dari variabel masuk dan dipilih alokasi minimal dari loop negatif sebagai variabel keluar. Kemudian dibuat solusi baru dan diperiksa kembali apakah solusi tersebut sudah optimum. Gambar 4 merupakan salah satu contoh dari proses ini. Penentuan solusi basis awal dalam contoh ini dilakukan dengan metode least cost.

Gambar 4. Kondisi Setelah Dilakukan Penentuan Solusi Basis Awal Variabel basis : Xad=Ua+Vd=Cad=16 (Ua=0, Vd=16) Xcd=Uc+Vd=Ccd=19(Uc=3, Vd=16) Xbe=Ub+Ve=Cbe=17 (Ub=3, Ve=14) Xce=Uc+Ve=Cce=4 (Uc=3, Ve=14) Xbf=Ub+Vf=Cbf=14 (Ub=3, Vf=11) Variabel nonbasis : C’ae = Ua+Ve-Cae C’bd = Ub+Vd-Cbd = 0+14-16 = -2 = 3+16-18 = 1 C’af = Ua+Vf-Caf C’cf = Uc+Vf-Ccf = 0+11-16 = -5 = 3+11-19 = -5 Kemudian bila variabel nonbasis bernilai negatif, maka semuanya sudah optimum. Jika ada yang positif maka variabel tersebut dipilih sebagai variabel masuk. Hasilnya: terpilihlah Xbd sebagai variabel masuk. Setelah itu dibuat loop seperti Gambar 5.

Gambar 5. Pembuatan Loop Pada Variabel Masuk

Koefisien negatif loop Xbd yang bernilai minimal dipilih sebagai variabel keluar, dengan perhitungan min(Xbe,Xcd) = min(100,300) = 100. Hasilnya: terpilihlah Xcd sebagai variabel keluar. Keadaan menjadi seperti Gambar 6.

16 18 16 1000

1000

18 17 14 1500

100 1400

19 17 19 1200

300 900

1300 1000 1400

A

B

C

D E F

16 18 16 1000

1000

(+) 18 (-) 17 14 1500

Xbd 100 1400

(-) 19 (+) 17 19 1200

300 900

1300 1000 1400

A

B

C

D E F

Seminar Nasional Sistem dan Informatika 2006; Bali, November 17, 2006 SNSI06-039

244

Variabel basis : Xad=Ua+Vd=Cad=16 (Ua=0, Vd=16) Xcd=Uc+Vd=Ccd=19(Uc=3, Vd=16) Xbd=Ub+Ve=Cbe=18 (Ub=2, Vd=16) Xce=Uc+Ve=Ccf=4 (Uc=3, Ve=14) Xbf=Ub+Vf=Cbf=14 (Ub=2, Vf=12)

Variabel nonbasis : C’ae = Ua+Ve-Cae C’be = Ub+Ve-Cbe C’af = Ua+Vf-Caf C’cf = Uc+Vf-Ccf = 0+14-16 = -2 = 2+14-17 = -1 = 0+12-16 = -4 = 3+12-19 = -4 Karena nilai C’pq sudah bernilai negatif semua, maka hasilnya merupakan penyelesaian yang optimum.

Gambar 6. Hasil Solusi Optimal

2.2.2 Metode Stepping Stone Dalam metode ini, digunakan loop untuk masing-masing variabel nonbasis. Nilai variabel kemudian dihitung dengan membuat tanda + dan - pada loop. Hasilnya dihitung dari rumus Zpq - Cpq. Bila Zpq > 0, maka dari koefisien negatif yang ada dicari nilai yang terbesar sebagai variabel masuk dan nilai terkecil sebagai variabel keluar. Ulangi langkah tersebut sampai Zpq – Cpq < 0 yang merupakan setting untuk penyelesaian optimum. Berikut ini diberikan contoh penjelasannya. Penentuan solusi basis awal pada contoh ini dilakukan dengan metode least cost.

Gambar 7. Kondisi Setelah Dilakukan Penentuan Solusi Basis Awal

Gambar 8. Pembuatan Loop Pada Variabel Masuk Sel(A,E) = Cce-Ccd+Cad-Cae Sel(B,D) = Cbe-Cce+Ccd-Cad = 17-19+16-18 = -4 = 17-17+19-18 = 1 Sel(A,F) = Cbf-Cbe+Cce-Ccd+Cad-Caf Sel(C,F) = Cce-Cbe+Cbf-Ccf = 14-17+17-19+16-16 = -5 = 17-17+14-19 = -5 Dari hasil ini maka dipilih Xbd sebagai variabel masuk, kemudian untuk variabel keluar dipilih koefisien negatif dari keduanya, yaitu min(Cbe,Ccd) = min(100,300), sehingga dipilih Xbe = 100 sebagai variabel keluarnya.

16 18 16 1000

1000

18 17 14 1500

100 1400

19 17 19 1200

200 1000

1300 1000 1400

B

C

D E F

A

16 18 16 1000

1000

18 17 14 1500

Xbd 100 1400

19 17 19 1200

300 900

1300 1000 1400

E F

A

B

C

D

16 18 16 1000

1000

(+) 18 (-) 17 14 1500

Xbd 100 1400

(-) 19 (+) 17 19 1200

300 900

1300 1000 1400

C

D E F

A

B

Seminar Nasional Sistem dan Informatika 2006; Bali, November 17, 2006 SNSI06-039

245

Gambar 9. Hasil Solusi Optimal

Proses dilanjutkan lagi dengan perhitungan berikut ini: Sel(A,E) = Cce-Ccd+Cad-Cae Sel(B,E) = Cce-Ccd+Cbd-Cbe = 17-19+16-18 = -4 = 17-19+18-17 = -1 Sel(A,F) = Cbf-Cbd+Cad-Caf Sel(C,F) = Ccd-Cbd+Cbf-Ccf = 14-18+16-16 = -4 = 19-18+14-19 = -4

Karena semua selnya sudah bernilai negatif, maka penyelesaian sudah optimal.

3. Pengujian Untuk melakukan pengujian pada kasus transportasi, maka diambil contoh soal seperti yang tampak pada Gambar 10 dan 17, dimana Si adalah supplier ke-i yang mampu men-supply barang dengan kapasitas yang tampak di kolom PS dan Dj adalah daerah demand ke-j dengan masing-masing jumlah permintaan tampak di kolom PP. Masalah yang ingin diselesaikan adalah bagaimana pengalokasian barang sehingga biaya yang dikeluarkan seminimum mungkin. Pada pengujian ini dievaluasi jumlah iterasi dan biaya minimumnya.

Gambar 10. Kondisi Awal (Pengujian 1)

Biaya dari sumber ke tujuan sama dengan kondisi awal. Penyelesaiannya : 1. Dengan menggunakan Northwest Corner

Gambar 11. Penyelesaian Awal Dengan Northwest Corner

Kemudian dilakukan penyelesaian solusi optimal dengan menggunakan Multipliers serta Stepping Stone. Penyelesaian yang didapat adalah seperti yang ditunjukkan dalam Gambar 12 dan Gambar 13.

16 18 16 1000

1000

18 17 14 1500

100 1400

19 17 19 1200

200 1000

1300 1000 1400

E F

A

B

C

D

Seminar Nasional Sistem dan Informatika 2006; Bali, November 17, 2006 SNSI06-039

246

Gambar 12. Multipliers Gambar 13. Stepping Stone 2. Dengan menggunakan Least Cost kemudian dengan Multipliers

Gambar14. Penyelesaian Awal Dengan Least Cost

Gambar 15. Multipliers atau Stepping Stone (Hasilnya Sama)

3. Dengan menggunakan Vogel kemudian dengan Multipliers

Gambar 15. Penyelesaian Awal Dengan Vogel

Gambar 16. Multipliers atau Stepping Stone (Hasilnya Sama)

Seminar Nasional Sistem dan Informatika 2006; Bali, November 17, 2006 SNSI06-039

247

Gambar 17. Kondisi Awal (Pengujian 2)

1. Dengan menggunakan Northwest Corner

Gambar 18. Penyelesaian Dengan Northwest Corner

Gambar 19. Multipliers Gambar 20.Stepping Stone

2. Dengan menggunakan Least Cost kemudian dengan Multipliers

Gambar 21. Penyelesaian Dengan Least Cost

Gambar 22. Multipliers atau Stepping Stone (Hasilnya Sama)

Seminar Nasional Sistem dan Informatika 2006; Bali, November 17, 2006 SNSI06-039

248

3. Dengan menggunakan Vogel kemudian dengan Multipliers

Gambar 23. Penyelesaian Dengan Vogel

Gambar 24. Multipliers atau Stepping Stone (Hasilnya Sama)

Gambar 25. Kondisi Awal (Pengujian 3)

1. Dengan menggunakan Northwest Corner

Gambar 26. Penyelesaian Dengan Northwest Corner

Gambar 27. Multipliers Gambar 28. Stepping Stone

Seminar Nasional Sistem dan Informatika 2006; Bali, November 17, 2006 SNSI06-039

249

2. Dengan menggunakan Least Cost

Gambar 29. Penyelesaian Dengan Least Cost

Gambar 30. Multipliers atau Stepping Stone (Hasilnya Sama)

3. Dengan menggunakan Vogel

Gambar 5.31. Penyelesaian Dengan Vogel

Gambar 5.32. Multipliers atau Stepping Stone (Hasilnya Sama)

Dari pengujian yang telah dilakukan diatas, maka didapat hasil sebagai berikut:

Jumlah Iterasi Uji 6 Uji 7 Uji 8 M 96 170 592

NW S 98 173 603 M 30 59 6

LC S 30 59 6 M 4 8 18

V S 4 8 18 Dimana NW = Northwest Corner, LC = Least Cost, V = Vogel serta M = Multipliers, S = Stepping Stone

Seminar Nasional Sistem dan Informatika 2006; Bali, November 17, 2006 SNSI06-039

250

4. Kesimpulan dan Sasan 4.1 Kesimpulan Kesimpulan penulis dari hasil pengujian yang telah dilakukan adalah sebagai berikut : • Perhitungan dengan metode apapun (Multipliers ataupun Stepping Stone) akan menghasilkan biaya yang paling

optimal. Yang membedakan antara penggunaan metode satu dengan yang lainnya hanyalah jumlah iterasi yang dihasilkan dalam melakukan perhitungan.

• Biaya dari sumber ke tujuan juga menentukan keefektifan penggunaan masing-masing metode. Tetapi dalam kebanyakan penggunaan, basis awal lebih menentukan keefektifannya.

• Dengan menggunakan Northwest Corner kemungkinan mendapatkan iterasi minimum sekitar 10%. • Dengan menggunakan Least Cost kemungkinan mendapatkan iterasi minimum sekitar 30%-80%. • Dengan menggunakan Vogel kemungkinan mendapatkan iterasi minimum sekitar 80% • Metode Vogel merupakan metode solusi awal paling efektif dalam menentukan solusi basis awal. • Alokasi unit yang mencapai biaya optimal bisa lebih dari satu buah kemungkinan dengan biaya optimal yang sama. • Berdasarkan pengujian yang telah dilakukan, penggunaan metode Multipliers lebih efektif dibandingkan dengan

metode Stepping Stone.

4.2 Saran Saran yang diberikan oleh penulis antara lain : • Pengembangan dengan pemberian syarat misal sumber ke-1 tidak bisa melakukan pengiriman ke tujuan ke-3, transit

yang bisa dilewati sumber ke-1 hanya transit 2 saja. • Pengembangan jika sumber juga bisa menjadi transit. Daftar Pustaka [1] Halim, Siana. (Juli 1996). Penelitian operasional 1. Surabaya : Penerbitan Universitas Kristen Petra. [2] Taha, H.A. (1987). Operation research : an introduction. (7th ed). New York : Mc Millan Publication Company Inc.