1

2.1 FungsiSecara intuitif, kita pandang y sebagai fungsi dari x jika terdapat aturan dimana nilai y (tunggal) mengkait nilai x.

Contoh: 1. a. b.

Definisi:Suatu fungsi adalah suatu himpunan pasangan terurut (x,y) dimana himpunan semua nilai x disebut daerah asal (domain ) dan himpunan semua nilai y = f(x) disebut daerah hasil (ko-domain) dari fungsi

BAB 2. FUNGSI & GRAFIKNYA

Daerah hasilDaerah asal

y = f(x) x

Untuk contoh 1.a. mendefinisikan suatu fungsi. Namakan fungsi itu f. Fungsi f adalah himpunan pasangan terurut (x,y) sehingga x dan y memenuhi:

Fungsi f ini memuat pasangan terurut (0,5);(1,7);(-1,7);

(2,13);(-2,13);(10,205) Dan f memuat tak berhingga banyak pasangan terurut.

f

22 5y x 2 9y x

A B

Notasi: f : A →B

2{( , ) / 2 5}f x y x

x 0 1 -1 2 -2 … 10

y 5 7 7 13 13 205

2

x

y

y = f(x)

Df

Wf

x

y

Soal: Buatlah sketsa grafik fungsi berikut, kemudian tentukan daerah asal dan dan daerah hasilnya.

a. y = 2x + 1 b. y = x2 - 1

Catatan:

1. Himpunan A, B є

2. Fungsi: y = f(x) ,

x peubah bebas

y peubah tak bebas, bergantung pada x

3. Daerah asal fungsi: Df = A = {x | fungsi f terdefinisi}

4. Daerah hasil fungsi: Wf = {y є B | y = f(x), x є Df }

5. Grafik fungsi: {(x,y) | x є Df , y = f(x)) }

Ada beberapa penyajian fungsi yaitu

a. Secara verbal : dengan uraian kata-kata.b. Secara numerik : dengan tabelc. Secara visual : dengan grafikd. Secara aljabar : dengan aturan/rumusan eksplisit

3

Contoh:

1. Secara verbal Biaya pengiriman surat tercatat seberat w ons adalah B(w).

Aturan yang digunakan Kantor Pos adalah sebagai berikut. Biaya pengiriman adalah Rp 1.000,00 untuk berat sampai satu ons, ditambah Rp 250,00 untuk setiap ons tambahan sampai 5 ons.

2. Secara numerik Biaya pengiriman surat tercatat ditunjukkan tabel berikut.

Berat w (ons) Biaya B(w) (rupiah)

0 < w ≤ 1 1.000

1< w ≤ 2 1.250

2 < w ≤ 3 1.500

3 < w ≤ 4 1.750

4 < w ≤ 5 2.000

3. Secara visual Biaya pengiriman surat tercatat ditunjukkan grafik berikut.

0 1 2 3 4 5

1.000

1.500

2.000

w

B

Ons

Rupiah

4

4. Secara aljabar Biaya pengiriman surat tercatat dinyatakan oleh fungsi berikut. 1.000, jika 0 1

1.250, jika 1 2

( ) 1.500, jika 2 3

1.750, jika 3 4

2.000, jika 4 5

w

w

B w w

w

w

2.2 Jenis-jenis Fungsi

1. Fungsi linear Bentuk umum: y = f(x) = ax + b, a dan b konstanta a = kemiringan garis

b = perpotongan garis dengan sumbu-y

Daerah asal dan daerah hasil: Df = , Wf = Grafik: y

x

b

y = ax + b

2. Polinomial

Bentuk umum:

y = P(x) = an xn + an-1 xn-1 + … + a2 x2 + a1 x + a0

dimana: an, an-1, …, a1, a0 = konstanta,

n = derajat polinom ( an 0)

Daerah asal: Df =

5

Grafik:

Polinom derajat 2: y = P(x) = ax2 + bx + c,

D = b2 - 4ac

x

y

ca < 0, D > 0

a < 0, D = 0 a < 0, D < 0

y = P(x)y

c y = P(x)

y

c y = P(x)

x x

x

y

c

a > 0, D > 0 a > 0, D = 0 a > 0, D < 0

y = P(x)y

cy = P(x)

y

cy = P(x)

x x

Soal :

Tentukan daerah asal dan daerah hasil dari fungsi berikut.

a. y = x2 + 2x - 1 b. y = -2x2 + 2x - 4

3. Fungsi pangkat

Bentuk umum: y = f(x) = xn , n є Daerah asal: Df = Grafik:

yy = x

yy = x2

0 0xx

yy = x3

0x

6

4. Fungsi akar

Bentuk Umum:

Daerah asal dan daerah hasil:

Df = [0,∞), Wf = [0, ∞), jika n genap Df = , Wf = , jika n ganjil

Grafik:

( ) , 2,3,4,...ny f x x n

y

0x

y

0x

2y x 3y x

Soal : Tentukan daerah asal dan daerah hasil dari fungsi berikut a. b. 1y x 2 2 2y x x

1y

x

1, 0y x

x

y

0 x

5. Fungsi kebalikan

Bentuk umum:

Daerah asal dan daerah hasil: Df = - {0}, Wf = - {0}

Grafik:

7

6. Fungsi rasional

Bentuk umum: dimana: P, Q adalah polinom

Daerah asal: Df = - { x | Q(x) = 0}

Contoh:

Tentukan daerah asal dari fungsi rasional berikut

a. b.

( )

( )

P xy

Q x

1

1

xy

x

22

1

xy

x

7. Fungsi aljabar

Definisi: Fungsi f disebut fungsi aljabar jika fungsi tersebut dapat

dibuat dengan menggunakan operasi aljabar, yaitu: penambahan, pengurangan, perkalian, pembagian dan

penarikan akar, yang dimulai dengan polinom.

Contoh:

a. b. Catatan:

Fungsi linear, polinom, fungsi pangkat, fungsi akar, fungsi balikan dan fungsi rasional adalah fungsi aljabar.

1 ( )

1

xf x

x

3

22

( ) ( 2) 11

xf x x x

x

8

8. Fungsi trigonometri

8.1 Fungsi sinus Bentuk umum: y = f(x) = sin x, x dalam radian

Daerah asal dan daerah hasil: Df = , Wf = [-1,1] Grafik:

0 -π

-1

1

x

y

y = sin x

8.2 Fungsi cosinus Bentuk umum: y = f(x) = cos x, x dalam radian

Daerah asal dan daerah hasil: Df = , Wf = [-1,1] Grafik:

0

-1

1

yy = cos x

x

-2π 2ππ

-2π -π π

2π

8.3 Fungsi tangen

Bentuk umum:

Daerah asal : Df = - {π/2 + nπ | n є } Daerah hasil: Wf =

sin( ) tan , dalam radian

cos

xy f x x x

x

9

Grafik:

0-

-1

1

x

y

y = tan x

8.4 Fungsi trigonometri lainnya

Bentuk umum: 1( ) sec , dalam radian

cos1

( ) cosec , dalam radiansin

1(

a.

b.

c. ) cot , dalam radianta

n

y f x x xx

y f x x xx

y f x x xx

8.5 Beberapa sifat fungsi trigonometri

a. -1≤ sin x ≤ 1 b. -1 ≤ cos x ≤ 1

c. sin x = sin (x + 2π) d. cos x = cos (x + 2 π)

e. tan x = tan (x + π)

-π π 2π-2π

10

x

y

0 1

1

y = ax , a > 1

x

y

0 1

1

y = ax , 0 < a < 1

10. Fungsi logaritma

Bentuk umum : y = f(x) = loga x, a > 0

Daerah asal dan daerah hasil: Df = (0, ) , Wf =

Grafik:y

0 1

1y = loga x

x

9. Fungsi eksponensial

Bentuk umum: y = f(x) = ax, a > 0

Daerah asal dan daerah hasil: Df = , Wf = (0, )

Grafik:

11

Contoh: Golongkan fungsi-fungsi berikut berdasarkan jenisnya.

11. Fungsi transenden

Definisi:Fungsi transenden adalah fungsi yang bukan fungsi aljabar. Himpunan fungsi transenden mencakup fungsi trigonometriinvers trigonometri, eksponensial dan logaritma.

4

2

10

5 2 10 102

( ) 1 ( ) tan 2

6 ( ) 10 ( )

6

( ) log ( )2

log

1. 2.

3. 4.

5. 6.

( ) 2 7. . ( ) 82

x

f x x f x x

xf x f x

x

xf x x f x x

xx

f x t t f x xx x

12. Fungsi yang terdefinisi secara sepotong-sepotong (piecewise function)

Definisi: Fungsi yang terdefinisi secara sepotong-sepotong adalah fungsi dengan banyak aturan, dimana setiap aturan berlaku pada bagian tertentu dari daerah asal.

Contoh:

0 ( ) | |

01.

x xf x x

x x

y

0 1

1

y = |x|

x-1

12

0 1

( ) 2 1 2

0

2.

2

x x

f x x x

x

y

0 1

y = f(x)

x2

3. Definisikan x = bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan x.

f(x) = x =

0 0 1

1 1 2

2 2 3

3 3 4

x

x

x

x

0 1 2 3

1

2

3

x

y

4

y = f(x)

Catatan: 1. f(x) = |x| , f disebut fungsi nilai mutlak 2. f(x) = x , f disebut fungsi bilangan bulat terbesar

13. Fungsi genap dan fungsi ganjil

Definisi: [Fungsi genap] Jika fungsi f memenuhi f(-x) = f(x) untuk setiap x di dalam daerah asalnya, maka f disebut fungsi genap.

x

y

f(x)

-xx

y = f(x)

Catatan: Grafik fungsi genap simetri terhadap sumbu-y.

13

Definisi: [Fungsi ganjil] Jika fungsi f memenuhi f(-x) = -f(x) untuk setiap x di dalam daerah asalnya, maka f disebut fungsi ganjil.

Catatan: Grafik fungsi ganjil simetri terhadap titik asal.

x

y

f(x)

-xx

y = f(x)

-f(x)

Soal: Periksa apakah fungsi berikut adalah fungsi genap atau fungsi ganjil atau bukan kedua-duanya.

a. f(x) = 1 - x4 b. f(x) = x + sin x c. f(x) = x2 + cos x d. f(x) = 2x - x2

14. Fungsi naik dan fungsi turun

Definisi: 1. Fungsi f disebut naik pada selang I jika

f(x1) < f(x2) untuk setiap x1 < x2 di I. 2. Fungsi f disebut turun pada selang I jika f(x1) > f(x2) untuk setiap x1 < x2 di I.

x1

y

f(x1)

x

y = f(x)

x2

f(x2)

Fungsi f naik

x1

y

f(x2)

x

y = f(x)

x2

f(x1)

Fungsi f turun

14

Soal: Periksa apakah fungsi f berikut adalah fungsi naik atau fungsi turun pada selang I.

a. f(x) = x2 I = [0, ) b. f(x) = sin x I = [ , 2]

15. Fungsi Baru dari Fungsi Lama

Dari fungsi dasar dapat dibentuk fungsi baru dengan cara:

1. Transformasi fungsi: pergeseran, peregangan dan pencerminan 2. Operasi aljabar fungsi: penambahan, pengurangan, perkalian

dan pembagian 3. Komposisi fungsi

Transformasi fungsi

a. Pergeseran (translasi) Misalkan c > 0, diperoleh 4 macam grafik:

1. y = f(x) + c, geser y = f(x) sejauh c satuan ke atas

y = f(x)

c

y

x

c

c

cy = f(x-c)y = f(x+c)

y = f(x) - c

y = f(x) + c

15

b. Peregangan (dilatasi) Misalkan c > 1. Untuk memperoleh grafik:

1. y = cf(x), regangkan grafik y = f(x) secara tegak dengan faktor c.

2. y = (1/c)f(x), mampatkan grafik y = f(x) secara tegak dengan faktor c.

3. y = f(cx), mampatkan grafik y = f(x) secara mendatar dengan faktor c.

4. y = f(x/c), regangkan grafik y = f(x) secara medatar dengan faktor c.

2. y = f(x) - c, geser grafik y = f(x) sejauh c satuan ke bawah

3. y = f(x - c) , geser y = f(x) sejauh c satuan ke kanan

4. y = f(x + c) , geser y = f(x) sejauh c satuan ke kiri

0 π 2π

-1

1

y

y = cos x

2

-2

y = 2 cos x

y = ½ cos x

x 0 π 2π

-1

1

y

y = cos x

2

-2

x

y = cos ½ x

y = cos 2x

16

c. Pencerminan Untuk memperoleh grafik:

1. y = -f(x), cerminkan grafik y = f(x) terhadap sumbu-x

2. y = f(-x), cerminkan grafik y = f(x) terhadap sumbu-y

y

x

y = f(x)

y = -f(x)

x

y = f(x)y = f(-x)

y

x-xx

f(x)f(x)

-f(x)

Contoh: Gambarkan grafik fungsi berikut dengan menggunakan sifat transformasi fungsi.

1. f(x)= |x-1| 2. f(x) = x2+2x+1 3. f(x)= sin 2x 4. f(x) = 1 - cos x

17

OPERASI FUNGSI ALJABAR

Definisi: [Aljabar fungsi]

Misalkan f dan g adalah fungsi dengan daerah asal Df dan

Dg. Fungsi f+g, f-g, fg dan f/g didefinisikan sebagai berikut

1. (f + g)(x) = f(x) + g(x) Df+g = Df Dg.

2. (f - g)(x) = f(x) - g(x) Df-g = Df Dg.

3. (fg)(x) = f(x) g(x) Dfg = Df Dg.

4. (f/g)(x) = f(x)/g(x) Df/g = {Df Dg.} – {x | g(x)= 0}

Contoh: Tentukan f+g, f-g, fg dan f/g beserta daerah asalnya, jika2 ( ) ( )

( ) 1

1.

2 ). ( 1

f x x g x x

f x x g x x

Komposisi fungsi

Definisi: [Komposisi fungsi] Misalkan f dan g adalah fungsi dengan daerah asal Df dan Dg. Fungsi komposisi f o g didefinisikan sebagai berikut:

(f o g)(x) = f(g(x))

di mana Df o g = {x є Dg | g(x) є Df }

18

Soal : Tentukan f o g, g o f dan f o f beserta daerah asalnya, jika

21.

2.

( ) ( )

1 ( ) ( ) 1

f x x g x x

f x g x xx

Df g f WfWgDg

x

g(a)

f(g(x))

a

g(x)

f ° g