2407112316 Modul tri Kelas x Semester Genap

5hri Moiul Th444ii4ga4 T4igo1o,-ht4Z olhh Elp44,-, 5.5i

I PENDAHULUAN

A. DESKRIP SI Modul siswa tentang Perbandingan Trigonometri ini terdiri atas 8 bagian proses pembelajaran yang meliputi kompetensi: 1. Kegiatan pembelajaran 1 : membahas tentang Perbandingan trigonometri dari suatu sudut segitiga 2. Kegiatan Pembelajaran 2 : membahas tentang Sudut Berelasi dan Sudut diberbagai Kuadran 3. Kegiatan Pembelajaran 3 : membahas tentang Koordinat Sebuah Titik 4. Kegiatan Pembelajaran 4 : membahas tentang Pengukuran Sudut dengan Derajat dan Radian 5. Kegiatan Pembelajaran 5 : membahas tentang Rumus yang menghubungkan Perbandingan Trigonometri yang satu dengan yang lainnya. 6. Kegiatan Pembelajaran 6 : membahas tentang Fungsi Trigonometri dan Grafiknya 7. Kegiatan Pembelajaran 7 : membahas tentang Persamaan Trigonometri 8. Kegiatan Pembelajaran 8 : membahas tentang Rumusrumus Trigonometri dalam Segitiga

B. PRASYARAT Kemampuan awal yang diperlukan untuk mempelajari modul ini adalah siswa telah mempelajari dan menguasai bilangan real dan sistem persamaan. C. PETUNJUK PENGGUNAAN MODUL 1. Penjelasan Penggunaan Modul a. Baca modul ini secara berurutan. b. Laksanakan semua tugas-tugas yang ada dalam modul ini agar kompetensi anda berkembang sesuai standar


c. Lakukan kegiatan belajar untuk mendapatkan kompetensi sesuai rencana kegiatan belajar yang anda susun dan disetujui oleh guru. d. Pengetahuan pendukung (uraian materi), melaksanakan tugas-tugas, mengerjakan lembar latihan. e. Kerjakan soal tugas untuk pembentukan psikomotor skils, sampai anda benar-benar terampil sesuai standar. Apabila anda mengalami kesulitan dalam melaksanakan tugas ini konsultasikan dengan guru anda.

2. Peran Guru a. Membantu siswa dalam merancang proses belajar b. Membimbing siswa melalui tugas-tugas pelatihan yang dijelaskan dalam tahap belar c. Membantu siswa dalam memahami konsep dan praktik baru serta menjawab pertanyaan siswa mengenai proses belajar siswa. d. Membantu siswa dalam menentukan dan mengakses sumber tambahan lain yang diperlukan untuk belajar. e. Mengorganisasikan kegiatan belajar kelompok jika diperlukan f. Melaksanakan penilaian g. Menjelaskan kepada siswa mengenai bagian yang perlu untuk dibenahi dan merundingkan rencana pembelajaran selanjutnya. h. Mencatat pencapaian kemajuan siswa.


D. TUJUAN AKHIR Spesifikasi kinerja yang diharapkan dikuasai siswa setelah mengikuti seluruh kegiatan belajar adalah siswa dapat : 1. Menentukan perbandingan trigonometri sudut pada segitiga siku-siku 2. Menyebutkan nilai fungsi sinus, cosinus, tangen, cotangen,secan dan cosecan untuk sudut-sudut (khusus) istimewa. 3. Menggunakan aturan tentang fungsi trigonometri, rumus sinus dan rumus cosinus dalam pemecahan masalah 4. Melakukan manipulasi algoritma dalam perhitungan teknis yang berkaitan dengan fungsi trigonometri 5. Menurunkan dan menggunakan aturan sinus, aturan cosinus, dan rumus luas segitiga untuk menghitung luas daerah, panjang sisi, dan besar sudut segitiga. Berdasarkan spesifikasi kinerja di atas, aplikasi konsep Trigonometri secara mendalam di dunia ini memiliki peran yang sangat besar dalam pengungkapan misteri alam semesta, jauh sebelum datangnya peralatan canggih dan penjelajahan angkasa dewasa ini. Bayangkan dengan konsep yang sederhana seorang astronom dapat memperkirakan diameter mars, Jupiter, atau matahari bahkan benda-benda angkasa lainnya. Bayangkan jika kita harus mengandalkan meteran untuk mengukur diameter bumi, berapa ribu kilometer yang diperlukan untuk mengukur diameter bumi belum lagi kita perlu membawa meteran tersebut melintasi samudera. Pada akhir bab ini anda diharapkan dapat memahami dan memanfaatkan trigonometri sederhana dalam kehidupan sehari-hari. Dengan mempelajari dan memahami bagian dasar dari trigonometri ini kamu setidaknya dapat menghitung tinggi suatu benda apa saja, seperti gedung, menara, atau juga pohon dengan memanfaatkan sejumlah fakta sederhana tentang sudut dan segitiga.

Shri Maiul Th444ii4ga4 T4'5010,-ht4Z olhh Elp44,-, 5.5.

BAB II PEMBELAJARANA. SEJARAH

Istilah trigonometri dibentuk dari dua kata bahasa Yunani yaitu trigonos yang berarti segitiga, dan metron yang berarti ukuran, sehingga menurut segitiga. Dari bangunankata-kata pembentukya trigonometri berarti ukuran merupakan orang pertama yang mengenal trigonometri. Seorang ahli astronomi bernama Hipparchus yang berasal dari Nicocea, Yunani yang hidup pada tahun 160-120 SM dipandang sebagai penyumbang utama pengembangan trigonometri dan merupakan orang yang pertama yang membuat daftar trigonometri.B. KEGIATAN

bangunan peninggalannya diketahui bahwa orang-orang Mesir kuno

PEMBELAJARAN Kegiatan Pembelajaran 1.

Perbandingan Trigonometri Dari Suatu Sudut Segitiga Siku-SikuA. Tujuan Pembelajaran 1. Siswa dapat menentukan sinus, cosinus dan tangent suatu sudut dengan perbandingan trigonometri segitiga siku-siku. 2. Siswa dapat menentukan nilai sinus, cosinus dan tangen dari sudut khusus 3. Siswa dapat menentukan besarnya suatu sudut yang nilai sinus,miring dan tangennya diketahui C AC disebut hipotenusa atau sisi cosinus, B. Uraian Materi A BC disebut sisi tegak atau sisi di depan sudut A AB disebut sisi siku-siku datar atau sisi di samping sudut A 1. Memahami Sinus, Cosinus, Tangens, Cotangens, Secan, dan Cosecan pada segitiga siku-siku. B Rumus bentuk trigonometri diambil dari perbandingan sisi-sisi segitiga siku-siku. Perhatikan gambar segitiga siku-siku ABC berikut:


sisi tegak atau sisi didepan sudut A BC . = disebut Sinus sudut A, ditulis Sin A sisi miring atau hipotenusa AC ku - siku datar atau sisi disamping sudut A AB . = disebut Cosinus sudut A AC sisi miring atau hipotenusa ditulis Cos A sisi tegak atau sisi didepan sudut A BC . = disebut Tangen sudut A sisi siku- siku datar atau sisi disamping sudut A AB ditulis Tan A ku - siku datar atau sisi disamping sudut A AB = disebut Cotangen sudut A sisi tegak atau sisi didepan sudut A BC ditulis Cot A sisi miring atau hipotenusa AC = disebut Secan sudut A sisi siku - siku datar atau sisi disamping sudut A AB ditulis Sec A sisi miring atau hipotenusa AC . = disebut Cosecan sudut A, sisi sisi didepan sudut A BC tegak atau ditulis Cosec A Dari uraian di atas terlihat bahwa: Cotangen A kebalikan dari tangent, atau Secan A kebalikan dari cosinus, atau Cosecan A kebalikan dari sinus, atau Cot A = 1 Tan A 1 Cos A

Sec A =

Co sec A= 1 Sin A


Contoh 1 :

AB = AC

Tentukan nilai sinus, cosinus, tangen, cotangent, kita cari panjang BC dengan menggunakan dalil C n nilai perbandingan trigonometri terlebih dahulu secan dan cosecant pada segitiga berikut 6 BC 2 = A C 2 - AB 2 B 2 6 - 22 32 BC 32 = 4 22 ,

a

A2

6 A2

42 B

2 , 2 ,

Sin a = = =2 2 BC AC 42 6 3 2 1 AB = Cos a = 6 3 AC BC 4 Tan a = = 2 = 2 2 AB 2 AB Cot a = = = =12 2 BC 4 2 212 4AC Co sec a = = BC=

C

a 2

6 = 24 2 2

3 3 4

2 ,

AC Sec a = =6 = 3 AB 2

0, 30 0, 450, 60 0, 90 0 ) a. 2. Nilai Perbandingan Trigonometri untuk Sudut-sudut Istimewa (0 Sudut khusus 0 0 dan 90 0 1. Jika LA = 00 maka bangun segitiga akan tampak seperti sebuah garis horizontal . Perhatikan segitiga siku-siku ABC di bawah ini:

C A A B=

C

Sin A = Sin 0 0 = BC B

0 AC AC 0 Cos A = Cos 0 0 = AB

AC AB Tan A = Tan 0 0 = BC AB AB

Shri Maiul Th444ii4ga4 T4'5010,-ht4Z olhh Elp44,-, 5.5.0 2. 0 B A 30Jika LA = 90 maka bangun segitiga akan tampak seperti sebuah garis vertikal Perhatikan segitiga siku-siku ABC di bawah ini: C C

AC = BC

C' AC AB

A____________ B Sin A = Sin 90 0 = BC AC 0 Cos = A = Cos 90 = AB

AC 1 0 =0 AC AC Tan BC= ( = Tak terdefinisi) = A = Tan 90 0 = BC AB 0

b. Sudut khusus 30 0 dan 60 0 Segitiga berikut adalah segitiga siku-siku ABC yang siku-siku di B, Perhatikan gambar di bawah ini: C

LA = 30 0, LC = 60 0 .

Perhatikan bahwa segitiga ABC kongruen dengan segitiga ABC dan segitiga ACC sama sisi yaitu AC = CC = 2BC . Jika BC = 1 satuan maka AC = 2 satuan sehingga : AB = AC 2 - BC 2 = 4 - 1 = 3 satuan 1). Sin A = Sin 300 = BC 1 AC 2 =

Cos A = Cos 30 0 = AB = 3 = 1 3 2 AC 2 Tan A = Tan 30 0 BC = = 1 3 = AB 3 3 AB 2). Sin C = Sin 60 0 = = 3 1 = 3 AC 2 2 BC 1 Cos C = Cos 60 0 = AC 2 Tan C = Tan 60 0 = AB = 3= 3 BC 1

c. Sudut khusus 450 Segitiga berikut adalah segitiga ABC siku-siku di B LA=450 , maka segitiga ABC sama kaki, maka AB = BC. Jika panjangnya 1 satuan, maka :AC = AB 2 + BC 2 = 1 + 1 = 2 satuan C BC Sin A = Sin 450 = = 2 2 AC AB B Cos A = Cos 450 = = =12 1 AC 2 2 Tan A = Tan 450 = = 1 =1 BC 1 AB

=12

A 450

3. Menentukan Besarnya suatu sudut yang diketahui nilai sinus, cosinus, dan tangennya. Misalkan diketahui :

Sin L A = y -> L A = Inv sin r

y atau ditulis L A = Sin 1 ( y j r r-

s L A = x -> L A = I n v c o s x r

r

atau ditulis L A = c os - 1 () xr

tan L A = y -> L A = Inv tan x

y atau ditulis L A = t an 1 ( y j-

xx5hri Moiul Th444ii4ga4 T4igo1o,-ht4Z olhh Elp44,-, 5.5i

8

Z5hri Moiul Th444ii4ga4 T4igo1o,-ht4Z olhh Elp44,-, 5.5i

Contoh: Tentukan besar sudut a.a0 dalam kuadran I jika diketahui:

.sin a0 = 0,5

si. Jawab cos a0 = 0, 77:

tan a0 =a. 75 0,

.

sin a0 = 0,5 -> a0 = Inv sin 0,5 = sin -1 0,5 a0 = 30 0( ) )

cos a0 = 0, 77 -> a0 = Inv cos 0,77 = cos -10,77 d. sin a 0 = 1 3 2 0 = 39,6 0 a e. tan a0 = 1,5 a.

.tan a0 = 0, 75 -> a0 = Inv tan 0,75 = tan -1 0,75(

)

a0 = 36,9

0

.sin a 0 = 2 3 -> a0 = Inv sin 1 3 = sin -1(1 3 J 2 2 1a0 = 60 0

a.

.tan a0 = 1,5 -> a0 = Inv tan1,5 = tan -1 1,5 a0 = 56,3( )

0

C. Tugas Pembelajaran 1 c ). Y 1. Dari segitiga segitiga berikut tentukan 6 perbandingan trigonometri pada sudut 1 1 a.) P b) 9 a Xa 2110 4QaR

a: C

5

A 313 6 B

3


2. Sebuah tangga bersandar pada sebuah tembok yang vertikal, membuat sudut sebesar 30 garis horisontal. Jika jarak kaki tangga ke tembok itu adalah 6 meter, berapa tangga itu sampai ke ujung atas tem6okdan berapa tinggi tem6okitu?

0

dengan

panjang

3. Hitunglah : 4. Puncak manara mercusuar terlihat oleh seorang nakhoda pada jarak 60 km. Jika nakhoda tersebut 1 2 3+ 3 7 0 melihat puncak menara dengan sudut= 3 (sudut yang dibentuk oleh kemiringan bidikan elevasi cos 30 0 + sec 30= 2 a. 3 2 - 60 0 dan letak permukaan tanah tempat menara itu berada sama 6 sec arah cot 45 0 dengan60 0 -horizontal) sebesar 1 b. cos 60 0.sin 30 0 + sin 60 0.cos 30 0 = . + 3. 3 = + 3 =1 tinggi dengan tempat nakhoda melihat, tentukan tinggi menara itu. 1 22 2 2 4 4 1( ) () 2 2 1- 3= 1 c.cos 2 60 0- sin 260 0 = 1 1 4 4 2 2 23 2 (SUDUT BERELASI DAN SUDUT DI1 d. = BERBAGAI KUADRAN)3 = 33= 0 -tan 30 0 tan 60 30. tan 30 0 3 3 = 3 3_ 1 3 1+ tan 60 1+ 3. 3 1+1 2 A. Tujuan Pembelajaran 3

2

1.Siswa dapat menjelaskan sudut-sudut berelasi. 2.Siswa dapat menentukan sinus, cosinus dan tangent dari sudut di semua kuadran B. Uraian Materi 1. Rumus Perbandingan Trigonometri Sudut Berelasi

x P(x,y) Shri Maid Th4b,4ii4g,4 T4'50100ht4Z olhh Efr,im, 5.5. a. Sudut yang berelasi a0 dan (90 a)0 y (90 - a ) 0 r Y a0 X x Dari gambar dapat Jadi : ditentukan Cos (90 - a)0 = Sin a 0 0 r z ? Sin a = y , Cos (90 --a))0= yCos a0 Cot (90 - a)0 = Tan a0 Tan (90 - a)0 = Cot a 0 Sin (90 a 0 = r r ? x x ? Cos a0 = , Sin (90 - a)0 = r rrz?

Sinus suatu sudut = cosinus penyikunya Tan a 0 = y , Cot (90 - a)0 = y Cosinus suatu sudut = Sinus penyikunya x x

Tangen suatu sudut = cotangen penyikunya

r Contoh

Nyatakan sin 30 0 dalam cosinus, cos 27,5 0 dalam sinus dan tan 50 0 dalam cotangent kemudian tentukan nilainya. Jawab

sin 30 0 = cos (90-30) 0 = cos 60 0 =1 2 c o s

1

2 7 , 50

= s i n ( 9 0 2 7 , 5 )0

1

= s i

Shri Maid Th4b,4ii4g,4 T4'50100ht4Z olhh Efr,im, 5.5.

n 6 2 , 50

=

0 , 4 6 t a n 5 00

= c

o t ( 9 0 5 0 )0

1

1

1

= c o t 4 00

=

1 , 1

Shri Maid Th4b,4ii4g,4 T4'50100ht4Z olhh Efr,im, 5.5.

9 b. Sudut yang berelasi a0 dan (180 a )0 Titik P(x,y) direfleksikan terhadap sumbu Y Y

P'(x',y') y' ra0

P(x,y) (180 - a ) 0 r y X x

- x'

Shri Holul Thiaa1.0i1.ga1. T4Z5o1.o,-htri olhh Elp44,-, 5.5.

dari gambar dapat ditentukanJadi : ' 0 a 0 ? ? Sin (180 - a)0 = y 'y Sin ( - a)0 = - Sin a = Sin r r Cos ( -: )0 = Cos a 0 Jadi a 0 Sin (180 - a)0 = Sin a 0 a )0 Cos a0 - ' - Tan ( - = - = - Tan a ? ? Cos (180 -a)0 = x' x = r Cos (180 - a)0 = Cos a0 Tan (180 - a)0 = Tan a0 r-

? Tan (180 - a)0 = y

' y Sinus suatu sudut = Sinus = - Tan a0 x ' - xpelurusnyaCosinus suatu sudut = cosinus pelurusnya Tangen suatu sudut = tangen pelurusnya

c. Sudut yang berelasi a0 dan - a0 Y P(x,y) r r' y' P(x',y') Titik (x,y) direfleksikan terhadap sumbu x: x : P(x, y) -> P(x' , y') dan AP1OP -> AP1OP' , maka x = x y= -y dan r = r, LP1OP = a0 = -a0 ? r ' x = ? ? Cos ( -a ) 0 = x' = Cos a 0 r r ' ? Tan ( -a ) 0 = y - - y = - Tan a 0 x' x ? Sin ( -a ) 0 = y '-

y

x

r'

-

y

= - Sin a 0

?

5tri I- oaul Ptrb14.0i4.414. T 4igo4.oostt4: olth Efr1aos, 5.5i

Kesimpulan rumus-rumus berelasi dalam trigonometriCatatan: Dengan memperhatikan bahwa sudut 3600

adalah sudut satu putaran penuh, maka perbandingan

0 a0. dengan a trigonometri sudut ( a + n x 360) dengan n e B sama dengan perbandingan trigonometri sudut 5. (90 -a ) dengan a Supaya anda dapat Dengan demikian, kita peroleh rumus berikut: mengingat rumus- a 0 - a )= sin a cos (180 - a)= - cos a tan (180 -a )=- -atan cos a cos (90 - a )= sin a tan (90 - a )= cot a sin (90 )= 0 1) sin (a + n x360) = rumus ini dengana + n x 360)0 = cot a0 sin a0 4). cot ( mudah, sebaiknya 0 2) cos (a+ n x 360)0 = cos a0 5). Sec (a anda perhatikan pola + n x 360) = sec a 0 0 6). cosec (a + n x 360)0 = cosec a0 rumus-rumus 3) tan (a + n x 360) = tan a0 tersebut dengan a 6. (90 +a ) dengan a

sin (90 + a tan a 0 + a)= - sin a cos (180+ a )= -cos a tan (180+ a )= )= cos a cos (90 + a )= -sin a tan (90 + a )= -cot a Sin 1110 0 =sin (30 0 + 3 x 360 0) = sin 30 0 = 1/2 , tan 1485 P Iola: 1 sn 4 sin i Tan 660 0 = tan (2 x 360 0 - 60 0) tan 60 0 = 3 c s 4 cos o0

= tan (45 0+ 4 x 360 0) = tan 45 0 =

dengan a

t n 4 tan a 7. .(270 -a ) dengan a

i sin sn a ) a) -tan a (270 = 0-a)0 = - sin a cos (360 - a ) = cos a tan (360 - 4 - cos= - cos a cos (270 - a )= -sin a tan (270 -a )= cot a c s 4 sin o 7. .(270 +a ) dengan a gan a t n 4 cot a = - sin a cos ( -a )= cos a tan ( -a ) = sin (270 + a) = - cos a cos (270 + a )= sin a tan (270 + a) = -cot -tan a

5hri Maid Th4b,4ii4g,4 T44,144,ht4Z olhh Efr,i4,, 5.5i

Jawab .

Contoh :

a. sin (-60)

0

= - sin 60

0

=-1 3

2 1. Nyatakan perbandingan berikut ke dalam sudut lancip, kemudian tentukan nilainya 0 0, 26 a.sin120 0 b. .tan (-56,5) 0 = - tan 56,5 0 - 1,51 cos 30 0 = - 21 3 b.cos150 0

.sin 120 0 = sin (180-60) 0= sin 60 0 0= 12 375 b. .cos (-75) = cosc.tan135 0

an 45 0 = -10

0 - 0, 174 d.cos100 e.sin240 0 0 = - 1 32 in 60 f.cos200 0 - cos 20 0 - 0, 94 g.tan330 0

cos 80

an 30 0 = - 13 30

h.sin1000 0

)

= - sin 80 0 -0,98

2. Nyatakan perbandingan berikut kedalam sudut positif, kemudian tentukan nilainya a.sin(-60) 0 b.cos (-75) 0 c.tan (-56,5)0

2. Perbandingan Trigonometri Sudut Berbagai Kuadran Perhatikan gambar berikut y

0

P(x,y) y ax

x Pada gambar di atas tampak titik P(x,y) terletak di kuadran I. Pada kuadran ini x dan y positif sehingga perbandingan trigonometri pada kudaran ini semuanya bertanda positif. Dikuadran II, x bertanda negatif sedangkan y positif, sehingga dikuadran ini sinus dan cosecant bertanda positif , sedangkan perbandingan trigonometri lainnya bertanda negatif Dikuadran III, x dan y bertanda negatif sehingga kuadran ini hanya tangent dan cotangent yang bertanda positif , sedangkan yang lainnya bertanda negatif .


Sin Semua + + Dikuadran IV, x bertanda positif dan y bertanda negatif , ini berarti dikuadran IV cosinus dan secan bertanda positif , sedangkan perbandingan trigonometri lainnya bertanda negatif 90 0

1 00 8

KwII Kw III

Kw I Kw IV

00 360 0

Tan + 270 0

Cos +

Tanda + / berdasarkan kuadrannya

atau dengan tabelPerbandingan trigonometri Kw 1 Sinus Cosinus Tangens Cotangens Secan Cosecan + + + + + + Kw II + + Kw III + + Kw IV + + Sin 210 = sin(180 + 30) Kuadran

120 135 150 180, 210, 225, 240, 270, 300, 315 , 330, 360

= - sin 30


X0aSin

0

n

ic

ic

6

ic

4

3

2

2rc 3

3rc 4 135 0 2 2 2 2-1

5n 6 150 0 1 2 3 2

it180 0

7rc 6 210 0_1

5rc 4 225 0 2 2 2 2

4rc 3 240 0 3 2_1

3rc 2 270 01

5rc 3 300 0 3 2 1 2

7rc 4 315 0 2 2 2 2-1

1 1 6 330 0_1

00

30 0 1 2

45 0 2 2

60 0 3 2 1 2

90 0 120 0

0 1 0 td 1

1 0

3 2_1

01

23

2 3 2

Cos

3 2 3 3 3

2 2

2

2

2

0 _ td

Tan

1 1 2 2

3

td td td1

_3

3 3

0

3 3

1

3

_3

_

cot

3 3

Sec

23

3co s

td 2IT t

2

23 3TE

X0 0 Sin x0

6

ic

4

3

2rc 3

3rc 4

5rc 6

t

7rc 6

5rc 4

4rc 3

3rc 2

5rc 3

7rc 4

1 1 6

C. Tugas Pembelajaran 2 1. Dengan menggunakan rumus-rumus trigonometri diberbagai kuadran tulislah sudut-sudut khusus (sudut-sudut istimewa) dalam perbandingan trigonometri dikuadran II, III, dan IV! 2. Nyatakan bentuk berikut kedalam sudut penyikunya a.sin 25 0 b.cos 27,4 0 c.tan 76,9 0 d.cos 56,5 0 e.sin 70 0 f.cos 85 0 g.tan 50 0 3. Nyatakan bentuk berikut kedalam sudut pelurusnya a.sin 125 0 b.cos 127,40

c. tan 176,9

0

5hri Moiul Th444ii4ga4 T4igo1o,-ht4Z olhh Elp44,-, 5.5i 16


d.cos 156,5 e.sin 170 0 f.cos 85 0 g.tan 150 0

0

4. Nyatakan bentuk berikut kedalam sudut lancip dan tentukan nilainya a.sin 175 0 b.cos 250 0 c.tan 118 0 d.sin 275 0 e.cos 480 0 f.sin 780 0 g. 1200 0 h.tan 2000 0 i.sin 800 0 5. Nyatakan bentuk berikut kedalam sudut positif dan tentukan nilainya a.sin (-115) c.tan (-26,9 e.sin (-117) f.cos (-85,4)0 0

b.cos (-112,40

d.cos (-67,5)0

0

0


KOORDINAT SEBUAH TITIKA. Tujuan Pembelajaran 1.Siswa dapat menjelaskan arti derajat dan radian 2.Siswa dapat mengubah ukuran sudut dari derajat ke radian dan sebaliknya

B. Uraian materi

1. Koordinat CartesiusKoordinat Cartesius terdiri atas: a. Titik pusat, yaitu titik yang merupakan perpotongan sumbu X dan sumbu Y. Titik ini mempunyai koordinat O(0,0) atau titik asal. b. Garis horizontal disebut sumbu X c. Garis vertical disebut sumbu Y. Perhatikan gambar berikut: Y Pada gambar itu tampak titik A b A(a,b) memiliki koordinat (a,b), yaitu: O a disebut absis b disebut a ordinat

X

2. Koordinat Kutub (Polar)Letak suatu titik pada koordinat cartesius dapat pula disajikan pada koordinat Kutub. Jika letak suatu titik pada koordinat cartesius dituliskan dalam bentuk (x,y) maka pada koordinat kutub dituliskan dalam bentuk ( r,a0) , r menyatakan jarak dari titik pusat ketitik ( r, a 0 ) , sedangkan


a 0 menyatakan besarnya sudut yang dibentuk oleh garis yang

menghubungkan titik tersebut dengan

pangkal dari sumbu X positif.


A(4,30 0) 4 3 0 0 A(r, a 0) ra0

X

Perhatikan gambar berikut! Y

X O

Contoh gambarkan titik A(4,30 Jawab: Perhatikan gambar berikut! Y

0

) pada koordinat kutub.

O

Pada gambar tampak sebuah titik A yang memiliki koordinat (a,b). Titik tersebut berjarak r satuan dari titik pangkal O dan OA membentuk sebuah sudut sebesara 0 dengan sumbu X positif. Dengan

n Koordinat Kutub dan Koordinat Cartesius

Perhatikan gambar berikutY A (a, b)

ra0

b X a A(a',0)

O

a = r cos a Sin a 0 5hri Moiul Th444ii4ga4 0 T4igo1o,-ht4Z olhh Elp44,-, 5.5i = b -> b = r sin a r 0 b = r sin a menggunakan perbandingan trigonometri, kita dapat menentukan hubungan antara koordinat kartesius 0 = a -> a = r cos a 0 Cos a r dan koordinat kutub. b a Tan a 0 = b -> a 0 = inv tan dan r = a 2 ? b 2 Perhatikan A AA'O siku-siku di A' ! a

Jika titik P(a,b) maka k u a d r Kartesius u an suat a 0 Koordinat Kutub Koordinat ditentukan oleh tanda a dan b. P(a,b) P(r,a0) Jika a0 r = a2 ? b 2 dikuadran a dan b positif I b tan a0 a a negatif , II o b b positif a = inv tan a III a dan b negatif a positif , b negatif P(a,b)0

IV P(r,a0)

Contoh: 1. Nyatakan koordinat P(-1,1) menjadi koordinat polar Jawab.

r

= ( +1) 2 ? 12 = 2 karena a negatif dan b positif maka

a0 dikudran II


tan a0 1 = =1>a0 =135 0 1 Jadi P(-1,1) P( 2 ,135 0)0

2. Nyatakan koordinat polar P(8 , 60 Jawab

) menjadi koordinat cartesius

r = 8, a0 = 60 0 maka a = r cos a 0 = 8cos 60 0 = 8. 1 =4 2 Jadi P(8 , 60 0) ____________1 P 4,4 3 b = 8 sin 60 0 = 8. 3= 4 3 2( )

C. Tugas Pembelajaran

1. Gambarkan titik A(2,5), B(-2,5) , C(4,-2) dan D(-1, 3) dalam satu bidang koordinat cartesius! 2. Gambarkan titik P(5, 1500

) pada koordinat kutub!

3. Nyatakan koordinat cartesius berikut ke koordinat kutub! b. , 2 3c.

( 1, 3)2)

1 4 3 2 2,2 3 = 3 ) a. (-1, 13 3 Jr = ( 1 ( 3 3 J 1 = 1+ = 3 33 3 4. Nyatakan koordinat kutub berikut ke koordinat cartesius! 1 3 = 135 0) a. (4 ,3 = - 1 3 -> a 0 =150 Jadi P C-1, 1 3 ) 3 P( 2 3,150 0) 3 tan a 1 30.(

0

0


b. (3 , 120 0) c. (6 , 210 0) d. (8 , 240 0) e. (2 , 300 0) f. (4 , 315 0)

Kegiatan pembelajaran 4. PENGUKURAN SUDUT DENGAN DERAJAT DAN RADIANA. Tujuan Pembelajaran 1.Siswa dapat menjelaskan arti derajat dan radian 2.Siswa dapat mengubah ukuran sudut dari derajat ke radian dan sebaliknya. B. Uraian Materi Ada dua jenis satuan pengukuran sudut yaitu 1.Ukuran sudut dalam derajat 2.Ukuran sudut dalam radian

1. Ukuran Sudut Dalam DerajatSuatu benda yang berputar satu putaran penuh mengelilingi sebuah titik, dikatakan benda itu membentuk sudut 360 derajat. 1 Sudut satu derajat adalah sudut yang besarnya360

putaran ditulis :

10 = 1 putaran 360

A r Or

5hri Jadi a. Moiul Th444ii4ga4 T4igo1o,-ht4Z olhh Elp44,-, 5.5i 360 0 = 2fc radian b. 2it radian

=

r B

2 360 1it = 180 0 Sudut dalam radian(rad) adalah sudut yang dihasilkan dari perbandingan panjang busur di depan 10 = fc 0 180 dengan jari-jari lingkaran dari busur tersebut . 180 1 radian = it Perhatikan gambar berikut 3,141592654 Pada gambar tersebut tampak panjang busur satuan. 180 AB = r satuan dan jari-jari lingkaran r180 = Maka besar sudut 0,0175 radian 3,141592654 AOB = r rad =1 rad . r Jadi 1 radian (rad) adalah ukuran sudut pada bidang datar yang terletak57,3 dua jari-jari 1 radian = antara 0 (dibulatkan) termasuk busur lingkaran sepanjang jari-jari lingkaran tersebut.

2. Ukuran Sudut Dalam Radian

10 = 2 it

radian

it

radian

360 360

0 0

=

sudut

3. Hubungan antara Ukuran Derajat dan RadianBesar sudut satu putaran dalam derajat = 360keliling lingkaran=0

, sedangkan besar satu putaran dalam radian =

2fcr =

2fc

radian .

Contoh : . 1. Ubalah ukuran sudut berikut ke dalam radian 25 0a. a.

25 0 30 0 25 0g

b.

C. 45 0d.

50 0 .= 25

rad =

=25.1 0 25 g 5 rad = g rad

180

180

36

30 0

Jawab : 2= 25hri Moiul Th444ii4ga4 T4igo1o,-ht4Z olhh Elp44,-, 5.5i

30 -

0

= 30 g rad=g1

rad

180

6

0 . 50 - = 180 45 0c.

7t rad = 7t rad

50

5

18

2. Ubalah ukuran radian berikut ke dalam sudut 1 a. 8 7t b. 27t 5 c. 37t 4 d. 37t 2 Jawab :g = 8 g rad = g rad = .180 0 = 22,5 0 1 8 b. 27t 180 4 5 2 2 0 7t = .180 0 = 72 5 54 5 1

1

1 0 45 a. 8 7t

c. 3 . 7t 50 04d.

3 4

7t

=

0 3 .180 0 =135 4

3

7t

d. 37t 2 0 3 .180 0 = 270

5hri Moiul Th444ii4ga4 T4igo1o,-ht4Z olhh Elp44,-, 5.5i d. 3 rad

3b.

n rad

n

C. Tugas Pembelajaran 4 1.Nyatakan ukuran semua sudut-sudut istimewa(khusus) dalam ukuran radian. 2.Nyatakan dalam ukuran derajat! a. 6 g rad 5 c. 3

n rad5

3. Nyatakan dalam ukuran radian!a.

80 0 100 0 75 0

b.

c.

Kegiatan Pembelajaran 5. RUMUS YANG MENGHUBUNGKAN PERBANDINGAN TRIGONOMETRI YANG SATU DENGAN YANG LAIN UNTUK SUATU SUDUT A. Tujuan Pembelajaran 1.Siswa dapat menentukan hubungan perbandingan trigonometri 2.Siswa dapat membuktikan identitas trigonometri B. Uraian Materi

a. Identitas TrigonometriIdentitas trigonometri adalah suatu kesamaan yang mengandung . komponen-komponen perbandingan trigonometri. 1. a

= r cos a0 _> a = r cos a _> b = r sin a + b = r sin a 02 2 2 2 2 20

0

-

a2

+b =2

r2 cos 2 a 0

+ r sin2

2

a0 r2

=r2(

sin 2 a 0


+ cosa0)

2

2

=1

sin 2 a 0

+ cos

2a0

r2

=

r


= sin2 a 0 + cos 2 a 0 =1 Jadisin2 a 0 =1 cos 2 a 0 : cos 2 a 0 =1sin2 a 0 2. Tan a0

tan a 0 Identitas ra 0 = sina 0 b. Membuktikan = y = trigonometrix r 0 sin cosa Contoh (a + b) 2 = a 2 + b 2 + 2ab0 ... tan a

cos

a

0

sin a 0 Buktikan identitas trigonometri berikut! cosa 0 1. 0.2 2 2 (sin A + cos A) 2 sin A cos A = 1 x2+ r2 3. = 1+ tan 2 a0 =sec 2 a0atautan 2 a0 = sec 2 a0 -1 x xxy2 sec A=tan A + cos A 1+ sin A2

Bukti 4. 2 1.y

y

x + ,2 = r2 1 + cot 2 a0 = cosec 2a0 cot 2 a0 = cosec 2a 0 -1 atau y Y cos A) 2 2 sin A cos A = 1 (sin A +2

2

2

(sin A + cos A) 2 2 sin A cos A = sin 2 A + cos 2A + 2 sin A cos A - 2 sin A cos A = sin 2 A + cos 2A 0. tan A + A cos = 1 (terbukti)

1+ sin AA _ _+ cos A

cos A 1+ sin A

1+ sin A

sin A + sin 2 A + cos 2 A cos A(1 + sin A ) (sin A + 1) 1 cos A(sin A + 1) cos A sec A ( terbukti )

tan A+ cos A = sin

c. A + 1 1 sin cos 2 b.

1 + = A 1- sinA cos2 A 1

C. Tugas Pembelajaran 5 1 + sinBuktikan setiap identitas trigonometri berikut! A cos Th4b,4ii4g,4 A . sin A 5hri Maid A sin2A c os T44,144,ht4Z olhh Efr,i4,, 5.5i a. sin2 fl + sin fl.cos2fl + cos4 fl = 1 sin2

fl + sin2 fl.cos2 fl + cos4 fl = sin2 fl + cos2 fl(sin2 fl + cos2 fl fl + cos2 fl =1 (terbukti)

= sin2

11 1sin A

sinA+1+ sinA bukti 1 1 + sin

1+ A

terbukti) (

(1+sinA)(1sinA)1sin 2 1- sin cos A A = cos2 A 1 2cos A d. cos2 A 1 + tan2 A = 1 1 + sin A e. _________= sec A + tan A cos( )

cos + sin A) 1 + sinA 1 A(1 = = = A cos cos A cos2 A 1 sin2 A cos A(1 + sin A

= sinA + cos A

1 sinA 1 sin A 1 + sin A sec A + tan A (terbukti) f. cos4

a sin4 a =1 2 sin2 a

1 g. _________= sec 2 B tan B. sec B + sin B

h. sin A + cos A sin A cos A = 4 sin A. cos A2 2

(

)

(

)


Kegiatan pembelajaran 6. FUNGSI TRIGONOMETRI DAN GRAFIKNYA

A.Tujuan Pembelajaran Siswa dapat menggambar grafik fungsi Trigonometri B.Uraian Materi 1. Fungsi Trigonometri Fungsi trigonometri adalah suatu fungsi yang memetakan suatu himpunan yang anggota-anggotanya berupa sudut ke himpunan lain yang anggota-anggotanya merupakan bilangan real dengan menggunakan perbandingan trigonometri (sinus, cosinus, tangen dan sebagainya) Contoh 1. Tentukanlah daerah hasil pemetaan oleh suatu

f (x) : > cos x jika domainnya

1

0,21 1r,1r,21r . Jawab: f (x) = cos x maka f (0) = cos 0 1 1 1 f ( 1r ) = cos 1r 0 2 2 f (1r) = cos 1r = 1 f (2 1r ) = cos 2 1r =1 Jadi daerah hasilnya adalah : {-1,0,1} 2. Tentukan nilai dari fungsi a. x = 45 0 b. x = 150 c. x =rt0

f (x) : > sin x untuk :

2 3

Jawab a. f (45 0) = sin 45 0 = 1 2

27c = sin 2 1 7 = 3 c c. f ( 3 2 5hri Moiul3 Th444ii4ga4 T4igo1o,-ht4Z olhh Elp44,-, 5.5i

b. f (150 0 ) = sin150 0 =

1 2

2. Grafik fungsi TrigonometriUntuk mengetahui cara menggambar grafik fungsi trigonometri perhatikan contoh berikut. Contoh: Gambarkan grafik f (x) = sin x dengan 0 x 27c Jawab:Pilih sudut yang mudah ditentukan nilainya oleh fungsi f (x) = sin x :X0 07c 7c 7c

7c

6

4

3

2

27c 3

37c 4

57c 6

7 77c 57c 47c 37c 57c 4 3 2 3 c 60_1 _

77c 11 7c 4 6

27c

Sin x 0

0

1 2

2 2

3 2

1

3 2

2 2

1 2

2

2_ 2

3 _1 _ 2

3_ 2

2 _1 2 2

0

Dari

gambar

terlihat

bahwa nilai sin x terdapat pada interval _1 sin x 1. Ini artinya nilai f (x) =

maksimum dari

sin x adalah 1 dan nilai minimumnya adalah -1. Sedangkan periode f (x) =


sin x adalah 2 7c atau 360 0.

C. Tugas Pembelajaran 6 1.Tentukanlah daerah hasil pemetaan oleh suatu f (x) : > sin x jika domainnya 2 0, 1

0

47c7c7c . ,, 3

1 2.Tentukan nilai dari fungsi f (x) : > cos 2 x untuk : a. x = 15 0 b. x = 150 3 c. x = 7c0


d. x

=

1 7c 47c

e. x =

5 6

3.Gambarkan grafik f (x) = cos x dengan 0 x 2 7c

4.Gambarkan grafik f (x) = tan x dengan 0 x 27c Kegiatan Pembelajaran 7

PERSAMAAN TRIGONOMETRIA. Tujuan Pembelajaran 1.Siswa dapat menyelesaikan persamaan trigonometri 2.Siswa dapat menentukan himpunan penyelesaian persamaan trigonometri

B. Uraian MateriPersamaan trigonometri adalah suatu persamaan yang memuat perbandingan trigonometri. Suatu persamaan trigonometri dapat diselesaikan dengan cara menentukan nilai pengganti x yang memenuhi persamaan trigonometri tersebut. Nilai pengganti x yang memenuhi persamaan trigonometri tersebut disebut penyelesaian dari persamaan trigonometri yang bersangkutan. Persamaan Trigonometri berbentuk sin x = a, cos x = a, dan tan x = a dapat diselesaikan dengan cara mengubah bentuk persamaan itu menjadi persamaan trigonometri dasar. Perhatikan uraian berikut:

1. Jika sin x = sin a 0 maka 0 x = a0 + k.360 0 atau x = (180 -a)0 + k.360 2. .Jika cos x = cos 3.a 0 maka x = a0 +k.360 0 atau x = -a0 +k.360 0

.Jika tan x = tan a 0 maka 0 x = a0 +k.180 dengan k adalah bilangan bulat


.sin x = sin 30

0 0

= 30 0 + k. 360 0 atau x = (180-30)

+ k. 360

0

x = sin 0 a maka 0 .Jika sin x = 150 + k. 360 x = a + k.2 if atau x = ( if - a ) + k.2 if yaitu k = 0 diperoleh x = 300

0 x 360 0 maka dengan memilih k yang sesuai, os x = cos a maka punan penyelesaian 30 0 , 150 0. = a + k.2 if atau x = - a + k.2 if .Jika tan x = tan .cos x = 1 2 20 0

dan x = 150

0

.

a maka x=a+k.n dengan k adalah bilangan bulat

x = cos 45

= 45 0 + k. 360 0 atau x = -45

+ k. 360

0

Contoh: 0 x 360 0 maka dengan memilih k yang sesuai, yaitu k = 0 , 1 diperoleh x = 45 0 dan x = 315 himpunan penyelesaian 30 0 , 315 0. 1. Tentukan himpunan penyelesaian persamaan berikut dalam interval 0 x 360 0 a. 0. b. Sin x = Sin 300

0

Cos x = 1 2 2 Tan x = 3

an x = 3 Tan x = tan 60 0 x = 60 0 + k.180 0 ntuk 0 x 360 0 maka dengan memilih k yang adi himpunan penyelesaian 60 0 , 240 0

sesuai, yaitu k = 0 dan k = 1 diperoleh x = 60

0

d

2. Tentukan himpunan penyelesaian persamaan berikut dalam interval 0 a. Sin x = Sin 1 2 1 3 Jawab 1 a. sin x = sin n 3 1 x = + k. 2 n atau x = n 3 x 2n

x 2n

n

b. Cos x =

c. Tan x = 1

untuk 0

3 2 x = n+ k. 2 n 3 maka dengan memilih k yang sesuai,

(n - 1 + k. 2 n nj

yaitu k = 1 diperoleh x = 3 1

r3. Jadi himpunan penyelesaian 3 1 b. cos x = 2 1 cos x = cos n 3 1 x = + k. 2 n atau x = n 3

n3 dan x= 2 n1 2

n, n1

- 1+ k. 2 n n3

untuk 0 x 2 n maka dengan memilih k yang sesuai, yaitu k = 0 , 1 diperoleh x =1 3 . Jadi himpunan penyelesaian

n dan x = 5 n 3 r31 5

n, n1

3


32

935hri Moiul Th444ii4ga4 T4igo1o,-ht4Z olhhc. Tan x5.5i 1 Elp44,-, =

Tan x = tan 4 1 4

17t

x =

7t

+ k. 7t untuk 0 x 2 7t maka dengan memilih k yang sesuai, yaitu 1 k= 0 dan k= 1 diperoleh x= 4 [ 4 . Jadi himpunan penyelesaianL 7t

dan x= 5 4

7t

7t , 7t1

1 54

3.

Tentukan himpunan penyelesaian persamaan Tan 2x = 3 dalam interval 0 Jawab Tan 2x = 3 Tan 2x = tan 60 0 maka 2x = 60 0 + k. 180 0 x = 30 0+ k. 90 0

x 360 0

untuk 0 x 360 0 maka dengan memilih k yang sesuai, yaitu k = 0,1, 2, 3 maka diperoleh nilai x = 30 0 , 120 0 , 210 0 , 300 0 Jadi himpunan penyelesaian {300

, 120 0 , 210 0 , 300 0}. 4. Tentukan himpunan penyelesaian persamaan cos 3x = 1dalam interval 0 x 27t 2

Jawab. cos 3x = 1 2 cos 3x = cos1 7t

maka

3 3x= 1 7t + k. 2 7t atau 3x = 1 7t + k. 2 7t 3 3 1 2 atau x = 7t+ k. 7 t x = - 17t + k. 2 7t 9

3

1 1 1 1 d. dari x = e. tan sin( 3 Moiul b. sin 2x = Th444ii4ga4 T4igo1o,-ht4Z olhh Elp44,-, 5.5i 3 a. 5hri x = -penyelesaiancos 2x = x + 30) = entukan himpunan3 2 dalam interval 0 2 x 360 0 2 2 2 2 3 b. sin 2x = untuk 0 x 27c maka dengantan x = -1 yang sesuai, yaitu k = 0, 1, 2, 3, diperoleh x = 1 2 e. memilih k 2 1 5 7 11 13 17 7c , 7c, 7c, 7c, 7c, 7c 9 9 9 9 9 9 . Jadi himpunan penyelesaian { 1 7c, 5 7c, 7 7c,11 7c,13 7c,17 7c } 9 9 9 9 9 9

Jawab: sin(x + 30) = 3 sin(x + 30) = sin 60 0 (x + 30) 0 = 60 + k.360 0 atau (x + 30) 0 = (180 60) 0 + k.360 0 x = (60 30) 0 + k.360 0 atau x = (120 30) + k.360 0 x = 30 0 + k.360 0 atau x = 90 0 + k.360 0 untuk 0 x 360 0 maka dengan memilih k yang sesuai, yaitu k = 0 maka diperoleh nilai x = 30 0 , 900 Jadi himpunan penyelesaian {300

, 90 0 } .

C. Tugas Pembelajaran1. Tentukan himpunan penyelesaian persamaan berikut dalam interval 0 x 360 0

1 3 f. tan 2x = - 3 2 2. Tentukan himpunan penyelesaian persamaan berikut dalam interval 0 a. sin x = 1 2 d. cos 2x = 1 c. cos x = x 27c

1 f. tan 3x = 1 2 3. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan berikut berikut dalam interval 0 x 360 0 atau c. cos x = 0 x 2 7c .

1 1 1 b. 3 a. sintan( x - 25) 0 = 3 3cos x = x5hri Moiul Th444ii4ga4 T4igo1o,-ht4Z olhh Elp44,-, 5.5i f. tan( x + 3tan =1 3 = c. 1n) x = c. 2 2 sin( x 45) 0 = 2 . 1 0.2cos( x + 60) 0 = 3a.

d. sin (x 2 1 nj= 1 e. 2 cos( x n) =1

4. Tentukan himpunan penyelesaian persamaan berikut dalam interval

nxn

Kegiatan Pembelajaran 8

R UMUS-R UMUS SEGITIGA DALAM TRIGONOMETRIA. Tujuan Pembelajaran Siswa dapat menggunakan rumus-rumus sinus dan cosinus dalam menyelesaikan soal. Siswa dapat menghitung luas segitiga yang komponemnya diketahui dengan menggunakan perbandingan trigonometri. B. Uraian Materi 1. 2.

1. Aturan SinusGambar disamping adalah adalah gambar A ABC sembarang. AE, BF, dan CD adalah Perhatikan segitiga berikut! rz? Perhatikan A ADC siku-siku di D! CD C Asin LA = AC D CD = AC . sinB A . . . .(i) L rz? Perhatikan A BDC siku-siku di D! D sin LB = C CD = BC . sin LB . .(ii) BC Berdasarkan (i) dan (ii) diperoleh: AC sin LA = BC sin LB B C A C F E= L A sin L B

garis-garis ti

sinrz?

Perhatikan A AEB siku-siku di E! AE sin LB = AE = AB . sin LB . (iii) AB rz? Perhatikan A AEC siku-siku di E!AE sin L C = AC AE = AC . sin L C . . (iv)

5fri Moiul Pfr?14ii4g14 T4igo1oosft4: olfh Efr1aos, 5.5i

Berdasarkan (iii) dan (iv) diperoleh:

AB sin L B = AC sin L C

AC AB = sinL B sin L C

rz?

Perhatikan A AFB siku-siku di F! sin LA = BF ABBF = AB . sin LA .(v)

rz?

Perhatikan A BFC siku-siku di F!

BF

sin L C = BC BF = BC . sin L C ....... (vi) Berdasarkan (v) dan (vi) diperoleh:AB sin LA = BC sin LC

BC AB = sinL A sin L C

sehingga kita memiliki tiga persamaan yaitu:B C A C = sinL A sin L B AC AB = sinL B si n LC BC AB = sin L A sin LC

1

2

3

Dari persamaan 1, 2, da 3 diperoleh perbandingan sebagai berikut; B C AC AB = =jika BC = a, AC = b, dan AB = c maka sin L A sin L B sin L C

rbandingan ini disebut

nya pada sebuah

segitiga sembarang adafith sama dengan perbandingan panjang sisi la

5hri Maid Th4b,4ii4g,4 T44,144,ht4Z olhh Efr,i4,, 5.5i

A 30 0

C 0B 30

4 cm Segit iga AB C adal ah segit iga sam a kaki. Tent ukan panj ang AC dan BC. Jaw ab.LA+0 LB + LC =180 0 = 30 0 +30 + LC =180 0

=LC= 120 0 berdasarkan aturan sinus, maka. AC = AB s i nL

B s i nL

U2 Jawab.

AC U1

Perhatikan gambar disamping. C

AB = 20 km.

Karena A150 0 sama kaki ABC 210 0 A 080 0 B maka BCL= AC 2= 180 0 -80 0 =100 0 AB U = 43 cm 3 0 - 210 0 -100 0 = 50 0 L ACB 180 0 - 70 0 - 50 0 = 60 0 LABC 360dari 2. Kota B terletak sejauh 20 km kota A pada arah 080 C 0 , sedangkan0

L BAC 150 0 -80 0 = 70 0 =

kota C terletak pada arah 150 kota A dan pada arah 2100

dari

dari kota AC 40

B. Tentukan jarak kota C dari A dan dari B.

?

AC. sin 120 0 = 4. sin 30

4. 1 0 4 4 4. sin 30 = 2 = = AC 3 cm 30 sin sin 120 01 3 3 3 sin120 0 20

Pada A ABC terdapat: AC AB AB LABC

sin L ABC sin L ACB

. sin sin LACB


20 . sin 50 0 sin 60 0 20 . 0,766 0,866 17, 69 Jadi jarak kota C dan kota A = 17,69 km Jadi jarak kota C dan kota B = 21,69 km BC AB A Bsin B A C . L < >BC = sinLBAC sin LACB sin LACB

2. Aturan CosinusPerhatikan gambar berikut C

20 sin700 . sin 600 20 . 0,939 Gambar disamping adalah gambar segitiga sembarang ABC. 0,866 21, km 69

A

D

B sin LA CD CD b . sin LA b

cos LA AD AD b . cos LA b si, Perhatikan ABDC siku-siku di D!

1 5hri Moiul Th444ii4ga4 T4igo1o,-ht4Z olhh Elp44,-, 5.5i 9 + 25-30( ) 2 DB=AB AD = c b. cos LA B C2 = CD2 + DB2 BC2 = (b. sin zA )2 + ( c b. cos LA ) 2 a 2 b2 sin 2 LA + c2 2bc. cos LA+ b2 .cos 2 A b2 (sin 2 LA+ cos 2 LA) + c2 2.bc. cos LA a 2 b2 + c2 2.bc. cos LA dengan cara demikian diperoleh Aturan Cosinus yaitu: Dengan yang sama dapat ditentukan: b 2 = a2 + c2 2.ac cos LB c 2 a 2 +b 2 2.ab cos L C cos Contoh. Perhatikan gambar berikut ini! b2 + c -C 2 a2

LA 2.bc a2 + c2 - b2 2. ac cos L B a 2 + b2 - c2 cos L C ab

a2 =b + c2 - 2.bc cos LA A 2 = 2 +c 2 b 3 cm- 2.ac cos LB 120 0 5 cm c 2 a2 + b2 - B 2.ab cos LC Hitunglah panjang AC dan sudut BAC!2

2.

S olusi: AC2 = AB2 + BC2 2.AB .BC .cos LB 32+ 52 2.3.5cos120 0

9+ 25+15 49 AC 49=7

Jadi panjang AC = 7 cm.

C

E

5tiz Maid Ptrb'4iz4g'4 T4zgo140,tt4z + 1 Efr'z0,, 5.5z AB 2 olth 2 - BC 2 AC .AB .CD (i). L itu. 22 .AB .AC 1 _ 5 AD B 32 BF ii BAC 2 AC .2 cos L BAC cos L BAC cos(L ) . L cos .L BAC 27

F

2.3.7 9 L 1 BC . (iii). + 49 .- 25AE 2 L BAC Inv L BAC 38 42 33 Jadi besar sudut BAC adalah 56,9042 0,78 cos 0,78 , 3. Luas Segitiga 7 0 Menentukan luas suatu segitiga dengan rumus;

Luas segitiga = 1 /2 alas x tinggi, kita harus memilih sisi mana sebagai alas dan mana tinggi segitiga Pada segitiga ABC di samping ini kita buat ketiga garis tingginya yaitu : AE, BF dan CD (AE _L BC, BF _L AC, dan CD _L AB Secara geometri didapat:

Pada gambar tersebut di atas terdapat: CD AC . sin L A BC . sin L B BF AB . sin L A BC . sin L C AE AB . sin L B AC . sin L C

sin 1 c. Moiul Th444ii4ga4 T4igo1o,-ht4Z olhh Elp44,-, 5.5i 5hri b. LA 2 Jika BC = a, AC = b , dan AB = c maka apabila CD AC . sin L A disubstitusi ke 1 L 21

AB.CD akan diperoleh:

AB .CD 2 1 ARAC. sin LA 2

1 bc. sin A 2 Dengan cara yang sama akan di dapat: 1 ac. sin B Contoh: 2 1 Tentukan luas daerah segitiga sama sisi ABC jika diketahui panjang sisinya 6 cm L ab. sin C luas segitiga : Rumus 2 Luas A ABC 1 ac.L1 bc. sin A sin B L 2 2 1 L L ac. sin B 1.6.6.sin 60 0 2 = 2L

L

Jawab:

L1 ab. sin C 2 lancip, siku-siku maupun segitiga tumpul .

Rumus tersebut berlaku untuk jenis segitiga


=18. 1 3 2 = 9 3 cm 2

Akan tetapi jika ketiga sisi dari suatu segitiga diketahui maka luas segitiga tersebut dapat dihitung dengan menggunakan rumus:L = s(s - a)(s - b)(s - c) Jika pada sebuah segitiga diketahui panjang sebuah sisi dan dua sudut segitiga tersebut maka luas dimana segitiga itu s = 1 dihitung dengan rumus: dapat a + b + c 2 dengan a, b dan c adalah sisi-sisi segitiga( )

Contoh : Hitunglah luas segitiga ABC jika diketahui: a.AC = 7 cm, CB = 8 cm dan AB = 9 cm0 b.AB = 4 cm , LACB = 60 0 danaLBAC LB. sin L C 2 sin = 45 L 2 sin Jawab. LA b2 sin LA.sin L C 2 sin L Lcm a. AC = b = 8 cm, BC = a = 7 cm dan AB = c = 9 2 cBsin LA. sin LB 1 L 2 sin s = (7 + 8 + 9) = 12 2 L

C

0Ste. Moiul Pft?140i4ga4 T4z5o1o0-tiii old Elp4:0-, 5.5.

= 12(12

L = s(s a)( s b)( s c)-

- L L

)(

12 - 8)(12 - 9 12.5.4.3 12 5

)

Jadi luas Segitiga ABC = 12 5 cm. b. AB = 4 cm , LACB = 60 0 dan LBAC = 45 0L ABC =180 0 60 0 45 0 =75 0

C. Tugas Pembelajaran AB2. sin LBAC. sin LABC 8 L

2 sin 1. Diketahui segitiga ABC, LA = 60 0 ,LB = 45 0 dan sisi a = 8. LBCA 42. sin 45 0. sin 60 0 L Tentukan panjang sisi b! 2. sin 75 0

16.1 2. 1 3 2. Diketahui segitiga ABC, LA=120 0 ,LB = 30 0 dan sisi b = 12. 2 2 L 2. panjang Tentukan0,97 sisi a dan panjang sisi c! L 12_______________=______0

2 a 5,05 cm 6 c 0,97

2

c = 12

8

b0 b. sin 60 0 = 8. sin 45

sin = 0 sin 450 60 b== s1 245 8. in =

8.

1

2 3

0

sin 60

8. 2 3

3 =8 6 3x 3

2

sin 30 0 sin 30


12=

a

sin 30 0 sin120 00

0 a. sin 30 0 =12.sin120

1 12. 3 12sin 120 = . 2 a= 12 3 0 1 sin 30 2 3. P dan Q adalah tonggak batas sebidang tanah. P terletak 20 km sebelah barat Q. Tonggak batas yang ketiga adalah R, yang arahnya 225 Q! 4. Diketahui segitiga ABC dengan BC = 6 cm, AB = 4 cm dan a.panjang AC! b.besar sudut ACB dan sudut BAC!LABC = 60 0 tentukan0

dari Q dan 120

0

dari P. Hitunglah jarak R ke P dan jarak R dan

5. Jika pada segitiga ABC diketahui a = 4 , b = 6 dan panjang sisi c! 0. Jika pada segitiga ABC diketahui b = panjang sisi c!23

LC =120 0

tentukan

, a = 6 dan

LA =150 0

tentukan

6. Jika pada segitiga ABC diketahui a = 5 , b = 6 dan c = 7 hitung sudut terkecil dan sudut terbesar! 44,43 57,18 78,48 0. Hitung luas setiap segitiga berikut A.a = 6 cm , c = 7 cm dan B.b = 5 cm , c = 8 cm danLB = 120 0 LA =150 0

C.a = 7 cm, b = 8 cm dan c = 9 cm D.a = 4 cm, b = 5 cm dan c = 6 cm


A. A.

.4 2 - 2

D. 4 2 E. 8

.4 2 + 2

EVALUASI

Pilih salah satu jawaban yang benar. 1. Jika sin A = 4 maka nilai dari cos A + tan A adalah..... 5 A. 1 5 B. 3 5 C. 7 5 2. Pada segitiga ABC jika a = 4 cm,1 cm A. 2 2

D. 29 15 E. 27 15

LA = 30 0 dan LB = 45 0 maka panjang sisi b = ....

D. 4 2 cm E. 8 2 cmLA =120 0 Maka AB = ....

B.2 cm 0.2 2

3. Segitiga ABC sama kaki AB = AC. Jika BC = 6 cm dan A.2 2 cm D. 3 2 cm 0.2 3 cm E. 3 3 cm B.2 5 cm 4. Dalam suatu A ABC terdapat a = c = 4 cm dan

LB =135 0 . Panjang sisi b = ....

C. 4 3 1 5. Diketahui A ABC sisi a = 8 cm, sisi b = 10 cm dan cos C = 8 , maka panjang sisi c = .... A. 6 cm B.8 cm D. 11 cm E. 12 cmA cos B + cos A sin B

C.10 cm 5 6. Diketahui sin A = dan cos B = 87 A dan B tumpul. Nilai sin =... 1 13 A. 140 D. 220


B. 276 221 C. 84 221

E. 1

7. Jika diketahui A ABC dengan a = 5 cm , b= 10 cm dan A.5 5 0.5 3 B.5 2 D. 7 3 E. 7 2

LC = 60 0 maka panjang sisi c adalah....cm

8. Diketahui A ABC sisi a = 20 cm , LA = 30 0 dan LB =105 0 maka panjang sisi c = .... A.10 cm D. 20 2 cm B.10 2 cm C.15 cm 9. Suatu A ABC , sisi a = 7, b = 8, dan c = 5, besar sudut A adalah... A.135 0 B.120 0 C.75 0 10. Nilai dari A. 1 4 B. 1 2 C. 1 sin 2 45 0 sin 2 60 + cos 2 45 .cos 2 60 0 . . tan 30 0. tan 60 0 D. 3 E. 2= ...

E. 40 cm

D. 60 0 E. 45 0

2

11. .Nilai dari 2 30 0.sin 2 60 0 + cot 2 30 0.cos 2 30 0 tan adalah.... A. 2 sin150 0. cos 240 3 1 D. -5 6 E. 50

0. 31 6 A 4 . 1 2

A. - 3

p 2 11-p2

D. 3


12. Nilai dari sin150 0 + sin 120 0 = ... 0 cos 300 0 cos120 A. 2 3 B. 1 1 + 3 2( )

D. 1 1 3 2(

)

7

E. 1 1 + 3 2(

)

C. 2 3 13. Nilai-nilai x yang memenuhi persamaan 3 tan 2 A.15, 75, 105, 195 dan 285 B.15, 105, 195, dan 285 C.105, 195 dan 285it

x =1 untuk 0 x 360 0 adalah....

D. 75, 105, 195, dan 285 E. 75, 105, dan 285

14. Himpunan penyelesaian dari 2 cos ( 2x + 2 =1 untuk 0 x it adalah... 11 7 8 5 A. ( 12 it, 12 12 it jD. ( it, 12 it 11 B. (it,

1it)

12 12 42

E. (it j

it, it) 12 12 2 10

C. (

it, 12 12

15. Diketahui A ABC dengan a = 2, b = 3, c = 4 . Luas AABC = ... satuan luas 7 8A.

C. .

3 ___ 15 4

E. 12

4 D. 6 3 16. Jika sin 13 = 2 1 3 dan sudut 13 terletak pada kuadran II, maka tan 13 sama dengan .....

1

B.

E. 1 3 1 2 C. 3 17. Diketahui sin a = p , a sudut tumpul maka tan a sama dengan.... 3 A.-

p

D.

-

p

B.5hri Moiul Th444ii4ga4 T4igo1o,-ht4Z olhh Elp44,-, 5.5i

-

62 E.

...

PP

1

P

2

P 1P

2

C. 18. Jika diketahui A dengan... A.0 D. 2 sin B

+ B = 270

P

2+ 0

1

maka cos A + sin B sama

B.sin 2B E. 2 cos B C.cos B + sin B 19. Jika sudut

a dan 13 sin a =

3 dan 5 sin

13 = , makacos a.cos 13 25D.

7

=

76 120 120 125

125 75 125 84 125 20. Pada gambar di bawah ini nilai x = ... 4 cm 60 0 x 6 cm A. B. C. 34

0.

.2 3 .2 7

D. 2 10 E. 2 19

21. Luas segitiga pada gambar di bawah ini adalah....cm 8 cm 30 0 A. .12 6 cm A. .12 3 A. .24

2

D. 24 3 E. 48

1

22. Koordinat titik Q adalah

C.2, 2 2 titik Q dalam koordinat Cartesius adalah.... Posisi j1 D.

A. 1, n 3 B. 1, n

( (

j j

(1, 1 4n

E. 1, n

(

j

Se4Z 1o4l pa.a..dZ..y... 7.4Zgo..o4-41/Z old Elr4Z4-, S.SZ C. 5

1 n C. 2, 3

A

12 1 + 4 tan xD.

. .

12 1+ 2 tan x

tan 23. Koordinat cartesius untuk titik (4 3,300 0) adalah.... B. 2 4 + tan x D. (6, -2 3) A. (2 3,6) B. (2 3,-6) C. (-2 3,-6) E. (-6,2 3)

tanx2 1+ 2 tan x

E.

24. Dari segitiga ABC diketahui bahwa = ... A.2 D. 2 3 0.3 E. 3 0.2 2

a = 30 0, 13 = 60 0 . Jika a + c = 6 , panjang b

25. Jika tan x = 2,4 untuk n x 2 3 n maka nilai cos x = .... 12 DA.

. .1 13

5

E. 12 1

13 3 13 26. Jika BC = CD , sin B = .... A

C.

x

1

B

C

D

tan2 x + 4

cos + sin tan It Seri HIILL PerbanIingan Trigonometri oleh Efraim, S.Si It It +2

adalah.... . Bentuk sederhana dari 1 2 3 cos It -1 It 27. Dalam A ABC sin = 25cos AC = 16 cm, jika luas segitiga ABC = 100 cm AB It + cm, 2 2 adalah.... A.150 B.300 C.450 D. 60 0 E. 75 0

3 4

maka besar sudut BAC

28. Dari sebuah segitga ABC diketahui tan A = 2, tan B = 3, BC = 60 cm. Panjang sisi AC sama dengan.... A.20 2cm B.18 2cm C. 45 2 cm D.50 2cm E. 60 cm

29. Panjang sisi-sisi sebuah segitiga adalah 25 cm, 39 cm, dan 40 cm. Jika sudut cos A B 20

terkecilnya 0, maka

sama dengan .... . .1

D E

. .

4 2 5 5

3

4 C. 3 5

A.-4 B.-2 C.-1

D. 2 E. 4

5hri Moiul Th444ii4ga4 T4igo1oosht4Z olhh El/ 144os, 5.5i

DAFTAR PUSTAKA

H.Asep Sudrajat, M.M., Drs. 2000. Aminulhayat, Drs. 2004 Tampomas Husein. 1999 Daiman E. Drs. 1994.

Prestasi Matematika (cetakan pertama) Ganeca Exact Bandung

Matematika untuk SMA jilid 1 (cetakan pertama). Bandung: CV Regina Matematika Seribu Pena , Erlangga Jakarta. Penuntun Matematika Untuk Kelas I SMA . Ganeca Exact Bandung. Matematika 1 untuk SMA , Departemen Pendidikan dan Kebudayaan,

Andi Hakim Nasution, dkk. 1993, Jakarta. Amir daud, Drs, dkk.,1994. Suwah Sembiring, 1988,

Pegangan Matematika untuk SMA Kelas 1 Penuntun Matematika , Ganeca Exact Bandung

Armico Bandung.

Abdul Kadir M. Drs, M. Sc, Dkk 1984. Wison Simangunsong, Drs.2005,

Matematika Untuk SMA (jilid 7 s/d jilid 12) , Jakarta: PT. Intermasa.

Matematika Dasar . Penerbit Erlangga Jakarta.

Krismanto AL. 1991, Matematika SMA (Prima Ebta),. Penerbit: Intan Pariwara Yokyakarta.

2407112316 Modul tri Kelas x Semester Genap

Documents

Transcript of 2407112316 Modul tri Kelas x Semester Genap